Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α → E

Context: g_support : HasCompactSupport g

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
g : α → E
g_support : HasCompactSupport g
g_cont : Continuous g
g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ
hg : eLpNorm (f - g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))
⊢ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε


R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n✝ : ℕ
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
⊢ nthRoots n 0 = replicate n 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

case node.node
α : Type u_1
inst✝ : Preorder α
ls : ℕ
ll : Ordnode α
lx : α
lr : Ordnode α
l_ih✝ :
  ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α},
    Valid' o₁ ll o₂ →
      Valid' o₁ r o₂ →
        All (fun x => All (fun y => x < y) r) ll → Valid' o₁ (ll.merge r) o₂ ∧ (ll.merge r).size = ll.size + r.size
IHlr :
  ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α},
    Valid' o₁ lr o₂ →
      Valid' o₁ r o₂ →
        All (fun x => All (fun y => x < y) r) lr → Valid' o₁ (lr.merge r) o₂ ∧ (lr.merge r).size = lr.size + r.size
rs : ℕ
rl : Ordnode α
rx : α
rr : Ordnode α
IHrl :
  ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α},
    Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ →
      Valid' o₁ rl o₂ →
        All (fun x => All (fun y => x < y) rl) (Ordnode.node ls ll lx lr) →
          Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl) o₂ ∧
            ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rl.size
r_ih✝ :
  ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α},
    Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ →
      Valid' o₁ rr o₂ →
        All (fun x => All (fun y => x < y) rr) (Ordnode.node ls ll lx lr) →
          Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr) o₂ ∧
            ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rr.size
o₁ : WithBot α
o₂ : WithTop α
hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂
hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂
sep : All (fun x => All (fun y => x < y) (Ordnode.node rs rl rx rr)) (Ordnode.node ls ll lx lr)
⊢ Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂ ∧
    ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr)).size =
      (Ordnode.node ls ll lx lr).size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size


α✝ : Type u_1
β✝ : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ : Multiset α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
s : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
b : β
⊢ count b (map f s) = card (filter (fun a => b = f a) s)


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
inst✝ : Finite α
⊢ f.SameCycle x y → ∃ i < orderOf f, (f ^ i) x = y


α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
⊢ List.filter p l₁ <+ List.filter p l₂


α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂
⊢ filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ <+ filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
⊢ sᶜ ≠ univ ↔ s.Nonempty


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C
⊢ (α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).inv) = (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ ((α_ W X Y).hom ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom


C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G
⊢ η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op =
    (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op


case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : ¬r = 0
⊢ (C r * p).support.gcd (C r * p).coeff = normalize r * p.support.gcd p.coeff


case neg
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : ¬r = 0
⊢ (C r * p).support.gcd (C r * p).coeff = p.support.gcd fun x => r * p.coeff x


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : 1 < normSq ↑z

g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : 1 < normSq ↑z
⊢ normSq ↑(S • z) < 1


R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : (aeval y) (minpoly R x) = 0
⊢ eval y (minpolyDiv R x) = 0


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.30406

Context: L : Type ?u.30409

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: y : S

Context: hxy : y ≠ x

R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : eval y (minpolyDiv R x * (X - C x)) = 0
⊢ eval y (minpolyDiv R x) = 0


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.30406

Context: L : Type ?u.30409

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: y : S

Context: hxy : y ≠ x

R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : eval y (minpolyDiv R x) = 0 ∨ y - x = 0
⊢ eval y (minpolyDiv R x) = 0


↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a

F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℤ
⊢ ↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
⊢ (-f).IsSemisimple ↔ f.IsSemisimple


F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q
⊢ IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α
⊢ μ s = ⨅ t, μ ↑t


case h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.12556, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i i' : I₂
w : ¬c₂.Rel i i'
j : I₁
⊢ ((fun i i' => { f := fun j => (K.X j).d i i', comm' := ⋯ }) i i').f j = Hom.f 0 j


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs

Context: hp2 : p ∣ (2 * m * n).natAbs

case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs
hp2 : p ∣ (2 * m * n).natAbs
⊢ False


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
⊢ False


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)

case intro.intro.intro
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)
⊢ False


