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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
求一个整数的所有素数因子的思路是什么？ | 1. 一般的小数可以用简单筛法找出质数列表，然后一个个试。这种方法简单暴力，但是对几亿以下的数字可以很快。
2\. 再大一点的数 $$n$$ 就用Pollard的 $$\rho$$ 算法，思路：
任取一个数 $$x_0$$ 开始，不断计算 $$x_k=(x_{k-1}^2+1) \text{ mod } n$$ ，则如果 $$n$$ 有质因数$$p$$ ，那么 $$x_k \text{ mod } p$$ 应该能更快地进入循环，可以用龟兔赛跑算法（图形状像 $$\rho$$，因此算法得名）试图找出这个循环点，一旦找到 $$x_k\equiv x_l \text{ mod } p$$ ，立刻可以算 $$x_k-x_l$$ 和$$n... | {
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两个人连续投一枚硬币，如果先出现“正正反”则甲胜，如果先出现“正反反”则乙胜，两人获胜概率是否一样？假设硬币质地均匀，每次投硬币正反两面概率都是50%。连续投很多次，直到出现“正正反”或“正反反”为止。 | 第一次如果投反，那么甲乙都等于推倒重练，两人获胜概率不会有任何变化。
所以现在只需要考虑第一次投正的情况，假设此时甲胜率为 $$x$$ ，乙为 $$y$$ ，那么有两种概率各位1/2的情况：
1 - 第二次投出正，这时甲将100%获胜，因为这一刻开始接下来除非不断投出正，只要一出现反甲就赢了。
2 - 第二次投出反，这时看第三投，有1/2概率乙胜利（正反反），剩下1/2概率出现正反正，对于甲乙来说胜率相当于第一次投出正的情况，甲为 $$x$$，乙为 $$y$$。
综合
$$x=\frac{1}{2}\cdot1+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\cdot0+\frac{1}{2}x\right)$$... | {
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数论的威尔逊定理已知有哪些证明方法？主要是想问必要性的证明，目前找到的有基于原根逆元的证法，有Lagrange证法，还有哪些证明方法？ | 威尔逊有三种常见基础证明：
1. 标准教科书证明（稍微拓宽到一般情况），可能就是题主所说的Lagrange证法
设 $$p$$ 为奇素数（ $$p=2$$ 明显），设 $$D$$ 与 $$p$$ 互质，讨论同余方程：
$$xy\equiv D\bmod p$$
设 $$x,y\in\\{1,2,3,\cdots,p-1\\}$$ ，因为 $$x,y$$ 与 $$p$$ 互质，对于每一个 $$x$$必然存在一个唯一的 $$y$$ 满足以上方程（不然 $$x(y_1-y_2)$$ 为 $$p$$ 的倍数，矛盾）。
如果存在 $$x^2\equiv D\bmod p$$ （即 $$D$$ 为 $$p$$ 的二次剩余），那么根据 ... | {
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有没有什么量级达到了10^-(10^2)? | 这个数就是1古戈尔分之一（另，这就是谷歌公司名字的来源）。
在数学上当然这个数不算什么大数。直观来说70的阶乘差不多是这个数量级的。换句话说，如果有70个人排队进场，你想要得到一个特定顺序的概率就是$$10^{-100}$$ 。
从物理上来说，这个量级还是很大的。举几个例子：
1. 一个电子的质量差不多是可观测宇宙质量的 $$10^{-80}$$ 到 $$10^{-90}$$ 级别，这个差距是题主所说的数的至少100亿倍。
2. 2022年超级计算机世界第一是美国的前沿计算机，运算速度超过了100万TFLOP（即每秒可以运行的浮点运算次数达到 $$10^{18}$$次级别）。整台计算机占地680平方米，和一个篮球场差不多大，... | {
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身材和颜值是完全独立的还是有相关性的？有没有相关研究和结论 | 2014年发表在《性行为档案》期刊中的一篇论文
Bleske-Rechek A, Kolb CM, Stern AS, Quigley K, Nelson LA. Face and body:independent predictors of women's attractiveness. Arch Sex Behav. 2014Oct;43(7):1355-65. doi: 10.1007/s10508-014-0304-4. Epub 2014 May 15. PMID:24830907.
