请你看一下这里的静态数据，我现在的任务是想要scaling这类的数据，请你广泛的找类有规则的可以通过生成python代码批量生
成vqa，我暂时不用那种已有generator的，我要那个广泛的规则就好，我就要把那些没有generator的。我不用你给我生成VQA，我只要有这些规则，比如网站或者论文之类的，先搜集就好，不用得到VQA
1 大类数据
| 名称 | 数量 | 标签 | 描述 | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| 视觉推理 Benchmark / Dataset | ||||
| Visual Sphinx | 多种 | 视觉推理, Benchmark | 视觉归纳/演绎/空间推理，题目分 Inductive/Deductive/Spatial/Extension 四类，含扩展 10 选项版本 | 已整理 |
| ARC-AGI 3 | — | 视觉推理, Benchmark | ARC 抽象视觉推理竞赛第三版 | 已整理 |
| CubeVLM | 3 tiers | 视觉推理, Benchmark | Rubik's Cube 推理，三种表示：Full Symbolic / Full Visual / Partial Visual，12 种动作 | 已整理 |
| TACIT | 10×3 难度 | 视觉推理, Benchmark 生成器 |
空间/逻辑/结构推理，10 tasks × 3 难度，seed 确定性程序生成，完全可复现 | 已整理 |
| Sphinx (maveryn) | 25 | 视觉推理, 生成器 | 程序化生成视觉 puzzle，使用 motifs/tiles/charts/几何基元，规则+参数+随机种子驱动，开源 25 种类型 | 已整理 |
| Kaggle AGI – Dynamic Visual Reasoning | 1 | 视觉推理, Benchmark | 矩形桌面+移动球+命名矩形障碍物，接收棋盘图像+规则，Question-Answer 格式 | 已整理 |
| VR-Bench | 5 类 | 视觉推理, Benchmark | 五种迷宫：规则/不规则/3 D 迷宫/陷阱场 (Trapfield)/推箱子 (Sokoban)，涵盖 2 D 和 3 D 环境 | 已整理 |
| VisualPuzzles | 5 类 | 视觉推理, Benchmark 静态数据集 |
开源数据但未开源生成方法；含 Algorithmic/Inductive/Spatial/Analogical/Deductive 五类 | 已整理 |
| Gym-V | 179 | 视觉推理, 生成器 | 179 个环境，涵盖单回合推理/多回合游戏/空间导航/复古街机游戏，代码完全开源可生产数据 | 已整理 |
| MentisOculi | 5 | 视觉推理, Benchmark | 5 个视觉任务，5 个不同难度 | 已整理 |
| VisuLogic | 6 域 23 子类 | 视觉推理, Benchmark 静态数据集 |
1000 道人工验证题，视觉+逻辑综合推理，强调避免语言模式匹配；6 个 domains：Quantitative/Spatial/Positional/Attribute/Stylistic/Other | 已整理 |
| Enigmata | 36 任务 7 大类 | 视觉推理, 生成器 RL 训练 |
面向逻辑推理的可验证合成数据，generator+verifier，可按参数和难度持续生成并自动验证，适合 RL 训练 | 已整理 |
| VBVR-DataFactory | 300+ gen | 视觉推理, 生成器 | 大规模视频推理生成工厂，300+ generators，按 seed/参数不断生成新样本；含空间/路径/计数/顺序/图表等推理 | 已整理 |
| MIRA | 20 tasks | 视觉推理, Benchmark Visual-CoT |
偏视觉链式推理 (Visual-CoT) 评测；546 个样本，20 种 task types，4 个 domains；涉及几何/类物理/空间逻辑/因果变化 | 已整理 |
| CVR | 103 | 视觉推理, 生成器 | 程序化生成组合视觉推理题，103 个任务；开源自动生成代码和 generalization test set 生成函数 | 已整理 |
| STARE | — | 视觉推理, Benchmark | 空间推理综合评测；任务从 2 D/3 D 几何变换、cube net folding、tangram puzzles 到 temporal frame 和 perspective reasoning | 已整理 |
| SynLogic | 35 | 视觉推理, 生成器 | 合成式逻辑推理数据，35 种 tasks，含 Sudoku/Game of 24/Cipher/Arrow Maze | 已整理 |
| ARC-GEN | — | 视觉推理, 生成器 | Procedural benchmark generator，为 ARC 类抽象推理任务做模仿式程序生成 | 已整理 |
| iVISPAR | — | 视觉推理, Benchmark | 交互式多模态空间推理 benchmark，基于 sliding-tile puzzle 评测 VLM agent 的空间理解/规划/多步推理 | 已整理 |
| Gen-ViRe | — | 视觉推理, 生成器 | Generative visual reasoning benchmark，面向视频生成/世界模拟模型的推理评测 | 已整理 |
| MM-HELIX | 42 tasks | 视觉推理, Benchmark | 多模态长链反思推理 benchmark；42 个 tasks 分 algorithms/graphs/puzzles/games 四类，5 个 difficulty levels | 已整理 |
| RAVEN | 7 | 视觉推理, 生成器 | 7 类 Raven 渐进矩阵 (Progressive Matrices)，程序生成 | 已整理 |
| SpatialViz-Bench | 11 | 视觉推理, Benchmark 生成器 |
11 类空间推理任务，生成器 | 已整理 |
| VisFactor | 20 | 视觉推理, Benchmark 生成器 |
20 类视觉因子推理，生成器 | 已整理 |
| SMART | 101 | 视觉推理, Benchmark 静态数据集 |
101 个 root puzzles，静态数据集 | 已整理 |
| BPS (Bongard Problems) | 400+ | 视觉推理, 静态数据集 | 400 道专家设计视觉推理题，非程序生成 | 已整理 |
| Bongard-LOGO | 12,000 | 视觉推理, 生成器 | NVIDIA 出品，合成 Bongard 概念归纳题，给定正例集合 vs 负例集合归纳抽象视觉规则；含完整 Python 生成库，三类题型：自由形状/基础形状/抽象形状（凸凹/对称等），可自定义生成 | 已整理 |
| KiVA | 1,400 | 视觉推理, Benchmark 生成器 |
Kid-inspired Visual Analogies（UC Berkeley），测颜色/大小/旋转/翻转/数量 5 种变换规则，基于真实 3 D 物体图像；含数据集下载+生成脚本，可指定参数组合生成 compositional 题目 | 已整理 |
| 谜题 / 逻辑推理 | ||||
| pencil-puzzle-bench | 94 种 / 62,231 实例 | 谜题, 生成器 | Python step-level 验证 + 约束求解器生成，含 Sudoku/Nonogram 等，支持交互式多步推理 | 已整理 |
| grilops | 17 | 谜题, 生成器 | 基于约束求解 (SAT/SMT) 的 pencil puzzle 生成器 Python 库，17 类 puzzle | 已整理 |
| Simon Tatham's Puzzles | 40 | 谜题, 生成器 | 40 种经典 puzzle，含完整开源生成器（另见 GitHub 镜像 ghewgill/puzzles） | 已整理 |
| ghewgill/puzzles | 40 | 谜题, 生成器 | Simon Tatham Puzzle Collection 的 GitHub 移植版，同样 40 种 puzzle 生成器 | 已整理 |
| LLM-PuzzleTest | 18 | 谜题, Benchmark 生成器 |
18 种 puzzles，含 generator，面向 LLM 推理评测 | 暂时不用 |
| puzzle-kurodoko / janko系 | 36 | 谜题, 静态数据集 | 36 种逻辑谜题（田鼠挖洞/黑白/阴阳/独棋/温度计/海苔/扫雷/战舰/接水管/数壹/数间/信号旗/珍珠/缝线/水箱/数墙/星之战/方阵和/高楼/不等式/数和/异形数独/杀手数独/黑白/数织/搭桥/数独/点灯等） | 暂时不用 |
