idx stringlengths 19 38 | question stringlengths 94 1.31k | answer stringlengths 88 3.28k | topics stringlengths 33 361 |
|---|---|---|---|
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21473 | α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού \(x\) για τις οποίες ορίζεται η παράσταση:
$$Α=\ln{x}+\ln{(x+6)}$$
β) Να λύσετε την εξίσωση:
$$\ln{x}+\ln{(x+6)}=\ln{7}$$ | α) Η παράσταση \(Α\) ορίζεται για τις τιμές του πραγματικού αριθμού \(x\) για τις οποίες ισχύει:
$$\cases{ x>0 \\ \text{και} \\ x+6 > 0 }$$
$$\Rightarrow \cases { x > 0 \\ \text{και} \\ x > -6 }$$
$$\Rightarrow x > 0$$
β) Γνωρίζουμε ότι για \(α>0\), \(α≠1\) και \(x_{1},x_{2}>0\) ισχύει η ισοδυναμία:
$$\log_{α}{... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-16000 | α) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία \(θ\) ώστε \(ημθ=\dfrac{1}{2}\) και \(συνθ=\dfrac{1}{2}\).
β) Έστω \(θ\) μια γωνία με \(θ∈(\dfrac{3π}{2}, 2π)\) για την οποία ισχύει \(συνθ=\dfrac{1}{2}\). Να βρείτε το \(ημθ\). | α) Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοια γωνία, τότε από την ταυτότητα \(ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1\) θα έχουμε:
$$(\dfrac{1}{2})^{2}+(\dfrac{1}{2})^{2}=1$$
δηλαδή
$$\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=1$$
που αποκλείεται. Επομένως δεν υπάρχει τέτοια γωνία.
β) Είναι:
$$ημ^{2}θ=1-συν^{2}θ$$
$$=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$$
και επειδή \(θ∈(... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15347 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\dfrac{π}{2}+x)+α\), με \(α\in \mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι \(f(x)=2συν^{2}x-3συνx+α\).
β) Να εξετάσετε αν η συνάρτηση \(f\) είναι άρτια ή περιττή.
γ) Να βρείτε το \(α\) αν είναι γνωστό ότι η γραφική παράσταση της \(f\) διέρχεται από το σημείο \(Μ\left(\dfrac{π}{3},1\ri... | α) Είναι:
$$συν(π-x)=-συνx$$
και:
$$ημ(\dfrac{π}{2}+x)=ημ(\dfrac{π}{2}-(-x))$$
$$=συν(-x)=συνx$$
Άρα:
$$f(x)=2συν^{2}(π-x)-3ημ(\dfrac{π}{2}+x)+α$$
$$=2συν^{2}x-3συνx+α$$
β) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(R\).
Άρα για κάθε \(x\in \mathbb{R}\) και \(-x\in \mathbb{R}\).
Έ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21953 | Δίνεται η παράσταση:
$$Α=e^{\ln{2}}+10^{2\log{\sqrt{5}}}$$
Να αποδείξετε ότι:
α) \(Α=7\).
β) \(0<\log{Α}<1\). | α) Είναι:
$$ Α=e^{\ln{2}}+10^{2\log{\sqrt{5}}} $$
$$ =e^{\ln{2}}+10^{\log{(\sqrt{5})^{2}}} $$
$$ =e^{\ln{2}}+10^{\log{5}} $$
$$ =2+5=7 $$
β) Είναι:
$$1 < 7 < 10 $$
$$\Leftrightarrow \log{1} < \log{7} < \log{1}0 $$
$$\Leftrightarrow 0 < \log{Α} < 1$$ | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21174 | α) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(x∈ℝ\) ορίζεται η εξίσωση:
\(\log(x+1)=−\log2−\log(1−x)(1).\)
β) Να λύσετε την εξίσωση \(\log(x+1)=\log\Big( \dfrac{1}{2}\Big)−\log(1−x).\) | α) Για να ορίζεται η εξίσωση (1) πρέπει να είναι \(x+1>0 \text{ και } 1−x>0.\)
Ισοδύναμα πρέπει \(x>−1\) και \(x \lt1.\)
Οπότε η εξίσωση ορίζεται για \(x∈(−1,1).\)
β) Για \(x∈(−1,1)\) η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα
\(\log(x+1)=\log \Big( \dfrac{1}{2} \Big)−\log(1−x)\)
\(\Leftrightarrow \log(x+1)+\log(1−x)=\log(1)... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-22002 | Δίνεται ότι \(ημ18^{0}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\). Να βρείτε τους ακόλουθους τριγωνομετρικούς αριθμούς, αιτιολογώντας την απάντησή σας.
α) \(συν72^{0}\)
β) \(συν108^{0}\)
γ) \(ημ162^{0}\) | Αναγωγή στο \(1^0\) τεταρτημόριο:
α) \(συν72^{0}=συν(90^{0}-18^{0})=ημ18^{0}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\).
β) \(συν108^{0}= συν(90^{0}+18^{0})=-ημ18^{0}=\dfrac{1-\sqrt{5}}{4}\).
γ) \(ημ162^{0}= ημ(180^{0}-18^{0})=ημ18^{0}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\). | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21237 | Δίνεται ότι \(ημθ=\dfrac{ημ\dfrac{2π}{3}-συν\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\dfrac{π}{4}}\).
α) Να δείξετε ότι:
\(ημ\dfrac{2π}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(ημθ=\sqrt{3}-1\)
β) Αν για την γωνία \(θ\) έχουμε \(θ∈(0,\dfrac{π}{2})\), να βρείτε το \(συνθ\). | α)
Έχουμε
$$ημ\dfrac{2π}{3}=ημ(π-\dfrac{π}{3})$$
$$=ημ\dfrac{π}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$
Έχουμε
$$ημθ=\dfrac{ημ\dfrac{2π}{3}-συν\dfrac{π}{3}}{συν^{2}\dfrac{π}{4}}$$
$$\overset{i}{=}\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}}{(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{2}}$$
$$=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{3}-1$... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15113 | Δίνονται τα πολυώνυμα:
$$P(x)=-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9$$
και
$$Q(x)=αx^2+7,\ α\in \Bbb{R}.$$
α) Είναι το πολυώνυμο \(P(x)\) \(3^\text{ου}\) βαθμού; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β) Να βρείτε την τιμή του \(α\), ώστε τα πολυώνυμα \(P(x)\) και \(Q(x)\) να είναι ίσα. | α) Έχουμε:
\begin{align} P(x) & =-2x^3+4x^2+2(x^3-1)+9\\
P(x) & =-2x^3+4x^2+2x^3-2+9 \\
P(x) & =0x^3+4x^2+7 \\
P(x) & =4x^2+7 \end{align}
Συνεπώς το πολυώνυμο \(P(x)\) είναι \(2^\text{ου}\) βαθμού.
β) Για να είναι τα πολυώνυμα \(P(x)\) και \(Q(x)\) ίσα, πρέπει να είναι ίδιου βαθμού και να έχουν τους αντίστοιχους συντελ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.1 Πολυώνυμα |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-20692 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\log x\), \(x>0\).
α) Να υπολογίσετε τους αριθμούς \(f(100)\), \(f(\sqrt{10})\)
β) Για \(x>1\), να επιλύσετε την εξίσωση \(f(x+1)+f(x-1)=\log10-\log5\). | α) \(f(100)=\log100=2\), διότι η βάση του λογαρίθμου είναι το 10, άρα από τον ορισμό έχουμε \(10^{2}=100\).
\(f(\sqrt{10})=\log(\sqrt{10})=\log(10^{\frac{1}{2}})=\dfrac{1}{2}\)
β) Η εξίσωση γράφεται:
$$\log(x+1)+\log(x-1)=\log10-\log5$$
$$\Leftrightarrow \log[(x+1)(x - 1)]=\log(\dfrac{10}{5})$$
$$\Leftrightarrow \log(... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15096 | Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2x^3+x^2-3x+1\)
α) Να αποδείξετε ότι το \(1\) και το \(-1\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.
β) Να κάνετε τη διαίρεση του \(P(x): (x^2+x-1)\) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. | α) Είναι: \(P(-1)=2\cdot (-1)^3+(-1)^2-3(-1)+1=3\neq0\)
και \(P(1)=2\cdot 1^3+1^2-3\cdot 1 +1=1\neq 0\)
Άρα το \(1\) και το \(-1\) δεν είναι ρίζες του πολυωνύμου.
β) Είναι:
Άρα το πηλίκο της διαίρεσης των δύο πολυωνύμων είναι το \(π(x)=2x-1\) και το υπόλοιπο είναι \(0\).
Επομένως ισχύει: \(P(x)=(x^2+x-1)\cdot (2x-1... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.1 Πολυώνυμα 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15016 | Δίνεται το γραμμικό σύστημα:
\begin{cases} 3x+2y=8 \\
2x-y=3\end{cases}
α) Να αιτιολογήσετε γιατί το ζεύγος \((0,\ 4)\) δεν αποτελεί λύση του παραπάνω συστήματος.
β) Να λύσετε το παραπάνω σύστημα.
γ) Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής των ευθειών \((ε_1): 3x+2y=8\) και \((ε_2): 2x-y=3.\) | α) Το ζεύγος \((0,\ 4)\) επαληθεύει μόνο την εξίσωση \(3x+2y=8\) και όχι την εξίσωση \(2x - y = 3\), οπότε δεν αποτελεί λύση του συστήματος.
β) Από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος έχουμε:
$$2x - y = 3$$
$$\Leftrightarrow -y=-2x+3$$
$$\Leftrightarrow y = -2x +3$$
$$\Leftrightarrow y = 2x - 3$$
και με αντικατάσταση στη... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 1.1 Γραμμικά Συστήματα |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15046 | Σε τρίγωνο \(ΑΒΓ\) ισχύει \(συνΑ = -\dfrac{3}{5}.\)
α) Να αιτιολογήσετε γιατί το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο.
β) Να βρείτε το \(ημΑ.\) | α) Ο αριθμός \(Α\) περιέχεται στο διάστημα \((0,\ π)\) και επειδή ισχύει \(συνΑ\lt 0\) έχουμε \(\dfrac{π}{2} \lt A \lt π.\)
Άρα, το τρίγωνο έχει τη γωνία \(Α\) αμβλεία, οπότε είναι αμβλυγώνιο.
β) Από τη βασική ταυτότητα \(ημ^2Α +συν^2Α=1\) με \(συνΑ=-\dfrac{3}{5}\), παίρνουμε:
$$ημ^2Α+\dfrac{9}{25}=1$$
$$\Leftrightarro... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-20817 | Δίνεται γωνία \(ω\), με \(π<ω<\dfrac{3π}{2}\), για την οποία ισχύει \(συνω=-\dfrac{4}{5}\).
α) Να δείξετε ότι \(ημω=-\dfrac{3}{5}\).
β) Να υπολογίστε την τιμή της παράστασης \(Α=\dfrac{ημω+συνω}{1+εφω}\). | α) Από την τριγωνομετρική ταυτότητα \(ημ^2ω+συν^2ω=1\) έχουμε ισοδύναμα:
$$ημ^2ω+συν^2ω=1$$
$$\Leftrightarrow ημ^2ω+(-\dfrac{4}{5})^2=1$$
$$\Leftrightarrow ημ^2ω= 1-\dfrac{16}{25}$$
$$\Leftrightarrow ημ^2ω=\dfrac{9}{25}$$
$$\Leftrightarrow ημ^2ω=\pm{\dfrac{3}{5}}$$
Επειδή \(π<ω<\dfrac{3π}{2}\), \(ημω=0\), οπότε: \(ημω=... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15817 | Δίνονται οι αριθμοί \(α=\ln{2}\) και \(β=\ln{3}\).
α) Να αιτιολογήσετε γιατί \(0<α<β\).
β) Να αποδείξετε ότι \(β-α<1\).
