image imagewidth (px) 35 14k | latex stringlengths 1 5.99k |
|---|---|
\begin{array} { r } { \alpha ^ { 2 } = a , \tilde { \beta } ^ { 2 } = \tilde { d } . } \end{array} | |
\operatorname* { l i m } _ { h \to \frac { \pi } { 2 } } \frac { \sin { h } + - 2 \sec { h } } { h + - 8 \frac { \pi } { 3 } } | |
{ \bf u } ( r , t ) \sim C e ^ { i \omega t + i k r } . | |
\begin{array} { r } { x = \sum _ { i = 1 } ^ { \infty } \langle x , u _ { i } \rangle u _ { i } . } \end{array} | |
R ( x _ { S } ) : = \log x _ { S } \, . | |
\begin{array} { r } { \frac { \phi ^ { \prime } ( z ) } { \phi ( z ) } = \frac { \pi ( z ) } { \sigma ( z ) } . } \end{array} | |
= \operatorname* { l i m } _ { v \to \pi / 3 } \frac { \frac { d } { d v } \left( \sin { v } + - 9 \cos { v } \right) } { \frac { d } { d v } \left( v + - 7 \pi / 9 \right) } | |
\eta ^ { \mathrm { ( P A ) } } \equiv { \frac { 1 - \tilde { c } ^ { \mathrm { ( A ) } } } { 1 - \tilde { c } ^ { \mathrm { ( P ) } } } } \sqrt { \frac { \langle k \rangle ^ { \mathrm { ( P ) } } ( \xi ^ { \mathrm { ( P ) } } - \tilde { c } ^ { \mathrm { ( P ) } } ) } { \langle k \rangle ^ { \mathrm { ( A ) } } ( \xi ^... | |
\mathrm { c m ^ { - 2 } } | |
\begin{array} { r } { T = 1 \mathrm { ~ a n d ~ } J = 1 , } \end{array} | |
\begin{array} { r } { A \oplus A : \left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) = \left( a _ { 1 } b _ { 1 } + \gamma \overline { { b _ { 2 } } } a _ { 2 } , a _ { 2 } \overline { { b _ { 1 } } } + b _ { 2 } a _ { 1 } \right) . } \end{array} | |
\begin{array} { r } { \Psi _ { y } = u _ { \alpha } \otimes \Phi _ { y } + R _ { y } , } \end{array} | |
E _ { \sigma , \tau } ^ { \ell } ( \mu ) = \int _ { \Sigma ^ { 2 } } k _ { n } ^ { \ell } ( x , y ) \mu ( d x ) \mu ( d y ) , | |
\begin{array} { r } { u _ { 1 } \underset { \pi _ { 1 } } { \times } u _ { 2 } = u _ { 1 } \underset { \pi _ { 2 } } { \times } u _ { 2 } } \end{array} | |
\begin{array} { r } { \begin{array} { r } { L _ { P } ( h ) = t - s ( t ) . } \end{array} } \end{array} | |
{ \sum _ { n > 0 } } \frac { 1 } { L } u _ { n } ^ { + } ( x ) u _ { n } ^ { + } ( y ) + \frac { 1 } { L } u _ { 0 } ^ { + } ( x ) u _ { 0 } ^ { + } ( y ) = \delta ( x - y ) . | |
K _ { \pm } ^ { n } ( X ) \cong K ^ { n + 1 } ( X ) . | |
\begin{array} { r } { Q ( f ) = \int _ { \Omega } | | \mathrm { g r a d } ( f ) | | ^ { 2 } d \mu \geq \frac { n } { 4 } \int _ { \Omega } \frac { | f | ^ { 2 } } { m ^ { 2 } } d \mu , } \end{array} | |
\displaystyle M _ { 1 } e ^ { i \Delta _ { 1 } } | |
\begin{array} { r } { \mathcal { S } ( c ) : = \left\{ u \in S ( c ) : \frac 1 2 \int _ { \R ^ { N } } | ( - \Delta ) ^ { \frac { s _ { 1 } } { 2 } } u | ^ { 2 } \ , d x < \frac 1 p \int _ { \R ^ { N } } | u | ^ { p } d x \right\} . } \end{array} | |
