Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤

I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
f : LocallyConstant ↑C ℤ
a✝ : f ∈ ⊤
⊢ f ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: K : Finset I

Context: a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

case intro.intro
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
K : Finset I
f' : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ K) ℤ
a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤
⊢ (πJ C K) f' ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: K : Finset I

Context: a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

case intro.intro.intro.intro.intro
I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
hC : IsClosed C
K : Finset I
f' : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ K) ℤ
a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤
m : { l // Products.isGood (π C fun x => x ∈ K) l }
⊢ (πJ C K) (eval (π C fun x => x ∈ K) m) ∈ Set.range (Products.eval C)


case h
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
n✝ : ℕ
⊢ (coeff S n✝) ((map f) X) = (coeff S n✝) X


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i j : ι
⊢ (b.repr ((b.prod b') (Sum.inl i)).1) j = (b.repr (b i)) j


case h
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i j : ι
⊢ (Finsupp.single (Sum.inl i) 1) (Sum.inl j) = (Finsupp.single i 1) j


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f n = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ
⊢ f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0
⊢ ‖f‖ = max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖


𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0
⊢ max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖ = max 0 ‖f.contLinear‖


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
t : Set X
⊢ (∃ x_1, (x ∈ x_1ᶜ ∧ IsOpen x_1ᶜ) ∧ x_1ᶜ ⊆ t) ↔ ∃ i, (x ∉ i ∧ IsClosed i) ∧ iᶜ ⊆ t


case h.mk
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
hm : m ∈ ↑f.ker
⊢ (f.comp f.ker.incl) ⟨m, hm⟩ = 0 ⟨m, hm⟩


X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X
⊢ ⇑h '' frontier s = frontier (⇑h '' s)


R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R
⊢ (C c * X ^ n).support ⊆ {n}


Context:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x


f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) x


f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) Set.univ x


k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k
⊢ IsIntegral k z


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: z : AdjoinMonic k

Context: p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k

k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k
p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k
hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z
⊢ IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)


R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ
⊢ (W.baseChange B).preΨ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ n)


C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
x : AutGalois F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)
⊢ ((autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := x }).hom.app A a =
    F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) x).hom a


Context: z w : ℂ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: x : E

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
x : E
⊢ Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑(g x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
⊢ Tendsto (fun x => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x y) atTop (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Context: x : E

case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E
this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))
⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Context: x : E

case intro.intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝² : RCLike 𝕜
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f : E →ₗ[𝕜] E
hf : LipschitzWith 1 ⇑f
g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)
hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x
hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))
y : E
hy : g y = 0
z : E
hz : IsFixedPt (⇑f) z
this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}
x : E
this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))
H : ∀ (n : ℕ) (x y : E), (⇑f)^[n] (x - y) = (⇑f)^[n] x - (⇑f)^[n] y
⊢ (f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ (e.subtypeCongr e.toCompl) x = ↑(e ⟨x, hx⟩)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x
⊢ (sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e ⟨x, hx⟩)


case h
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N
⊢ (f.lift ⋯) x✝ = j x✝


case h
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N
⊢ j (f.toMap (f.sec x✝).1) = j (f.toMap ↑(f.sec x✝).2) * j x✝


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β
⊢ (List.ofFn f).prod = ∏ i : Fin n, f i


𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant
⊢ ConvolutionExistsAt g f x L.flip μ ↔ ConvolutionExistsAt f g x L μ


α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1
⊢ g' ∈ zpowers g


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖id x‖ ^ 2 ≠ 0
⊢ ContDiffAt ℝ n Norm.norm x


X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
⊢ GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y


V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r
⊢ ∀ {x y : V}, ¬G.Adj x y → ¬G.Adj y x


𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
⊢ (IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|) ↔ P.degree ≤ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|
⊢ P.degree ≤ 0


𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : 0 < P.degree
⊢ ¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: g₁ g₂ : G

Context: hg : g₁ ≠ g₂

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
g₁ g₂ : G
hg : g₁ ≠ g₂
g : G := g₂⁻¹ * g₁
⊢ (AEDisjoint μ on fun g => g • s) g₁ g₂