Δίνεται \(e≃2.71\). | α) Είναι
$$1<2<3$$
$$\Leftrightarrow \ln{1}<\ln{2}<\ln{3}$$
$$\Leftrightarrow 0<α<β$$
β) Είναι
$$β-α=\ln{3}-\ln{2}$$
$$=\ln{\dfrac{3}{2}}<\ln{e}=1$$
οπότε πράγματι \(β-α<1\). | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15036 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=3συν2x,\ x\in \Bbb{R}.\)
α)
Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \(f.\)
Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \(f.\)
β) Να λύσετε την εξίσωση \(f(x)=−3\) στο \(\Bbb{R}.\) | α)
Η συνάρτηση είναι της μορφής \(f(x)=ρσυνωx,\ ρ>0\) με \(ρ=3\) και \(ω=2\), οπότε η μέγιστη τιμή της \(f\) είναι ίση με \(3\) και η ελάχιστη τιμή της \(f\) είναι ίση με \(-3.\)
Η περίοδος της \(f\) είναι \(Τ=\dfrac{2π}{ω}=π.\)
β) \(f(x)=−3\) αν και μόνο αν
$$3συν2x=-3$$
$$\Leftrightarrow συν2x=−1$$
$$\Leftrightarr... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15960 | Δίνεται η συνάρτηση \(𝑓(𝑥)=𝑥^4+𝜅𝑥−1\), με \(𝜅\in \Bbb{R}.\)
α) Να βρείτε την τιμή του \(𝜅\in \Bbb{R}\) για την οποία \(𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)\), για κάθε \(x\in \Bbb{R}.\)
β) Για \(𝜅=0\),
να δείξετε ότι η συνάρτηση \(𝑓\) είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα \((−∞,0],\)
να δείξετε ότι \(𝑓(𝑥)≥−1\) για κάθε \(x\in \Bbb{... | α) Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(𝑓\) είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών \(\Bbb{R}.\) Για τη συνάρτηση \(𝑓\) έχουμε:
$$\begin{align} & 𝑓(−𝑥)= 𝑓(𝑥) \\
\Leftrightarrow & (−𝑥)^4+𝜅(−𝑥)−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\
\Leftrightarrow & 𝑥^4−𝜅𝑥−1=𝑥^4+𝜅𝑥−1\\
\Leftrightarrow & 2𝜅𝑥=0, \text{ για κάθε } 𝑥\in \Bbb{R}.\en... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 4.1 Πολυώνυμα 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15267 | Δίνεται η εξίσωση \(log(x^2+1)=1+log3-log6.\)
α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση γράφεται \(log(x^2+1)=log5.\)
β) Να λύσετε την εξίσωση. | α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων έχουμε:
\begin{align} 1+log3-log6 & =log10+log3-log6 \\
& =log\Big(\dfrac{10\cdot 3}{6}\Big)\\
&=log5\end{align}
Oπότε η εξίσωση γράφεται: \(log(x^2+1)=log5.\)
β) Η εξίσωση ορίζεται για κάθε \(x\in \Bbb{R}\), αφού \(x^2+1>0.\)
Έτσι με \(x\in \Bbb{R}\) και με τη βοήθεια του ερωτήματος... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21472 | α) Να λύσετε την εξίσωση: \(\ln{(x+1)}=\ln{(2x)}\).
β)Να λύσετε την ανίσωση: \(\ln{(x+1)}>\ln{(2x)}\). | α)Γνωρίζουμε ότι για \(α>0\), \(α≠1\) και \(x_{1},x_{2}>0\) ισχύει η ισοδυναμία:
$$\log_{α}{x_{1}}=\log_{α}{x_{2}}$$
$$\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}$$
Επίσης η εξίσωση ορίζεται για:
$$\cases{x+1 > 0 \\ \text{και} \\ 2x > 0}$$
$$\Rightarrow \cases{x > -1 \\ \text{και} \\ x>0}$$
$$\Rightarrow x > 0$$
Οπότε έχουμε:
$$\l... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15642 | Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2(x-1)^{20}-3(x-1)^{10}+5x^2-3x-2.\)
α) Να δείξετε ότι το πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-1\).
β) i. Να υπολογίσετε την τιμή \(P(0)\).
ii. Είναι το \(x\) παράγοντας του πολυωνύμου \(P(x)\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. | α) Ένα πολυώνυμο \(P(x)\) έχει παράγοντα το \(x-ρ\) αν και μόνο αν \(P(ρ)=0\). Έχουμε:
$$P(1) = 2(1-1)^{20}-3(1-1)^{10}+5\cdot 1^2 -3\cdot 1-2=0$$
Άρα, το \(x-1\) είναι παράγοντας του \(P(x)\).
β) i. Είναι:
$$P(0) = 2(0-1)^{20}-3(0-1)^{10}+5\cdot 0^2 -3\cdot 0-2=-3$$
ii. Αφού \(P(0)=-3\neq 0\), το \(x\) δεν είναι παρά... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15999 | Δίνεται η παράσταση \(A=2συν(\dfrac{π}{2}-θ)+ημ(-θ)\).
α) Να αποδείξετε ότι \(Α=ημθ\).
β) Να βρείτε την τιμή της παράστασης \(Α\), όταν \(θ∈(\dfrac{3π}{2},2π)\) και \(συνθ=\dfrac{12}{13}\). | α) Είναι γνωστό ότι \(συν(\dfrac{π}{2}-θ)=ημθ\) και \(ημ(-θ)=-ημθ\), οπότε έχουμε:
$$Α=2συν(\dfrac{π}{2}-θ)+ημ(-θ)$$
$$=2ημθ-ημθ=ημθ$$
που είναι το ζητούμενο.
β) Από την ταυτότητα \(ημ^{2}θ+συν^{2}θ=1\), με \(συνθ=\dfrac{12}{13}\) έχουμε:
$$ημ^{2}θ=1-συν^{2}θ$$
$$=1-\dfrac{144}{169}=\dfrac{25}{169}$$
Αλλά \(θ∈(... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-18230 | Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4\).
α) Να αποδείξετε ότι έχει παράγοντα το \((x-2)\).
β) Να παραγοντοποιήσετε το πολυώνυμο.
γ) Να λύσετε την εξίσωση \(P(x)=0\). | α) Το πολυώνυμο έχει παράγοντα το \((x-2)\), μόνο όταν \(P(2)=0\).
Πραγματικά,
$$P(2)=2⋅8+4-8⋅2-4$$
$$=16+4-16-4=0$$
οπότε το \((x-2)\) είναι παράγοντας του πολυωνύμου.
β) Είναι:
$$P(x)=2x^{3}+x^{2}-8x-4$$
$$=2x^{3}-8x+x^{2}-4$$
$$=2x(x^{2}-4)+(x^{2}-4)$$
$$=(x^{2}-4)(2x+1)$$
$$=(x-2)(x+2)(2x+1)$$
γ) Ισχύει:
$$P(x)=0... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15091 | Θεωρούμε τη συνάρτηση \(𝑓(𝑥)=\sqrt{2}\cdot 𝜎𝜐𝜈𝑥,\ 𝑥\in \Bbb{R}.\)
α)
i. Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης.
ii. Να βρείτε την μέγιστη και ελάχιστη τιμής της.
β) Να υπολογίσετε τον αριθμό \(𝑓(2025𝜋).\) | α) Καθώς η συνάρτηση είναι της μορφής \(g(x)=ρ\cdot ημ(ωx)\) με \(ρ=\sqrt{2},\ ω=1\), θα έχουμε:
i. Η περίοδος της συνάρτησης είναι \(𝛵=2πω=2π.\)
ii. Η μέγιστη τιμή της είναι \(|ρ|=\sqrt{2}\) και η ελάχιστη τιμή της \(− |ρ|=− \sqrt{2}.\)
β)
\begin{align} 𝑓(2025𝜋) & =\sqrt{2} \cdot 𝜎𝜐𝜈(2\cdot 1012 \cdot𝜋+𝜋) \\
&... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15675 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\ln(e^x-1).\)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \(f.\)
β) Να λύσετε την εξίσωση: \(f(x)=0\). | α) Η συνάρτηση \(f\) ορίζεται για όλες τις πραγματικές τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει:
$$\begin{align} & e^x-1>0 \\
\Leftrightarrow & e^x>1 \\
\Leftrightarrow & e^x>e^0 \\
\Leftrightarrow & x>0 \end{align}$$
Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \((0,+\infty).\)
β) Είναι
$$\begin{align} & f(x)=0 \\
\Leftr... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.1 Εκθετική συνάρτηση 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21161 | Σε έναν κύκλο ακτίνας \(ρ\) θεωρούμε ένα τόξο \(AB\) με μήκος ίσο με \(2ρ\).
α) Να βρείτε πόσα ακτίνια είναι η αντίστοιχη στο τόξο \(ΑΒ\), επίκεντρη γωνία \(ω\).
β) Αν \(ω=2\) ακτίνια, να βρείτε πόσες μοίρες είναι η γωνία \(ω\). | α) Ένα ακτίνιο είναι το τόξο ενός κύκλου ακτίνας \(ρ\) που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα του κύκλου \(ρ\). Εφόσον το μήκος του τόξου \(ΑΒ\) είναι ίσο με δύο ακτίνες του κύκλου η αντίστοιχη επίκεντρη γωνία θα είναι ίση με \(2\) ακτίνια.
β) Είναι γνωστό ότι \(2π\) ακτίνια είναι η γωνία η οποία είναι ίση με \(360\) μοίρες... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15021 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x}\).
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.
β) Να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συμμετρίας το \(Ο(0,0)\).
γ) Να υπολογίσετε την παράσταση \(f(\ln{2})+f(\ln{\dfrac{1}{2}})\).
δ) Να αποδείξετε ότι \(f(ημθ)+f(ημ(π+θ))=0\), για κάθε \(θ∈R\) με \(ημθ≠0\). | α) Η συνάρτηση \(f\) ορίζεται για κάθε πραγματική τιμή του \(x\) για την οποία ισχύει \(x≠0\). Συνεπώς το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \(Α=(-∞,0)∪(0,+∞)\).
β) Για κάθε \(x∈Α\) και \(-x∈Α\). Επίσης,
$$\begin{align} f(-x) &=\dfrac{(-x)^{2}+1}{-x}\\
\\&=-\dfrac{x^{2}+1}{x}\\
\\&=-f(x)\end{align}$$
για κάθε ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο 5.2 Λογάριθμοι |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15049 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=ημ\left(\dfrac{π}{2}-x\right)+ημ(π+x),x\in \mathbb{R}\).
α) Να αποδείξετε ότι \(f(x)=συνx-ημx\).
β) Να αποδείξετε ότι \(-2\le f(x)\le 2\). Κατόπιν να εξετάσετε αν ο αριθμός \(2\) είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης.
γ) Να βρείτε:
Το σημείο τομής της γραφικής παράστασης \(C_{f}\) της f με τ... | α) Επειδή \(ημ\left(\dfrac{π}{2}-x\right)=συνx\) και \(ημ(π+x)=-ημx\), έχουμε: \(f(x)=συνx-ημx\), \(x\in \mathbb{R}\).
β) Για κάθε \(x\in \mathbb{R}\), έχουμε:
$$-1\le συνx\le 1\ \ \ \ (1)$$
και:
$$-1\le ημx\le 1 $$
$$\Leftrightarrow -1\le -ημx\le 1\ \ \ \ (2)$$
Με πρόσθεση των \((1)\) και \((2)\) προκύπτει ότι:
$$-2... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21858 | Δίνεται η παράσταση:
$$Α=2\log{5}+2\log{2}$$
α) Να αποδείξετε ότι: \(Α=2\).
β) Να βρεθεί η τιμή του \(λ\) για την οποία ισχύει ότι: \(e^{λ}=Α\).
γ) Για την τιμή του \(λ\) που βρήκατε στο ερώτημα β), να αποδείξετε ότι: \(\ln{λ}<0\). | α) Είναι:
$$Α=2\log{5}+2\log{2}$$
$$=\log{5^{2}}+\log{2^{2}}$$
$$=\log{2}5+\log{4}$$
$$=\log{(}25\cdot 4)$$
$$=\log{1}00=2$$
β) Είναι:
$$e^{λ}=Α $$
$$\Leftrightarrow e^{λ}=2 $$
$$\Leftrightarrow λ=\ln{2}$$
γ) Είναι:
$$ 2 < e $$
$$\Leftrightarrow \ln{2}<\ln{e} $$
$$\Leftrightarrow λ<1 $$
$$\Leftrightarrow \ln{λ}... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15816 | Δίνονται οι αριθμοί \(α=ln2,\ β=ln4,\ γ=ln8.\)
α) Να αποδείξετε ότι \(2β=α+γ.\)
β) Να αποδείξετε ότι \(β+γ=5α.\) | α) Είναι
\begin{align} α+γ & =ln2+ln8 \\
& = ln(2\cdot 8) \\
& = ln16 \\
& = ln4^2 \\
& = 2\ ln4 \\
& = 2 β \end{align}
β) Είναι:
\begin{align} β+γ & =ln4+ln8 \\
& = ln(4\cdot 8) \\
& = ln32 \\
& = ln2^5 \\
& = 5\ ln2 \\
& = 5α \end{align}
Σημείωση: Οι αριθμοί \(2,\ 4,\ 8\) είναι με αυτή τη σειρά διαδοχικοί όροι γεωμε... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15618 | α) Να γράψετε το πολυώνυμο \(P(x)=2x^3+x^2−x\) ως γινόμενο ενός πρωτοβάθμιου και ενός δευτεροβάθμιου πολυωνύμου.