| janko.at | 300+ | 谜题, 静态数据集 | 300+种 pencil puzzles，专家设计，无 generator | 暂时不用 |
| Nikoli | 47 | 谜题, 静态数据集 | 47 种专家精心设计的 puzzles，非程序生成 | 暂时不用 |
| BrainBashers | 22 | 谜题, 生成器 | 22 种程序生成 puzzles | 暂时不用 |
| PuzzleMadness | 41 | 谜题, 生成器 | 41 种数独变体 | 暂时不用 |
| VGRP-Bench | 20 | 视觉推理, Benchmark 生成器 |
视觉几何推理，含 generator；任务含迷宫/Raven 矩阵/CA/Logic Grid/图着色/图同构/Unknot Detection 等 | 已整理 |
| CAPTCHA | ||||
| NextGen-CAPTCHAs | 27 | CAPTCHA, 生成器 | 防 AI 验证码，27 种（3 D 视角/背景遮挡层/箱体折叠/颜色计数/骰子路径/动态拼图/洞数计数/幻觉丝带/层叠/镜像/多文字系统/遮挡计数/红点/旋转匹配/阴影方向/阴影可信/幽灵圆等），seed 可复现 | 已整理 |
| OpenCaptchaWorld | 20 | CAPTCHA, Benchmark | 面向 Web Agent 的开源 CAPTCHA 推理平台，20 种类型，较简单，可用于训练数据生成 | 没有开源 |
| RLVR 训练 / 可验证推理数据 | ||||
| Reasoning Gym | 100+ | 生成器 RLVR 训练 可验证 |
NeurIPS 2025 Spotlight。程序化生成 + 自动验证的 RL 训练库，pip 可安装，统一 score_answer 验证接口，直接支持 GRPO 框架。100+ 任务含 maze/graph/Rubik's cube/logic games 等，以 text 为主，视觉部分待扩展 | 已整理 |
| Reason-RFT | 3 类任务 | 视觉推理, 生成器 RLVR 训练 可验证 |
NeurIPS 2025。专为 VLM GRPO 设计，HuggingFace 可直接下载：Spatial Transformation (60 k) / Structure Perception (4.5 k) / Visual Counting (35 k)，含完整 SFT+GRPO 两阶段训练代码 | 已整理 |
| SynthRL | — | 生成器 RLVR 训练 可验证 |
专为 RLVR 训练的数据 scaling pipeline：seed 题目选择 → 自动合成更难变体 → 验证正确性，保证难度提升的同时保留原始答案，代码开源 | 已整理 |
| AlphaMaze (visual-thinker) | — | 视觉推理, 生成器 RLVR 训练 可验证 |
用 GRPO 训练 LLM 做迷宫导航，文本化迷宫表示 + verifiable reward，含数据生成代码和训练脚本；SFT 86% → GRPO 93%，是 puzzle→RL 路线的直接先例 | 已整理 |
| I-RAVEN (SRAN repo) | 7 类 | 视觉推理, 生成器 静态数据集 |
修复了原版 RAVEN 答案 bias 问题的改进版，含完整生成代码（python I-RAVEN/main. Py），可自定义生成数量，适合作为抽象视觉推理的 seed 数据集 | 已整理 |
| raven-gen | 7 类 | 视觉推理, 生成器 | RAVEN 的独立 Python 生成工具，比原版更轻量灵活，pip 可安装，可定制分辨率、配置和难度，适合快速生成 Raven 矩阵类视觉推理数据 | 已整理 |
| Games | ||||
| Odysseus | 1 | 作者以《超级马里奥大陆》为测试环境，要求智能体完成 100+轮的感知-推理-行动协调。 | 待整理 | |
| Enhancing Player Enjoyment with a Two-Tier DRL and LLM-Based Agent System for Fighting Games | 1 | 本文针对格斗游戏 AI 鲜少以"增强玩家乐趣"为设计目标的问题，提出双层智能体（TTA）系统，并在《街头霸王 II》中验证。 | 待整理 | |
| atari-gpt | benchmark | 本文提出 Atari-GPT 基准，首次系统评估多模态大语言模型作为 Atari 游戏低层策略控制器的涌现能力。 | 待整理 | |
| 生成模型 | ||||
| VisionFoundry | N | LLM+Diffusion | 仅需输入一个关键词，LLM 扩充再通过 Diffusion model 生成图像，然后 LLM 验证。无限扩充。 | 待整理 |
| 视觉逻辑场景 / Description Logic | N | 可以生成 |
- LoRA 是一个逻辑推理增强型 VQA 数据集。 简单 2 D 或 3 D 场景：物体、属性、关系、区域 - 10 万个自动生成的逼真厨房场景。 - 20 万道复杂多样的逻辑推理题。 |
待整理-0516 |
2 静态数据的生产以及任务分配
2.1 批次 1-0514
完整的全量分配结果在：
rule_task_assignment_full.jsondocs/rule_task_assignment_full.json的结构是：
{
"规律补全": {
"VisualPuzzles": ["2", "..."],
"SMART101": ["77", "..."],
"VisuLogic-Train": ["00000", "..."]
}
}
另外当前还有一组：
待人工复核
目前只出现在 VisuLogic-Train，共有 92 条。这部分说明只靠题干模板还不够稳，建议最后单独派给一个人做人工归并。
这个 JSON 里保存了三个数据文件的完整 id 列表，按工作包拆分。Markdown 这里只放摘要统计，避免把几千个 id 全塞进文档里。 按照类别整理：
| 工作包 | 覆盖内容 | 主要来源 | 可直接分配的样例 id | 容易混淆的边界 | 示例 |
|---|---|---|---|---|---|
| 规律补全 | 图形序列、矩阵、问号补全、局部到全局规律发现 | VisuLogic V1 2647； VisualPuzzles inductive 一部分 162；SMART pattern 5 |
全量见 JSON。当前统计：VisualPuzzles 162 条；SMART 5 个 root puzzles；VisuLogic 2647 条 |
容易和“六图分类”混；如果任务是从候选中补缺项，归这里 |  |
| 六图分类 | 6 个图形分两组，按共同属性归类 | VisuLogic V2 752；VisualPuzzles inductive 一部分 47 |
全量见 JSON。当前统计：VisualPuzzles 47 条；VisuLogic 752 条 |
容易和“规律补全”混；如果目标是分组而不是补缺，归这里 |  |
| 三维空间 | 折叠/展开、视图、投影、截面、空间拼装、折纸裁切 | VisuLogic V3/V4/V5/V6；806VisualPuzzles spatial 部分 deductive 226；SMART spatial 9 |
全量见 JSON。当前统计：VisualPuzzles 226 条；SMART 9 个 root puzzles；VisuLogic 806 条 |
内部子类很多，但底层表示相近，建议整包处理，不要再按论文拆 |  |
| 路径与计量 | 迷宫、路径追踪、计数、长度、面积、最优化数量 | VisualPuzzles algorithmic/spatial 一部分 358；SMART path/counting/math/measure 60 |
全量见 JSON。当前统计：VisualPuzzles 358 条；SMART 60 个 root puzzles |
容易和“逻辑映射”混；如果核心是算数值、找路径、做约束搜索，归这里 |  |
| 类比与逻辑映射 | 类比关系、编码规则、交换规则、顺序恢复、逻辑排除 | VisualPuzzles analogical/deductive 375 ；SMART algebra/logic/order 27 |
全量见 JSON。当前统计：VisualPuzzles 375 条；SMART 27 个 root puzzles |
容易和“路径与计量”混；如果核心是规则映射或逻辑约束，不是数值搜索，归这里 |  |
2.2 批次 2-0515
筛选标准：
可以静态渲染成图像。
可以自己用 Python 生成局面/图形/图表。
答案可以用规则、公式、枚举、图搜索、线性代数或模拟器自动验证。
尽量避开已有高重复方向：