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

case intro.intro.intro.inr
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)
hpn : p ∣ n.natAbs
⊢ False


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

case intro.intro.intro.inr
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs
⊢ False


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

case intro.intro.intro.inr
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs
⊢ ↑p ∣ m


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ m

case intro.intro.intro.inr
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs
⊢ ↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ m


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

case intro.intro.intro.inr
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs
⊢ ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2 + n * n


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

case intro.intro.intro.inr
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1
H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1
p : ℕ
hp : Nat.Prime p
hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2
hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n
hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)
hpn : p ∣ n.natAbs
⊢ ↑p ∣ n * n


case comp_surjective
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallySmooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
⊢ ∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f


case h
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallySmooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I
⊢ (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp ((lift I ⋯ (f.comp ↑e)).comp ↑e.symm) = f


K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
⊢ root (X ^ n - C a) = 0 ↔ a = 0


K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
hn : 0 < n
⊢ root (X ^ n - C a) = 0 ↔ a = 0


K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
H : Irreducible (X ^ n - C 0)
⊢ root (X ^ n - C 0) = 0


K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
H : Irreducible (X ^ n - C 0)
this : n = 1
⊢ root (X ^ n - C 0) = 0


R✝ : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid R
inst✝⁵ : StarMul R
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : StarMul S
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : StarHomClass F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
f : F
r : R
hr : r ∈ unitary R
⊢ f r ∈ unitary S


R✝ : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid R
inst✝⁵ : StarMul R
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : StarMul S
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : StarHomClass F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
f : F
r : R
hr : star r * r = 1 ∧ r * star r = 1
⊢ f r ∈ unitary S


V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ ‖y‖ / Real.tan (angle x (x + y)) = ‖x‖


α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p ≤ μ s
s_mble : MeasurableSet s
⊢ μ sᶜ ≤ 1 - p


V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
⊢ 0 < angle x (x + y)


case neg
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
hx : ¬x = 0
⊢ ‖x‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖) < 1


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
⊢ IsJacobson R[X] ↔ IsJacobson R


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
H : IsJacobson R[X]
⊢ IsJacobson R


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ B.orthogonal (B.orthogonal W) = W


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ finrank K ↥(B.orthogonal (B.orthogonal W)) ≤ finrank K ↥W


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
⊢ finrank K V - (finrank K V - finrank K ↥W) ≤ finrank K ↥W


ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : (Q₁.prod Q₂).Anisotropic
⊢ Q₁.Anisotropic ∧ Q₂.Anisotropic


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z
⊢ s(a, Mem.other h) = z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ι →₀ α

Context: a✝ : ι

case a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι
⊢ a✝ ∈ (f ⊔ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∪ g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ι →₀ α

Context: a✝ : ι

case a
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α
inst✝ : DecidableEq ι
f g : ι →₀ α
a✝ : ι
⊢ ¬f a✝ ⊔ g a✝ = ⊥ ↔ ¬f a✝ = ⊥ ∨ ¬g a✝ = ⊥


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
c : ℕ
fc : f.support.card = c + 1
⊢ f.eraseLead.support.card = c


ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ Quotient.out x ∈ x.lifts


ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ ↑(Quotient.out x) = x


ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i
⊢ Quot.mk (⇑(addConGen (Eqv R s))) (Quotient.out x) = x


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
h : a ≤ b
⊢ IntervalIntegrable (fun x => f (x + c)) volume (a - c) (b - c)


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
h : a ≤ b
⊢ IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c
⊢ IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A✝

Context: f g : ℝ → E

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: c a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => x + c

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] (Measure.map (fun x => x + c) volume)
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c
⊢ IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A✝

Context: f g : ℝ → E

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: c a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => x + c

case h.e'_6
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] (Measure.map (fun x => x + c) volume)
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c
⊢ [[a - c, b - c]] = (fun x => x + c) ⁻¹' [[a, b]]