β) Να λύσετε την εξίσωση \(P(x)=0.\) | α) Στο πολυώνυμο μπορούμε να εξάγουμε κοινό παράγοντα το \(x\) και έχουμε:
$$P(x)=2x^3+x^2−x=x\cdot (2x^2+x−1)$$
που είναι το ζητούμενο.
β) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
$$P(x)=2x^3+x^2−x=0$$
$$\Leftrightarrow x\cdot (2x^2+x−1)=0$$
$$\Leftrightarrow x\cdot (2x−1) \cdot (x+1)=0$$
$$x=0 \text{ ή } x=\dfrac{1}{2} \text{ ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15012 | Η διαίρεση ενός πολυωνύμου \(P(x)\) με το \(x-3\) έχει πηλίκο \(x^2+2\) και υπόλοιπο \(4.\)
α) Να γράψετε την ταυτότητα της παραπάνω διαίρεσης.
β) Να δείξετε ότι \(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\)
γ) Είναι το \(x=3\) ρίζα του πολυωνύμου \(P(x)\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. | α) Σύμφωνα με την ταυτότητα της διαίρεσης είναι:
$$P(x)=(x-3)(x^2+2)+4$$
β) Έχουμε
$$P(x)=(x-3)(x^2+2)+4$$
$$\Leftrightarrow P(x)=x^3+2x-3x^2-6+4$$
Τελικά \(P(x)=x^3-3x^2+2x-2.\)
γ) Ο αριθμός \(x=3\) είναι ρίζα του πολυωνύμου \(P(x)\), αν η διαίρεσή του με το \(x-3\) έχει υπόλοιπο \(0\), που δεν συμβαίνει εδώ, αφού \(P... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.1 Πολυώνυμα 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-20640 | Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=2x^{3}-8x^{2}+7x-1\).
α) Να αποδείξετε ότι έχει ρίζα τον αριθμό \(1\).
β) Έστω \(Q(x)\) πολυώνυμο το οποίο δεν έχει ρίζα τον αριθμό \(1\).
i.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \(R_{1}(x)=P(x)+Q(x)\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \(1\).
ii.Να αποδείξετε ότι το πολυώνυμο \(R_{2}(x)=P(x)⋅Q(x)\) έχ... | α) Είναι:
$$P(1)=2⋅1^{3}-8⋅1^{2}+7⋅1-1$$
$$=2-8+7-1=9-9=0$$
οπότε το πολυώνυμο έχει ρίζα τον αριθμό \(1\).
β) Ισχύει: \(Q(1)≠0\), οπότε:
i.Για το πολυώνυμο \(R_{1}(x)\) έχουμε:
$$R_{1}(1)=P(1)+Q(1)$$
$$=0+Q(1)≠0$$
Άρα το πολυώνυμο \(R_{1}(x)\) δεν έχει ρίζα τον αριθμό \(1\).
ii.Για το πολυώνυμο \(R_{2}(x)\) έχουμ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.1 Πολυώνυμα |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-32675 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=2ημx+1\), \(x∈\mathbb{R}\).
α) Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης \(f\).
β)Για ποια τιμή του \(x∈[0,2π]\) η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστη τιμή; | α) Γνωρίζουμε ότι μια συνάρτηση της μορφής \(g(x)=2ημx\) έχει ελάχιστη τιμή \(-2\) και μέγιστη \(2\). Άρα, η συνάρτηση \(f(x)=2ημx+1\) έχει ελάχιστη τιμή \(-2+1=-1\) και μέγιστη \(2+1=3\).
β) Η τιμή του \(x\) για την οποία η συνάρτηση \(f\) παρουσιάζει μέγιστη τιμή είναι ηλύση της εξίσωσης:
$$f(x)=3$$
$$\Lef... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15093 | Δίνεται η συνάρτηση \(𝑓(𝑥)=\log (10^𝑥 − 1)\).
α) Να αποδείξετε ότι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το διάστημα \((0,+∞)\).
β) Να βρείτε το διάστημα στο οποίο η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(𝑓\) βρίσκεται πάνω από τον άξονα \(𝑥'𝑥\).
γ) Να αποδείξετε ότι \(𝑓(𝑥)+𝑥=\log (10^{2𝑥} − 10^𝑥),\ 𝑥>0\).
δ) Ν... | α) Καθώς υπάρχουν λογάριθμοι μόνο θετικών αριθμών, απαιτούμε
$$\begin{align} & 10^𝑥 − 1>0 \\
\Leftrightarrow & 10^𝑥>1 \\
\Leftrightarrow & 10^𝑥>10^0 \\
\Leftrightarrow & 𝑥>0\end{align}$$
αφού η συνάρτηση \(𝑔(𝑥)=10^𝑥\) είναι γνησίως αύξουσα στο \(\Bbb{R}\).
β) Πρέπει
$$\begin{align} & 𝑓(𝑥)>0 \\
\Leftrightarrow ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.1 Εκθετική συνάρτηση 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15011 | Ο Κώστας καταθέτει σε μια τράπεζα \(15\) χαρτονομίσματα των \(20\) € και \(50\) €. Συμβολίζουμε με \(x\) και \(y\) το πλήθος των χαρτονομισμάτων των \(20\) € και \(50\) € αντίστοιχα.
α)
i.Δίνονται οι εξισώσεις:
\(y=15 - x\)
\(y-x=15\)
Να επιλέξετε ποια από τις δύο παραπάνω εξισώσεις περιγράφει την σχέση των \(x\) και \... | α)
i.Όλα τα χαρτονομίσματα είναι \(15\), οπότε το άθροισμα των \(x\) και \(y\) είναι \(15\), δηλαδή σωστή είναι η εξίσωση 1: \(y=15-x\Leftrightarrow y+x=15\).
ii.Τα \(x\) χαρτονομίσματα των \(20\) € έχουν αξία \(20x\) €. Αντίστοιχα τα \(y\) χαρτονομίσματα των \(50\) € έχουν αξία \(50y\) €. Η συνολική αξία... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 1.1 Γραμμικά Συστήματα |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-17318 | Δίνεται η συνάρτηση \(𝑓(𝑥)=\ln(𝑥^2−2𝑥+3)\), με \(𝑥\in \Bbb{R}.\)
α) Να βρείτε το \(𝑓(3).\)
β) Να δείξετε ότι \(\ln 3+3\ln2−𝑓(3)=\ln 4.\)
γ) Να λύσετε την εξίσωση \(𝑓(𝑥)=\ln4.\) | α) Είναι \(𝑓(3)=\ln(3^2−2⋅3+3)=\ln6.\)
β) Είναι
$$\begin{align}\ln3+3\ln2−𝑓(3) & =\ln3+\ln2^3−\ln6 \\
& =\ln\dfrac{24}{6} \\
& =\ln4. \end{align}$$
γ) Με \(𝑥\in \Bbb{R}\), είναι:
$$\begin{align} & 𝑓(𝑥)=\ln4 \\
\Leftrightarrow & \ln(𝑥^2−2𝑥+3)=\ln4 \\
\Leftrightarrow & 𝑥^2−2𝑥+3=4 \\
\Leftrightarrow & 𝑥^2−2𝑥−1=... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-31570 | Δίνονται οι ευθείες: \(ε_{1}:\ 2x+y=6\) και \(ε_{2}:\ x-2y=-2\).
α) Να προσδιορίσετε αλγεβρικά το κοινό τους σημείο \(M\).
β) Να δείξετε ότι η ευθεία \(ε_{3}:\ 3x+y=8\) διέρχεται από το \(M\). | α) Για να προσδιορίσουμε αλγεβρικά το κοινό σημείο \(Μ\) των ευθειών \(ε_{1}:\ 2x+y=6\) και \(ε_{2}:\ x-2y=-2\), θα λύσουμε το σύστημα (επιλέγουμε τη μέθοδο των αντίθετων συντελεστών):
$$\begin{cases} 2x+y=6 \\ x-2y=-2 \end{cases} $$
$$\overset{(\cdot 2)}{\Leftrightarrow} \begin{cases} 4x+2y=12 \\ x-2y=-2 \end{cases}... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 1.1 Γραμμικά Συστήματα |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15687 | Δίνεται η παράσταση \(A=\log_4 3+\log_4α-\log_4β\), όπου \(α, β\) θετικοί αριθμοί.
α) Να αποδείξετε ότι \(Α=\log_4 \dfrac{3α}{β}\)
β) Αν για τους αριθμούς \(α, β\) ισχύει \(3α=16β\), να βρείτε την τιμή της παράστασης \(Α.\) | α) Από τις ιδιότητες των λογαρίθμων, έχουμε:
$$\begin{align} A & = \log_4 3+\log_4 α + \log_4 β \\
&= \log_4(3α)-\log_4 β\\
& = \log_4 \dfrac{3α}{β}\end{align}$$
β) Η παράσταση \(Α\) με \(3α=16β\), γράφεται:
$$\begin{align} A & = \log_4 \dfrac{16β}{β} \\
&= \log_4 16\\
& = \log_4 4^2\\
& = 2 \log_4 4 \\
& = 2 \end{alig... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-32674 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}-4x+5\), \(x∈\mathbb{R}\).
α) Να δείξετε ότι η \(f\) γράφεται στη μορφή \(f(x)=(x-2)^2+1\).
β) Να αναφέρετε με ποιες μετατοπίσεις της \(y(x)=x^{2}\) προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\), την οποία και να χαράξετε στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί. | α)Ο τύπος της συνάρτησης \(f\) διαδοχικά γράφεται:
$$\begin{align} f(x) &=x^{2}-4x+5 \\
&=x^{2}-4x+4+1 \\
&=x^{2}-2\cdot 2\cdot x+2^{2}+1 \\
&=(x-2)^{2}+1 \end{align}$$
β)Παρατηρούμε ότι \(f(x)=y(x-2)+1\). Άρα, ηγραφική παράσταση της \(f\) προκύπτει από μετατόπιση της γραφικής παράστασης της \(y(x)=x^{2}\) κατά δύ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καμπύλης |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21450 | Δίνονται οι συναρτήσεις \(f(x)=\ln{(}x^{2}+4)\) και \(g(x)=\ln{x}+\ln{4}\).
α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων \(f\) και \(g\).
β) Να λύσετε την εξίσωση \(f(x)=g(x)\). | α) Ισχύει \(x^{2}+4>0\) για κάθε πραγματικό αριθμό \(x\), οπότε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(f\) είναι το \(Α_{f}=R\). Η συνάρτηση \(g\) ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) για τους οποίους ισχύει \(x>0\). Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης \(g\) είναι το \(Α_{g}=(0,+∞)\).
β) Γνωρίζουμε ότι γι... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.2 Λογάριθμοι 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15047 | Δίνεται το πολυώνυμο \(P(x)=x^4-x^3-5x^2+7x-2.\)
α) Να αποδείξετε ότι ο αριθμός \(1\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.
β) Να εξετάσετε αν το πολυώνυμο έχει και άλλη ακέραια ρίζα. | α) Επειδή
\begin{align} P(1) & =1^4-1^3-5\cdot 1^2+7\cdot 1-2 \\
& = 1-1-5+7-2\\
& =0 \end{align}
ο αριθμός \(1\) είναι ρίζα του πολυωνύμου.
β) Οι πιθανές ακέραιες λύσεις του πολυωνύμου είναι οι διαιρέτες του σταθερού όρου του δηλαδή οι διαιρέτες του \(2\) που είναι οι αριθμοί \(1,\ 2,\ -1,\ -2.\)
Ο αριθμός \(1\) είδαμ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.1 Πολυώνυμα 4.3 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-21997 | Δίδεται το πολυώνυμο \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\).
