subject stringdate 2020-01-01 00:00:00 2020-01-01 00:00:00 | year stringdate 2020-01-01 00:00:00 2020-01-01 00:00:00 | stage stringclasses 1
value | competition_name stringclasses 1
value | question_number int64 1 32 | question_image imagewidth (px) 2.48k 2.48k | solution_image imagewidth (px) 2.48k 2.48k | question_latex stringlengths 107 453 | solution_latex stringlengths 183 1.26k | has_figure bool 1
class | has_choices bool 2
classes | choice_values stringclasses 5
values | answer_letter stringclasses 1
value | answer_value stringclasses 1
value |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 1 | \(m(\widehat{ABC}) = 135^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin çevrel çemberinin merkezi \(O\) olsun. [OC] doğru parçası üzerindeki bir \(D\) noktası için \(m(\widehat{DBA}) = 90^\circ\) ve \(m(\widehat{ADO}) = 70^\circ\) ise, \(m(\widehat{BAC})\) nedir? | Cevap: \(25^\circ\). \(O\) merkez ve \(m(\widehat{ABC}) = 135^\circ\) olduğundan \(m(\widehat{DOA}) = 90^\circ\)'dir. \(O\) halde \(A, B, D, O\) noktaları çemberseldir. \(\Rightarrow m(\widehat{ABO}) = 70^\circ\). \(|OA| = |OB|\) olduğundan \(m(\widehat{BAO}) = 70^\circ\) bulunur. \(AOC\) ikizkenar dik üçgen olduğu içi... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 2 | \(2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p-3}\) toplamının \(p\) ile tam bölünmesini sağlayan \(p\) tek asal sayılarının toplamı kaçtır? | Cevap: \(64\). \(p = 3\)'ün sağladığı açıktır. \(p > 3\) olsun. Fermat Teoremi'nden dolayı \(2^{p-1} \equiv 3^{p-1} \equiv 4^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\)'dir. \(p|2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p - 3} \Leftrightarrow p|9 \cdot 16 \cdot (2^{p-3} + 3^{p-3} + 4^{p+3}) = 36 \cdot 2^{p-1} + 16 \cdot 3^{p-1} + 9 \cdot 4^{p-1} \Leftrigh... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 3 | \(x\) bir gerçel sayı olmak üzere \((x + 4)(x^2 + 16) = 11\) ise, \(x^4 - 11x\) aşağıdakilerden hangisine eşit olabilir?
a) 175 b) 183 c) 196 d) 204 e) 212 | Cevap: 212. Verilen eşitlik \(x^3 + 4x^2 + 16x + 53 = 0\) denklemine denktir ve bu denklem üçüncü dereceden olduğu için en az bir gerçel köke sahiptir. Verilen eşitlikte her iki tarafı \(x - 4\) ile çarparsak \(x^4 - 256 = 11x - 44\) elde edilir ve buradan da \(x^4 - 11x = 212\) bulunur. | false | true | ["175", "183", "196", "204", "212"] | ||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 4 | Bir sincap 101 fındık içeren bir kesedeki fındıkların tümünü ya da bir kısmını üç gün içinde yiyecektir. Bu sincap, ikinci ve üçüncü günlerde eşit sayıda fındık ve her gün en az bir fındık yiyecek şekilde bu işlemi kaç farklı biçimde yapabilir? | Cevap: 2500. Birinci, ikinci ve üçüncü günde yenen fındık sayıları sırasıyla \(a, b\) ve \(b\) olsun. \(O\) zaman \(0 < a < a + 2b \le 101\) olmak üzere, \(a\) ve \(a + 2b\) sayıları her şeyi belirleyecektir. Buna göre, toplam durum sayısı 50 çift ya da 51 tek sayıdan iki sayıyı seçme sayısı na eşit olur. Dolayısıyla c... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 5 | Düzgün bir \(ABCDEF\) altıgeninin \([DE]\) kenarı üzerinde bir \(P\) noktası alınıyor. Alan\((PAB) = 60\) ve Alan\((PBC) = 44\) ise, Alan\((PAF)\) kaçtır? | Cevap: 46. Altıgenin bir kenar uzunluğu \(a\) ve \(|EP| = x\) olsun. \(E\) ve \(D\) noktalarından \(AF\) doğrusuna inen dikme uzunlukları sırasıyla \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) ve \(a\sqrt{3}\)'tür. Dolayısıyla benzerlikten \(P'\)den \(AF\) doğrusuna inen dikmenin uzunluğunun \(\frac{(a+x)\sqrt{3}}{2}\) olduğu görülür. O ha... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 6 | \(\sqrt{n+11} + \sqrt{n+\sqrt{n+11}}\) ifadesinin bir tam sayı olmasını sağlayan \(n\) tam sayılarının toplamı kaçtır? | Cevap: 113. \(\sqrt{n+11} + \sqrt{n+\sqrt{n+11}} = m\) olsun. \(\Rightarrow \sqrt{n+\sqrt{n+11}} = m-\sqrt{n+11}\). Her iki tarafın karesini alırsak \((2m+1)\sqrt{n+11} = m^2+11\) elde edilir. Buradan \(\sqrt{n+11}\)'in bir rasyonel sayı olduğu görülür. O halde \(n+11\) tam sayı olduğu için \(\sqrt{n+11}\) tam sayı olm... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 7 | \(a > 0\) ve \(b \neq c\) koşullarını sağlayan \(a, b, c, d\) gerçel sayıları için \(P_1(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) ve \(P_2(x) = ax^3 + cx^2 + bx + d\) polinomları tanımlanıyor. \(P_1(x+1) - P_1(x)\) ve \(P_2(x+1) - P_2(x)\) polinomlarının alabilecekleri en küçük değerler eşitse, \(\frac{b+c}{a}\) aşağıdakilerden han... | Cevap: \(-3\). \(Q_1(x) = P_1(x+1) - P_1(x) = 3ax^2 + (3a+2b)x + a+b+c\) polinomunun alabileceği en küçük değer \(a+b+c - (3a+2b)^2/(12a)\)'dır. Benzer şekilde \(Q_2(x) = P_2(x+1) - P_2(x) = 3ax^2 + (3a+2c)x + a+b+c\) polinomunun alabileceği en küçük deşer \(a+b+c - (3a+2c)^2/(12a)\)'dır. Bu iki değer eşit olduğundan \... | false | true | ["\\(-3\\)", "\\(-1\\)", "\\(1\\)", "\\(3\\)", "Hiçbiri"] | ||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 8 | N pozitif bir tam sayı olmak üzere, \(a_1, a_2, \dots, a_k\) pozitif tam sayıları \(N = a_1 + a_2 + \dots + a_k\) ve her \(1 \le i \le k\) için \(a_i = a_{k+1-i}\) koşullarını sağlıyorsa, \((a_1, a_2, \dots, a_k)\) sıralı k-lisine \(N\)'nin bir simetrik dağılımı diyelim. Örneğin, (5), (2, 1, 2) ve (1, 1, 1, 1, 1) sıral... | Cevap: 16384. 28 tane 1 sayısını bir sıraya düzelim. Bu sayıların aralarında 27 tane boşluk bulunuyor. Bu boşlukların bazılarına ayraçlar yerleştirerek farklı \(28 = a_1 + a_2 + \dots + a_k\) gösterimleri elde ederiz. Simetrik dağılım elde etmek için ilk 14 boşluğun bazılarına ayraç yerleştirip daha sonra ayraç koyulan... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 9 | Bir \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) kenarı üzerinde alınan bir \(D\) noktası için \(m(BA) = 120^\circ\) ve \(m(CA) = 30^\circ\)dir. \(|AD| = 6\) ve \(|DC| = 21\) ise, \(|AB|\) kaçtır? | Cevap: 10. D'den geçip \(AC\)'ye paralel olan doğru \(AB\)'yi \(E\) noktasında kessin. \(EAD\), tepe açısı \(120^\circ\) olan bir ikizkenar üçgendir ve dolayısıyla \(|AE| = 6\) ve \(|ED| = 6\sqrt{3}\) olduğu görülür. D'den \(AC\)'ye inen dikme ayağı \(F\) olmak üzere, \(|AF| = 3\sqrt{3}\) ve \(|FD| = 3\) bulunur. \(DFC... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 10 | \(m, n\) ve \(k\) pozitif tam sayılar olmak üzere, \(m\) sayısının \(n\) ile bölümünden kalan \(k\) dir. Ayrıca \(m\) sayısı 28 ile bölündüğünde kalan 27, bölüm ise \(n\) dir. Buna göre, \(k\) nin alabileceği kaç farklı değer vardır? | Cevap: 14. İlk koşuldan \(n|m - k\) ve \(k < n\) elde edilir. İkinci koşuldan \(m = 28n + 27\) bulunur. O zaman \(n|27 - k\)'dir ve dolayısıyla \(k \neq 27\) iken \(n \le |27 - k|\) elde edilir. \(k = 27\) için \(n = 100\) ve \(m = 2827\) koşulları sağlar. \(k > 27\) ise, \(k < n \le k - 27\) çelişkisi elde edilir. \(k... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 11 | Negatif olmayan \(a, b\) ve \(c\) gerçel sayıları \(a + b + c = 1\) eşitliğini sağlıyorsa,
\[ \frac{1}{1 + 4a^2} + \frac{1}{1 + 4b^2} + \frac{1}{1 + 4c^2} \]
ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir? | Cevap: 2. \(0 \le x \le 1\) olsun. \(1 \ge (1-x)(1+4x^2) = 1-x(2x-1)^2\) olduğundan \(\frac{1}{1+4x^2} \ge 1-x\). Buradan \(\frac{1}{1+4a^2} + \frac{1}{1+4b^2} + \frac{1}{1+4c^2} \ge 3-a-b-c=2\) gelir. İfade \(a=0\) ve \(b=c=\frac{1}{2}\) durumunda 2 değerini alıyor. | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 12 | Her pozitif tam sayı \(k\) renkten birine, farkları veya oranları 2 olan herhangi iki sayı farklı renkte olacak şekilde boyanabiliyorsa, \(k\) nin alabileceği en küçük değer nedir? | Cevap: 3. 4, 6 ve 8 sayılarının herhangi ikisi farklı renkte olmak zorundadır. O halde \(k \ge 3\). 3 renk kullanarak boyama yapılabildiğini gösterelim. 1 ve 2 sayıların farklı renklere boyayalım. Daha sonra her seferinde boyanmamış en küçük sayıyı ele alalım. Bu sayının yarısı veya 2 eksiği olan pozitif tam sayıların ... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 13 | Bir \(ABC\) üçgeninin sırasıyla \([AB]\) ve \([AC]\) kenarları üzerinde alınan \(K\) ve \(L\) noktaları için \(|AK|=12\), \(|BK|=16\) ve \(|CL|=6\)'dır. \([BC]\) kenarı üzerinde \(D\) ve \(E\) noktaları \(E \in [DC]\) ve \(|BD|=|DE|=|EC|\) olacak şekilde alınıyor. \(m(\overline{BKE}) = m(\overline{CLD})\) ise, \(|AL|\)... | Cevap: 10. \(B'\)den geçip \(DL'\)ye paralel olan doğrunun \(AC\) ile kesişimi \(L'\) olsun. \(C'\)den geçip \(KE'\)ye paralel olan doğrunun \(AB\) ile kesişimi \(K'\) olsun. Paralelliklerden \(|LL'|=3\), \(|KK'|=8\), \(m(\overline{BKE}) = m(\overline{BK'C})\) ve \(m(\overline{CLD}) = m(\overline{CL'B})\) elde edilir. ... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 14 | Her \(n \ge 1\) için \(a_{n+1} = a_n^3 + 1799\) koşulunu sağlayan bir \((a_n)_{n=1}^\infty\) pozitif tam sayı dizisinde en az iki tam kare bulunuyorsa, \(a_{2020}\) sayısının 28 ile bölümünden kalan aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) 2 b) 6 c) 14 d) 22 e) Hiçbiri | Cevap: 22. 