Context: x : ℂ

x : ℂ
⊢ cos x = 1 ↔ ∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x


Context: x : ℂ

x : ℂ
⊢ (∃ k, x = 2 * ↑k * ↑π + 0 ∨ x = 2 * ↑k * ↑π - 0) ↔ ∃ k, ↑k * (2 * ↑π) = x


m : ℕ
hm : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
k : ZMod m
⊢ ¬Summable ({n | ↑n = k}.indicator f)


m : ℕ
hm : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
k : ZMod m
⊢ ¬Summable fun n => f (m * n + k.val)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: h : s ∈ 𝓝 x

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
s : Set α
x : α
h : s ∈ 𝓝 x
⊢ ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousAt f x


K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W✝ : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: W : Subspace K V

K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
this : (dualAnnihilator W).dualCoannihilator = W
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W✝ : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: W : Subspace K V

K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V
this : (Module.mapEvalEquiv K V).symm (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = W
⊢ (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W


R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree
⊢ q = 0


R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree
hc : ¬q = 0
⊢ False


𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasStrictDerivAt u u' x
hv : HasStrictDerivAt v v' x
⊢ HasStrictDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x


K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ
⊢ ↑(match (IntFractPair.of q, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩) with
        | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h =
    (match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with
      | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)
h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
⊢ equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: hS : S ∈ J.sieves (unop X)

C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)
h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
hS : S ∈ J.sieves (unop X)
⊢ equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: hS : S ∈ J.sieves (unop X)

C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} A
inst✝² : ConcreteCategory A
F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A
f₁ : F₁ ⟶ F₂
f₂ : F₂ ⟶ F₃
inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)
inst✝ : IsLocallySurjective J f₁
X : Cᵒᵖ
x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)
h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂
S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂
hS : S ∈ J.sieves (unop X)
T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ unop X) → S.arrows f → Sieve Y :=
  fun Y f hf => equalizerSieve (localPreimage f₁ x₁ f ⋯) (localPreimage f₁ x₂ f ⋯)
⊢ equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
⊢ ContinuousAt (log ∘ Gamma) x


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
m : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: v : F

R : Type u_1
B : Type u_2
F : Type u_3
E : B → Type u_4
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : TopologicalSpace F
inst✝⁵ : TopologicalSpace B
e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj
x : TotalSpace F E
b✝ : B
y : E b✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : Module R F
inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)
inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)
e : Pretrivialization F TotalSpace.proj
inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e
b : B
hb : b ∈ e.baseSet
v : F
⊢ { toFun := fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (e.symm b v) = v


α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard ≠ 0
⊢ s.Nonempty


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
⊢ 𝟙 (X.obj Δ) = ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A


case h
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ
⊢ (s.cofan Δ).inj A ≫ 𝟙 (X.obj Δ) = (s.cofan Δ).inj A ≫ ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A


↑x = ⊤ ↔ x = ⊤

α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTop (Subtype p)
htop : p ⊤
x : { x // p x }
⊢ ↑x = ⊤ ↔ x = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ ‖∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ HasSum (fun i => ‖↑(∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)) i‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
hp : 0 < p.toReal
f : (i : α) → E i
s : Finset α
h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0
h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal
⊢ HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: a : α

Context: ha : 0 < a

α : Type u_1
inst✝² : Zero α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1
a : α
ha : 0 < a
⊢ sign a = 1


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
⊢ ↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ
⊢ ↑(B⁻¹ ^ m / B⁻¹ ^ n).card ≤ (↑(A * B⁻¹).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
n : ℕ
a' : α
as : List α
h : n + 1 ≤ (a' :: as).length
⊢ a ∈ insertNth (n + 1) b (a' :: as) ↔ a = b ∨ a ∈ a' :: as


case pos
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hf_int : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)
⊢ μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

case pos
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hf_int : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
hm : m ≤ m0
hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)
this : s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[s.indicator f + sᶜ.indicator f|m])
⊢ μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P
⊢ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : Option α → β → γ