α) Ποιος είναι ο βαθμός του πολυωνύμου \(P(x)\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β) Ποιο είναι το πηλίκο \(π(x)\) και το υπόλοιπο \(υ(x)\) που προκύπτει από την διαίρεση \(P(x):(x-2)\); | α) Γνωρίζουμε ότι ο βαθμός του γινομένου (μη-μηδενικών) πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των πολυωνύμων αυτών. Επομένως, ο βαθμός του πολυωνύμου \(P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)\) είναι ίσος με \(3\), καθώς το \(P(x)\) είναι γινόμενο τριών πολυωνύμων βαθμού \(1\).
β)
$$P(x):(x-2)=\dfrac{P(x)}{x-2}$$
$$=\dfrac{(x-... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 4.1 Πολυώνυμα 4.2 Διαίρεση πολυωνύμων |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15676 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\ln (e^x-1).\)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της \(f\).
β) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τον άξονα \(x'x\).
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) η γραφική παράσταση της \(f\) είναι κάτω από τον \(x'x\). | α) Η συνάρτηση \(f\) ορίζεται για ολες τις πραγματικές τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει:
$$\begin{align} & e^x-1>0\\
\Leftrightarrow & e^x>1\\
\Leftrightarrow & e^x>e^0\\
\Leftrightarrow & x>0\end{align}$$
Συνεπώς το πεδίο ορισμού της \(f\) είναι το \((0,+\infty).\)
β) Οι τετμημένες των σημείων τομής της γραφικής ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.1 Εκθετική συνάρτηση 5.3 Λογαριθμική συνάρτηση |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15026 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=1+2ημ(\dfrac{πx}{2})\), \(x∈R\).
α) Να βρείτε την περίοδο της συνάρτησης \(f\).
β) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης \(f\).
γ) Να βρείτε τις τετμημένες των σημείων στα οποία η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον άξονα \(xx'\).
δ) Να αποδείξετε ότι \((f(x)-1)^{2}+(f(1-x)-1)^{2}=4\... | α) Η περίοδος της συνάρτησης \(f\) είναι:
$$Τ=\dfrac{2π}{\dfrac{π}{2}}=4$$
β) Για κάθε \(x∈R\) είναι:
$$-1≤ημ(\dfrac{πx}{2})≤1$$
οπότε
$$-2≤2ημ(\dfrac{πx}{2})≤2$$
οπότε
$$-2+1≤1+2ημ(\dfrac{πx}{2})≤2+1$$
και τελικά
$$-1≤f(x)≤3$$
Επίσης
$$f(1)=1+2ημ(\dfrac{π}{2})=3$$
και
$$f(3)=1+2ημ(\dfrac{3π}{2})=-1$$
Συνεπώς η μέγισ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.2 Βασικές Τριγωνομετρικές Ταυτότητες 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο 3.4 Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-20657 | Σύμφωνα με τον νόμο ψύξης του Νεύτωνα, η θερμοκρασία \(θ\), σε βαθμούς Κελσίου, ενός αντικειμένου μειώνεται με την πάροδο του χρόνου \(t\), σε λεπτά, σύμφωνα με τη συνάρτηση \(θ(t)=T+(θ_{0}-Τ)e^{kt}\), όπου \(k\) μια σταθερά με \(k\lt 0\), \(θ_{0}\) η αρχική θερμοκρασία του αντικειμένου, ενώ \(Τ\) είναι η σταθ... | α) Με βάση τα δεδομένα του προβλήματος έχουμε:
\(θ_{0}=100^{0}C\), \(T=30^{0}C\), ενώ \(θ(5)=80^{0}C.\)
Άρα \(80^{0}=30^{0}+(100^{0}-30^{0})e^{k}\), οπότε \(e^{k}=\dfrac{50}{70}=\dfrac{5}{7}\).
Έτσι, θα έχουμε \(5k=\ln(\dfrac{5}{7})\).
Τελικά, \(k=\dfrac{-0,336}{5}=-0,0672\).
β) Στο προηγούμενο ερώτημα βρήκαμε ότ... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 5.1 Εκθετική συνάρτηση 5.2 Λογάριθμοι |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15969 | Δίνεται η συνάρτηση \(𝑓(𝑥)=2𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)−2𝜂𝜇\left(\dfrac{𝜋}{2}−𝑥\right).\)
α) Να δείξετε ότι \(𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥)=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\)
β) Να δείξετε ότι \(𝑓(𝑥)=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\)
γ) Να λύσετε την εξίσωση \(𝑓(𝑥)=−2.\) | α) Είναι:
$$\begin{align} 𝜎𝜐𝜈(13𝜋+𝑥) & =𝜎𝜐𝜈(6⋅2𝜋+𝜋+𝑥) \\
&=𝜎𝜐𝜈(𝜋+𝑥)\\ &=−𝜎𝜐𝜈𝑥.\end{align}$$
β) Είναι
$$𝜂𝜇\left( \dfrac{𝜋}{2}−𝑥\right)=𝜎𝜐𝜈𝑥.$$
Άρα \(𝑓(𝑥)=−2𝜎𝜐𝜈𝑥−2𝜎𝜐𝜈𝑥=−4𝜎𝜐𝜈𝑥.\)
γ) Λύνουμε την εξίσωση:
$$\begin{align} & 𝑓(𝑥)=−2 \\
\Leftrightarrow & −4𝜎𝜐𝜈𝑥=−2 \\
\Leftrightar... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας 3.3 Αναγωγή στο 1o Τεταρτημόριο 3.5 Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-15019 | Δίνεται μία συνάρτηση \(f\) για την οποία ισχύει ότι \(f(-1)=2\) και \(f(1)=0\). Να αιτιολογήσετε (αλγεβρικά ή γραφικά):
α) γιατί η συνάρτηση \(f\) δεν είναι άρτια,
β) γιατί η συνάρτηση \(f\) δεν είναι περιττή,
γ) γιατί η συνάρτηση \(f\) δεν είναι γνησίως αύξουσα. | α) Είναι \(f(-1)\neq f(1)\) οπότε η \(f\) δεν είναι άρτια.
β) Επίσης \(f(-1)\neq -f(1)\) οπότε η \(f\) δεν είναι περιττή.
γ) Είναι \(f(1) \lt f(-1)\), που σημαίνει ότι η συνάρτηση \(f\) δεν είναι γνησίως αύξουσα, αφού αν ήταν, θα έπρεπε \(f(-1) \lt f(1)\), που δεν ισχύει. | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 2.1 Μονοτονία-Ακρότατα-Συμμετρίες Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Β-ΓΕΛ-18868 | α) Να αποδείξετε οτι \(εφ500^0=εφ140^0\).
β)
Να βρείτε το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \(εφ500^0\)
Να βρείτε το πρόσημο της παράστασης \(Α=εφ500^0\cdot ημ250^0\cdot συν300^0\). | α) Είναι γνωστό οτι \(εφ(κ\cdot 360°+ω)=εφω\) για κάθε ακέραιο \(κ\).
Επομένως \(εφ500^0=εφ(360^0+140^0)=εφ140^0\).
β)
Το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \(εφ500^0\) είναι το ίδιο με το πρόσημο του τριγωνομετρικού αριθμού \(εφ140^0\).
Αφού \(90^0<140^0<180^0\), τότε η τελική πλευρά της γωνίας \(140^0\) βρί... | Άλγεβρα Β' Λυκείου, 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14597 | Ένα μικρό γήπεδο μπάσκετ έχει δέκα σειρές καθισμάτων και κάθε επόμενη σειρά έχει τέσσερα καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη. Η έβδομη σειρά έχει \(36\) καθίσματα.
α) Αποτελούν τα καθίσματα κάθε σειράς του γηπέδου όρους αριθμητικής προόδου; Αιτιολογήσετε τον συλλογισμό σας.
β) Να βρείτε το πλήθος των καθισμάτων ... | α) Το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς προκύπτει από το πλήθος των καθισμάτων της προηγούμενης σειράς προσθέτοντας πάντα σταθερά τέσσερα καθίσματα.
Έτσι σύμφωνα με τον ορισμό της αριθμητικής προόδου, το πλήθος των καθισμάτων κάθε σειράς αποτελούν όρους αριθμητικής προόδου με διαφορά \(ω=4\).
β) Έχουμε:
$$α_{7}=α_{1}... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-35112 | Δίνεται η παράσταση: \(Α=|3x-6|+2\), όπου ο \(x\) είναι πραγματικός αριθμός.
α) Να αποδείξετε ότι:
για κάθε \(x\ge 2\), \(Α=3x-4\).
για κάθε \(x<2\), \(Α=8-3x\)
β) Αν για τον \(x\) ισχύει ότι \(x\ge 2\) να αποδείξετε ότι:
$$\dfrac{9x^{2}-16}{|3x-6|+2}=3x+4$$ | α)
Ισχύει ότι:
$$x\ge 2$$
$$\Leftrightarrow 3x\ge 3\cdot 2$$
$$\Leftrightarrow 3x\ge 6$$
$$\Leftrightarrow 3x-6\ge 0$$
Άρα \(|3x-6|=3x-6\).
Τότε:
$$Α=|3x-6|+2=3x-6+2=3x-4$$
Ισχύει ότι:
$$x<2$$
$$\Leftrightarrow 3x<3\cdot 2$$
$$\Leftrightarrow 3x<6 $$
$$\Leftrightarrow 3x-6<0$$
Άρα \(|3x-6|=-(3x-6)=6-3x\).
Τότε:
$... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36662 | Ένα κλειστό στάδιο έχει \(25\) σειρές καθισμάτων. Στην πρώτη σειρά έχει \(12\) καθίσματα και καθεμιά από τις επόμενες σειρές έχει δυο καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη.
α) Να βρείτε πόσα καθίσματα έχει η μεσαία και πόσα η τελευταία σειρά.
β) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα του σταδίου.
γ) Οι μαθητές ενός Λυκείου... | Επειδή κάθε σειρά καθισμάτων έχει \(2\) καθίσματα παραπάνω από την προηγούμενη, ο αριθμός των καθισμάτων κάθε σειράς σχηματίζει αριθμητική πρόοδο με πρώτο όρο \(α_{1}=12\) και \(ω=2\).
α) Η μεσαία σειρά έχει:
$$α_{13}=α_{1}+12ω=12+12\cdot 2=36\ \text{καθίσματα}$$
και η τελευταία σειρά έχει:
$$α_{25}=α_{1}+24ω=12+24\cd... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36889 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x^{2}+2x-15\), \(x\in \mathbb{R}\).
α) Να υπολογίσετε το άθροισμα: \(f(-5)+f(0)+f(3)\).
β) Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής της παράστασης της \(f\) με τους άξονες. | α) Έχουμε:
$$f(-5)=(-5)^{2}+2\cdot (-5)-15=25-10-15=0$$
$$f(0)=0^{2}+2\cdot 0-15=-15$$
$$f(3)=3^{2}+2\cdot 3-15=9+6-15=0$$
Άρα:
$$f(-5)+f(0)+f(3)=0-15+0=-15$$
β) Για \(x=0\), έχουμε από το α) ερώτημα \(f(0)=-15\). Άρα η γραφική παράσταση της \(f\) τέμνει τον \(y'y\) άξονα στο σημείο \((0,-15)\).
Από το α) ερώτημα παρατ... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14599 | Αν για τον πραγματικό αριθμό \(x\) ισχύει \(|2x|<2\), τότε:
α) Να αποδείξετε ότι \(-1 < x < 1\).
β) Να αποδείξετε ότι για κάθε \(x\in (-1,1)\), ισχύει \(x^{2}<1\). | α) Έχουμε ισοδύναμα:
$$|2x|<2 \Rightarrow 2|x|<2$$
διαιρούμε τα μέλη της ανίσωσης με το \(2\) και έχουμε:
$$|x| < 1 \Rightarrow -1 < x < 1$$
β) H ανίσωση \(x^{2}<1\) ισχύει, αν και μόνο αν ισχύει η \(\sqrt{x^{2}}<1\), που ισχύει αν και μόνο αν ισχύει η \(|x|<1\), που ισχύει αν και μόνο αν ισχύει \(-1<x<1\), δηλαδή \(... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-37196 | Δίνεται η παράσταση \(A=\sqrt{x^{2}+4}-\sqrt{x-4}\).
α) Για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται η παράσταση \(Α\); Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας και να γράψετε το σύνολο των δυνατών τιμών του \(x\) σε μορφή διαστήματος.