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: g₁ g₂ : G

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁

Context: hg : g ≠ 1

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α✝
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝
s✝ s' t : Set α✝
f : α✝ → β
G : Type u_8
α : Type u_9
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s
h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ
g₁ g₂ : G
g : G := g₂⁻¹ * g₁
hg : g ≠ 1
this : (fun x => g₂⁻¹ • x) ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s
⊢ μ (g₁ • s ∩ g₂ • s) = 0


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
⊢ (μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s
⊢ (μ.withDensity f) s ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f
⊢ ∫⁻ (a : α), f a - g a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ m ^ 2 < n → n < (m + 1) ^ 2 → ¬∃ t, t ^ 2 = n


ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
⊢ integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, integralSum f vol (πi J)


ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ (πi J).boxes
⊢ (vol J') (f ((π.biUnionTagged πi).tag J')) = (vol J') (f ((πi J).tag J'))


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset (α × β)
f : α × β → M
⊢ ∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : (a, b) ∈ s), f (a, b)


a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
⊢ a + b ≤ c


a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c
⊢ a + b ≤ a + (c - a)


a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c
⊢ b ≤ c - a


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
⊢ (Disjoint on fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i j


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
x : α
⊢ x ∈ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i → x ∉ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) j


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
x : α
a : β
ha : x ∈ f a
b : β
ij : encode a ≠ encode b
hb : x ∈ f b
⊢ False


α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: f : α →ₛ β

Context: inst✝ : Nonempty β

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
hf_meas : ∀ (x : β), MeasurableSet (↑f ⁻¹' {x})
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: f : α →ₛ β

Context: inst✝ : Nonempty β

α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β
hf_meas : ∀ (x : β), ↑f ⁻¹' {x} = ∅ ∨ ↑f ⁻¹' {x} = univ
⊢ ∃ c, ∀ (x : α), ↑f x = c


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
h : a = b * c
⊢ a / b = c


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α
⊢ flatten (Computation.pure s) = s


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ : WSeq α
s' s : Seq (Option α)
h : flatten (Computation.pure s) = s'
⊢ Seq.BisimO (fun s1 s2 => flatten (Computation.pure s2) = s1) (Seq.destruct (flatten (Computation.pure s))) s.destruct


α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a
⊢ update (update f a v) b w = update (update f b w) a v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m

𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m
⊢ g.compFormalMultilinearSeries p m = 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m

Context: x✝ : Fin m → E

case H
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f g✝ : E → F
p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
r r' : ℝ≥0∞
n m✝ : ℕ
g : F →L[𝕜] G
h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r
m : ℕ
hm : n ≤ m
x✝ : Fin m → E
⊢ (g.compContinuousMultilinearMap 0) x✝ = 0 x✝


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)


case inr
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι
⊢ piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)


𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
⊢ HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasStrictFDerivAt f f' x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E
H : HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x
⊢ HasStrictFDerivAt f f' x


α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s
⊢ (𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}


α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s
⊢ (Filter.comap (fun x => (x.1.toUniformOnFunIsCompact, x.2.toUniformOnFunIsCompact))
        (𝓤 (α →ᵤ[{K | IsCompact K}] β))).HasBasis
    (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}


num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den
⊢ (num / ↑g).natAbs.Coprime (den / g)


num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den
⊢ (num.div ↑g).natAbs.Coprime (den / g)


R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ (norm K) (AdjoinSimple.gen K x) = 1


case h
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x
⊢ ¬∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)


case h.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯
⊢ IsIntegral K x


α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α (n + 1)
f : α → β
⊢ b ∈ (map f v).toList ↔ f v.head = b ∨ ∃ a ∈ v.tail.toList, f a = b


R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂
⊢ associated (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q) = BilinMap.baseChange A (associated Q)


Context: R : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }
⊢ (lift fe) ε = (↑fe).2


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: A : Cᵒᵖ

Context: T : Triangle C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasZeroObject C
inst✝² : HasShift C ℤ
inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive
inst✝ : Pretriangulated C
A : Cᵒᵖ
T : Triangle C
n₀ n₁ : ℤ
h : n₀ + 1 = n₁
x : Opposite.unop A ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj T.obj₃
⊢ ((preadditiveCoyoneda.obj A).homologySequenceδ T n₀ n₁ h) x =
    x ≫ (shiftFunctor C n₀).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorAdd' C 1 n₀ n₁ ⋯).inv.app T.obj₁