该文章将女性照片分为只有脸部，只有身体和全身，并包括日常衣着和泳装两组让评判者（男女都有）进行打分。受试人是日常生活中18-24岁的女大... | {
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人类为什么偏好数字7？7这个数字在生活中很常见。1/7循环小数的循环节142857在分数中很常见。7是个素数。让人类随便说一个数字，7是最大概率的 | 数字偏好和文化有很深的渊源。我知道在西方文化圈里7是很重要的一个数，但是我并不觉得同样的情况发生在东亚文化圈内。
只谈7在西方文化中的重要性：
## 根本原因：7 是圣数
7在基督教文化中是一个圣数，有7罪7德，地狱9层但天国7层，详见耶鲁大学一位教授在1858年写的手稿《数字七》。基督教为什么把7奉为神圣的道理是很简单的，因为在创世纪里神以6天创造世界，1天休息，所以一周有七天，7变成了一个神圣的数字。
这种宗教上的原因很快渗透了生活的方方面面。就和中国人重五行所以世间万物都会按五之数划分，西方社会也开始以七划分平时见到的事物。实际上，人的脑洞是无限大的，只要想好一个数字总是能硬凑出来。
于是出现了7大洲（欧亚大陆硬是被... | {
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如何理解四维空间的人可以一眼看到一个平面的正反两面？ | 先降一维理解一下，在平面上的生物只能看到直线的一边，这是因为在平面里和直线垂直的方向只有两个（过直线上一点只能作一条直线和该直线垂直，这条“法线”有两个方向），这个生物的视角方向和这两个方向之间的一个形成一个钝角，可以定义为该视角只能看到这个方向“那一边”。
一旦来到三维，直线就失去了某一边的概念，因为过直线上一点可以作无数条和该直线垂直的直线，即这条直线有无数个法线方向，你可以说直线有无数边。三维空间里的一个固定视角方向依然会和这其中某些法线方向成锐角，某些成钝角，如果沿用上面的定义，那么三维空间的我们能够看到这无数边中的一些，但不能看到另一些。特别是原有平面上的两个方向在三维视角下依然有一个是“看得到”，另一个“看不到”，并没... | {
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这道极其复杂集合card题有没有什么好的解法？
已知函数 $f(x)$ 满足 $\left\{x \mid f(x)>f\left(\frac{1}{1-x}\right)=(a, b)(1<a<b)\right.$, 记 $f(x)$ 的最小值为 $M$, 最大值为 $N, S=\{x \mid f(x)=M\}, T=\{x \mid f(x)=N\}$, 则下列命题为假命题的是 (注: $\operatorname{card}(A)$ 表示集合 $A$ 中元素的个数)
A. 若 $\operatorname{card}(S)=1$, 则 $S \subseteq(a, b)$
B. 若 $\operatorname{card}... | 首先注意函数 $$\frac{1}{1-x}$$ 套两次会回到自己
$$\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=1-\frac{1}{x}$$ ，$$\frac{1}{1-(1-\frac{1}{x})}=x$$
而且当 $$x>1$$ 时， $$\frac{1}{1-x}<0$$ ， $$0<1-\frac{1}{x}<1$$ ，因此这个函数每套用一次，就会在$$(1,\infty)\rightarrow(-\infty, 0)\rightarrow(0,1)$$ 之间循环。
* * *
所以问题的第一个条件就是说，当 $$a<x<b$$ 时
$$f(x)>f(\frac{1}{1-x})\leq f(1-\... | {
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可不可以理解为所有事件的概率都是二分之一？可以不可以把一个事件最后的结果都翻译成，是与不是，能与不能，会或不会，这样所有事件发生的概率都是二分之一。 | 首先看“所有事件的概率是二分之一”
从数学角度来说：
概率的数学表达为概率空间，一个概率空间由三样东西组成：样本空间、事件空间和概率函数。
在有限样本空间的简单情况下用人话说就是有各种基本情况，以及一个会把这些情况的排列组合映射到一个0到1之间的数字的函数。
例如，把骰子掷出6和骰子掷不到6看成两个基本情况，并约定概率函数把两种情况都对应于1/2。这是一个完备的概率空间，事实上，你很容易想象存在这样的骰子。
但是概率函数的构造要满足一些基本规则。
在上面的例子里，“掷不到6“的情况包括掷到1，掷到2，掷到3，掷到4，掷到5这些情况。如果你现在也要讨论这些事件发生的概率必须把它们加入概率空间（不然概率讨论就没有意义了），一... | {
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一瓶啤酒要一块钱，两个啤酒瓶能换一瓶啤酒，三个啤酒瓶盖也能换一瓶啤酒。一个人有10块钱，问：不能赊帐，理论上他最多能喝几瓶酒。 | 如果把酒看作是一个连续的量，那么1个酒瓶可以换1/2瓶酒，1个酒盖可以换1/3瓶酒，所以1瓶酒可以换1/2+1/3=5/6瓶酒，这5/6瓶酒又可以换5/6x5/6瓶酒，以此类推，1瓶酒最终可以化为
$$1+\frac{5}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^2+\cdots=\frac{1}{1-\frac{5}{6}}=6$$瓶酒。
当然，实际没有那么理想，比如最后剩下一个瓶盖你就不能再换酒了，以上是最后没有剩下任何酒瓶或酒盖情况下的结果，此时所有酒瓶和酒盖都“转化”了没有浪费。这个答案显然也是原题答案的上限，我们知道原题答案无论如何都不可能超过$$6n$$ 。而且我们知道理想状况下1个酒瓶可以换6x1/... | {
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