RAVEN/RPM、Bongard/BPS、Nikoli/Janko/pencil puzzle大类、STARE/cube net/tangram、Sokoban/maze/sliding-tile/Atari/Rubik's cube。Wolfram MathWorld: The Web's Most Extensive Mathematics Resource 有很多例子，但是还没有来得及整理 ✅ 2026-05-16 下面 [[#4 批次 3-0516-MathWorld Scaling Rule Candidates - Collected]]
2.2.1 数学相关
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| BPS (Bongard Problems) 来源：BPS (Bongard Problems) |
400+ 不会重复 |
视觉推理, 静态数据集 | 400 道专家设计视觉推理题，非程序生成 生成方式：LLM 读取规则-（人工筛选）-生成图片的描述-生成代码 |
批次 2 | 待补充 | |
| SynthRL 来源：SynthRL |
数学题 | 生成器 RLVR 训练 可验证 |
专为 RLVR 训练的数据 scaling pipeline：seed 题目选择 → 自动合成更难变体 → 验证正确性，保证难度提升的同时保留原始答案，代码开源 生成方式：数学推理题目，扩展需要 google api。 |
待补充 |
2.2.2 物理、机械与可验证量
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 机械推理图（148 sample） 来源：Mechanical Reasoning dataset； paper |
低 | 齿轮组、皮带、滑轮、杠杆、液压、电路开关 | 方向、速度比、省力倍数、平衡位置、灯泡亮灭、哪个系统可行 | 有点复杂，不能不能生成 |  |
待补充 |
| Figure Weights / 天平图形重量 来源：WAIS Figure Weights；CORE Figure Weights |
低 | 多个天平等式/不等式、图形砝码、候选补全 | 哪个选项平衡；某图形重量；哪个更重；最少需要几个图形 | 随机采样整数权重，生成线性等式/不等式；用线性方程或枚举验证唯一答案 |  |
待补充 |
2.2.3 符号、属性与约束推理
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Matchstick / 七段数码管 来源：MathSticks；通用规则 |
低 | 火柴数字、运算符、错误等式、几何火柴图 | 移动/添加/删除几根使等式成立；问哪根应移动；问是否有解/有几个解 | 七段数码管状态枚举；操作距离为 1/2/3；用表达式求值或几何连通/方块计数验证 |  |
待补充 |
| SET-like 属性卡片 来源：SET rules；overview |
低 | 12 张卡，每张有颜色/形状/数量/填充属性 | 三张是否成 set；找缺失卡；一屏中有几个 set；哪张参与最多 set | 每张卡是属性向量；每维满足 all-same 或 all-different；穷举三元组验证 |  |
待补充 |
| Mastermind / 颜色密码反馈 来源：Rules；complexity |
低 | 多行颜色猜测 + 黑/白反馈钉 | 哪个候选密码满足所有反馈；还剩几个可能密码；下一猜反馈是什么 | 枚举所有颜色序列；按 exact-position 和 color-only 反馈过滤候选 |  |
待补充 |
| 视觉逻辑场景 / Description Logic 来源：LoRA VQA |
低-中 | 简单 2D 或 3D 场景：物体、属性、关系、区域 | all/exists/not/and/or、计数约束、包含关系、多跳关系 | 自己生成场景图和渲染；答案由一阶逻辑/描述逻辑查询得到；可避免真实图像依赖 |  |
待补充 |
2.2.4 棋盘连接与落子游戏
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Connect Four / 四子棋 来源：MathWorld；Hasbro rules |
低 | 7x6 竖棋盘，红黄棋子受重力落子 | 哪列是合法落子；落子后谁赢；是否已有四连；找立即获胜/防守列 | 用二维数组表示棋盘；合法列为未满列；落子后扫描横/竖/斜四连；可用小深度 minimax 生成战术题 |  |
待补充 |
| Reversi / Othello 来源：Reversi rules |
低 | 8x8 黑白棋盘 | 哪些位置是合法落子；某步会翻转几个子；落子后棋盘变成什么；当前比分 | 检查 8 个方向是否夹住对方棋子；翻转列表可精确计算；随机合法对局采样局面 |  |
待补充 |
| Hex 来源：Hex |
低 | 六边形网格，两色棋子，双方连接对边 | 哪方已经连通；某步是否完成连接；哪块是关键桥；候选落子是否合法 | 把格子看成图节点；同色邻接并查集/BFS 判断是否连接两条边 |  |
待补充 |
| Dots and Boxes 来源：Dots and Boxes |
低 | 点阵、已画边、已完成方格归属 | 当前玩家能否完成盒子；某步得几分；哪些边是安全边；游戏比分 | 网格边集合；每条候选边检查新闭合方格数量；可生成 endgame chain 题 |  |
待补充 |
2.2.5 放置、拼块与空间构型
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Block design / 彩色积木拼图 来源：Block Design；Kohs |
中 | 2x2/3x3/4x4 目标图案、双色对角块、候选块朝向 | 最少块数、某块朝向、哪个候选能拼成目标、缺失区域 | 用方格/三角半格表示块面；枚举块朝向；验证拼接后像素/网格一致 |  |
待补充 |
| 正交三视图/体素重建 来源：3ViewSense；mental rotation |
中 | front/top/right 三视图、体素堆、候选 3D 结构 | 从三视图选可能结构；数隐藏方块；哪个视图不一致 | 随机生成体素集合；投影得到三视图；候选用投影一致性和最小/最大体素数验证 |  |
待补充 |
| Blokus-like polyomino placement 来源：Blokus rules；overview |
中 | 方格棋盘、彩色多连方块、剩余块 | 哪个位置可放；是否只角接触不边接触；最多还能放几个格；哪个候选非法 | 多连方块坐标 + 旋转/翻转；检测越界、重叠、角接触、边接触 |  |
待补充 |
| Tetris board state 来源：Tetris Guideline |
中 | 10x20 堆叠棋盘 + 当前方块 | 当前方块能否放在某列/旋转；放下后消几行；哪列高度最高 | 网格碰撞检测；旋转模板；hard drop 后清行和高度统计 |  |
待补充 |
2.2.6 状态转移与模拟类游戏（games）
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Mancala / Kalah 来源：Kalah rules；overview |
低 | 两排坑位 + 两个得分仓，坑内石子数 | 走某坑后石子如何分布；是否获得额外回合；是否触发 capture；当前得分 | 数组模拟 sowing；最后一粒位置决定 extra turn/capture；适合数值+视觉结合 |  |
待补充 |
| Tower of Hanoi 静态状态 来源：Tower of Hanoi |
低 | 三根柱子、不同大小圆盘、当前状态/目标状态 | 下一步合法移动、最少步数、当前是否有效、目标能否在 k 步内到达 | 状态用 tuple 表示；合法移动图搜索；最短路/BFS 或公式验证 |  |
待补充 |
| Peg Solitaire 来源：Peg Solitaire |
低 | 十字/三角棋盘，有孔和棋子 | 哪些跳跃合法；跳一步后局面；最少剩几个；当前是否无路可走 | 图上跳跃规则：起点有子、中间有子、终点空；BFS/DFS 可生成可解局面 |  |
待补充 |
| Lights Out 来源：Lights Out |
低 | 方格灯阵，亮/灭状态 | 按某格后哪些灯改变；最少几步全灭；哪个按钮必须按 | 状态是 bitset；按键为自身+邻居 XOR；线性代数或 BFS 解 | |
待补充 |
| 2048 来源：2048 |
低 | 4x4 数字方块局面 | 向某方向滑动后的局面；合并后最大块；哪个方向得分最高 | 数组模拟滑动压缩和相同数合并；可固定不生成随机新块来做可验证题 |  |
待补充 |
2.2.7 当前不建议作为新增重点的高重复项
| 规则族 / game | 原因 | data_summary-0515.md 已有对应 |