\displaystyle \Gamma _ { 1 } = \sum _ { q = 1 } ^ { d } v ^ { * q } C ^ { q } - v ^ { * } ( v ^ { * } ) ^ { t } . | |
\begin{array} { r l } \end{array} | |
{ \cal W } ( q , p ) = - \frac { 1 } { 2 ^ { 1 1 } \pi ^ { 4 } } \left[ \frac { 1 } { \epsilon ^ { 2 } } + \frac { 1 } { \epsilon } \left( 2 \log \frac { 4 \pi \mu ^ { 2 } } { - ( p + q ) ^ { 2 } } + 8 - \frac { 1 1 } { 2 } \gamma \right) + \mathrm { f i n i t e ~ p a r t } \right] , \, | |
\displaystyle \Phi _ { ( 2 ) } ( x ) = \frac { e ^ { i k _ { v } V } } { \sqrt { | E | } } . | |
\displaystyle \frac { \partial K } { \partial x ^ { a } } ~ { } , | |
( 1 - \Pi ) _ { \tau } \theta \epsilon ( \tau - \tau ^ { \prime } ) ( 1 - \Pi ) _ { \tau ^ { \prime } } = 0 | |
\displaystyle D _ { M } \nu _ { f } | |
\displaystyle \left[ x ^ { \ell } g ( x ) \right] ^ { ( \ell + 1 ) } | |
\displaystyle \Phi \rightarrow \Phi + \ln | C | \, . | |
\phi ( k , x ) = e ^ { i k x } e ^ { - i \int ^ { x } d x ^ { \prime } V ( x ^ { \prime } ) / 2 k } \, , | |
c \ \int _ { \epsilon } ^ { \infty } d t \ t ^ { \delta } \int _ { \epsilon } ^ { t } d u \ u ^ { \rho } = \frac { c } { \rho + 1 } \int _ { \epsilon } ^ { \infty } d t \, B i g ( t ^ { \rho + \delta + 1 } - t ^ { \delta } \epsilon ^ { \rho + 1 } \Big ) . | |
\begin{array} { r l } { \Xi } & { { } = \frac { v N ^ { 2 \gamma - 2 } } { d \log ^ { 7 } N } \sum _ { P < p \leq 2 P } ( \log p ) \sum _ { z = 1 } ^ { 2 Z - 1 } \theta _ { z } ( p ^ { c } ) } \end{array} | |
\displaystyle < \frac { 3 } { 2 } \beta _ { 1 } \ \mathrm { ~ f o r ~ } \ j = 1 , \cdots , \ell _ { 0 } . | |
\begin{array} { r } { \Delta ^ { l } h = 0 . } \end{array} | |
\frac { d ^ { 2 } \Psi } { d r ^ { 2 } } + \left[ - \frac { l ( l + 1 ) } { r ^ { 2 } } + \omega ^ { 2 } \left( 1 + \frac { e ^ { 2 } } { r ^ { 4 } } \right) \right] \Psi = 0 | |
" \begin{array} { r } { V _ { I _ { l ; i } } ^ { ( k ^ { \prime } , q ^ { \prime } ) } = V _ { I _ { l ; i } } ^ { ( l , i ) } \, , } \end{array} " | |
\begin{array} { r } { \mathcal { E } ( z ) = \mathcal { E } _ { ( X , \langle \cdot , \cdot \rangle ) , S } ( z ) } \end{array} | |
\int _ { 0 } ^ { T } e ^ { \varphi ^ { * } ( t ) } d t < \infty , | |
\operatorname* { l i m } _ { w \to 7 ^ { + } } \frac { - 6 \tan { w } \sin ^ { 3 } { w } } { \cos ^ { 1 } { w } + \left( 6 w \cos { w } + 1 \right) \cos ^ { 4 } { w } } | |
\begin{array} { r } { D _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } . \left\{ \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } \right\} : = \left\{ D _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } \beta _ { 1 } , \beta _ { 2 } \right\} + \left\{ \beta _ { 1 } , D _ { \alpha _ { 1 } , \alpha _ { 2 } } \beta _ { 2 } \right\} } \end{array} | |
\mathrm { { c l } } ( A ) = \{ x \in X : \{ \{ x \} , A \} \notin { \mathcal { S } } \} . | |