β) Αν \(x=4\), να αποδείξετε ότι \(A^{2}-A=2\cdot (10-\sqrt{5})\). | α) Πρέπει:
$$\begin{cases} x^{2}+4\ge 0 \\ \text{και } x-4\ge 0\end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x\in \mathbb{R}\\ \text{και } x\ge 4\end{cases}$$
$$\Leftrightarrow x\ge 4$$
$$\Leftrightarrow x\in [4,+\infty)$$
β) Για \(x=4\) είναι:
$$\begin{align} A & =\sqrt{4^{2}+4}-\sqrt{4-4}\\
& =\sqrt{16+4}-\sqrt{0}... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-33581 | Σε μια αριθμητική πρόοδο \((α_{ν})\), ο \(3^{ος}\) όρος είναι \(α_{3}=8\) και ο \(8^{ος}\) όρος είναι \(α_{8}=23\).
α) Να βρείτε τον \(1^ο\) όρο \(α_{1}\) και τη διαφορά \(ω\) της προόδου.
Αν \(α_{1}=2\) και \(ω=3\),
β) Να υπολογίσετε τον \(31^ο\) όρο της προόδου.
γ) Να υπολογίσετε το άθροισμα: \(S=(α_{1}+1)+(α_{2}+... | α) Έχουμε:
$$\begin{cases} α_{3}=8 \\ α_{8}=23 \end{cases} $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}+2ω=8 \\ α_{1}+7ω=23 \end{cases}$$
$$\overset{(-)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} 5ω=15 \\ α_{1}+2ω=8 \end{cases} $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} ω=3 \\ α_{1}+2\cdot 3=8 \end{cases} $$
$$\Leftrightarrow \begin{ca... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36899 | Δίνονται πραγματικοί αριθμοί \(α\), \(β\) με \(α > 0\) και \(β > 0\). Να δείξετε ότι:
α) \(α+\dfrac{4}{α}\ge 4\).
β) \(\left(α+\dfrac{4}{α}\right)\left(β+\dfrac{4}{β}\right)\ge 16\). | α) Έχουμε ισοδύναμα:
$$α+\dfrac{4}{α}\ge 4$$
$$\overset{α>0}{ \Leftrightarrow } α^{2}+α\cdot \dfrac{4}{α}\ge 4α$$
οπότε:
$$α^{2}+4\ge 4α$$
δηλαδή:
$$α^{2}-4α+4\ge 0$$
και τελικά:
$$(α-2)^{2}\ge 0$$
που ισχύει.
β) Από το α) ερώτημα έχουμε ότι \(α+\dfrac{4}{α}\ge 4\) και ομοίως \(β+\dfrac{4}{β}\ge 4\). Πολλαπλασιάζοντ... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-13479 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\).
Αν \(|x|\leq4\), τότε:
α) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης \(f\) χωρίς τις απόλυτες τιμές.
β) Αν \(f(x)=3x^2-x-44\).i. Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης \(f\) με τους άξονες.
ii. Αν το σημείο \(Μ(μ+1,-20)\) ανήκει στη γραφική παράστ... | α) Είναι \(|x|\leq4\iff -4\leq x\leq 4\).
Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται:
\begin{align}f(x)&=|3x-12|-|2x-8|-3|x^2-16|\\
&=3|x-4|-2|x-4|-3|x^2-16|\\
&=|x-4|-3|x^2-16|.\end{align}
Έχουμε
\begin{align}&x\leq4\\
\iff &x-4\leq 0\\
\iff &|x-4|=4-x.\end{align}
Επιπλέον
\begin{align}&|x|\leq4\\
\iff& |x|^2\leq16\\
\iff& x^2-1... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-37194 | α) Να δείξετε ότι: \(3\lt \sqrt[3]{30} \lt 4\)
β) Να συγκρίνετε τους αριθμούς \(\sqrt[3]{30}\) και \(6-\sqrt{30}\) | α) Ισοδύναμα και διαδοχικά βρίσκουμε:
$$3 \lt \sqrt{30} \lt 4$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{3^{3}}\lt \sqrt[3]{30} \lt \sqrt[3]{4^{3}}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{27} \lt \sqrt[3]{30} \lt \sqrt[3]{64}$$
$$\Leftrightarrow 27\lt 30\lt 64$$
το οποίο ισχύει.
β) Έστω ότι \(\sqrt[3]{30} \lt 6-\sqrt[3]{30}\), τότε:
$$\sqrt... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34153 | Οι αριθμοί \(x+6,\ 5x+2,\ 11x-6\) είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο \(α_{1}\) και διαφορά \(ω\).
α) Να βρείτε την τιμή του \(x\) και να αποδείξετε ότι \(ω=4.\)
β) Αν ο πρώτος όρος της προόδου είναι \(α_{1}=0\), να υπολογίσετε το άθροισμα \(S_{8}\) των \(8\) πρώτων όρων. | α) Οι αριθμοί \(x + 6,\ 5x + 2,\ 11x – 6\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:
$$5x+2=\dfrac{x+6+11x-6}{2}$$
$$\Leftrightarrow 5x+2=\dfrac{12x}{2}$$
$$\Leftrightarrow 5x+2=6x$$
$$\Leftrightarrow x=2$$
Είναι:
\begin{align} ω & =5x+2-(x+6)\\
& =5x+2-x-6\\
&=4x-4\\
&=4\cdot 2-4 \\
&=4 \end{align}
... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36653 | Δίνεται μια αριθμητική πρόοδος \((α_{ν}),\ ν\in \mathbb{N}^*\) της οποίας οι τρεις πρώτοι όροι είναι:
$$α_{1}=x$$
$$α_{2}=2x^{2}-3x-4$$
$$α_{3}=x^{2}-2$$
με \(x\) ακέραιο.
α) Να αποδείξετε ότι \(x=3\).
β) Να βρείτε τον ν-οστό όρο της προόδου και να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει όρος της προόδου που να είναι ίσος με \(20... | α) Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:
$$α_{2}-α_{1}=α_{3}-α_{2} $$
$$\Leftrightarrow 2x^{2}-3x-4-x=x^{2}-2-(2x^{2}-3x-4)$$
$$\Leftrightarrow 3x^{2}-7x-6=0 $$
$$\Leftrightarrow x=3\ \text{ή}\ x=-\dfrac{2}{3}$$
Η τιμή \(x=-\dfrac{2}{3}\) απορρίπτεται διότι δεν είναι ακέραιος.
β) Η αριθμητική πρόοδος έχει... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14651 | Οι πλευρές \(x_1, x_2\) ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι οι ρίζες της εξίσωσης
$$x^2-4\Big(λ+\frac{1}{λ}\Big)x+16=0$$
όπου \(λ > 0\).
α) Να βρείτε: i. την περίμετρο \(Π\) του ορθογωνίου συναρτήσει του \(λ\).
ii. το εμβαδόν \(Ε\) του ορθογωνίου.
β) Να αποδείξετε ότι \(Π\geq 16\), για κάθε \(λ > 0\).
γ) Για ποια τ... | α) Από τους τύπους για το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών εξίσωσης \(2^\text{ου}\) βαθμού έχουμε:
\begin{align}S&=x_1+x_2\\
&=-\frac{β}{α}\\
&=-\frac{-4(λ+\frac{1}{λ})}{1}\\
&=4\Big(λ+\frac{1}{λ}\Big)\end{align}
και
\begin{align}P&=x_1\cdot x_2\\
&=\frac{γ}{α}\\
&=\frac{16}{1}\\
&=1.\end{align}
Αφού \(P=x_1 \cdot x_... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14319 | Δίνεται η ανίσωση \(|2x-5|<3\).
α) Να λύσετε την ανίσωση.
β) αν ο αριθμός \(α\) είναι μια λύση της ανίσωσης να βρείτε το πρόσημο του γινομένου:
$$A=(α-1)(α-5)$$ | α) Είναι:
$$|2x-5|<3 $$
$$\Leftrightarrow -3<2x-5<3 $$
$$\Leftrightarrow -3+5<2x<3+5 $$
$$\Leftrightarrow 2<2x<8 $$
$$\Leftrightarrow 1 < x < 4 $$
Άρα, λύση της ανίσωσης είναι κάθε αριθμός \(x\), με \(x\in (1,4)\).
β) Ο αριθμός \(α\) είναι λύση της ανίσωσης, οπότε \(α\in (1,4)\). Έτσι έχουμε \(α>1\), οπότε \(α-1>... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-12722 | Θεωρούμε το τριώνυμο \(f(x)=x^2-x-3\).
α) Να βρείτε τις ρίζες του \(f(x)\).
β) Να επιλύσετε την ανίσωση \(-2\cdot f(x) < 0\). | α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι
\begin{align}Δ&=(-1)^2-4\cdot 1\cdot (-3)\\
&=1+12\\
&=13>0.\end{align}
Άρα το \(f(x)\) έχει δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες
$$x_1=\frac{-β-\sqrt{Δ}}{2α}=\frac{-(-1)-\sqrt{13}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{13}}{2}$$
και
$$x_1=\frac{-β+\sqrt{Δ}}{2α}=\frac{-(-1)+\sqrt{13}}{2\cdot 1}=\fr... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-13173 | Δίνεται η ακολουθία \((α_ν)\) με γενικό τύπο \(α_ν=10+3ν\).
α) i. Να δείξετε ότι η ακολουθία \((α_ν)\) είναι αριθμητική πρόοδος.
ii. Nα βρείτε τον πρώτο όρο της \(α_1\) και τη διαφορά \(ω\) της παραπάνω αριθμητικής προόδου.
β) Να βρείτε ποιοι όροι της \((α_ν)\) βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς \(14\) και \(401\). Πόσο... | α) Η ακολουθία \((α_ν)\) είναι αριθμητική πρόοδος, διότι η διαφορά δυο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων της είναι σταθερή:
\begin{align}α_{ν+1}-α_ν&=[10+3(ν+1)]-(10+3ν)\\
&=10+3ν+3-10-3ν\\
&=3.\end{align}
Ο πρώτος όρος της προόδου είναι \(α_1=10+3\cdot1=13\) και η διαφορά \(ω=3\).
β) Πρέπει να βρούμε για ποιες τιμές του \(... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-35033 | Δίνονται οι παραστάσεις \(Α=|2x-4|\) και \(B=|x-3|\), με \(x\) πραγματικό αριθμό.
α) Να αποδείξετε ότι αν \(2\le x<3\), τότε \(Α+Β=x-1\).
β) Υπάρχει \(x\in [2,3)\) ώστε να ισχύει \(Α+Β=2\); Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. | α) Είναι:
$$2\le x<3 $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} x\ge 2 \\ x<3 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x\ge 4 \\ x-3<0 \end{cases}$$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} 2x-4\ge 0 \\ x-3<0 \end{cases}$$
Τότε:
$$Α=|2x-4|=2x-4$$
και:
$$B=|x-3|=-(x-3)=3-x$$
Επομένως:
$$Α+Β=2x-4 +3-x=x-1$$
β) Είναι:
$$Α+Β=2 $$
$... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-37205 | Εξαιτίας ενός ατυχήματος σε διυλιστήριο πετρελαίου, διαρρέει στη θάλασσα πετρέλαιο που στο τέλος της \(1^\text{ης}\) ημέρας καλύπτει \(3\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.), στο τέλος της \(2^\text{ης}\) ημέρας καλύπτει \(6\) τ.μ, στο τέλος της \(3^\text{ης}\) ημέρας καλύπτει \(12\) τ.μ. και γενικά εξαπλώνεται έτσι ώστε στο τέλ... | Η επιφάνεια σε τετραγωνικά μίλια που καλύπτει το πετρέλαιο στο τέλος κάθε ημέρας, είναι όροι γεωμετρικής προόδου με \(α_{1}=3\) και \(λ=2\). Στο τέλος της ν-οστής ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια \(α_{ν}=α_{1}\cdot λ^{1}\) τετραγωνικά μίλια (τ.μ.).
α) Στο τέλος της \(6^\text{ης}\) ημέρας θα έχει καλυφθεί επιφάνεια:
$... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος 5.3. Γεωμετρική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-13054 | Δίνονται οι ευθείες \(ε_1:\ y=(3α+4)x-4\) και \(ε_2:\ y=(3-4α)x+4,\ α\in \Bbb{R}\).