|---|---|---|
| RPM / Raven 矩阵 | 已有 RAVEN、I-RAVEN、raven-gen，重复高 | RAVEN / I-RAVEN / raven-gen |
| Bongard / 六图分类 | 已有 BPS 和 Bongard-LOGO，重复高 | BPS / Bongard-LOGO |
| Nikoli/Janko/pencil puzzle 大类 | 已有多条 puzzle 来源和 generator 来源，重复高 | pencil-puzzle-bench / grilops / Simon Tatham / janko.at / Nikoli |
| Cube net folding / Tangram | STARE 已明确包含，现有三维空间包也覆盖 | STARE / VisualPuzzles / VisuLogic / SMART |
| Sudoku/Nonogram/Kakuro 变体 | 已被 SynLogic、pencil-puzzle-bench、PuzzleMadness 等覆盖 | SynLogic / pencil-puzzle-bench / PuzzleMadness |
| 迷宫/路径基础题 | 已有 VR-Bench、AlphaMaze、VisualPuzzles、SMART、VGRP-Bench | VR-Bench / AlphaMaze / SMART / VGRP-Bench |
| Sokoban | VR-Bench 已覆盖推箱子 | VR-Bench |
| Sliding tile / 15 puzzle | iVISPAR 已覆盖 sliding-tile 空间规划 | iVISPAR |
| Atari / Mario / fighting games | 现有文档已有相关条目，且更偏动态 agent，不适合静态 VQA 起步 | Odysseus / Atari-GPT / fighting games |
| Rubik's Cube | CubeVLM 已覆盖 | CubeVLM |
2.3 批次 3-0516-MathWorld Scaling Rule Candidates - Collected
目标：专门从 Wolfram MathWorld 中筛选可静态渲染、可用 Python 生成和自动验证的规则型 VQA scaling 候选
筛选标准：
- 来源尽量只使用 MathWorld 条目。
- 可以静态渲染成图像、棋盘、网格、图、几何构型或数表。
- 答案可以用公式、枚举、图算法、线性代数、约束求解、几何计算或状态搜索自动验证。
- 对已经高度重复的方向保留但标注重复度，方便后续取舍。
2.3.1 图论、路径与网络结构
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Eulerian Path / 一笔画图 来源：MathWorld: Eulerian Path |
低 | 无向图、桥图、城市/岛屿连接图、边高亮 | 是否存在一笔画；从哪个点开始可走完所有边；添加/删除哪条边后可一笔画 | 用 NetworkX 统计连通性和奇度顶点数；生成满足 0 或 2 个奇点的图；可枚举一条 Euler trail | 给定 7 个节点 10 条边，问能否从 A 出发每条边恰走一次 | 待补充 |
| Hamiltonian Path / Hamiltonian Cycle 来源：MathWorld: Hamiltonian Path；MathWorld: Hamiltonian Cycle |
低-中 | 一般图、网格图、立体骨架图、候选访问序列 | 某序列是否访问每点一次；是否形成 Hamiltonian cycle；缺失下一点是哪一个 | 小规模图用回溯/bitmask DP；候选序列直接验证顶点唯一性和相邻边存在 | 给出一个 12 点图和访问序列，问是否为 Hamiltonian path | 待补充 |
| Icosian Game / 十二面体 Hamiltonian 游戏 来源：MathWorld: Icosian Game |
低 | 十二面体图、20 点 pegboard、局部路径高亮 | 路径是否已经重复点；下一步哪些点合法；是否能闭合成 Hamiltonian cycle | 固定 dodecahedral graph；用 DFS/DP 验证路径扩展和闭合；可从完整解中截断生成题 | 图上已有 16 个访问点，问哪个候选点能继续保持合法 | 待补充 |
| Graph Path / 最短路径与简单路径 来源：MathWorld: Graph Path |
中 | 节点-边图、带权图、迷宫抽象图 | 两点间是否连通；最短路径长度；某条路径是否合法；有几条长度 k 路径 | BFS/Dijkstra/枚举简单路径；随机图控制路径唯一性或多解数量 | 从 S 到 T 的最短路径经过几个节点 | 待补充 |
| Grid Graph / 方格图路径 来源：MathWorld: Grid Graph |
中 | m x n 方格点阵、障碍边、路径涂色 | 两点最短路；环数量；是否二分图；Hamiltonian path 是否可能 | 构造 P_m x P_n 图；BFS、二分染色、回溯或 DP 验证；障碍可由删边生成 |
在 5x6 网格中，问红色路径是否走到每个格点一次 | 待补充 |
| Maze / 迷宫 来源：MathWorld: Maze |
高 | 方格迷宫、圆形迷宫、入口出口 | 哪条路线能到出口；最少转弯数；死胡同数量；某堵墙移除后是否连通 | 生成 spanning tree maze 或带环迷宫；BFS/DFS 验证路径、距离和连通性 | 从入口到出口最少需要走几步 | 待补充 |
| Vertex Coloring / 图着色 来源：MathWorld: Vertex Coloring |
低 | 平面图、一般图、节点颜色候选 | 当前着色是否合法；最少需要几色；哪个节点颜色冲突 | 对小图用回溯/ILP 求 chromatic number；候选着色检查边两端颜色 | 图中蓝色方案是否是合法 3-coloring | 待补充 |
| Map Coloring / 地图着色 来源：MathWorld: Map Coloring |
低 | 区域地图、平面划分、邻接图 | 相邻区域是否冲突；最少颜色数；某区域可用哪些颜色 | 随机生成 planar graph 或 Voronoi 区域邻接图；图着色验证 | 给定部分着色地图，问区域 R 还能用哪些颜色 | 待补充 |
| Clique / 团检测 来源：MathWorld: Clique |
低 | 图中节点集高亮、社交网络样式图 | 高亮节点是否两两相连；最大 clique 大小；补哪条边形成 clique | 穷举小规模节点子集；Bron-Kerbosch 求最大 clique；生成唯一最大团 | 图中红色 5 个点是否构成 clique | 待补充 |
| Graceful Graph / 优美标号 来源：MathWorld: Graceful Graph |
低 | 图节点数字标签、边差值标注 | 标号是否 graceful；哪条边差值重复；缺失节点标签是多少 | 对边计算绝对差；检查节点标签唯一、边标签覆盖 1..m；可回溯生成题 | 给定 6 条边的树标号，问是否为 graceful labeling | 待补充 |
| Dominating Set / 控制集 来源：MathWorld: Domination Number |
低 | 图节点、被覆盖节点阴影、高亮控制点 | 高亮集合是否 domination set；最少控制点数；哪个节点未被覆盖 | 小图枚举节点子集；验证每个节点在集合中或邻接集合；可用 ILP | 红色节点能否覆盖整张图 | 待补充 |
| Spanning Tree / 生成树 来源：MathWorld: Spanning Tree |
低 | 连通图、候选边集合高亮 | 高亮边是否形成生成树；删哪条边仍连通；有几个环 | 用并查集检测连通和无环；边数应为 n-1；可用 Kirchhoff 矩阵树定理计数小图 | 图中蓝色边是否连接全部节点且没有环 | 待补充 |
| Planar Graph / 平面图判定 来源：MathWorld: Planar Graph |
低 | 节点连线图、交叉边图、平面嵌入候选 | 是否平面；哪个边交叉可重画；是否含 K5/K3,3 结构 | 小图用 planarity test；几何绘制中可检测线段交叉；生成 planar/nonplanar 对照 | 这张图是否可以不交叉地画在平面上 | 待补充 |
| Tree / 树结构 来源：MathWorld: Tree |
低 | 层级树、无根树、根节点高亮 | 是否为树；叶子数；两个节点距离；最近公共祖先 | 检查连通且边数 n-1；BFS 求距离；有根树预处理 LCA | 图中从节点 7 到节点 12 的路径长度是多少 | 待补充 |
2.3.2 棋盘图、棋子移动与棋盘约束