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
⊢ Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K

Context: h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥
⊢ False


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K

Context: h : hζ.toInteger = 1

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))
this : NumberField K
h : hζ.toInteger = 1
⊢ False


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x y : α

case h.mk
α : Type u_1
s t : Set α
x y : α
⊢ ((x, y) ∈ range fun x => (x, x)) ↔ (x, y) ∈ diagonal α


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β
⊢ ∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ


R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
⊢ d ∣ y


case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
⊢ d ∣ y


case intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
⊢ d ∣ y


case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
c : R
hc : d = a * c
⊢ d ∣ y


case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
ha : Squarefree a
c : R
eq : c * (a * c) = b
hc : d = a * c
⊢ d ∣ y


case h
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
g h : ι → G
x✝ : ι
⊢ (⇑f ∘ (g / h)) x✝ = (⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h) x✝


α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ
⊢ ↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e


ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤


case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
⊢ affineSpan k (range p) = ⊤


case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)


case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
⊢ b i ∈ affineSpan k (range p)


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V P

Context: inst✝⁵ : Ring k

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι' → P

Context: A : Matrix ι ι' k

Context: hA : A * b.toMatrix p = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: hAi : ∑ j : ι', A i j = 1

case intro
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1
hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)
⊢ (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i) ∈ affineSpan k (range p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x
⊢ HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod)
    (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: hodd : p ≠ 2

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

p : ℕ+
k : ℕ
K : Type u
inst✝¹ : Field K
inst✝ : CharZero K
ζ : K
hp : Fact (Nat.Prime ↑p)
hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
hodd : p ≠ 2
this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))
⊢ Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1))


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup
⊢ (a :: l).toFinset.prod f = (map f (a :: l)).prod


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl✝ : (a :: l).Nodup
not_mem : a ∉ l
hl : l.Nodup
⊢ (a :: l).toFinset.prod f = (map f (a :: l)).prod


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
⊢ ⊤.direction = ⊤


case intro.h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
⊢ v ∈ ⊤.direction ↔ v ∈ ⊤


case intro.h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
_hv : v ∈ ⊤
⊢ v ∈ ⊤.direction


case intro.h
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
_hv : v ∈ ⊤
hpv : v +ᵥ p -ᵥ p ∈ ⊤.direction
⊢ v ∈ ⊤.direction


R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H
this : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)
⊢ x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1
⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝ : NormedDivisionRing K

Context: ξ : K

Context: h : ‖ξ‖ < 1

Context: xi_ne_one : ξ ≠ 1

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1
A : Tendsto (fun n => (ξ ^ n - 1) * (ξ - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (ξ - 1)⁻¹))
⊢ HasSum (fun n => ξ ^ n) (1 - ξ)⁻¹


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁ r₂ : List (List α)
⊢ sublists'Aux a r₁ r₂ = (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁) 0).toList


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁ r₂ : List (List α)
⊢ foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) r₂ r₁ = (foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁).data).toList


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α
⊢ (filter p s).card = ∑ a ∈ s, if p a then 1 else 0


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
⊢ Function.Injective ⇑(powQuotSuccInclusion f p P i)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: i : ℕ

Context: x : S ⧸ P ^ e

case mk
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
x : S ⧸ P ^ e
hx : x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hx0 : (powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨x, hx⟩ = 0
⊢ ⟨x, hx⟩ = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: i : ℕ

Context: x : S ⧸ P ^ e

case mk
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ
x : S ⧸ P ^ e
hx : x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))
hx0 : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨x, hx⟩) = ↑0
⊢ ↑⟨x, hx⟩ = ↑0


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
hp_zero : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ ‖(Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
hp_zero : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤
⊢ (↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)).toReal = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s

s : ℝ
hs : 0 < s
⊢ ∃ M, 𝓝[stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[stolzSet M] 1


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

case intro.intro.intro.intro
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
⊢ ∃ M, 𝓝[stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[stolzSet M] 1


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

case h
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
⊢ 𝓝[stolzCone s] 1 ≤ 𝓝[stolzSet M] 1


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

case h
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ 1 ∈ u ∧ u ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

case h
s : ℝ
hs : 0 < s
M ε : ℝ
left✝ : 0 < M
hε : 0 < ε
H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M
⊢ 1 ∈ {w | 1 - ε < w.re}