Context: a : α

Context: as : List α

Context: b : β

Context: bs : List β

Context: h : bs.length ≤ as.length

ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : Option α → β → γ
a : α
as : List α
b : β
bs : List β
h : bs.length ≤ as.length
this : (fun a b => flip f a (some b)) = flip fun a b => f (some a) b
⊢ map₂Right f as bs = zipWith (fun a b => f (some a) b) as bs


case eq_zero.intro.succ
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

case eq_zero.intro.succ.intro.mk
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (fun x => x ^ n.succ) (x * (algebraMap R S) ↑m) = (fun x => x ^ n.succ) ((algebraMap R S) y) :=
  congr_arg (fun x => x ^ n.succ) hx
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: hx' : 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)

case eq_zero.intro.succ.intro.mk
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

case eq_zero.intro.succ.intro.mk
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

case eq_zero.intro.succ.intro.mk.intro
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : ↑m' * 0 * ↑m' ^ n = ↑m' * y ^ n.succ * ↑m' ^ n
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : 0 = ↑m' * (y ^ n.succ * ↑m' ^ n)

case eq_zero.intro.succ.intro.mk.intro
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : 0 = ↑m' * (y ^ n.succ * ↑m' ^ n)
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : 0 = (y * ↑m') ^ n.succ

case eq_zero.intro.succ.intro.mk.intro
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : 0 = (y * ↑m') ^ n.succ
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : y * ↑m' = 0

case eq_zero.intro.succ.intro.mk.intro
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : y * ↑m' = 0
⊢ x = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : y * ↑m' = 0

case eq_zero.intro.succ.intro.mk.intro
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0
y : R
m : ↥M
hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y
hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)
m' : ↥M
hm' : y * ↑m' = 0
⊢ ∃ m, ↑m * y = 0


G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y
⊢ x * y ∉ {x, y, 1}


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)
⊢ X.δ i.succ ≫ X.σ i = 𝟙 (X.obj [n])


G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G
⊢ closure s / t = s / t


Context:
x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hu : x ≤ π

x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hu : x ≤ π
⊢ sin x = √(1 - cos x ^ 2)


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G
⊢ ContDiffAt 𝕜 n (⇑e ∘ f) x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
c : 𝕜'
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / c) s x


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen (f.source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ HasDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') L (𝓝 0)


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') =ᶠ[L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ] fun y => slope f x y - f'


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
y : 𝕜
hy : y ∈ {x}ᶜ
⊢ slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f' = slope f x y - f'


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto (slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 f')


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
⊢ Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto ((fun x => x - f') ∘ slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: a : N →ₗ.[R] Q

Context: a_le : LinearMap.range i ≤ a.domain

Context: e1 : ∀ (m : M), f m = ↑a ⟨i m, ⋯⟩

Context: b : N →ₗ.[R] Q

Context: b_le : LinearMap.range i ≤ b.domain

Context: e2 : ∀ (m : M), f m = ↑b ⟨i m, ⋯⟩

case mk.mk.e_toLinearPMap
R : Type u
inst✝⁶ : Ring R
Q : Type v
inst✝⁵ : AddCommGroup Q
inst✝⁴ : Module R Q
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module R N
i : M →ₗ[R] N
f : M →ₗ[R] Q
a : N →ₗ.[R] Q
a_le : LinearMap.range i ≤ a.domain
e1 : ∀ (m : M), f m = ↑a ⟨i m, ⋯⟩
b : N →ₗ.[R] Q
b_le : LinearMap.range i ≤ b.domain
e2 : ∀ (m : M), f m = ↑b ⟨i m, ⋯⟩
domain_eq :
  { toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain =
    { toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain
to_fun_eq :
  ∀ ⦃x : ↥{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain⦄
    ⦃y : ↥{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain⦄,
    ↑x = ↑y →
      ↑{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.toLinearPMap x =
        ↑{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.toLinearPMap y
⊢ a = b


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ
⊢ derivative (T R n) = ↑n * U R (n - 1)


α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ ∑ i ∈ P.parts, i.card = s.card


case h.e'_2
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α
⊢ ∑ i ∈ P.parts, i.card = (P.parts.biUnion id).card


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det = -f.toBasis.det


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
ι : Type u_2
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
ne : Nonempty ι
e f : OrthonormalBasis ι ℝ E
x : Orientation ℝ E ι
h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation
⊢ e.toBasis.det ⇑f.toBasis • f.toBasis.det = -f.toBasis.det


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
⊢ p₁ ~ᵤ p₂


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
this : p₁ ∣ p₂ ^ k₂
⊢ p₁ ~ᵤ p₂