1799 \(\equiv\) 3 (mod 4) olduğunu not edelim. Öncelikle diziyi (mod 4)'te inceleyelim. \(a_1 \equiv 0\) (mod 4) ise, dizinin kalanı 3, 2, 3, 2,... olarak devam edecektir. \(a_1 \equiv 1\) (mod 4) ise, dizinin kalanı 0, 3, 2, 3, 2,... olarak devam edecektır. \(a_1 \equiv 2\) (mod 4) ise, dizinin kalanı 3, 2.... | false | true | ["2", "6", "14", "22", "Hiçbiri"] | ||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 15 | \(P(x)\) bir polinom olmak üzere, her \(a\) gerçel sayısı için \(P(a) = P(b)\) eşitliğini sağlayan \(a\) dan farklı en az bir \(b\) gerçel sayısı bulunuyorsa, \(P(x)\) polinomuna çok tersli polinom diyelim. \(P_1(x) = x^2 - 2020x\), \(P_2(x) = x^3 - 2020x^2 + x\), \(P_3(x) = x^4 - 2020x^2\) ve \(P_4(x) = x^5 - 2020x^3\... | Cevap: 1. \(P(x)\), derecesi tek sayı ve baş katsayısı pozitif olan bir polinom ise, her \(x > N\) ve \(y < x\) için \(P(y) < P(x)\) olacak şekilde bir \(N\) gerçel sayısı bulunur. Bu durumda \(P(n+1) = P(b)\) ve \(b \neq N+1\) olan \(b\) gerçel sayısı bulunmaz ve dolayısıyla \(P(x)\) çok tersli değildir. O halde \(P_2... | false | true | ["= P", "\\) eşitliğini sağlayan \\(a\\) dan farklı en az bir \\(b\\) gerçel sayısı bulunuyorsa, \\(P(x)\\) polinomuna çok tersli polinom diyelim. \\(P_1(x) = x^2 - 2020x\\), \\(P_2(x) = x^3 - 2020x^2 + x\\), \\(P_3(x) = x^4 - 2020x^2\\) ve \\(P_4(x) = x^5 - 2020x^3\\) polinomlarından kaç tanesi çok terslidir?"] | ||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 16 | 6 farklı renkten 100 er top \(n\) kutuya, aynı renkli herhangi iki top farklı kutularda yer alacak şekilde dağıtılmıştır. Herhangi iki kutu için bu 6 renkten öyle biri vardır ki bu iki kutunun hiçbirinde o renge boyalı top bulunmamaktadır. Buna göre \(n\) nin alabileceği en küçük değer nedir? | Cevap: 200. \(n = 200\) için bir örnek verelim. Kutuları numaralandıralım. 1-50 numaralı kutuların her birine birer kırmızı, beyaz ve mavi; 51-100 numaralı kutuların her birine birer mavi, yeşil ve siyah; 101-150 numaralı kutuların her birine birer siyah, sarı ve kırmızı; 151-200 numaralı kutuların her birine birer bey... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 17 | \(|AB| = 10\) ve \(m(\widehat{BAC}) = 124^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) kenarı üzerinde alınan bir \(D\) noktası için \(|AD| = 4\) ve \(m(\widehat{BAD}) = 68^\circ\) dir. \([BD]\) doğru parçası üzerinde alınan bir \(E\) noktası için \(|BE|/|ED| = 5\)
tir. [AB] kenarının orta noktası F olmak üzere, CF doğ... | Cevap: 10/11. 124° - 68° = 180° - 124° olduğundan AC doğrusu ABD üçgeninin bir dış açıortayıdır. Dış açıortay teoreminden |CD|/|CB| = 4/10 = 2/5 bulunur. |BE|/|ED| = 5 olduğundan |DC| = 4|ED| bulunur. O halde N noktası ABC üçgeninin ağırlık merkezidir ve dolayısıyla |AN|/|NE| = 2'dir. ABD üçgeninde C, P, F kesenine gör... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 18 | \(n^4 + 2n^3 + 4n^2 + 4n - 62\) ifadesinin bir tam kare olmasını sağlayan n tam sayılarının toplamı kaçtır? | Cevap: 1. \((n^2+n)^2 = n^4+2n^3+n^2\) ve \((n^2+n+2)^2 = n^4+2n^3+5n^2+4n+4\) tür. O halde n bir tam sayı iken \((n^2+n)^2 < n^4+2n^3+4n^2+4n-62 \Leftrightarrow 62 < n(3n+4) \Leftrightarrow 3 < n\) veya \(n < -5\) olduğu görülür. \(n^4+2n^3+4n^2+4n-62 < (n^2+n+2)^2\) eşitsizliği her n için doğrudur. O halde \(n > 3\) ... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 19 | Bir \(f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}\) fonksiyonu \(f(1) = f(2) = 0\) ve her n pozitif tam sayısı için
\[f(3n) = f(n) + 1 \quad \text{ve} \quad f(3n+1) = f(3n+2) = f(n)\]
koşullarını sağlıyor. Buna göre \(f\left(\frac{3^{2020}-1}{8}\right)\) kaçtır? | Cevap: 1009. Tümevarımla her n pozitif tam sayısı için \(f(n)\) nin \(n\) sayısının 3 tabanında yazılmındaki sıfırların sayısına eşit olduğunu gösterebiliriz. \(\frac{3^{2020}-1}{8} = \frac{9^{1010}-1}{9-1} = 3^{2018} + 3^{2016} + \dots + 3^0 = (1010\dots 101)_3\) sayısı 3 tabanında 1009 tane sıfır içerir. | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 20 | Bir satranç turnuvasına katılan üç arkadaş, turnuvadaki herkesin en fazla üç arkadaşı bulunduğunu ve arkadaş olmayan her iki kişinin ortak en az bir
arkadaşı bulunduğunu farkediyor. Bu turnuvaya katılan kişi sayısı en fazla kaç olabilir? | Cevap: 8. Turnuvaya katılan üç arkadaş A, B ve C olsun. Bu üç kişiden birinin sadece iki arkadaşı varsa (genelliği bozmadan bu kişi A olsun), A ile arkadaş olmayan herkesin B veya C ile arkadaş olması gerekir ve dolayısıyla turnuvadaki kiş sayısı en fazla 5 olur. Bu üç kişinin her birinin üç arkadaşı var ise, her birin... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 21 | |AB| = 25 ve |AC| = 40 olan bir ABC üçgeninin [BC] kenarı üzerinde alınan bir D noktası için |BD| = 15 ve |DC| = 24 tür. Buna göre ABD ve ACD üçgenlerinin diklik merkezleri arasındaki uzaklık kaçtır? | Cevap: 13. ABD ve ACD üçgenlerinin diklik merkezleri sırasıyla H₁ ve H₂ olsun. DH₁ ∩ AB = {X}, AH₁ ∩ BD = {Y} ve DH₂ ∩ AC = {Z} olsun. ABY ve ACY üçgenlerinde uygulanan Pisagor teoremlerinden |AY|² = 25² - |BY|² = 40² - |CY|² bulunur. Bu bilgi |BY| + |CY| = 15 + 24 = 39 ile birleştirilirse |BY| = 7, |YD| = 8 ve |AY| = ... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 22 | a₁ = 2, a₂ = 8 ve her n ≥ 2 için aₙ₊₁ = 2aₙ + 4n²aₙ₋₁ koşullarını sağlayan bir (aₙ)ₙ₊₁ pozitif tam sayı dizisi tanımlanıyor. a₂₀₂₀ sayısını tam bölen en büyük asal sayı kaçtır? | Cevap: 2017. Tümevarımla aₙ = 2ⁿ · n! olduğunu görebiliriz. Yani aₙ'yi bölen en büyük asal p ≤ n şartını sağlayan en büyük p asalıdır. 2020 den küçük olan en büyük asal sayı 2017'dir. | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 23 | L ve U gerçel sayılar ve L < U olmak üzere, her L < a < U gerçel sayısı için 9x⁴ - 6x² = a denkleminin dört farklı gerçel kökü bulunuyorsa, U - L nin alabileceği en büyük değer nedir? | Cevap: 1. \(9x^4 - 6x^2 - a = 0\) denkleminin dört farklı gerçel kökü vardır ancak ve ancak \(9t^2 - 6t - a = 0\) denkleminin iki farklı pozitif kökü vardır. Bu durum da ancak ve ancak \(36 + 36a > 0\) ve \(6 - \sqrt{36 + 36a} > 0\) iken olur. Sonuç olarak istenen koşul ancak ve ancak \(-1 < a < 0\) iken sağlanır. O ha... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 24 | Tek kişilik bir oyun oynayan Aslı, ilk hamlesinde boş bir tahtaya iki basamaklı bir pozitif tam sayı yazıyor. Aslı, bundan sonraki her hamlesinde, tahtada yazılı olan sayılardan birinin hem iki katını hem de üç katını tahtaya yazıyor. Bir kaç hamle sonucunda tahtadaki bütün sayıların toplamı 2018, 2020, 2022, 2024 sayı... | Cevap: 2. Aslı, başlangıçta tahtaya 20 yazıp, daha sonraki her hamlesinde tahtaya 40 ve 60 sayılarını ekleyerek 2020'yi elde edebilir. Aslı, başlangıçta tahtaya 44 yazıp, daha sonraki her hamlesinde tahtaya 88 ve 132 sayılarını ekleyerek 2024'ü de elde edebilir. Aslı'nın diğer sayıları elde edemeyeceğini gösterelim. \(... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 25 | \(m(\widehat{ABC}) = 60^\circ\) olan bir \(ABC\) üçgeninin \([BC]\) kenarı üzerinde \(m(\widehat{ADB}) < 90^\circ\) şartını sağlayan bir \(D\) noktası alınıyor. \(|AB| \cdot |AC| = 4\), \(|BD| \cdot |CD| = 2\) ve \(|AD| = \sqrt{2}\) ise, \(m(\widehat{ADB})\) nedir? | Cevap: 45°. Stewart teoreminden \((|AB|^2 \cdot |CD| + |AC|^2 \cdot |BD|)/|BC| = |BD| \cdot |CD| + |AD|^2 = 4 = |AB| \cdot |AC|\) eşitliği elde edilir. Bu eşitlik \((|AB| - |AC|)(|AB| \cdot |CD| - |AC| \cdot |BD|) = 0\) eşitliğine denktir. \(|AB| = |AC|\) olması durumunda \(ABC\) eşkenar üçgen olacağından \(|BD| + |CD|... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 26 | \(n\) pozitif bir tam sayı olmak üzere, \(a^3 - 1\) in \(n\) ile tam bölündüğü her \(a\) tam sayısı için \(a^{2020} - 1\) de \(n\) ile tam bölünüyorsa, \(n\) ye tuhaf sayı diyelim. Aşağıdakilerden hangisi bir tuhaf sayıdır? | Cevap: 69. \(p\) bir tuhaf asal sayı olsun. \(p|a^3 - 1\) olan bir \(a\) tam sayısı ele alalım. O halde \(p|a^{2020} - 1\). 3 ve 2020 aralarında asal olduğundan \(p|a - 1\) elde edilir. Demek ki \(p|a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)\) ise \(p|a - 1\) olmalı. \(p = 2\) ve \(p = 3\) bu şartı açıkça sağlar. \(p > 3\) için \(... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 27 | \(x^2 - x + 1 = y^3\) ve \(y^2 - y = x^3\) eşitliklerinin her ikisini de sağlayan kaç farklı \((x, y)\) gerçel sayı ikilisi vardır? | Cevap: 1. \(y = 0\) ise \(x = 0\) olur ve denklemler sağlanmaz. \(y \neq 0\) olsun. \((y^2 - y + 1)/y^3 = (x^3 + 1)/(x^2 - x + 1) = x + 1\) olacağından \(y^2 - y = x^3 = [(y^2 - y + 1 - y^3)/y^3]^3\) ve buradan da \(y^{10}(y - 1) = -(y - 1)^3(y^2 + 1)^3\) olur. \(y = 1\) için \(x = 0\) olur ve şartlar sağlanır. \(y \ne... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 28 | Her birinin uzunluğu 1 olan \(n\) tane kapalı doğru parçasının bileşimi \([0, 28]\) doğru parçasına eşittir. Bu doğru parçalarının her birinde, diğer \(n-1\) doğru parçasının hiçbirinde bulunmayan en az bir nokta varsa, \(n\) en fazla kaç olabilir? | Cevap: 54. Bu doğru parçaları \(I_1 = [a_1, a_1 + 1], \dots, I_n = [a_n, a_n + 1]\) olsun. Koşul gereği \(i \neq j\) iken \(a_i \neq a_j\)'dir ve genelliği bozmadan \(a_1 < a_2 < \dots < a_n\) kabul edebiliriz. Herhangi bir \(1 \le i \le n-2\) için \(I_i \cap I_{i+2} \neq \emptyset\) olursa \(I_{i+1} \subset I_i \cup I... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 29 | Uzayda bir \(D\) düzlemi üzerinde çakışık veya doğrusal olmayan \(A, B\) ve \(C\) noktaları alınıyor. Bu üç noktadan geçen \(O\) merkezli bir küre üzerindeki \(P\) ve \(Q\) noktaları için \(|PA| = |PB| = |PC| = 30\) ve \(|QA| = |QB| = |QC| = 40\) ise, \(O\) noktasının \(D\) düzlemine uzaklığı kaçtır? | Cevap: 7. \(ABC'\)nin çevrel çemberinin merkezi \(O_1\), olsun. \(X\) noktası \(A, B\) ve \(C\) noktalarına eşit uzaklıkta bir nokta olsun. \(X\) noktasından \(D\) düzlemine inen dikme ayağının \(O_1\) olduğu kolayca görülür. O halde \(P, Q\) ve \(O\) noktaları \(D\) düzlemine \(O_1\) noktasında dik olan doğrunun üzeri... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 30 | Pozitif bölenleri toplamı 8 ile tam bölünmeyen bir pozitif tam sayıya özel sayı diyelim. Her biri özel sayı olan en fazla kaç ardışık pozitif tam sayı vardır? | Cevap: 7. Öncelikle \(n \equiv 7 \pmod{8}\) ise, \(n'\)nin özel sayı olmadığını gösterelim. \(n \equiv 7 \pmod{8}\) olduğundan \(n\) tam kare değildir ve \(n\) tek sayıdır. Ayrıca \(n'\)nin her \(d\) pozitif böleni için
\[d \equiv 1 \pmod{8} \text{ ise } \frac{n}{d} \equiv 7 \pmod{8}\]
\[d \equiv 3 \pmod{8} \text{ is... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 31 | \(x\) ve \(y\) gerçel sayılar olmak üzere \(x^2 - 2y^2 = \frac{3}{8}\) ise, \(x^4 - y\) ifadesinin alabileceği en küçük değer nedir? | Cevap: 0. Her \(a\) gerçel sayısı için \((a - \frac{1}{2})^2 \ge 0\)'dır ve buradan \(a(1-a) \le 1/4\) elde edilir. Bu eşitsizlikten \(x^2 - x^4 = x^2(1-x^2) \le 1/4\) ve \(2y - 4y^2 = 2y(1-2y) \le 1/4\) olur. Bu iki eşitsizliği kullanarak \(x^4 - y + 2y^2 - x^2 \ge -3/8\) elde ederiz. Buradan da \(x^4 - y \ge 0\) olur... | false | false | |||||
2020 | 2020 | Genel | TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEK PROGRAMLARI BAŞKANLIĞI 28. ULUSAL BİLİM OLİMPİYATLARI - 2020
BİRİNCİ AŞAMA SINAVI
MATEMATİK | 32 | \(12 \times 12\) bir satranç tahtasının 71 birim karesi işaretlenecektir. Bu işlem, ortak bir kenar paylaşan işaretli iki birim kare bulunmayacak şekilde kaç farklı biçimde yapılabilir? | Cevap: 148. Satranç tahtasını 36 tane \(2 \times 2\) kareye bölelim. Bu \(2 \times 2\) karelerin 35 tanesinde iki birim kare, 1 tanesinde ise bir birim kare işaretlenecektir. İki işaretli birim kare içerecek \(2 \times 2\) karelere normal, bir adet işaretli birim kare içerecek \(2 \times 2\) kAREYE ise özel kare diyeli... | false | false |
README.md exists but content is empty.
- Downloads last month
- 15