α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m✝ n✝ : ℕ
ha : a ≠ 0
m n : ℤ
⊢ a ^ (m - n) = a ^ m / a ^ n


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
⊢ b.addHaar = μ ↔ μ ↑b.parallelepiped = 1


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant
⊢ addHaarMeasure b.parallelepiped = μ ↔ μ ↑b.parallelepiped = 1


case h.h
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
g : Module.End R M
m : M
⊢ ((toEnd R (Module.End R M) M) g) m = (LieHom.id g) m


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
⊢ Monotone fun i => (take i L).prod


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
⊢ (take n L).prod ≤ (take (n + 1) L).prod


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf P

Context: x y : P

Context: I : Ideal P

Context: inst✝ : I.IsProper

P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ I.IsPrime


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf P

Context: x y : P

Context: I : Ideal P

Context: inst✝ : I.IsProper

P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ I.IsProper ∧ IsPFilter (↑I)ᶜ


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf P

Context: x y : P

Context: I : Ideal P

Context: inst✝ : I.IsProper

case right
P : Type u_1
inst✝¹ : SemilatticeInf P
x y : P
I : Ideal P
inst✝ : I.IsProper
hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I
⊢ IsPFilter (↑I)ᶜ


R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι
⊢ Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I (ι → R))


R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R
⊢ W.Equation x (W.negY x y) ↔ W.Equation x y


p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
⊢ Admissible {p, q, r}


p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
hp3 : p < 3
⊢ Admissible {p, q, r}


case tail.head
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}
⊢ Admissible {2, q, r}


case tail.head
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}
hq4 : q < 4
⊢ Admissible {2, q, r}


case tail.head.tail.head
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
⊢ Admissible {2, 3, r}


case tail.head.tail.head
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
hr6 : r < 6
⊢ Admissible {2, 3, r}


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
⊢ IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k ↔ i.Coprime k


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
⊢ i.Coprime k


case intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a
⊢ i.Coprime k


case intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = i.gcd k * b
⊢ i.Coprime k


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ : M

Context: f : F

Context: h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: h0 : 0 < k

Context: i a : ℕ

Context: ha : i = i.gcd k * a

Context: b : ℕ

Context: hb : k = i.gcd k * b

case intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i a : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = i.gcd k * b
⊢ b = k


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ : M

Context: f : F

Context: h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: h0 : 0 < k

Context: i a : ℕ

Context: ha : i = i.gcd k * a

Context: b : ℕ

Context: hb : k = b * i.gcd k

case intro.intro
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i a : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = b * i.gcd k
⊢ b = k


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ : M

Context: f : F

Context: h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: h0 : 0 < k

Context: i a : ℕ

Context: ha : i = i.gcd k * a

Context: b : ℕ

Context: hb : k = b * i.gcd k

M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i a : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = b * i.gcd k
⊢ (ζ ^ (i.gcd k * a)) ^ b = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
⊢ ∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t


R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
⊢ eval r (p * (X - C r)) = 0


R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
⊢ ((p * (X - C r)).sum fun e a => a * r ^ e) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2
⊢ ((p * (X - C r)).sum fun e a => a * r ^ e) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2
⊢ ∑ a ∈ range (p.natDegree + 2), (p * (X - C r)).coeff a * r ^ a = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2
⊢ ∑ k ∈ range (p.natDegree + 1), (p * (X - C r)).coeff (k + 1) * r ^ (k + 1) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2
⊢ ∑ k ∈ range (p.natDegree + 1), (p.coeff k * r ^ (k + 1) - p.coeff (k + 1) * r ^ (k + 1 + 1)) +
      (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 =
    0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R
bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2
⊢ p.coeff 0 * r ^ (0 + 1) - p.coeff (p.natDegree + 1) * r ^ (p.natDegree + 1 + 1) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0


R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R
⊢ (fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 })
      ((fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) P) =
    P