\begin{array} { r } { d ( e ^ { - \eta t } \Theta ( X ( t ) ) ) = - \eta e ^ { - \eta t } \Theta ( X ( t ) ) \, d t + e ^ { - \eta t } \mathcal { L } \Theta ( X ( t ) ) \, d t + d M _ { \eta } ( t ) } \end{array} | |
N ^ { * } < N _ { \operatorname* { m i n } } . | |
\displaystyle = \frac { ( 1 - x _ { 0 } ^ { 2 } ) ( 1 - w ^ { 2 } ) } { ( w x _ { 0 } - 1 ) ^ { 2 } } . | |
A _ { \omega , t } = B _ { \omega , t } C _ { \omega , t } | |
\begin{array} { r } { u _ { i } ( x ) = - 2 \beta _ { i } \ln | x | + O ( 1 ) , \beta _ { i } > 1 , i = 1 , 2 , \infty . } \end{array} | |
Z ( t ) = \sum _ { n = 1 } ^ { N } z _ { n } ( t ) ~ { } . | |
\begin{array} { r } { ( p _ { 1 } , \ldots , p _ { 5 } ) = \frac { 1 } { 2 } ( \operatorname* { d e t } ( p _ { 2 } - p _ { 1 } , p _ { 3 } - p _ { 1 } ) + \operatorname* { d e t } ( p _ { 3 } - p _ { 1 } , p _ { 4 } - p _ { 1 } ) + \operatorname* { d e t } ( p _ { 4 } - p _ { 1 } , p _ { 5 } - p _ { 1 } ) ) . } \end{a... | |
\phi _ { 2 \rightarrow 2 } = 1 3 9 . 4 ^ { \circ } | |
\displaystyle < 0 | T ( J _ { P } ( x ) J _ { P } ^ { \dagger } ( 0 ) ) | 0 > ] = \Pi _ { S } ( q ) - \Pi _ { P } ( q ) , | |
1 - 2 \lambda = \cos \ ( \frac { ( \gamma + 1 ) \pi } { 2 d } \ ) | |
\begin{array} { r } { \pi _ { 1 1 } h = h _ { 1 1 } \, d s ^ { 2 } } \end{array} | |
\displaystyle \equiv n ^ { 5 } \sigma ( n ) \equiv n \sigma ( n ) \ ( \mathrm { m o d } \ 5 ) \, , | |
\Phi _ { \mathrm { h e p } } = 8 . 3 \times 1 0 ^ { 3 } \mathrm { \ c m } ^ { - 2 } \mathrm { \ s } ^ { - 1 } \ , | |
\displaystyle \nabla _ { d } \left( C _ { A } ^ { \Gamma d } E ^ { A } \right) | |
\displaystyle \varphi : \Gamma \cap G ( K _ { \infty } ) | |
\begin{array} { r l } { \alpha ( A ) } & { { } = \operatorname* { i n f } \{ t > 0 : A \mathrm { ~ i ~ s ~ i ~ n ~ c ~ l ~ u ~ d ~ e ~ d ~ i ~ n ~ s ~ o ~ m ~ e ~ b ~ a ~ l ~ l ~ o ~ f ~ r ~ a ~ d ~ i ~ u ~ s ~ t ~ } \} , } \\ { \beta ( A ) } & { { } = \operatorname* { i n f } \{ t > 0 : A \mathrm { ~ h ~ a ~ s ~ a ~ d... | |
\displaystyle c _ { \bf - k \downarrow } ^ { \dagger } | |
\hat { t } _ { z } ( k ) = \frac { \hat { h } _ { z } ( k ) } { 1 - \hat { \Phi } _ { z } ( k ) } , | |
X ( A _ { 1 } ! _ { \alpha } A _ { 2 } ) ^ { - 1 } X = A _ { 1 } \nabla _ { \alpha } A _ { 2 } . | |
\displaystyle x ( 1 \otimes a ) | |
\int _ { 0 } ^ { \infty } d x x ^ { \nu - 1 } \, \, e ^ { - \frac { \beta } { x } - \gamma x } = 2 { \biggl [ \frac { \beta } { \gamma } \biggr ] } ^ { \frac { \nu } { 2 } } \, \, K _ { \nu } ( 2 \sqrt { \beta \gamma } ) , | |
\ddot { Z } = { \frac { \dot { Z } ^ { 2 } } { Z } } - { \frac { 1 } { \eta } } \dot { Z } + { \frac { h ^ { 2 } - l } { 4 g ^ { 2 } \eta ^ { 2 } } } { \frac { Z ^ { 4 } - 1 } { Z } } . | |
W _ { \mathrm { n e w } } = - \frac { g ^ { 2 } } { 2 m } ( \phi \phi ^ { \prime } ) ^ { 2 } . | |
\begin{array} { r l } { < T ( T ( X , Z ) , A ) , W > } & { { } = < ( \nabla _ { A } T ) ( Z , X ) , W > + < T ( X , T ( A , Z ) ) , W > } \end{array} | |