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
this : p₁ ∣ p₂ ^ k₂
⊢ p₁ ∣ p₂


Context:
m n : ℕ
a : ZMod 2


α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α
⊢ (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n


case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α
hlt : 1 < n
⊢ (SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n


Context: a b : Ordinal.{u_1}

a b : Ordinal.{u_1}
⊢ a * b = b ↔ a ^ ω ∣ b


case inr.refine_2.intro
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
c : Ordinal.{u_1}
hc : b = a ^ ω * c
⊢ a * b = b


α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≤ n
⊢ ReflTransGen r n m


α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≤ n
⊢ ReflTransGen (swap r) m n


z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
A B : ℝ
hB : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1)) ^ (-k) ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)


z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
A B : ℝ
hB : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B
⊢ r z ^ (-k) ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k)


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: a b c d : α

α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LT α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a b c d : α
⊢ a < b⁻¹ ↔ b < a⁻¹


G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ ∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ


case h.e'_3.h.e'_3
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G
⊢ μ = map (⇑(MeasurableEquiv.mulLeft g)) μ


p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
⊢ 𝓤 (WithLp p (α × β)) = 𝓤 (α × β)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p (α × β))
this : (fun x => ((WithLp.equiv p (α × β)) x.1, (WithLp.equiv p (α × β)) x.2)) = id
⊢ 𝓤 (WithLp p (α × β)) = 𝓤 (α × β)


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
⊢ g m = μ • m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
⊢ g m = μ • m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
⊢ g m = μ • m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
⊢ g m = μ • m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hfg : Commute f g
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
⊢ g m = μ • m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
⊢ g m = μ • m


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
μ : R
k : ℕ
m : M
hss : g.IsSemisimple
hnil : IsNilpotent (f - g)
p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k
hm : m ∈ p
h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p
h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p
h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p
hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)
⊢ IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)


α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set β
⊢ (M.mapEmbedding f).Base B ↔ M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f


α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set β
⊢ (∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) ↔ M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f


case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.Base (⇑f ⁻¹' (⇑f '' B)) ∧ ⇑f '' B ⊆ range ⇑f


case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.Base B ∧ ⇑f '' B ⊆ range ⇑f


𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ‖lineDeriv 𝕜 f x₀ v‖ ≤ ↑C * ‖v‖


𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s
⊢ ∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖


Context: n : ℕ

n : ℕ
⊢ eval 0 (bernoulli n) = _root_.bernoulli n


Context: n : ℕ

n : ℕ
⊢ ∑ x ∈ range n, eval 0 ((monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x))) +
      eval 0 ((monomial (n - n)) (_root_.bernoulli n * ↑(n.choose n))) =
    _root_.bernoulli n


α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
h₁ : x.isLeft = true
h₂ : x.getLeft?.isSome = true
⊢ x.getLeft h₁ = x.getLeft?.get h₂


α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0
⊢ IsRightRegular k


α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0
x y : α
h' : x * k = y * k
⊢ (x - y) * k = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)
⊢ ∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤


R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0
⊢ p.IsRoot 0


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3
⊢ W.add P Q =
    W.dblZ P •
      ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2)
          (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
        W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3)
          (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)),
        1]


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β
⊢ (f ×ˢ g).NeBot ↔ f.NeBot ∧ g.NeBot


Context: a x z✝ z : ℂ

a x z✝ z : ℂ
⊢ z.arg < π / 2 ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0


Context: a x z✝ z : ℂ

a x z✝ z : ℂ
⊢ (0 ≤ z.re ∨ z.im < 0) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ 0 < z.im) ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0


α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s / t)


α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s
⊢ IsUpperSet (s * t⁻¹)


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ
⊢ a ^ (1 + n) = a * a ^ n


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m.sqrt < n ↔ m < n * n


V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : NonAssocSemiring R
v : V
vec : V → R
⊢ (degMatrix R G *ᵥ vec) v = ↑(G.degree v) * vec v


case intro.intro.intro
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s t u : Multiset α
a : α
hr : ∀ a' ∈ u, r a' a
he : s + {a} = t + u
⊢ InvImage (Finsupp.Lex (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) fun x x_1 => x < x_1) (⇑toFinsupp) s t