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Knight Graph / 骑士图 来源：MathWorld: Knight Graph |
低 | m x n 棋盘、骑士可达边、路径编号 | 某步是否为骑士移动；哪些格可达；路径是否为 knight's tour | 构造 (±1,±2) 移动图；验证路径邻接和覆盖；小棋盘 DFS 生成 tour 片段 |
从 c3 出发，下一步能否到 d5 | 待补充 |
| King Graph / 王图 来源：MathWorld: King Graph |
低 | 棋盘格点、八邻域连边、王路径 | 某路径是否合法；最少王步数；哪些格一步可达；是否 Hamiltonian | 用 Chebyshev 距离验证一步移动；BFS 求最短路；障碍棋盘可做路径题 | 王从 A1 到 E4 最少几步 | 待补充 |
| Queen Graph / 后图 来源：MathWorld: Queen Graph |
中 | m x n 棋盘、后可攻击连线、棋子摆放 | 两个皇后是否互相攻击；给定摆放是否合法；最少颜色数/着色问题 | 同行/同列/同对角线判断；可转为 graph coloring 或 independent set | 图中 6 个皇后是否两两不攻击 | 待补充 |
| Queens Problem / n 皇后 来源：MathWorld: Queens Problem |
中 | n x n 棋盘、皇后符号、候选落子 | 当前局面是否合法；还能放在哪些格；有几个解；补全一行皇后 | 回溯生成 n-queens 解；局部遮罩验证行列对角线冲突；可控制唯一补全 | 在 8x8 棋盘中，问第 6 行皇后应放哪一列 | 待补充 |
| Rook Graph / 车图与行列约束 来源：MathWorld: Rook Graph |
低 | m x n 棋盘、车攻击线、矩阵格 | 两格是否同行同列；最少颜色数；Latin square 对应着色 | 构造 K_m x K_n rook graph；检查行列邻接；用着色生成 Latin square 题 |
哪些格与红色车在 rook graph 中相邻 | 待补充 |
| Bishop Graph / 象图 来源：MathWorld: Bishop Graph |
低 | 棋盘、对角线连通分量、黑白格分组 | 两格是否同一 bishop component；某移动是否合法；是否连通 | 判断同色且同对角线移动；构造 bishop graph，按颜色分连通分量 | 白格上的象能否到达目标格 | 待补充 |
| Rook Complement Graph / 非同行非同列关系 来源：MathWorld: Rook Complement Graph |
低 | m x n 棋盘、互不同行列连线 | 两格是否在补图相邻；高亮集合是否互相非同行列；匹配/排列题 | 对所有格 (r,c) 建图，边连接 r1!=r2 and c1!=c2；验证 clique/independent set |
红色格子集合是否任意两格都不同行不同列 | 待补充 |
| Leaper Graph / 广义跳棋子 来源：MathWorld: Leaper Graph |
低 | 棋盘、固定跳跃向量、可达图 | 哪些格一步可达；路径是否合法；棋盘是否连通 | 给定 leaper 向量 (a,b)，生成八种符号变换移动；BFS/连通性验证 |
使用 (2,3)-leaper，从中心格能跳到哪些格 | 待补充 |
| Triangular Honeycomb Chess Graphs 来源：MathWorld: Triangular Honeycomb Rook Graph |
低 | 三角网格/六角棋盘、rook/bishop/queen/king 移动线 | 某移动是否合法；连通分量；最短步数；攻击关系 | 用 axial/triangular lattice 坐标建图；按方向集合生成边；BFS 验证 | 在三角蜂窝棋盘中，rook 从 A 到 B 需要几步 | 待补充 |
| Puz-Graph / 滑块置换图 来源：MathWorld: Puz-Graph |
中-高 | 小图上放编号棋子和一个空位、状态转移图 | 某移动是否合法；两个状态是否同连通分量；最短移动步数 | 状态为含空位的排列；沿底图边交换空位和相邻棋子；BFS 最短路 | 从左图状态到右图状态最少移动几次 | 待补充 |
2.3.3 数表、填数与代数约束
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Magic Square / 幻方 来源：MathWorld: Magic Square |
中 | n x n 数字方阵、部分空格、行列对角线标注 | 是否为 magic square；缺失数是多少；magic constant；哪条线不满足 | 检查数字集合、行/列/对角线和；可由 Siamese method 或已知构造生成 | 3x3 方阵中缺失中心数，使所有线和相等 | 待补充 |
| Duerer's Magic Square / Durer 幻方变体 来源：MathWorld: Duerer's Magic Square |
低 | 4x4 幻方、象限/中心 2x2 高亮 | 哪些区域和为 34；哪个数字交换会破坏性质；补缺失格 | 固定 Duerer square 或同构变换；验证行列对角线、象限、中心块和 | 问高亮的四个角数字之和是否为 34 | 待补充 |
| Pandiagonal Magic Square / 泛对角幻方 来源：MathWorld: Pandiagonal Magic Square |
低 | 带环绕对角线的方阵、对角线高亮 | 某条环绕对角线和；是否 pandiagonal；缺失数 | 用模索引计算 wraparound diagonal；候选方阵直接验证 | 高亮环绕对角线的和是否等于 magic constant | 待补充 |
| Multiplication Magic Square / 乘法幻方 来源：MathWorld: Multiplication Magic Square |
低 | n x n 数字方阵、乘积标注 | 行列对角线乘积是否相等；缺失因子；最小乘积比较 | 用整数乘积或质因数向量验证；随机生成乘法一致方阵 | 缺失格填几能让三行乘积相同 | 待补充 |
| Prime Magic Square / 素数幻方 来源：MathWorld: Prime Magic Square |
低 | 方阵中全为素数、空格和候选素数 | 是否全素且 magic；哪个候选能填入；magic constant | 素性测试 + 幻方和约束；用回溯或模板生成小阶题 | 哪个候选素数放入空格后仍为幻方 | 待补充 |
| Semimagic Square / 半幻方 来源：MathWorld: Semimagic Square |
低 | 方阵、只要求行列和 | 是否 semimagic；哪条对角线不满足 magic；行列缺失值 | 行列求和验证；对角线作为干扰项；可从 Latin/排列矩阵生成 | 该方阵是 magic square 还是只满足 semimagic | 待补充 |
| Latin Square / 拉丁方 来源：MathWorld: Latin Square |
高 | n x n 符号/颜色/数字方阵、部分空格 | 某行列是否合法；缺失符号；是否 reduced Latin square；两个格能否同符号 | 检查每行每列是否为 1..n；用群表或随机置换生成；回溯补全 | 4x4 拉丁方中空格应填哪个颜色 | 待补充 |
| Partial Latin Square / 局部符号集合拉丁方 来源：MathWorld: Partial Latin Square |
低 | 每格有候选符号小列表、已填符号 | 哪个符号可填；是否违反局部候选或行列唯一性；是否可补全 | 每格有 allowed set；用 CSP/回溯验证唯一解；可生成比 Sudoku 更泛化的题 | 中心格只能从 {1,3,5} 选，问哪个选项合法 | 待补充 |
| Euler Square / Graeco-Latin Square 来源：MathWorld: Euler Square |
中 | 两套符号叠加方阵、颜色+形状组合 | 两个 Latin squares 是否正交；是否每个组合只出现一次；缺失组合 | 分别验证行列唯一；组合 pair 全局唯一；可用有限域构造 | 哪个颜色-形状组合应填入空格 | 待补充 |
| Cryptarithmetic / 字母算式 来源：MathWorld: Cryptarithmetic |
低 | 竖式加减乘、字母替代数字、候选映射 | 哪个数字映射满足竖式；某字母是多少；是否唯一解 | 约束每字母唯一数字、首字母非零；按列进位回溯或 brute force | SEND + MORE = MONEY 中，问 M 是多少 | 待补充 |