\begin{array} { r } { H _ { \phi } X ^ { + } = X ^ { + } f ( H _ { \phi } ) , } \end{array} | |
\left( \begin{array} { c } { { t ^ { \prime } } } \\ { { z ^ { \prime } } } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { c c } { { 0 } } & { { - \frac { 2 \lambda } { \sqrt { \mu } } } } \\ { { \frac { \sqrt { \mu } } { 2 \lambda } } } & { { \frac { 2 \lambda } { \sqrt { \mu } } } } \end{array} \right) \left( \begin{ar... | |
( \mathbf { r _ { + } } \cdot \hat { \mathbf { d } } ) ( \mathbf { r _ { - } } \cdot \hat { \mathbf { d } } ) = \frac { 1 } { 2 } \sin ^ { 2 } \Theta \left[ \cos ( 2 \Phi ) + \cos \alpha \right] , | |
\Big{(}\partial_{t}+\pounds_{\bf u}\Big{)}\,(m\otimes{\rm d}V)=0 | |
\begin{array} { r } { \alpha = ( x _ { 0 } , \rho _ { 0 } ^ { 1 / p } ( x _ { 0 } ) , x _ { 1 } , \rho _ { 1 } ^ { 1 / p } ( x _ { 1 } ) ) _ { \# } \gamma , } \end{array} | |
\begin{array} { r } { \| F ( x , \lambda ) \| _ { L ^ { \infty } [ 0 , 1 ] } = o ( 1 ) , \lambda \to 0 } \end{array} | |
e _ { 4 } e _ { 5 } e _ { 6 } e _ { 7 } = - ( i e _ { 4 } e _ { 5 } ) ( i e _ { 6 } e _ { 7 } ) | |
\begin{array} { r } { u \, = \, F ( x , y ) \ \ \ \ \ \ \ \ { \scriptstyle { ( F ( 0 , 0 ) \, = \, 0 ) } } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ { \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v \, = \, G ( r , s ) \ \ \ \ \ \ \ \ { \scriptstyle { ( 0 \, = \, G ( 0 , 0 ) ) } } , } \end{array} | |
\begin{array} { r } { \lambda _ { m i n } ( \mathcal { A } ) = \operatorname* { m i n } _ { { \bf x \neq { \bf 0 } } } \frac { \mathcal { A } { \bf x } ^ { m } } { \| { \bf x } \| _ { m } ^ { m } } = \operatorname* { m i n } _ { \| { \bf x } \| _ { m } = 1 } \mathcal { A } { \bf x } ^ { m } , } \end{array} | |
1 0 0 0 1 5 | |
a _ { l } = \displaystyle \frac { 1 } { 4 } ( l - 2 ) ^ { - 2 } - \displaystyle \frac { x ^ { 2 } } { 8 } \displaystyle \frac { 2 l - 3 } { ( l - 1 ) ^ { 3 } ( l - 2 ) ^ { 3 } } + 0 ( x ^ { 4 } ) , | |
{ \cal L } _ { s c a l } = k ^ { 1 1 } P _ { \mu } P ^ { \mu } = 1 8 a ^ { 2 } \partial _ { \mu } \Phi \partial ^ { \mu } \Phi | |
( \alpha \ast \beta ) ( t ) = \left\{ \begin{array} { l l } { { H ( 2 s , t ) } } & { { \mathrm { ~ 0 \leq ~ s ~ \leq ~ { \frac { 1 } { ~ 2 } } ~ } } } \\ { { H ( 2 s - 1 , t ) } } & { { \mathrm { ~ { \frac { 1 } { ~ 2 } } \leq ~ s ~ \leq ~ 1 ~ } } } \end{array} \right. | |
E _ { \mathrm { C o u l } } ^ { 2 } = \frac { 1 } { 2 } \int \int ^ { { } ^ { \prime } } \left( \frac { \delta ^ { 2 } E _ { x c } [ n _ { 0 } ] } { \delta n \delta n ^ { { } ^ { \prime } } } + \frac { 1 } { \left| \mathbf { r } - \mathbf { r ^ { { } ^ { \prime } } } \right| } \right) \delta n \delta n ^ { { } ^ { \pri... | |
\displaystyle { \hat { \cal { H } } } _ { \mathrm { I } } | |