α) Αν \(α=1\), να βρείτε:
i. Τις εξισώσεις των ευθειών.
ii. Το είδος της γωνίας που σχηματίζει καθεμιά από τις ευθείες με τον άξονα \(x'x.\)
β) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(α\) οι ευθείες \(ε_1,ε_2\) είναι παράλληλες. | α)
i. Με \(α=1\) οι ευθείες είναι οι: \(ε_1:\ y=7x-4\) και \(ε_2:\ y=-x+4\)
ii. Η ευθεία \(ε_1\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(a_1=7>0,\) οπότε σχηματίζει με τον άξονα \(x'x\) οξεία γωνία, ενώ η \(ε_2\) έχει συντελεστή διεύθυνσης \(α_2=-1\lt0\), οπότε σχηματίζει με τον άξονα \(x'x\) αμβλεία γωνία.
β) Οι ευθείες είναι πα... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.3. Η Συνάρτηση ƒ(x) = αx + β |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14491 | α) Να λυθεί η ανίσωση \(|y – 3| < 1\).
β) Αν \(x\), \(y\) είναι μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου, με \(1 < x < 3\) και \(2 < y < 4\) τότε να βρείτε μεταξύ ποιών τιμών κυμαίνεται η τιμή του εμβαδού \(Ε\) του ορθογωνίου. | α) Είναι:
$$|y - 3| < 1 $$
$$\Leftrightarrow - 1 < y - 3 < 1 $$
$$\Leftrightarrow - 1 + 3 < y - 3 + 3 < 1 + 3 $$
$$\Leftrightarrow 2 < y < 4$$
β) Το εμβαδόν ενός ορθογωνίου δίνεται από τον τύπο: \(Ε = xy\).
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις ανισότητες \(1 < x < 3\) και \(2 < y < 4\) βρίσκουμε:
$$1 \cdot 2 < x \cdo... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-37170 | Η θερμοκρασία \(Τ\) σε βαθμούς Κελσίου (\(^0\ C\)), σε βάθος \(x\) χιλιομέτρων κάτω από την επιφάνεια της Γης, δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση:
$$T=15+25\cdot x\ \ \text{, όταν}\ \ 0\le x\le 200$$
α) Να βρείτε τη θερμοκρασία ενός σημείου, το οποίο βρίσκεται \(30\) χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης.
β) Να... | α) Για να βρούμε τη θερμοκρασία ενός σημείου που βρίσκεται \(30\) χιλιόμετρα κάτω από την επιφάνεια της Γης θέτουμε στη δοθείσα σχέση \(x=30\) και βρίσκουμε:
$$Τ=15+25\cdot 30$$
$$\Rightarrow T=15+750$$
$$\Rightarrow T=765^{0}\ C$$
β) Για να βρούμε σε ποιο βάθος η θερμοκρασία είναι ίση με \(290^{0}\ C\) θέτουμε στη δο... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34158 | Σε αριθμητική πρόοδο \((α_ν)\) είναι \(α_{1}=2\) και \(α_{5}=14\).
α) Να αποδείξετε ότι η διαφορά \(ω\) της προόδου είναι ίση με \(3\).
β) Να βρείτε πόσους από τους πρώτους όρους της αριθμητικής προόδου \((α_ν)\) πρέπει να προσθέσουμε, ώστε το άθροισμά τους να είναι ίσο με \(77.\)
(Δίνεται: \(\sqrt{1849}=43\) ). | α) Είναι:
$$α_{5}=14$$
$$\Leftrightarrow α_{1}+(5–1)ω=14$$
$$\Leftrightarrow α_{1}+4ω=14$$
$$\Leftrightarrow 4ω=12$$
$$\Leftrightarrow ω=3$$
**β)$ Έχουμε:
$$S_{ν}=77$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2α_{1}+(ν-1)ω]=77$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}[2\cdot 2+(ν-1)3]=77$$
$$\Leftrightarrow \dfrac{v}{2}(4+3ν-3)=77... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36668 | Για τη μέτρηση θερμοκρασιών χρησιμοποιούνται οι κλίμακες βαθμών Κελσίου (Celsius), Φαρενάιτ (Fahrenheit) και Κέλβιν (Kelvin). Οι μετατροπές της θερμοκρασίας από Κελσίου σε Φαρενάιτ και από Κελσίου σε Κέλβιν, περιγράφονται από τις προτάσεις \(Π1\) και \(Π2\):
\(Π1\): Για να μετατρέψουμε τη θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίο... | α) Η πρόταση \(Π1\) εκφράζεται συμβολικά με τη σχέση:
$$F=1,8\cdot C+32\ \ \ \ (1)$$
Η πρόταση \(Π2\) εκφράζεται συμβολικά με τη σχέση:
$$K=C+273\ \ \ \ (2)$$
β) Η ισότητα \((1)\) ισοδύναμα γράφεται:
$$F=1,8\cdot C+32 $$
$$\Leftrightarrow F-32=1,8\cdot C $$
$$\Leftrightarrow C=\dfrac{F-32}{1,8}\ \ \ \ (3)$$
Τότε η ... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-12788 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=(x-1)^2, x\in\mathbb{R}\).
α) Να αποδείξετε ότι \(f(\sqrt{3})+f(-\sqrt{3})=8\).
β) Να βρείτε όλα τα σημεία της γραφικής παράστασης της \(f\), με συντεταγμένες ακέραιους αριθμούς, τα οποία βρίσκονται κάτω από την ευθεία \(y=4\).
γ) Έστω \(α, β\) πραγματικοί αριθμοί με \(α\neq β\) ώστε να ισχύε... | α) Είναι:
\begin{align}&f(\sqrt{3})+f(-\sqrt{3})\\
=&(\sqrt{3}-1)^2+(-\sqrt{3}-1)^2\\
=&3+1-2\sqrt{3}+3+1+2\sqrt{3}\\
=&4+4\\
=&8\end{align}
β) Ένα σημείο \(Μ(x,f(x))\) της γραφικής παράστασης της \(f\), βρίσκεται κάτω από την ευθεία \(y=4\) μόνο όταν ισχύει \(f(x)< 4\).
Είναι:
\begin{align}&f(x)< 4\\
\iff&(x-1)^2< 4\\... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36674 | Ο Διονύσης γράφει στο τετράδιό του τους αριθμούς \(3, 7, 11, 15,...\) και συνεχίζει προσθέτοντας κάθε φορά το \(4\). Σταματάει όταν έχει γράψει τους \(40\) πρώτους από τους αριθμούς αυτούς.
α) Είναι οι παραπάνω αριθμοί διαδοχικοί όροι μιας αριθμητικής προόδου; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
β) Να βρείτε το άθροισ... | α) Επειδή κάθε όρος που προστίθεται προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού, που είναι το \(4\), οι αριθμοί που δίνονται είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με \(α_1 = 3\) και \(ω = 4\).
β) Είναι:
$$S_{40}=\dfrac{[2\cdot 3+(40-1)\cdot 4]\cdot 40}{2}$$
$$=(6+39\cdot 4)\cdot 20=324... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-33587 | Δίνεται το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\), \(x\in \mathbb{R}\).
α) Να βρείτε το πρόσημο του παραπάνω τριωνύμου για τις διάφορες τιμές του \(x\in \mathbb{R}\).
β) Να βρείτε, αιτιολογώντας την απάντησή σας, το πρόσημο του γινομένου:
$$f(2,999)\cdot f(-1,002)$$
γ) Αν \(-3<α<3\), να βρείτε το πρόσημο του αριθμού \(-α^{2}+... | α) Το τριώνυμο \(f(x)=-x^{2}+2x+3\) έχει διακρίνουσα:
$$Δ=2^{2}-4\cdot (-1)\cdot 3$$
$$=4+12=16>0$$
Το άθροισμα των ριζών του είναι:
$$S=x_{1}+x_{2}$$
$$=\dfrac{-2}{-1}=2$$
και το γινόμενό τους είναι:
$$P=x_{1}\cdot x_{2}=\dfrac{3}{-1}=-3$$
Άρα \(x_{1}=3\), \(x_{2}=-1\) και το πρόσημο του τριωνύμου είναι:
Οπότε το τρι... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-33586 | Δύο φίλοι αποφασίζουν να συνεταιριστούν και ανοίγουν μια επιχείρηση που γεμίζει τόνερ (toner) για φωτοτυπικά μηχανήματα.
Τα πάγια μηνιαία έξοδα της εταιρείας ανέρχονται στο ποσό των \(6500\) ευρώ (για ενοίκιο, παροχές, μισθούς, φόρους, κ.α.).
Το κόστος γεμίσματος ενός τόνερ είναι \(15\) ευρώ, η δε τιμή πώλησης του ενός... | α) Το μηναίο κόστος \(Κ(ν)\) της επιχείρησης, εάν γεμίζει \(ν\) τόνερ το μήνα, δίνεται από τη σχέση \(Κ(ν)=6500+15ν\) ευρώ, με \(ν\in N\).
β) Τα μηναία έσοδα \(Ε(ν)\) της επιχείρησης από την πώληση \(ν\) τόνερ το μήνα, είναι \(Ε(ν)=25ν\), \(ν\in N\).
γ)
Η επιχείρηση δεν έχει ζημιά αν και μόνο αν \(Κ(ν)\le Ε(ν)\), δηλ... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-37171 | Αν \(α\), \(β\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύουν:
$$α+β=2\ \ \text{και}\ \ α^{2}β+αβ^{2}=−30$$
α) Να αποδείξετε ότι: \(α\cdot β=−15\).
β) Να κατασκευάσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \(α\), \(β\) και να τους βρείτε. | α) Είναι:
$$ α^{2}β+αβ^{2}=−30 $$
$$\Leftrightarrow αβ(α+β)=−30 $$
$$\Leftrightarrow αβ\cdot 2=−30 $$
$$\Leftrightarrow αβ=−15 $$
β) Η ζητούμενη εξίσωση μπορεί να είναι της μορφής:
$$x^{2}−Sx+P=0$$
με:
$$S=α+β=2\ \ \text{και}\ \ P=αβ=−15$$
Τελικά, μία ζητούμενη εξίσωση είναι η:
$$x^{2}−2x−15=0$$
Το τριώνυμο \(x^{2... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-12673 | Έστω \(α,β\) πραγματικοί αριθμοί για τους οποίους ισχύει: \(0<α<β.\)
α) Να αποδείξετε ότι \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}\)
β) Να αποδείξετε ότι \(α^3+\dfrac{3}{β}<β^3+\dfrac{3}{α}.\) | α) Με \(0<α<β\) έχουμε \(\dfrac{1}{α} \gt \dfrac{1}{β}\), οπότε \(\dfrac{3}{α} \gt \dfrac{3}{β}\).
Επομένως, \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}.\)
β) Με \(0<α<β\) έχουμε \(α^3<β^3.\)
Επιπλέον, από το ερώτημα (α) είναι \(\dfrac{3}{β} \lt \dfrac{3}{α}\), οπότε με πρόσθεση των δυο ανισοτήτων παίρνουμε: \(α^3+\dfrac{3}{β}<β... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14225 | Δίνεται η συνάρτηση
$$f(x)=\frac{(x-2)(x^2-5x+4)}{x-1}.$$
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της, \(A\).
β) Να δείξετε ότι \(f(x)=x^2-6x+8,\ x\in A\).
γ) Να βρείτε για ποιες τιμές του \(x\) η γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\) δεν είναι πάνω από την ευθεία \(y=3\).
δ) Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τη... | α) Πρέπει:
$$x-1\neq 0\iff x\neq 1$$
και άρα \(A=\mathbb{R}-\{1\}\).
β) Το τριώνυμο \(x^2-5x+4\) έχει ρίζες τις \(1\) και \(4\), οπότε είναι
$$x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$$
και επομένως:
\begin{align}f(x)&=\frac{(x-2)(x-4)(x-1)}{x-1}\\
&=(x-2)\cdot (x-4)\\
&=x^2-6x+8,\ x\in A.\end{align}
γ) Έχουμε:
\begin{align}&f(x)\leq 3\\
\... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.2. Η εξίσωση x^{ν} = α 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34436 | Δίνονται οι αριθμοί: \(A=\dfrac{1}{5+\sqrt{5}}\), \(B=\dfrac{1}{5−\sqrt{5}}\).
