subject stringclasses 1
value | year stringdate 2008-01-01 00:00:00 2008-01-01 00:00:00 | stage stringclasses 1
value | question_number int64 1 23 | question_image imagewidth (px) 2.48k 2.48k | solution_image imagewidth (px) 2.48k 2.48k | question_latex stringlengths 79 1.05k | solution_latex stringlengths 96 1.21k | has_figure bool 1
class | has_choices bool 2
classes | choice_values stringclasses 2
values | answer_letter stringclasses 2
values | answer_value stringclasses 4
values |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 1 | \(ABC\) üçgeninde \(G \in [AC]\), \(F \in [BG]\), \(D \in [AG]\), \(E \in [GC]\), \([DF]//[AB]\), \([FE]//[BC]\), \(|GF| = |FB|\) ve \(|DE| = 13\) ise, \(|AC|\) kaç birimdir? | Cevap: 26. \(DF \parallel AB\) ve \(|GF| = |FB|\) olduğundan \(|DG| = \frac{|AG|}{2}\) olur. Benzer şekilde \(|EG| = \frac{|CG|}{2}\) elde ederiz. \(|DE| = |DG| + |EG|\) ve \(|AC| = |AG| + |CG|\) olduğundan \(|AC| = 2 \cdot 13 = 26\) bulunur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 2 | Birbirinden farklı \(x\) ve \(y\) gerçel sayıları \(x^2 - 2008x = y^2 - 2008y\) eşitliğini sağlıyorlarsa \(x + y\) kaçtır? | Cevap: 2008. \(x \neq y\) olduğuna göre, \(x^2 - y^2 = 2008(x - y)\) den \(x + y = 2008\) gelir. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 3 | Ali ve Burcu'nun, bazıları siyah, bazıları beyaz olmak üzere toplam 70 topu var. Ali'nin toplarının \(\frac{5}{9}\) u ve Burcu'nun toplarının \(\frac{7}{17}\) si siyah ise, Burcu'nun beyaz top sayısı Ali'nin beyaz top sayısından kaç fazladır? | Cevap: 4. Burcu'nun top sayısı 17 nin katı olduğundan alabileceği değerler 17, 34, 51, 68 dir. Buna göre Ali'nin top sayısı 53, 36, 19, 2 olabilir. Ali'nin top sayısı 9 un katı olduğundan Ali'nin 36, Burcu'nun 34 topu var. Sonuç olarak cevap \(34 \cdot \frac{10}{17} - 36 \cdot \frac{4}{9} = 4\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 4 | \(ADE\) üçgeninde \(B \in [AE]\), \(C \in [DE]\) noktaları \(ABCD\) kirişler dörtgeni olacak şekilde seçilsin. \([BD] \cap [AC] = \{F\}\), \(s(\widehat{EAC}) = 21^\circ\) ve \(s(\widehat{AED}) = 33^\circ\) ise, \(s(\widehat{AFD})\) kaç derecedir? | Cevap: 75. \(ABCD\) kirişler dörtgeni olduğundan \(s(\widehat{CDB}) = s(\widehat{CAB}) = 21^\circ\) olur. \(s(\widehat{AFD}) = s(\widehat{EAC}) + s(\widehat{AED}) + s(\widehat{EDB})\) olduğundan,
\[s(\widehat{AFD}) = 21^\circ + 33^\circ + 21^\circ = 75^\circ \text{ bulunur.}\] | false | false | 75^\circ \text{ bulunur.} | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 5 | Farklı \(n\) sayı, çember üzerinde, her sayı iki komşusunun çarpımına eşit olacak şekilde dizilebildiğine göre, \(n\) en fazla kaç olabilir? | Cevap: 6. Sayılardan biri \(a\) olsun. Bu sayıdan başlayarak saat yönündeki sayılar \(b, b/a, 1/a, 1/b, a/b\) ve \(a\) olmak zorundadır. Buna göre \(n\) nin alabileceği en büyük değer 6 olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 6 | Yan yana yazılmış 123456789 rakamlarından bazılarının arasına + işareti koyularak oluşturulan bir toplam aşağıdakilerden hangisi olamaz?
a) 144
b) 153
c) 189
d) 375
e) 486 | Cevap: 375.
\[
144 = 12 + 3 + 45 + 67 + 8 + 9.
\]
\[
153 = 1 + 23 + 45 + 67 + 8 + 9.
\]
\[
189 = 12 + 34 + 56 + 78 + 9.