\begin{array} { r } { \deg ( ( g _ { m , ( m ^ { \prime } ; l ^ { \prime } ) } ^ { \epsilon } ) _ { i j } ) = ( - 1 ) ^ { j } i l + i j ( d - 2 ) + \frac { ( - 1 ) ^ { i } } { 2 } \left( 1 - \left( - 1 \right) ^ { j } \epsilon \right) } \end{array} | |
\displaystyle F _ { n } ^ { ( + ) } | |
\displaystyle = \sum _ { j = 1 } ^ { s } | \theta ^ { 0 } | _ { j } ^ { \ast } + \frac { \delta s } { s - 1 } = \sum _ { j = 1 } ^ { s } | \theta ^ { 0 } | _ { j } ^ { \ast } + \frac { s } { s - 1 } \sum _ { j = s + 1 } ^ { K } | \theta ^ { 0 } | _ { j } ^ { \ast } \geq | \theta ^ { 0 } | _ { 1 } . | |
{ } ^ { \dagger \ddagger } | |
\displaystyle \mathcal { F } ^ { \prime } \wedge \mathcal { F } ^ { \prime } | |
m _ { \lambda } = \int F _ { \lambda } A _ { \lambda } T _ { \lambda } d \lambda , | |
\displaystyle \sum _ { i = 1 } ^ { 2 } | |
S _ { p o s t } = \{ \nu \geq 0 : \phi ( \nu ) _ { i \to j } \geq \nu _ { i \to j } \} | |
\begin{array} { r } { ( R _ { g } ) ^ { * } \theta ^ { 1 } = \rho ( g ^ { - 1 } ) \circ \theta ^ { 1 } , L _ { ( \xi ^ { a } ) ^ { P ^ { 1 } } } ( \theta ^ { 1 } ) = - \rho _ { * } ( a ) \circ \theta ^ { 1 } , g \in G , \ a \in \gg ^ { 0 } . } \end{array} | |
\displaystyle \tau _ { G G ( S ) } ^ { - 1 } = \frac { v _ { G } ^ { 2 } } { \pi } \int | |
\begin{array} { r l } { f _ { 2 } ( z ) ^ { 2 } } & { { } A ( z ) ( f _ { 1 } ( z ) f _ { 1 } ( z + 1 ) - B ( z ) ) } \end{array} | |
\displaystyle \sum _ { N _ { s } } ( - 1 ) ^ { N _ { s } } | \vec { n } ( x ) \rangle , | |
\displaystyle < \frac { | \psi ( b ) | } { 4 } \mathrm { e } ^ { \theta } , | |
\displaystyle f ( r \sim 0 ) \sim r ^ { j } \; , \qquad g ( r \sim 0 ) \sim { \frac { 1 } { r ^ { j + 1 } } } \; , | |
\begin{array} { r l } { \frac { \partial u ^ { \epsilon } } { \partial t } ( t , x ) } & { { } = \frac { \partial ^ { 2 } u ^ { \epsilon } } { \partial x ^ { 2 } } ( t , x ) + \sqrt { \epsilon } \sigma ( t , x , u ^ { \epsilon } ( t , x ) ) \frac { \partial ^ { 2 } W } { \partial t \partial x } ( t , x ) } \end{array} | |
\gamma ^ { - { \frac { 1 } { 2 } } } \delta _ { \ \ i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { i j } ( \Omega - \Omega ^ { \prime } ) = \sum _ { p = 3 i } ^ { + i \infty } W _ { ( p ) \ i ^ { \prime } j ^ { \prime } } ^ { \ i j } ( \mu ( \Omega , \Omega ^ { \prime } ) ) . | |
\begin{array} { r } { H _ { \nu , - 1 } \left( \mathbb { R } , D \left( A ^ { * } \right) ^ { \prime } \right) : = H _ { \nu , 1 } \left( \mathbb { R } , D \left( A ^ { * } \right) \right) ^ { \prime } , } \end{array} | |
\displaystyle a _ { e } ( \| x _ { a } - \hat { x } _ { a } \| ) \leq V _ { e } ( x _ { a } , \hat { x } _ { a } ) \leq b _ { e } ( \| x _ { a } - \hat { x } _ { a } \| ) , | |
B P z | |
s _ { i } ( \eta ) = v _ { i : n } ( \eta ) = \sum _ { \ell = i } ^ { n } V ( \eta , y _ { \ell } ) . |