| Alphametic / 有意义词语字母算式 来源：MathWorld: Alphametic |
低 | 单词竖式、主题词、字母表 | 映射是否有效；哪个选项为唯一解；进位位置判断 | 与 cryptarithmetic 相同，增加单词模板生成；可控制字母数不超过 10 | TWO + TWO = FOUR 中，哪个数字可对应 O | 待补充 |
| Skeleton Division / 骨架除法 来源：MathWorld: Skeleton Division |
低 | 长除法版式、星号/空格、部分数字 | 缺失数字；商是否正确；某一步乘积是否匹配 | 枚举被除数/除数/商；用长除法中间步骤约束过滤 | 长除法中第二个部分积应是多少 | 待补充 |
| Talisman Square / 相邻差约束方阵 来源：MathWorld: Talisman Square |
低 | 方阵、相邻格差值条件、候选填数 | 是否满足相邻差至少 k；哪个格冲突；补一个数字 | 检查横竖斜邻域绝对差；回溯生成满足条件的排列方阵 | 空格填 8 是否会和邻格差值太小 | 待补充 |
| Magic Circle / 圆环幻数 来源：MathWorld: Magic Circles |
低 | 圆周节点、弦/线组合、节点数字 | 每条直线和是否相等；缺失节点；magic constant | 固定 incidence hypergraph；验证每条线的和；回溯生成唯一补全 | 圆上哪个数字能让所有直线和相等 | 待补充 |
2.3.4 拼块、铺砌、拆分与空间构型
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Polyomino / 多连方 来源：MathWorld: Polyomino |
中 | 方格拼块轮廓、旋转/翻转候选、编号格 | 该形状是几连方；两个形状是否等价；是否含洞；周长/面积 | 坐标集合标准化；旋转/翻转归一；连通性、洞、周长计算 | 两个 pentomino 是否只差旋转或翻转 | 待补充 |
| Polyomino Tiling / 多连方铺砌 来源：MathWorld: Polyomino Tiling |
中 | 棋盘区域、多块 polyomino、部分覆盖 | 某块能否放入；是否完整覆盖；最少/最多剩余格；候选铺法是否合法 | Exact cover/DLX 或回溯；检测重叠、越界、覆盖完整性 | 用 5 块 pentomino 能否铺满给定 5x5 缺口区域 | 待补充 |
| Tetromino / 四连方 来源：MathWorld: Tetromino |
中 | Tetris-like 四连方、候选朝向、棋盘区域 | 形状名称；旋转后占哪些格；能否填入空洞；消行数 | 预定义 5/7/19 种 tetromino；旋转模板和碰撞检测 | 当前 L tetromino 旋转后会覆盖哪些格 | 待补充 |
| Pentomino / 五连方 来源：MathWorld: Pentomino |
中 | 12 种 pentomino、矩形区域、候选拼法 | 某块名称；是否能铺矩形；哪个候选位置非法；剩余空洞形状 | 12 个坐标模板；exact cover 验证；可用已知矩形尺寸生成题 | 哪个 pentomino 能填入右上角空洞 | 待补充 |
| T-Polyomino / T 型多连方 来源：MathWorld: T-Polyomino |
低 | T 形块、不同阶数、网格占格 | 阶数是多少；能否由若干 T-polyomino 铺满区域；旋转合法性 | 按阶数生成 T 形坐标；回溯铺砌；检查面积整除和覆盖 | 图中 T-polyomino 的 order 是几 | 待补充 |
| Polycube / 多立方体 来源：MathWorld: Polycube |
中 | 体素块、三视图、候选 3D 形状 | 由几块小立方体组成；两个 polycube 是否同构；能否装箱 | 3D 坐标集合；24 种旋转归一；体素投影和装箱回溯 | 哪个 3D 候选与左侧三视图一致 | 待补充 |
| Soma Cube / Soma 立方 来源：MathWorld: Soma Cube |
中 | 7 个 Soma pieces、3x3x3 目标体、候选放置 | 某块放置是否合法；缺失块是哪一块；是否填满 3x3x3 | 体素 exact cover；固定 7 件 Soma pieces；旋转枚举 | 最后一块应选哪个才能补成 3x3x3 立方 | 待补充 |
| Slothouber-Graatsma Puzzle 来源：MathWorld: Slothouber-Graatsma Puzzle |
低 | 3x3x3 盒子、6 个 1x2x2 块和 3 个小立方 | 哪个块位置合法；空洞是否可填；是否完整装箱 | 3D exact cover；长方体块旋转；枚举装箱状态 | 还剩两个 1x1x1 空位，问当前装法是否可能完成 | 待补充 |
| Conway Puzzle / 立方装箱 来源：MathWorld: Conway Puzzle |
低 | 多块长方体/立方体拼成大立方 | 组件是否能放；当前局面是否可完成；缺失体素数 | 体素化块；exact cover/DFS；从完整解移除部分块生成题 | 哪个候选块能放入中央空腔 | 待补充 |
| Cube Dissection / 立方体拆分 来源：MathWorld: Cube Dissection |
低 | 大立方切成若干块、爆炸图、体素图 | 这些块能否重组成立方；哪个切面面积最大；体积是否一致 | 体素或多面体布尔运算；体积守恒；装箱验证 | 图中 4 个部件总体积是否等于 3x3x3 立方 | 待补充 |
| Dissection Puzzles / 平面拆分拼图 来源：MathWorld: Dissection Puzzles |
中 | 多边形分割、候选重排目标形 | 哪些碎片可拼成目标；面积是否相等；边长是否匹配 | 多边形面积、边长、角度；允许旋转/翻转；小规模 exact cover 或几何配准 | 这些碎片能否拼成右侧正方形 | 待补充 |
| T-Puzzle 来源：MathWorld: T-Puzzle |
低 | T puzzle 四块/多块、目标轮廓、候选摆放 | 哪块应旋转；当前拼法是否重叠；能否组成 T 形 | 多边形刚体变换；碰撞检测和目标覆盖；可用离散化辅助验证 | 哪个选项把碎片放进 T 形轮廓且无重叠 | 待补充 |
| Tangram / 七巧板 来源：MathWorld: Tangram |
高 | 七巧板碎片、目标剪影、候选摆放 | 哪块位置错误；是否完整覆盖剪影；面积比例 | 固定 7 块多边形；离散网格或多边形布尔验证；可生成 silhouette matching | 右侧摆法中哪一块超出了目标轮廓 | 待补充 |
| Rep-Tile / 自相似拼块 来源：MathWorld: Rep-Tile |
低 | 大形状由若干小相似形组成、缩放网格 | 缩放倍数；小块数量；是否为 rep-tile 分割 | 多边形相似变换；面积比等于块数；边界覆盖验证 | 该图是否把一个三角形分成 4 个相似三角形 | 待补充 |
2.3.5 铺砌、蜂窝、packing 与 covering
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tiling / 一般铺砌 来源：MathWorld: Tiling |
中 | 平面 tile 图案、周期单元、缺失 tile | 哪块 tile 应填；是否周期；某 tile 的 corona 数量 | 规则 tile 坐标生成；检查邻接、覆盖、重复单元；可从周期 tiling 抽空 | 空白处应放哪种 tile 才能延续图案 | 待补充 |
| Tessellation / 正则与半正则镶嵌 来源：MathWorld: Tessellation |
低 | 正多边形铺面、顶点周围多边形序列 | 顶点配置；是否 regular/semiregular；缺失多边形边数 | 用角度和为 360 度验证；生成 3 regular 和 8 semiregular 图案 | 某顶点周围的配置是 3.6.3.6 还是 3.4.6.4 | 待补充 |
| Hexagon Tiling / 六边形铺砌 来源：MathWorld: Hexagon Tiling |
低 | 正六边形网格、非正六边形周期铺砌、菱形填充六边形 | 哪些格相邻；路径距离；菱形铺法数量小例；缺失 tile | axial/cube 坐标生成 hex grid；邻接和距离公式；小区域 exact cover | 在六边形网格中，从 A 到 B 的最短步数 | 待补充 |
| Square Tiling / 方形铺砌 来源：MathWorld: Square Tiling |
中 | 正方形网格、不同大小方块填矩形 | 是否无重叠覆盖；缺失方块边长；面积和 | 矩形 packing/exact cover；用扫描线检测重叠；面积和验证 | 空白矩形应用哪个边长的正方形填补 | 待补充 |