\]
\[
486 = 1 + 2 + 3 + 456 + 7 + 8 + 9.
\]
1 + 2 + ... + 9 = 45 olduğundan oluşturulan her sayı 9 ile bölünecektir. Buna göre, 375 sayısı oluşturulamaz. | false | true | ["144", "153", "189", "375", "486"] | D | 375 | ||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 7 | AB ve CD tabanlı bir ABCD yamuğunun AD kenarı üzerinde P₁, P₂, P₃, P₄ ve BC kenarı üzerinde Q₁, Q₂, Q₃, Q₄ noktaları, AB // P₁Q₁ // P₂Q₂ // P₃Q₃ // P₄Q₄ // CD ve A(P₁Q₁P₁) = A(P₁Q₁Q₂P₂) = A(P₂Q₂Q₃P₃) = A(P₃Q₃Q₄P₄) = A(P₄Q₄CD) olacak şekilde seçiliyor. |AB| = 1, |P₁Q₁| = 2 ise |CD| kaçtır? | Cevap: 4. [DA ve [CB nin kesişimi E olsun. AB || P₁Q₁ ve |P₁Q₁| = 2|AB| olduğundan A(E P₁Q₁) = 4 · A(EAB) olur. A(EAB) = S dersek, A(ABQ₁P₁) = A(P₁Q₁Q₂P₂) = A(P₃Q₃Q₄P₄) = A(P₁Q₁CD) = 3S olur. Buradan, A(EDC) = 5 · (3S) + S = 16S olur. \(\frac{A(EAB)}{A(EDC)} = \left(\frac{|AB|}{|CD|}\right)^2\) olacağından, \(\frac{1}{... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 8 | \[
\frac{b+2c-a}{2bc} + \frac{a+2c-b}{2ac} = \frac{a+b-2c}{ab}
\]
olduğuna göre, \(\frac{a^2 + b^2 + c^2}{10c^2 + 4ab}\) kaçtır? | Cevap: \(\frac{1}{2}\). Verilmiş eşitliğin her iki tarafını 2abc ile çarpıp sadeleştirirsek \(a^2 + b^2 = 2ab + 4c^2\) elde deriz. Buna göre, cevap \(\frac{1}{2}\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 9 | Beş tane iki basamaklı birbirinden farklı doğal sayının toplamının alabileceği kaç farklı değer vardır? | Cevap: 426. 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 60 ve 95 + 96 + 97 + 98 + 99 = 485. 60 ve 485 arasındaki her sayının beş tane iki basamaklı birbirinden farklı pozitif tam sayının toplamı şeklinde gösterilebileceği açıktır. Buna göre, cevap 485 - 60 + 1 = 426 olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 10 | Kenar uzunluğu 1 olan ABCD karesinin, sırasıyla, AB, BC, CD, DA kenarları üzerinde \(|AA'| = |BB'| = |CC'| = |DD'| = \frac{1}{3}\) şartını sağlayan A', B', C', D' noktaları seçiliyor. AC', A'C, BD' ve B'D doğrularının sınırlandırdığı karenin alanı kaçtır? | Cevap: \(\frac{1}{13}\). D' noktasından BD' doğrusuna inen dikme ayağına F diyelim. İçte oluşan karenin bir kenarı \(|D'F|\) uzunluğuna eşittir. Diğer taraftan, D'F ve DCB' üçgenleri benzerdir. Dolayısıyla, \(\frac{|D'F|}{|D'D|} = \frac{|DC|}{|DB'|}\) olur. Buradan, \(|D'F| = \frac{1}{3|DB'|}\) elde ederiz. DCB' dik üç... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 11 | 1000 den küçük kaç n doğal sayısı için \(n^2 + 8n - 85\) ifadesi 101 e bölünür? | Cevap: 9. 101 sayısı \(n^2 + 8n + 16 = (n+4)^2\) sayısını bölüyor. Buna göre, \(101|(n+4)\) ve \(n = 101k - 4\). k nın alabileceği 9 değer bulunuyor: \(k = 1, 2, \dots, 9\). | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 12 | A şehri, B şehrinin 60km batısındadır. A dan bir araba ve B den ikinci bir araba aynı anda doğuya doğru yola çıkıyorlar. Bir süre sonra birinci araba ikinciye yetişiyor. Birinci arabanın hızı \(10km/saat\), ikinci arabanın hızı \(8km/saat\) daha fazla olsaydı, birinci araba, ikinci arabayı aynı yerde fakat 1 saat daha ... | Cevap: 50. Birinci arabanın hızı \(v\) km/saat, ikinci arabanın hızı \(u\) km/saat olmak üzere, \(t = v - u\) olsun. \(\frac{60}{t} = \frac{60}{t+2} + 1\) olduğuna göre, \(t^2 + 2t - 120 = 0\) ve \(t = 10\). Demek ki birinci araba ikinci arabaya 6 saatte yetişmiştir ve arabaların hızları arttırılırsa, birinci araba iki... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 13 | ABC ikizkenar üçgenininde \(|AB| = |AC|\) ve \(s(\hat{A}) = 50^\circ\) dir. Bu üçgenin AC kenarı ve AD kenarortayı üzerinde, sırasıyla, C ve D den farklı N ve M noktaları, \(|MN| = |MB|\) olacak biçimde alınmıştır. \(\hat{MBN}\) açısı kaç derecedir? | Cevap: 25°. M noktası, ABC ikizkenar üçgeninin AD kenarortayı üzerinde yer aldığından |MB| = |MC| bulunur. Dolayısıyla, M noktası NBC üçgeninin çevrel merkezi olup, \(s(\widehat{MBN}) = 90° - s(\widehat{NCB}) = 90° - \frac{180° - s(\hat{A})}{2} = 25°\) elde ederiz. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 14 | Kenar uzunluğu n birim olan bir kübün yüzleri boyanıyor, ve küp, \(n^3\) adet birim küp oluşacak şekilde parçalanıyor. Kaç \(n \ge 2\) değeri için, tek yüzü boyanmış birim küplerin sayısı hiç boyanmamış birim küplerin sayısına eşit olur? | Cevap: 2. Tek yüzü boyanmış birim küplerin sayısı \(6(n-2)^2\), hiç boyanmamış birim küplerin sayısı \((n-2)^3\) olduğundan \(6(n-2)^2 = (n-2)^3\) olur ve buradan \(n = 2, 8\) olarak iki çözüm gelir. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 15 | Ahmet tahtaya, herhangi ikisinin farkı iki eşit rakamdan oluşan bir sayı olmayacak şekilde, en fazla kaç iki basamaklı sayı yazabilir? | Cevap: 11. Sayıların herhangi ikisinin farkı iki eşit rakamdan oluşıan bir sayı olmaması için gerek ve yeter şart bu sayıların 11 modunda kalanlarının birbirinden farklı olmasıdır. Buna göre cevap 11 olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 16 | Kare şeklinde bir kağıdın üzerine 1 birim yarıçaplı bir çember nasıl çizilirse çizilsin, özdeş bir çemberin daha, ilk çemberle en fazla bir noktada kesişerek çizilebilmesi için kağıdın kenar uzunluğunun en az kaç birim olması gerekir? | Cevap: \(2(\sqrt{2} + 1)\). Kare kağıdın köşe noktalarına sırasıyla A, B, C, D, karenin merkezine O ve bir kenarının uzunluğuna \(a\) diyelim. Merkezi O, kenar uzunluğu \(a-2\) ve kenarları ABCD karesinin kenarlarına paralel olan kareye EFGH diyelim. Kağıdın üzerine çizilebilecek 1 birim yarıçaplı herhangi bir çemberin... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 17 | \(x, y, z\) gerçel sayıları \(x^2 - 2|x| = y\), \(y^2 - 2|y| = z\) ve \(z^2 - 2|z| = x\) eşitliklerini sağlıyorsa, \(x + y + z\) nin alabileceği en küçük değer nedir? | Cevap: \(-3\). Denklemleri \((|x| - 1)^2 = y + 1\), \((|y| - 1)^2 = z + 1\), \((|z| - 1)^2 = x + 1\) şeklinde yazıp taraf tarafa toplarsak,
\[x + y + z = (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 + (|z| - 1)^2 - 3 \geq -3\]