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : IsOpen s₂
⊢ ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : IsOpen s₂
⊢ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂ ↔
    DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂


R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R
h : c ≠ 0
⊢ (C c * X ^ n).support = {n}


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
⊢ ProperSpace E


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace 𝕜
⊢ ProperSpace E


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace 𝕜

𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace 𝕜
e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯
⊢ ProperSpace E


Context:
n : ℕ
x : ℝ

n : ℕ
x : ℝ
⊢ (aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x * Real.exp (x ^ 2 / 2)


Context:
n : ℕ
x : ℝ


ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
⊢ ∃ y, 0 ≠ y


ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ⊥ ≠ ⊤
⊢ ∃ y, 0 ≠ y


x ∈ ⊥ ↔ x ∈ ⊤

case h
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ∀ (y : M), 0 = y
x : M
⊢ x ∈ ⊥ ↔ x ∈ ⊤


C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
⊢ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)


case intro.w.w
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β
g g' : γ
⊢ ι f g' ≫ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) ≫ π f g = ι f g' ≫ 𝟙 (⨁ f) ≫ π f g


C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K
⊢ (preservesLimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv ≫ (limit.π F j).app k = limit.π (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail
⊢ q.IsTrail


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: q : G.Walk v w

V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : p.edges.Nodup ∧ q.edges.Nodup ∧ p.edges.Disjoint q.edges
⊢ q.IsTrail


X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d
⊢ nndist (f x) (f y) ≤ C * d ^ ↑r


X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d
⊢ edist (f x) (f y) ≤ ↑C * ↑d ^ ↑r


X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d
⊢ edist x y ≤ ↑d


α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂
⊢ B₁.encard = B₂.encard


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct X I
hI : IsInitial I
⊢ X ⨯ I ≅ I


case intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
hs : InfClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ f a ⊓ f b ∈ ⇑f '' s


case intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
hs : InfClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s
⊢ f (a ⊓ b) ∈ ⇑f '' s


E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
x : EuclideanSpace ℝ (Fin n)
⊢ ↑(↑(stereographic' n v).symm x) =
    let U := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr;
    (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑(U.symm x) + (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 - 4) • ↑v


α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ All P (node size✝ l x r) ↔ ∀ (x_1 : α), Emem x_1 (node size✝ l x r) → P x_1


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDenom_eq : (of v).partDens.get? n = some b
⊢ b * (of v).dens n ≤ (of v).dens (n + 1)


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

K : Type u_1
v : K
n : ℕ
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
b : K
nth_partDenom_eq : (of v).partDens.get? n = some b
⊢ b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ (of v).dens (n + 1)


R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f
⊢ Function.Injective fun x => x.ringHomComp f


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : fract a ≠ 0
⊢ ↑⌈a⌉ - a = 1 - fract a


x✝ ∈ S ↔ x✝ ∈ S'

case h
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S S' : IntermediateField K L
h : S.toSubalgebra = S'.toSubalgebra
x✝ : L
⊢ x✝ ∈ S ↔ x✝ ∈ S'


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
f : α → Multiset β
s : Finset α
b : β
⊢ b ∈ ∑ x ∈ s, f x ↔ ∃ a ∈ s, b ∈ f a


Context: m n : ℕ+


𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x ≤ y
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)


case inr
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
⊢ (f x - f a) / (x - a) ≤ (f y - f a) / (y - a)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity p m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

M : Type u_1
inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : Associates M
n : Associates N
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)
this : DecidableEq (Associates N) := Classical.decEq (Associates N)
⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity (↑(d.symm (d ⟨p, ⋯⟩))) m


S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y
⊢ f' ≤ slope f x y


R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ eval₂ f (f r) p = f (eval r p)


R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R
⊢ ∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * f r ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (p.coeff x * r ^ x)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x₀
⊢ ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) x₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_3
inst✝¹¹ : TopologicalSpace H
E : Type u_4
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
G : Type u_5
inst✝⁸ : CommMonoid G
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : ChartedSpace H G
inst✝⁵ : SmoothMul I G
E' : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝² : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝¹ : TopologicalSpace M
inst✝ : ChartedSpace H' M
s : Set M
x x₀ : M
t : Finset ι
f : ι → M → G
n : ℕ∞
p : ι → Prop
h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) Set.univ x₀
⊢ ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) Set.univ x₀