| Domino Tiling / 多米诺铺砌 来源：MathWorld: Domino Tiling |
高 | 黑白棋盘区域、2x1 domino 覆盖 | 是否可铺；某摆法是否合法；铺法数小例；黑白格数量必要条件 | 二分图完美匹配或 DP；棋盘染色快速判定；exact cover 验证候选 | 去掉两个同色角的棋盘能否用 domino 铺满 | 待补充 |
| Penrose Tiles / 非周期铺砌 来源：MathWorld: Penrose Tiles |
低 | kite/dart 或 rhombus tiles、匹配规则标记 | 哪个 tile 可接在边上；局部匹配是否违反规则；图案是否可扩展 | 用 edge colors/arrows 作为约束；局部 CSP；substitution rules 生成 patches | 哪个候选菱形能接在红色箭头边旁 | 待补充 |
| Wang Tile / 边色方块铺砌 来源：MathWorld: Wang Tile |
低 | 方块 tile 四边颜色、网格空格 | 哪个 tile 可放；是否所有相邻边匹配；有几种补全 | 每个 tile 为四元组颜色；CSP/回溯；局部唯一解生成 | 空白格上方为红、左方为蓝，应选哪个 tile | 待补充 |
| Circle Packing / 圆 packing 来源：MathWorld: Circle Packing |
低 | 容器内多个圆、相切图、圆心标注 | 是否重叠；哪些圆相切；packing density；最大可放半径 | 计算圆心距离与半径和；面积密度；优化或采样生成非重叠布局 | 图中圆 A 和圆 B 是否相切 | 待补充 |
| Rigid Circle Packing / 稳定圆 packing 来源：MathWorld: Rigid Circle Packing |
低 | 圆接触网络、可移动圆高亮 | 哪个圆可移动；接触图是否刚性局部条件；相切邻居数量 | 建 contact graph；局部用约束或几何自由度近似判断；生成简单稳定/不稳定例 | 哪个圆没有被邻居固定住 | 待补充 |
| Circle Covering / 圆覆盖 来源：MathWorld: Circle Covering |
低 | 平面区域、多个重叠圆、未覆盖点 | 某点是否被覆盖；区域是否全覆盖；最少还需几个圆 | 点采样 + 精确圆覆盖判断；小区域可用网格验证；生成可视化覆盖漏洞 | 黑点是否落在任一圆内 | 待补充 |
| Sphere Packing / 球 packing 来源：MathWorld: Sphere Packing |
中 | 3D 球堆、投影视图、接触网络 | 哪些球相切；层数；投影中遮挡关系；packing density | 3D 坐标距离验证；投影渲染；固定 FCC/HCP 小块生成 | 中心球接触了几个球 | 待补充 |
| Kissing Number / 接吻数 来源：MathWorld: Kissing Number |
低 | 中心圆/球与周围圆/球接触图 | 中心对象接触数量；哪个对象不相切；维度对应数值 | 2D/3D 坐标距离验证；计数与中心距离等于半径和的邻居 | 图中有几个圆与中心圆相切 | 待补充 |
2.3.6 计算几何、平面构造与度量题
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Voronoi Diagram / Voronoi 图 来源：MathWorld: Voronoi Diagram |
低 | 点集、Voronoi 区域、查询点 | 查询点属于哪个站点；两区域是否相邻；边界由哪些点决定 | scipy.spatial.Voronoi 或半平面裁剪；最近点验证；邻接由 ridge_points 得到 | 黑点落在哪个 Voronoi cell 中 | 待补充 |
| Delaunay Triangulation / Delaunay 三角剖分 来源：MathWorld: Delaunay Triangulation |
低 | 点集三角网、候选边、外接圆 | 哪条边是 Delaunay；某三角形是否合法；与 Voronoi 邻接关系 | scipy.spatial.Delaunay；空圆条件验证；随机点集避免共圆退化 | 红色边是否属于 Delaunay triangulation | 待补充 |
| Convex Hull / 凸包 来源：MathWorld: Convex Hull |
低 | 平面点集、外壳多边形、高亮候选点 | 哪些点在凸包上；凸包面积；某点是否内部 | Graham scan/Monotonic chain；点在多边形内；shoelace 面积 | 哪个蓝点不是凸包顶点 | 待补充 |
| Triangulation / 多边形三角剖分 来源：MathWorld: Triangulation |
低 | 简单多边形、对角线、三角形区域 | 某条对角线是否合法；三角形数量；面积和是否匹配 | ear clipping 或 shapely triangulate；检查对角线在多边形内且不交叉 | 七边形三角剖分应有几个三角形 | 待补充 |
| Art Gallery Theorem / 多边形守卫 来源：MathWorld: Art Gallery Theorem |
低 | 多边形房间、守卫点、可见区域阴影 | 几个守卫足够；某点是否被看见；哪个角未覆盖 | 多边形可见性计算；小 n 用三角剖分和 3-coloring 构造；采样验证覆盖 | 图中哪个区域没有被任一守卫看到 | 待补充 |
| Point in Polygon / 点在多边形内 来源：MathWorld: Point in Polygon |
低 | 多边形、查询点、射线 | 点在内/外/边界；射线交点数；哪个点被包含 | ray casting 或 winding number；避免边界退化或单独标注 | 黑点是在多边形内部还是外部 | 待补充 |
| Polygon Area / 多边形面积 来源：MathWorld: Polygon Area |
低 | 网格多边形、顶点坐标、三角分割 | 面积是多少；哪个多边形面积更大；Pick 定理小题 | shoelace formula；网格点可用 Pick theorem；自动渲染坐标 | 图中格点多边形面积是多少 | 待补充 |
| Pick's Theorem / 格点多边形 来源：MathWorld: Pick's Theorem |
低 | 格点多边形、边界点/内部点标记 | 内部格点数；面积；边界点数；缺失点分类 | 计算 lattice polygon 面积和边界 gcd；用 A = I + B/2 - 1 验证 |
已知面积 12、边界点 10，问内部点几个 | 待补充 |
| Euler Characteristic / 欧拉示性数 来源：MathWorld: Euler Characteristic |
低 | 平面图、多面体网格、顶点边面标注 | V-E+F 是多少；是否满足凸多面体公式；缺失面数 | 计数 vertices/edges/faces；多面体/平面图拓扑验证 | 该多面体有 8 顶点 12 边，问面数是多少 | 待补充 |
| Polyhedron / 多面体骨架 来源：MathWorld: Polyhedron |
中 | 3D 多面体、展开图、顶点边面 | 顶点/边/面数量；哪个展开图可折叠；邻接面判断 | 用预定义 polyhedron mesh；投影渲染；图结构验证邻接 | 正十二面体每个面邻接几个面 | 待补充 |
| Platonic Solid / 柏拉图立体 来源：MathWorld: Platonic Solid |
中 | 五种正多面体、骨架图、面展开图 | 识别立体；面数/顶点数/边数；对偶是谁 | 固定五种 mesh 参数；欧拉公式和对偶映射验证 | 由 20 个三角形面组成的是哪种正多面体 | 待补充 |
| Frustum / 截台体积 来源：MathWorld: Frustum |
低 | 截锥/截棱锥、尺寸标注 | 体积/侧面积；哪个截面更大；高度缺失 | 公式计算；随机尺寸生成；图中标注参数 | 上底半径 2、下底半径 5、高 6 的截锥体积是多少 | 待补充 |
2.3.7 数列、图案、自动机与视觉化规则
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cellular Automaton / 元胞自动机 来源：MathWorld: Cellular Automaton |
低 | 1D/2D 网格时间演化、初态和规则 | 下一行/下一代是什么；某格 t 步后状态；规则号识别 | 按邻域规则迭代 bit grid；固定随机 seed；答案直接模拟 | Rule 30 的下一行中第 5 格是黑还是白 | 待补充 |
| Elementary Cellular Automaton 来源：MathWorld: Elementary Cellular Automaton |
