id int64 0 999 | prompt listlengths 1 1 | completion listlengths 1 1 |
|---|---|---|
0 | [
{
"content": "Let $a,b,A,B$ be given reals.\n우리는 함수 $ f(x) = 1 - a \\cdot \\cos(x) - b \\cdot \\sin(x) - A \\cdot \\cos(2x) - B \\cdot \\sin(2x) $를 고려한다. 임의의 실수 $x$에 대해 $f(x) \\geq 0$이면 $a^2 + b^2 \\leq 2$이고 $A^2 + B^2 \\leq 1$임을 증명해야 한다.",
"role": "user"
}
] | [
{
"content": "To prove the given inequality, we are given a function:\n\n$$\nf(x) = 1 - a \\cos x - b \\sin x - A \\cos 2x - B \\sin 2x\n$$\n\n그리고 모든 실수 x에 대해 $ f(x) \\geq 0 $인 조건.\n목표는 이 조건 하에 다음이 반드시 성립해야 한다는 것을 보여주는 것입니다.\n\n$$\na^2 + b^2 \\leq 2 \\quad \\text{and} \\quad A^2 + B^2 \\leq 1\n$$\n\n---\n\n### ... |
1 | [
{
"content": "유리수를 분수의 lowest terms로 표현하고, 결과된 분자와 분모의 곱을 계산하라.\n0과 1 사이의 유리수에 대해 $20!$이 결과가 되는 경우의 수는 몇 개인가?",
"role": "user"
}
] | [
{
"content": "문제를 해결하기 위해 0과 1 사이의 유리수를 찾는 것이 필요하며, 이 유리수를 가장 간단한 분수 $ \\frac{a}{b} $ 형태로 쓰면 분자와 분모의 곱이 $ 20! $이 되는 수를 찾는 것입니다.\n$.\n\n---\n\n### Step 1: 문제의 구조 이해\n\nA 0과 1 사이의 유리수는 최저 형태로 $ \\frac{a}{b} $로 쓸 수 있으며, 여기서:\n- $ 0 < a < b $\n- $ \\gcd(a, b) = 1 $ (즉, 분수는 최저 형태이다)\n\nThe product of the numerator a... |
2 | [
{
"content": "Let $ \\mathcal{H}$ be an infinite-dimensional Hilbert space, let $ d>0$ , and suppose that $ S$ is a set of points (not necessarily countable) in $ \\mathcal{H} $ such that the distance between any two distinct points in $ S $ is equal to $ d $ .\n$\\mathcal{H}$에서 $ y $가 존재하여 보여라\n$$ \\... | [
{
"content": "문제를 해결하기 위해 주어지는 무한차원 힐베르트 공간 $\\mathcal{H}$, 양의 상수 $d > 0$, 그리고 $\\mathcal{H}$ 내의 점들의 집합 $S$는 $S$ 내의 두 개의 서로 다른 점 사이의 거리가 정확히 $d$이다.\n우리는 $y \\in \\mathcal{H}$ such that the set가 존재함을 보여야 합니다.\n\n$$\n\\left\\{ \\frac{\\sqrt{2}}{d}(x - y) : x \\in S \\right\\}\n$$\n\n$\\mathcal{H}$에서 기저를 형성한다.\n\n... |
3 | [{"content":"Find the remainder when $9 \\times 99 \\times 999 \\times \\cdots \\times \\underbrace{(...TRUNCATED) | [{"content":"제품의 나머지를 찾기 위해\n$$\n9 \\times 99 \\times 999 \\times \\cdots \\ti(...TRUNCATED) |
5 | [{"content":"중간 분자 속도 v를 중간 기체 라돈(Rn)에서 m/s 단위로 계산하세요.(...TRUNCATED) | [{"content":"르노(Rn)의 **평균 분자 속도**를 계산하기 위해서는 \"평균 분자 속(...TRUNCATED) |
6 | [{"content":"두 캐피터스 $C_{1}=2000 \\pm 10 \\mathrm{pF}$와 $C_{2}=3000 \\pm 15 \\mathrm{pF}$(...TRUNCATED) | [{"content":"에너지가 저장된 두 캐피터가 **시리즈로 연결**되어 있을 때 **에(...TRUNCATED) |
7 | [{"content":"하나의 밑변이 다른 밑변보다 100개 단위 더 길다.\n중간선이 두 다(...TRUNCATED) | [{"content":"문제를 해결하기 위해 주어진 다각형은 다음과 같은 특성을 가집(...TRUNCATED) |
8 | [{"content":"문자열 $L \\subseteq \\{0,1\\}^*$가 $\\textbf{P}_{angel}$에 속한다고 하면, (...TRUNCATED) | [{"content":"### Summary of Solutions\n\n---\n\n### **문제 1**\n\n**Objective:**\n주어진 $ k $ (...TRUNCATED) |
9 | [{"content":"수학 시험에 참여한 인원은 $N < 40$입니다.\nThe passmark is fixed at $65$.(...TRUNCATED) | [{"content":"문제를 해결하기 위해 먼저 시나리오를 신중히 해석하고 주어진 (...TRUNCATED) |
10 | [{"content":"Kathy는 5장의 빨간 카드와 5장의 녹색 카드를 가지고 있습니다.\n그(...TRUNCATED) | [{"content":"To determine the probability that Kathy will be happy, we must analyze the conditions u(...TRUNCATED) |
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