α) Να αποδείξετε ότι:
i) \(A+B=\dfrac{1}{2}\)
i) \(A\cdot B=\dfrac{1}{20}\)
β) Να κατασκευάσετε μία εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς \(Α\) και \(Β\). | α)
i) Είναι:
$$A+B=\dfrac{1}{5+\sqrt{5}}+\dfrac{1}{5−\sqrt{5}}$$
$$ =\dfrac{5−\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}+\dfrac{5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}$$
$$=\dfrac{5−\sqrt{5}+5+\sqrt{5}}{(5+\sqrt{5})(5−\sqrt{5})}$$
$$=\dfrac{10}{5^{2}−\sqrt{5}^{2}}=\dfrac{10}{25−5}$$
$$=\dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$$
Ισχύει ότι:
... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14962 | Έστω μία αριθμητική πρόοδος \((α_{ν})\) με διαφορά \(ω=3\). Αν είναι γνωστό ότι στο διάστημα \(Δ=[2,8]\) υπάρχουν ακριβώς \(3\) διαδοχικοί όροι της αριθμητικής προόδου \((α_{ν})\),
α) Να εξετάσετε αν ο αριθμός μηδέν είναι όρος της \((α_{ν})\).
β) Να βρείτε τους \(3\) διαδοχικούς όρους της \((α_{ν})\) που υπάρχουν στο... | α) Αν ο μηδέν ήταν όρος της \((α_{ν})\), τότε δεδομένου ότι \(ω=3\), οι επόμενοι όροι της \((α_{ν})\) θα ήταν οι αριθμοί \(3\), \(6\), \(9\), πράγμα άτοπο διότι τότε δεν θα υπήρχαν στο διάστημα \(Δ=[2,8]\) ακριβώς \(3\) όροι της \((α_{ν})\). Συνεπώς ο αριθμός μηδέν δεν μπορεί να είναι όρος της \((α_{ν})\).
β) Αφού \(... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-12909 | Δίνεται ο πραγματικός αριθμός \(x\) για τον οποίο ισχύει \(|x-3| < 5\).
α) Να δείξετε ότι \(x\in(-2,8)\).
β) Να βρείτε τις ακέραιες τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει \(|x-3| < 5\).
γ) Αν \(A\) το σύνολο που έχει στοιχεία τις ακέραιες τιμές του \(x\) που βρήκατε στο (β) ερώτημα και \(B\) το σύνολο με \(B=\{-3,-2,-1,... | α)
\begin{align}&|x-3| < 5\\
\iff&-5 < x-3 <5\\
\iff&-2 < x < 8\\
\iff&x\in(-2,8).\end{align}
β) Οι ακέραιες τιμές του \(x\) για τις οποίες ισχύει \(|x-3| < 5\) είναι οι ακέραιοι αριθμοί που ανήκουν στο διάστημα \((-2, 8)\), δηλαδή οι:
$$-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7.$$
γ) Είναι \(A=\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}\) και \(... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 4.1. Ανισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14474 | Δίνεται το τριώνυμο \(2x^2+3x-5\).
α) Να εξετάσετε αν το \(1\), είναι ρίζα του τριωνύμου
β) Να παραγοντοποιήσετε το τριώνυμο. | α) Παρατηρούμε ότι: \(2\cdot 1^2 + 3\cdot 1 -5=2+3-5=0\), οπότε το \(x_1=1\) είναι ρίζα του τριωνύμου.
β) Για να παραγοντοποιήσουμε το τριώνυμο, θα βρούμε και την δεύτερη ρίζα του χρησιμοποιώντας το γινόμενο των ριζών \(x_1 \cdot x_2=\dfrac{-5}{2}=-\dfrac{5}{2}\).
Οπότε:
$$x_1 \cdot x_2=-\dfrac{5}{2}$$
$$\Leftrightarro... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14072 | Δίνεται η συνάρτηση \(f\), με \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}.\)
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού \(A\) της συνάρτησης \(f\).
β) Ανήκει το σημείο \(M(1,\ 3)\) στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\);
γ) Να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της \(f\) με τους άξονες \(x'x\) και \(y'y.\) | α) Η συνάρτηση \(f\) ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \(x\) για τους οποίους ισχύει: \(x-2\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 2.\)
Συνεπώς, το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το \(A=\Bbb{R}-{2}.\)
β) Το σημείο \(M(1,3)\) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης \(f\), γιατί \(f(1)=\dfrac{1-4}{1-2}=\dfrac{-3}{-1}=... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-13171 | Το άθροισμα των \(ν\) πρώτων διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας \((α_ν)\) είναι
$$α_1+α_2+\dots+α_ν=S_ν=2ν^2 + 3ν,$$
με \(ν\in\mathbb{N}\) και \(ν\geq 1\).
α) Να βρείτε τον πρώτο όρο \(α_1\).
β) Να αποδείξετε ότι
$$S_{ν-1} = 2ν^2-ν-1,\ ν\geq2.$$
γ) Να αποδείξετε ότι
$$α_ν=4ν+1,\ ν\geq1$$
δ) Να αποδείξετε ότι αυτή η ακολου... | α) Προφανώς
$$α_1=S_1=2\cdot 1^2+3\cdot 1=5.$$
β) Θέτοντας όπου \(ν\) το \(ν-1\), παίρνουμε:
\begin{align}S_ν−1&=2(ν-1)^2+3(ν-1)\\
&= 2(ν^2-2ν+1)+3ν-3\\
&=2ν^2-4ν+2+3ν-3\\
&=2ν^2-ν-1\end{align}
για κάθε \(ν\geq 2\).
γ) Για κάθε \(ν\geq 2\), έχουμε
\begin{align}α_ν&=(α_1+α_2+\dots+α_{ν-1}+α_ν)\\
&\phantom{=}-(α_1+α_2+\d... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 5.1. Ακολουθίες 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-37189 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=x+\dfrac{1}{x},\ \ x\ne 0\).
α) Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: \(A=f(\dfrac{1}{2})+f(1)−f(2)\).
β) Να λύσετε την εξίσωση \(f(x)=\dfrac{5}{2}\). | α) Ισχύουν:
$$f(\dfrac{1}{2})=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{\dfrac{1}{2}}$$
$$=\dfrac{1}{2}+2=\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{2}=\dfrac{5}{2}$$
$$f(1)=1+\dfrac{1}{1}$$
$$=1+1=2$$
$$f(2)=2+\dfrac{1}{2}$$
$$=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$$
Οπότε:
$$A=f(\dfrac{1}{2})+f(1)-f(2)$$
$$=\dfrac{5}{2}+2-\dfrac{5}{2}=2$$
β) Ισχύει ότι... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36896 | Δίνεται η εξίσωση \((λ-1)x=λ^{2}-1\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R},\ (1)\)
α) Επιλέγοντας τρεις διαφορετικές τιμές για το \(λ\), να γράψετε τρεις εξισώσεις.
β)
i. Να βρείτε την τιμή του \(λ\in \mathbb{R}\), ώστε η \((1)\) να έχει μια και μοναδική λύση.
ii. Να βρείτε την τιμή του \(λ\in \mathbb{R}\), ώστε η μοναδική... | α) Για \(λ=0\), η εξίσωση γίνεται: \(-1x=-1\).
Για \(λ=1\), η εξίσωση γίνεται: \(0x=0\).
Για \(λ=3\), η εξίσωση γίνεται: \(2x=8\).
β)
i. H \((1)\) έχει μια και μοναδική λύση αν και μόνο αν \(λ-1\ne 0\), δηλαδή \(λ\ne 1\).
ii. Για \(λ\ne 1\), η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι: \(x=\dfrac{λ^{2}-1}{λ-1}=\dfrac{(λ-1)(λ+1... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14489 | Αν οι αριθμοί \(2α-1\) και \(β-1\) είναι αντίστροφοι, με \(α \ne 1\) και \(β\ne 1\) να δείξετε ότι:
α) \(2α+β=2αβ\).
β) Οι αριθμοί \(x=α-β\) και \(y=α(1-2β)+2β\) είναι αντίθετοι. | α) Εφόσον οι αριθμοί \(2α-1\) και \(β-1\) είναι αντίστροφοι με \(α \ne 1\) και \(β\ne 1\) έχουμε:
$$(2α-1)(β-1)=1 $$
$$\Leftrightarrow 2αβ-β-2α+1=1 $$
$$\Leftrightarrow 2αβ=2α+β$$
β) Για να είναι οι αριθμοί \(x\) και \(y\) αντίθετοι αρκεί να δείξουμε ότι:
$$x+y=0$$
Συνεπώς:
$$x+y=(α-β)+α(1-2β)+2β$$
$$=α-β+α-2αβ+2β$... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-35299 | Σε ένα γυμναστήριο με \(10\) σειρές καθισμάτων, η πρώτη σειρά έχει \(120\) καθίσματα και κάθε σειρά έχει \(20\) καθίσματα περισσότερα από την προηγούμενη της.
α) Να εκφράσετε με μια αριθμητική πρόοδο το πλήθος των καθισμάτων της \(ν\)-οστής σειράς.
β) Πόσα καθίσματα έχει η τελευταία σειρά;
γ) Πόσα καθίσματα έχει το γ... | α) Από τα δεδομένα της άσκησης είναι \(α_{1}=120\) και \(ω=20\). Τότε:
$$α_{ν}=α_{1}+(ν-1)ω $$
$$\Leftrightarrow α_{ν}=120+(ν-1)20 $$
$$\Leftrightarrow α_{ν}=100+20ν$$
β) Η τελευταία σειρά έχει:
$$α_{10}=100+20\cdot 10 $$
$$\Leftrightarrow α_{10}=100+200 $$
$$\Leftrightarrow α_{10}=300\ \text{καθίσματα}$$
γ) Το ... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-15051 | α) Να αποδείξετε ότι \((2-\sqrt{5})^{2}=9-4\sqrt{5}\) και να υπολογίσετε το ανάπτυγμα \((2+\sqrt{5})^{2}\).
β) Να βρείτε τις τετραγωνικές ρίζες των αριθμών \(9-4\sqrt{5}\) και \(9+4\sqrt{5}\). | α) Είναι:
$$(2-\sqrt{5})^{2}=4-4\sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}$$
$$=4-4\sqrt{5}+5$$
$$=9-4\sqrt{5}$$
Ομοίως έχουμε:
$$(2+\sqrt{5})^{2}=4+4\sqrt{5}+\sqrt{5}^{2}$$
$$=4+4\sqrt{5}+5$$
$$=9+4\sqrt{5}$$
β) Από το ερώτημα (α) έχουμε:
$$\sqrt{9-4\sqrt{5}}=\sqrt{(2-\sqrt{5})^{2}}$$
$$=|2-\sqrt{5}|$$
$$=\sqrt{5}-2$$
αφού ο αριθμός \(2... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34149 | α) Να λύσετε την εξίσωση: \(2x^2 - x - 6=0\ \ \ \ (1)\).
β) Να λύσετε την ανίσωση: \(|x-1|<2\ \ \ \ (2)\).
γ) Να εξετάσετε αν υπάρχουν τιμές του \(x\) που ικανοποιούν ταυτόχρονα τις σχέσεις \((1)\) και \((2)\). | α) Το τριώνυμο \(2x^{2}–x–6\) έχει \(α=2\), \(β=–1\), \(γ=–6\) και διακρίνουσα:
$$Δ=β^{2}–4αγ=(–1)^{2}–4\cdot 2\cdot (–6)=1+48=49>0$$
Οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι:
$$x_{1,2}=\dfrac{-β\pm \sqrt{Δ}}{2α}$$
$$=\dfrac{-(-1)\pm \sqrt{49}}{2\cdot 2}$$
$$=\dfrac{1\pm 7}{4}$$
$$=\begin{cases} \dfrac{1+7}{4} =2 \\ \dfrac{1-7}... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-13177 | Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί \(α,\ β\) για τους οποίους ισχύει \(2\leq α\leq 3\) και \(-2\leq β\leq -1\).
α) Να δείξετε ότι \(|α-3|=3-α\) και \(|β+2|=β+2\).
β) Να δείξετε ότι \(0\leq α+β\leq 2\).
γ) Να δείξετε ότι η τιμή της παράστασης \(|α+β|+|α-3|-|β+2|\) είναι ίση με \(1\). | α) Είναι \(2\leq α\leq 3\) οπότε \(α-3\leq 0\) και άρα \(|α-3|=3-α\).
Επίσης είναι \(-2\leq β\leq -1\) οπότε \(β+2\geq 0\) και άρα \(|β+2|=β+2\).