低 | 1D 二值 CA 三邻域、规则表、时空图 | 给定规则表求下一行；识别规则号；补缺失像素 | 8 个邻域到 bit 输出；规则号二进制编码；逐行模拟 | 规则 110 下，当前 001110 的下一行是什么 | 待补充 |
| Game of Life / 生命游戏 来源：MathWorld: Life |
中 | 二维黑白格、当前代和候选下一代 | 下一代某格状态；图案是否仍生命；几代后数量 | 按 8 邻域计数应用 Life 规则；模拟多步；可生成 oscillator/still life | 这个 blinker 下一代是横线还是竖线 | 待补充 |
| Pascal's Triangle / 杨辉三角 来源：MathWorld: Pascal's Triangle |
低 | 三角数表、缺失数字、模颜色图 | 缺失项；某行和；奇偶颜色模式；组合数位置 | 用 C(n,k) 公式或递推；模 p 着色；自动生成空格 |
第 7 行第 3 个数是多少 | 待补充 |
| Ulam Spiral / 素数螺旋 来源：MathWorld: Ulam Spiral |
低 | 数字方格螺旋、素数高亮、坐标标注 | 某格数字；某数字坐标；是否素数；高亮数列规律 | 生成方形螺旋映射；素性测试；可问坐标和数值互查 | 螺旋中数字 37 位于中心的哪个方向 | 待补充 |
| Fibonacci Word / 斐波那契词 来源：MathWorld: Fibonacci Word |
低 | 二值字符串/条纹递推图 | 下一段字符串；第 n 位字符；替换规则是否正确 | 字符串 morphism 迭代；直接索引或递推；渲染条纹 | 按 0->01, 1->0，第三次迭代结果是什么 | 待补充 |
| Lindenmayer System / L-system 来源：MathWorld: Lindenmayer System |
低 | 迭代曲线、重写规则、候选下一步 | 下一代字符串；哪幅图是第 k 代；转角数量 | 字符串重写 + turtle graphics；验证 token counts 和渲染路径 | Koch 规则迭代两次后有几段线 | 待补充 |
| Koch Snowflake / Koch 雪花 来源：MathWorld: Koch Snowflake |
低 | 分形曲线迭代图、边段数量 | 第 n 代边数/周长；哪幅图是下一代；面积增长 | 递推 segments=3*4^n；turtle 生成；多边形面积公式 |
第 3 次迭代后共有多少条小线段 | 待补充 |
| Sierpinski Sieve / Sierpinski 三角 来源：MathWorld: Sierpinski Sieve |
低 | 三角递归图、缺失子三角、迭代阶数 | 黑/白区域数量；某子区域是否被移除；第几阶图 | 递归三角划分或 Pascal mod 2；坐标判断；计数公式 | 第 4 阶图中有多少个最小黑三角 | 待补充 |
| Hilbert Curve / 空间填充曲线 来源：MathWorld: Hilbert Curve |
低 | 方格中的递归路径、编号点、方向箭头 | 下一步方向；两编号点是否相邻；第 n 阶覆盖格数 | Hilbert index <-> xy 映射；路径邻接验证；递归绘制 | Hilbert 曲线第 12 步走向哪个方向 | 待补充 |
| Dragon Curve / 龙曲线 来源：MathWorld: Dragon Curve |
低 | 折纸曲线、左右转序列、迭代图 | 下一次折叠序列；末端位置；哪幅图是第 k 阶 | 生成 turn sequence；turtle path；检测自交/端点 | 第 5 次迭代的最后一个转向是左还是右 | 待补充 |
| Penrose Tiling Substitution / Penrose 递归图案 来源：MathWorld: Penrose Tiles |
低 | 菱形/风筝飞镖替换步骤、局部 patch | 哪个子 tile 出现；下一阶 tile 数；边匹配是否正确 | substitution matrix 计数；几何替换渲染；边箭头约束验证 | 下一阶中胖菱形数量会变成多少 | 待补充 |
2.3.8 经典 puzzle 与状态搜索
| 候选规则种类 | 和已有数据重复度 | 静态图形式 | 可生成的 VQA 类型 | Python 生成/验证思路 | 示例 | 负责人/完成情况 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tower of Hanoi / 汉诺塔 来源：MathWorld: Tower of Hanoi |
低 | 三柱圆盘、当前状态和目标状态 | 哪个移动合法；最少步数；下一步应移动哪盘；是否可在 k 步内到达 | 状态 tuple 表示每盘柱号；合法移动 BFS 或公式 2^n-1；从解路径采样 |
当前状态下，最小盘能移到哪根柱子 | 待补充 |
| 15 Puzzle / 十五数码 来源：MathWorld: 15 Puzzle |
高 | 4x4 滑块、空格、目标状态 | 哪些滑块可移动；是否可解；最少步数小局面；移动后状态 | 置换逆序奇偶性判可解；A*/IDA* 解小扰动状态；候选移动验证 | 当前空格旁边哪些数字可以滑入 | 待补充 |
| Baguenaudier / 九连环 来源：MathWorld: Baguenaudier |
低 | 环扣开关序列、二进制状态、步骤图 | 下一步合法操作；最少解开步数；某状态编号 | 用 Gray code/状态图模拟；合法翻转规则；BFS 验证 | 当前 01011 状态下哪个环能被翻转 | 待补充 |
| Tic-Tac-Toe Multiway / 井字棋多路状态 来源：MathWorld: Multicomputation |
中 | 3x3 棋盘、game tree 小图、候选落子 | 当前谁赢；哪些落子合法；下一状态数；是否已经终局 | 枚举棋盘状态；胜线检测；生成 game tree 或 multiway graph | 轮到 X，哪个格落子后立即获胜 | 待补充 |
| Conway's Game of Life Patterns 来源：MathWorld: Life |
中 | still life/oscillator/glider 静态序列 | 该图案是静物还是振荡子；几代回到原样；下一代活细胞数 | Life 模拟并检测周期；固定 pattern 库；可自动渲染多帧为静态图 | 这个 5x5 图案两代后是否回到原样 | 待补充 |
| Theta-0 Graph Puzzle 来源：MathWorld: Theta-0 Graph |
低 | 特定 puzzle graph、边/节点路径 | 能否从指定状态到目标；路径是否合法；图结构属性 | 将 puzzle 抽象为图搜索；按条目图结构固定生成；BFS 验证 | 从红点到蓝点是否存在不重复边路径 | 待补充 |
| Caliban Puzzle 来源：MathWorld: Caliban Puzzle |
低 | 棋盘/图形 puzzle 布局、候选移动 | 哪步合法；是否达到目标；最短步数小实例 | 若条目规则固定，可编码状态转移；BFS/DFS 自动验证 | 哪个选项是当前局面的合法下一步 | 待补充 |
| Diabolical Cube 来源：MathWorld: Diabolical Cube |
低 | 小立方体组合块、目标立方、候选装配 | 哪个部件位置合法；能否组成立方；缺失块 | 体素 exact cover；旋转枚举；固定 puzzle pieces | 哪个候选部件能填入剩余空间 | 待补充 |
2.3.9 现阶段优先级备注
| 规则族 / 方向 | 建议 | 原因 |
|---|---|---|
| 最值得优先补充 | Eulerian/Hamiltonian、棋盘图、Voronoi/Delaunay/Convex Hull、Magic/Latin/cryptarithmetic、circle packing、Wang/Penrose tiles | 与现有数据重复较低，视觉形式清楚，Python 验证直接，能形成大量参数化题 |
| 可作为中期扩展 | polyomino/pentomino/polyclube/Soma、dissection、Art Gallery、L-system/fractal | 生成和渲染成本稍高，但题型质量高，适合做中等难度 scaling |
| 需要谨慎避免重复 | Maze、15 Puzzle、Tangram、Domino Tiling、Sudoku-like Latin squares、Tower of Hanoi | 现有 benchmark 或总表已有近邻，除非设计出明显不同的视觉/推理切面 |
| 不太适合第一批 | 过深的数论条目、纯公式条目、大规模 NP-hard 最优题 | 静态图像信息量弱，或自动生成唯一答案成本高，容易变成文本数学题 |