elde ederiz. Eşitlik durumu \(x = y = z = -1\) iken sağlanır. | false | false | (|x| - 1)^2 + (|y| - 1)^2 + (|z| - 1)^2 - 3 \geq -3 | ||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 18 | Öğretmen, tahtaya 8 pozitif tam sayı yazıyor ve Betül bu sayılardan ikisinin 2 ye, üçünün 3 e, dördünün 4 e, beşinin 5 e, altısının 6 ya, yedisinin 7 ye ve sekizinin 8 e bölündüğünü söylüyor. Betül en az kaç hata yapmıştır? | Cevap: 3. \(n\) ye bölünen sayıların sayısını \(b(n)\) ile gösterirsek, \(b(8) \le b(4) \le b(2)\) ve \(b(6) \le b(3)\) eşitsizliklerini elde ederiz. Buna göre, \(b(8), b(4), b(2)\) sayılarından en az ikisi, \(b(6), b(3)\) sayılarından da en az biri yanlış hesaplanmıştır ve toplam hata sayısı en az 3 tür. Tahtaya yazıl... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 19 | \(B\) açısı dik olan \(ABC\) dik üçgeninde \([BD]\) kenarotayının uzantısı ile \([AC]\) ye \(A\) noktasında dik olan bir \(d\) doğrusunun kesişme noktası \(E\) dir. \(s(AEB) = 18^\circ\) ve \(|AB| = 12\) olduğuna göre \(|DE|\) kaç birimdir? | Cevap: 24. Öncelikle, \(|DB| = |DA|\) ve \(s(\overline{DEA}) + s(\overline{DAB}) = 180^\circ - 90^\circ - 18^\circ\) olduğundan \(s(\overline{DEA}) = s(\overline{DAB}) = 36^\circ\) olur. Hipotenüsü \([DE]\) olan \(DAE\) dik üçgeninde \([DE]\) nin orta noktasına \(F\) dersek, \(|DF| = |EF| = |AF|\) olur. Dolayısıyla, \(... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 20 | \(a = -\frac{9}{10}\) ve \(b = (a+1)(a^2+1)(a^4+1)\) ise \(19b + 10a^8\) kaçtır? | Cevap: 10. \(b(a-1) = a^8 - 1\) olduğundan, \(b\left(-\frac{9}{10} - 1\right) = a^8 - 1\) ve buradan da \(19b + 10a^8 = 10\) olur. | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 21 | \(n\) ve \(n+1\) pozitif tam sayılarının her ikisinin de rakamlarının toplamı 53 e bölünüyorsa, \(n\) en az kaç basamaklıdır? | Cevap: 12. \(n\) sayısının birler basamağının 9 olacağı açıktır. \(n\) sayısının basamaklarının toplamı \(s(n)\) olsun. \(n\) sayısında sondaki 9 ların sayısı \(k\) ise, | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 22 | s(n + 1) − s(n) = 9k − 1 olacaktır. Buna göre 9k − 1 ≡ 0 (mod 53) ve k ≥ 6 olur. n + 1 sayısında sondaki 0 rakamlarının atılmasıyla elde edilen sayının da rakamlarının toplamı 53 e bölünüyor. Buna göre, bu sayı da en az 6 basamaklıdır. Sonuç olarak n en az 12 basamaklı olacaktır.
n = 899998999999 sayısının rakamlarını... | Cevap: 4. [\(CA\) ışını üzerinde, \(A\) noktası \(C\) ile \(E\) arasında olacak şekilde \(|AE| = |AD|\) şartını sağlayan \(E\) noktasını alalım. \(|CA| + |AD| = |CB|\) olduğundan \(|CE| = |CA| + |AE| = |CA| + |AD| = |CB|\) olur. Dolayısıyla \(ECB\) ikizkenar dik üçgen olup, \(s(AEB) = 45^\circ\) bulunur. Diğer taraftan... | false | false | |||||
Matematik | 2008 | Birinci Aşama | 23 | Cevap: Tek çözüm \((x, y, z) = (2, 2, 5)\) tir. \(3^y = (z - 2^x)(z + 2^x)\) eşitliğinden \(z - 2^x\) ve \(z + 2^x\) sayılarının ikisi de 3 ün tam kuvveti olmak zorundadır. Buradan, \(z - 2^x = 3^t\) dersek, \(3^{y-t} - 3^t = 2^{x+1}\) elde ederiz. Dolayısıyla, \(3^t(3^{y-2t} - 1)\) sayısının 2 dışında asal böleni olam... | Cevap: Tüm bardaklar düz hale getirilemez. Her işlemde ters çevrilmiş bardak sayısı çift sayıda değişiyor. Değişim sayısı −4, −2, 0, 2, 4 olabiliyor. Buna göre, ters çevrilmiş bardak sayısı hep başlangıçtaki gibi tek sayı kalacak ve sıfır olmayacaktır. | false | false |
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 48