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
⊢ μ' s = ν s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

case intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
⊢ μ' s = ν s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: m : Set G

Context: m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)

case intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝⁷ : TopologicalSpace G
inst✝⁶ : Group G
inst✝⁵ : TopologicalGroup G
inst✝⁴ : MeasurableSpace G
inst✝³ : BorelSpace G
inst✝² : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
s : Set G
hs : MeasurableSet s
h's : μ.IsEverywherePos s
ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ
k : Set G
k_comp : IsCompact k
k_closed : IsClosed k
k_mem : k ∈ 𝓝 1
one_k : 1 ∈ k
A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => x • k}
m : Set G
m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m
mA : m ⊆ s ∧ m.PairwiseDisjoint fun x => x • k
sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)
⊢ μ' s = ν s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝² : FiberBundle F₂ E₂

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: x : B

Context: hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet

Context: v₁ : E₁ x

Context: v₂ : E₂ x

case h.h.mk
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝² : FiberBundle F₂ E₂
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
x : B
hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x
⊢ (continuousLinearEquivAt 𝕜 (e₁.prod e₂) x hx) (v₁, v₂) =
    ((continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)) (v₁, v₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝² : FiberBundle F₂ E₂

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: x : B

Context: hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet

Context: v₁ : E₁ x

Context: v₂ : E₂ x

case h.h.mk
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B
F₁ : Type u_3
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁
E₁ : B → Type u_4
inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)
F₂ : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂
E₂ : B → Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)
inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)
inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)
inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)
inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)
inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)
inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)
inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁
inst✝² : FiberBundle F₂ E₂
e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj
e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj
inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁
inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂
x : B
hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet
v₁ : E₁ x
v₂ : E₂ x
⊢ (fun y =>
        (↑{ toFun := Prod.toFun' e₁ e₂, invFun := Prod.invFun' e₁ e₂,
                source := TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet), target := (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ,
                map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯,
                continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯, baseSet := e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet,
                open_baseSet := ⋯, source_eq := ⋯, target_eq := ⋯, proj_toFun := ⋯ }
            { proj := x, snd := y }).2)
      (v₁, v₂) =
    ((continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)) (v₁, v₂)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
x y : α
h : diag x = diag y
⊢ x = y


Context: a b c p q✝ q : ℚ

a b c p q✝ q : ℚ
⊢ q < 1 ↔ q.num < ↑q.den


L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → ↥⊤
xs : Fin n → ↥⊤
⊢ φ.Realize v xs ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v) (Subtype.val ∘ xs)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ
⊢ (p ^ n) x ∈ p.toList x ↔ x ∈ p.support


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ
⊢ x ∈ p.support → p.SameCycle x ((p ^ n) x)


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ
x✝ : x ∈ p.support
⊢ p.SameCycle ((p ^ n) x) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H :=
  fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H :=
  fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
⊢ ((r.comp q).comp p n) v = (r.comp (q.comp p) n) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H :=
  fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H :=
  fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
⊢ ∑ c : (a : Composition n) × Composition a.length, f c =
    ∑ c : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)), g c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

case h.H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H :=
  fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H :=
  fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
⊢ ∑ c : (a : Composition n) × Composition a.length, f c =
    ∑ i : (a : Composition n) × Composition a.length, g ((sigmaEquivSigmaPi n) i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

case h.H.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H :=
  fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H :=
  fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
⊢ f ⟨a, b⟩ = g ⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

case h.H.mk
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
v : Fin n → E
f : (a : Composition n) × Composition a.length → H :=
  fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))
g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H :=
  fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))
a : Composition n
b : Composition a.length
a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ
i : ℕ
hi1 : i < b.length
hi2 : i < (a.gather b).length
⊢ q.applyComposition ⟨a, b⟩.snd (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v) ⟨i, hi1⟩ =
    (q (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).length)
      (p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩)
        (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)))