β) Με πρόσθεση κατά μέλη των \(2\leq α\leq 3\) και \(-2\leq β\leq -1\) έχουμε ότι \(0\leq α+β\leq 2\).
γ) Από το (β) ερώτημα έχουμε ότι \(0\leq α+β\leq 2\) οπότε \(|α+β|=α+β\... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.2. Διάταξη Πραγματικών Αριθμών 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14577 | Δίνεται η εξίσωση:
$$x^{2}-x-2=0\ \ \ \ (1)$$
α) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό \(-1\).
β) Να βρείτε και τη δεύτερη ρίζα της εξίσωσης \((1)\).
γ) Να απλοποιήσετε την παράσταση: \(Α=\dfrac{x^{2}-x-2}{x^{2}+x}\), \(x\ne 0\), \(x\ne -1\). | α) Παρατηρούμε ότι \((-1)^{2}-(-1)-2=1+1-2=0\), οπότε ο αριθμός \(-1\) είναι ρίζα της εξίσωσης \((1)\).
β) Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης ισούται με \(\dfrac{γ}{α}=\dfrac{-2}{1}=-2\) και η μια ρίζα της είναι \(x_{1}=-1\) Άρα για την δεύτερη ρίζα της εξίσωσης έχουμε:
$$x_{1}\cdot x_{2}=-2 $$
$$\Leftrightarrow -1\... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-12765 | Δίνεται η συνάρτηση \(f(x)=\sqrt{x-2}\).
α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
β) Να βρείτε τις τιμές της συνάρτησης \(f\) για όποιους από τους αριθμούς \(-1,\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ 6\) είναι αυτό δυνατό. | α) Η συνάρτηση ορίζεται για τους πραγματικούς αριθμούς \(x\), για τους οποίους ισχύει:
$$x-2\geq 0.$$
Επομένως το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι \(A=[2,+\infty)\).
β) Από τους αριθμούς \(-1,\ \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ 6\) ισχύει ότι \(6\in A\), οπότε είναι δυνατό να υπολογιστεί η τιμή της συνάρτησης
$$f(6)=\sqrt{6-2}=... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.1. Οι Πράξεις και οι Ιδιότητές τους 3.3. Εξισώσεις 2ου Βαθμού 4.2. Ανισώσεις 2ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34156 | Δίνεται η γεωμετρική πρόοδος \((α_ν)\), για την οποία ισχύει \(\dfrac{α_{5}}{α_{2}}=27\).
α) Να δείξετε ότι ο λόγος της προόδου είναι \(λ = 3.\)
β) Αν το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων της προόδου είναι \(200\), να βρείτε τον πρώτο όρο \(α_{1}\). | α) Είναι:
\begin{align} & \dfrac{α_{5}}{α_{2}} = 27 \\
\Leftrightarrow & \dfrac{α_{1}λ^{5-1}}{α_{1}λ^{2-1}} = 27 \\
\Leftrightarrow & \dfrac{λ^{4}}{λ} = 27 \\
\Leftrightarrow & λ^3 = 27 \\
\Leftrightarrow & λ^3 = 3^3\\
\Leftrightarrow & λ = 3 \end{align}
β) Ισχύει ότι:
\begin{align} & S_4 = 200 \\
\Leftrightarrow & α_1... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.3. Γεωμετρική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34152 | Δίνονται οι παραστάσεις: \(A=\sqrt{(x-2)^{2}}\) και \(B=\sqrt[3]{(2-x)^{3}}\), όπου \(x\) πραγματικός αριθμός.
α) Για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται η παράσταση \(A\) ;
β) Για ποιες τιμές του \(x\) ορίζεται η παράσταση \(B\) ;
γ) Να δείξετε ότι, για κάθε \(x\le 2\), ισχύει \(A=B\). | α) Η παράσταση \(Α\) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού \(x\) που ισχύει:
$$(x–2)^{2}\ge 0$$
$$\Leftrightarrow x\in \mathbb{R}$$
β) Η παράσταση \(Β\) ορίζεται για εκείνες τις τιμές του πραγματικού αριθμού \(x\) που ισχύει:
$$(2–x)^{3}\ge 0$$
$$\Leftrightarrow 2–x\ge 0$$
$$\Leftrightarrow –x\ge –... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 2.3. Απόλυτη Τιμή Πραγματικού Αριθμού 2.4. Ρίζες Πραγματικών Αριθμών |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-36891 | Δίνεται γεωμετρική πρόοδος \((α_{ν})\) με θετικό λόγο \(λ\), για την οποία ισχύει: \(α_{3}=1\) και \(α_{5}=4\).
α) Να βρείτε τον λόγο \(λ\) της προόδου και τον πρώτο όρο της.
β) Να δείξετε ότι ο ν-οστός όρος της προόδου είναι: \(α_{ν}=2^{ν-3}\). | α) Έχουμε:
$$\begin{cases} α_{3}=1 \\ α_{5}=4 \end{cases} $$
$$\Leftrightarrow \begin{cases} α_{1}\cdot λ^{2}=1 \\ α_{1}\cdot λ^{4}=4 \end{cases}$$
$$\overset{(:)}{ \Leftrightarrow }\begin{cases} λ^{2}=4 \\ α_{1}\cdot λ^{2}=1 \end{cases}$$
$$\overset{λ>0}{\Leftrightarrow }\begin{cases} λ=2 \\ α_{1}=\dfrac{1}{4} \end... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.3. Γεωμετρική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-14809 | Ο Θοδωρής γράφει διαδοχικά και επαναλαμβανόμενα τα γράμματα της λέξης «ΑΛΓΕΒΡΑ». Στην πρώτη θέση το \(Α\), στη δεύτερη το \(Λ\), κοκ. Έτσι, σχηματίζεται η διαδοχή γραμμάτων
$$ΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑΑΛΓΕΒΡΑ\dots$$
α) Να αποδείξετε ότι οι θέσεις, στην διαδοχή, όπου συναντάμε το γράμμα \(Β\) σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο \(... | α) Το γράμμα \(Β\) υπάρχει ακριβώς μια φορά στη λέξη «ΑΛΓΕΒΡΑ». Την πρώτη φορά που το συναντάμε είναι στην \(5^\text{η}\) θέση της διαδοχής και επειδή η λέξη έχει \(7\) γράμματα, η δεύτερη εμφάνιση του γράμματος \(Β\) είναι στην \(12^\text{η}\) θέση και κάθε εμφάνισή του είναι \(7\) θέσεις μετά την προηγούμενη. Έτσι, η... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-33754 | Για την ενοικίαση ενός συγκεκριμένου τύπου αυτοκινήτου για μια ημέρα, η εταιρία \(Α\) χρεώνει τους πελάτες της σύμφωνα με τον τύπο:
$$y=60+0,20x$$
Όπου \(x\) είναι η απόσταση που διανύθηκε σε \(km\) και \(y\) το ποσό της χρέωσης σε ευρώ.
α) Τι ποσό θα πληρώσει ένας πελάτης της εταιρείας \(Α\) ο οποίος, σε μια ημέρα, τ... | α) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \(x=400\) και βρίσκουμε:
$$y=60+0,20\cdot 400=140\ \text{ευρώ}$$
β) Αντικαθιστούμε στον τύπο που δίνεται \(y=150\) και βρίσκουμε:
$$150=60+0,20x $$
$$\Leftrightarrow 90=0,20x $$
$$\Leftrightarrow x=450\ km$$
γ) Η εταιρεία \(Α\) χρεώνει λιγότερα από την εταιρεία \(Β\) αν και ... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 6.1. Η Έννοια της Συνάρτησης 6.2. Γραφική Παράσταση Συνάρτησης |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-35408 | Οι αριθμοί \(Α=1\), \(Β=x+4\), \(Γ=x+8\), είναι, με τη σειρά που δίνονται, διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου \((α_{ν})\).
α) Να βρείτε την τιμή του \(x\).
β) Αν \(x=1\) και ο αριθμός \(Α\) είναι ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου \((α_{ν})\).
i. να υπολογίσετε τη διαφορά \(ω\).
ii. να υπολογίσετε τον εικοστό όρο... | α) Οι αριθμοί \(Α\), \(Β\), \(Γ\) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν:
$$Β=\dfrac{Α+Γ}{2} $$
$$\Leftrightarrow x+4=\dfrac{1+x+8}{2} $$
$$\Leftrightarrow 2(x+4)=9+x $$
$$\Leftrightarrow 2x+8=x+9 $$
$$\Leftrightarrow x=1$$
β)
i. Για \(x=1\) είναι \(Α=1\), \(Β=5\) και \(Γ=9\). Τότε:
$$ω=Β-Α=5-1=4... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-35143 | Δίνεται η αριθμητική πρόοδος \((α_{ν})\) με όρους \(α_{2}=0\), \(α_{4}=4\).
α) Να αποδείξετε ότι \(ω=2\) και \(α_{1}=-2\), όπου \(ω\) είναι η διαφορά της προόδου και \(α_{1}\) ο πρώτος όρος της.
β) Να αποδείξετε ότι ο ν-οστος όρος της προόδου είναι ίσος με \(α_{ν}=2ν-4\), \(ν\in \mathbb{N}^{*}\) και να βρείτε ποιος όρ... | α) Από τα δεδομένα της άσκησης βρίσκουμε:
$$α_{2}=0$$
$$\Leftrightarrow α_{1}+(2-1)ω=0$$
$$\Leftrightarrow α_{1}+ω=0 $$
$$\Leftrightarrow α_{1}=-ω,\ (1)$$
και
$$α_{4}=4$$
$$\Leftrightarrow α_{4}+(4-1)ω=4$$
$$\Leftrightarrow α_{1}+3ω=4$$
$$\overset{(1)}{\Leftrightarrow} -ω+3ω=4 $$
$$\Leftrightarrow 2ω=4$$
$$\Left... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού 5.2. Αριθμητική πρόοδος |
Άλγεβρα-Α-ΓΕΛ-34163 | Δίνεται η εξίσωση \(λx=x+λ^{2}-1\), με παράμετρο \(λ\in \mathbb{R}\).
α) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση γράφεται ισοδύναμα:
$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)\ \ \text{,}\ \ λ\in \mathbb{R}$$
β) Να βρείτε τις τιμές του \(λ\) για τις οποίες η παραπάνω εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση την οποία και να βρείτε.
γ) Για ποια τιμή του \(... | α) Η δοθείσα εξίσωση ισοδύναμα γράφεται:
$$λx=x+λ^{2}-1 $$
$$\Leftrightarrow λx-x=λ^{2}-1 $$
$$\Leftrightarrow (λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$
β) Η παραπάνω εξίσωση έχει μοναδική λύση αν και μόνο αν:
$$λ-1\ne 0 $$
$$\Leftrightarrow λ\ne 1$$
Η μοναδική λύση της εξίσωσης είναι η:
$$(λ-1)x=(λ-1)(λ+1)$$
$$\overset{λ\ne 1}{\Leftrig... | Άλγεβρα Α' Λυκείου, 3.1. Εξισώσεις 1ου Βαθμού |
End of preview. Expand in Data Studio
Dataset Card for Greek Lyceum Mathematics
The Greek Lyceum Mathematics dataset is a set of 465 exercises and answers in Greek extracted from the Item Bank at https://trapeza.iep.edu.gr/.
Dataset Details
Dataset Description
- Curated by: ILSP/Athena RC
- Language(s) (NLP): el
- License: cc-by-nc-sa-4.0
Bias, Risks, and Limitations
This dataset is the result of automatic extraction from the Item Bank at https://trapeza.iep.edu.gr/.
The data are provided "as is" and "as available" without warranty of any kind, either express or implied, including, but not limited to, any implied warranty against infringement of third parties' property rights, or merchantability, integration, absence of latent or other defects, satisfactory quality and fitness for a particular purpose. The data do not constitute professional or legal advice (if you need specific advice, you should always consult a suitably qualified professional).
Ενημερωτικό σημείωμα για τα πνευματικά δικαιώματα: Το/τα θέμα/τα προέρχεται και αντλήθηκε/αν από την πλατφόρμα της Τράπεζας Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας που αναπτύχθηκε (MIS5070818-Tράπεζα θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, Γενικό Λύκειο-ΕΠΑΛ) και είναι διαδικτυακά στο δικτυακό τόπο του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (Ι.Ε.Π.) στη διεύθυνση (http://iep.edu.gr/el/trapeza-thematon-arxiki-selida).
Dataset Card Contact
- Downloads last month
- 18