R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
⊢ (fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩)
      ((fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) f) =
    f


case a.a.succ.succ.succ.succ
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ
h3 : 3 < 4 + n
⊢ { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }.toPoly.coeff (4 + n) =
    (↑f).coeff (4 + n)


case w
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J
⊢ (s.pt.mul ≫ limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝ =
    (MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s))
          (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫
        (limit F).mul) ≫
      limit.π (F ⋙ forget C) j✝


case w
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J
⊢ MonoidalCategory.tensorHom (s.π.app j✝).hom (s.π.app j✝).hom ≫ (F.obj j✝).mul =
    MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s))
        (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫
      MonoidalCategory.tensorHom (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) ≫
        (MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app j✝


Context: J : Type w

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: F : J ⥤ Mon_ C

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt

case w
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
⊢ m.hom = ((fun s => { hom := limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s), one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) s).hom


Context: J : Type w

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: F : J ⥤ Mon_ C

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: j : J

case w
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt
w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j
j : J
⊢ m.hom ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j = limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j


R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M
⊢ (toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆


R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
⊢ coeff m ((monomial s) r * p) = if s ≤ m then r * coeff (m - s) p else 0


R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R
⊢ coeff m (p * (monomial s) r) = if s ≤ m then coeff (m - s) p * r else 0


G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G
⊢ H₁ ⊓ H₂ ≤ ⊥ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : LinearOrder α
inst✝² : Mul α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a₁ a₂ b₁ b₂ : α
⊢ a₂ < a₁ ∧ b₂ ≤ b₁ → a₂ * b₂ < a₁ * b₁


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
e : α ↪o β
x y : α
⊢ ⇑e ⁻¹' uIcc (e x) (e y) = uIcc x y


R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this : Algebra R S := f.toAlgebra
⊢ f.IsIntegralElem z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: x y z : S

Context: hx : f.IsIntegralElem x

Context: hy : f.IsIntegralElem y

Context: hz : z ∈ Subring.closure {x, y}

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {y})).FG
⊢ f.IsIntegralElem z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: x y z : S

Context: hx : f.IsIntegralElem x

Context: hy : f.IsIntegralElem y

Context: hz : z ∈ Subring.closure {x, y}

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra
this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x, y})).FG
⊢ f.IsIntegralElem z


case h
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]
⊢ x✝ ∈ LinearMap.ker (mapRingHom f).toSemilinearMap ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)


case h
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]
⊢ (↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝ = 0 ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)


case h
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]
⊢ (∀ (n : ℕ), ((↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), x✝.coeff n ∈ RingHom.ker f


R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
⊢ eval₂ f 1 p = f (eval 1 p)


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β✝ → β✝
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β✝
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β✝ γ
β : Type u_6
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.noncommProd f ⋯ = s.prod f


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ HasStrictDerivAt Inv.inv (-(x ^ 2)⁻¹) x


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ (fun p => (p.1 - p.2) * ((x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹)) =o[𝓝 (x, x)] fun p => (p.1 - p.2) * 1


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 0)


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0
⊢ Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 ((x * x)⁻¹ - (x * x)⁻¹))


σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
⊢ range (evalᵢ σ K) = ⊤


σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ
⊢ Submodule.map (evalₗ K σ) (restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤


A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
⊢ discr A b = discr A (⇑f ∘ b)


case e_M.a
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
i✝ j✝ : ι
⊢ traceMatrix A b i✝ j✝ = traceMatrix A (⇑f ∘ b) i✝ j✝


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsOpen s


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s
⊢ IsUpperSet s


G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
x✝ : NormalWord d
⊢ unitsSMul φ (-1) (unitsSMul φ 1 x✝) = x✝


G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d
⊢ unitsSMul φ 1 (unitsSMul φ (-1) w) = w


R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q
⊢ rTensor Q f' ∘ₗ map f g = map (f' ∘ₗ f) g


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: I : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

m n✝ n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
I : DecidablePred p
i : Fin (n + 1)
hi :
  i ∈
    Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i =>
      some (i.castLT ⋯)
⊢ p i


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A
⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) =
    (shiftFunctorComm C n 0).hom.app X ≫ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A
⊢ (shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) =
    ((shiftFunctorAdd' C n 0 n ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).hom.app X) ≫
      (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).inv.app X


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y


case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: left✝ : u ⊆ insert x s

Context: hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u

case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u
⊢ ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: left✝ : u ⊆ insert x s

Context: hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u

Context: y : E

Context: hy : u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u

case intro.intro.intro
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u
this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u
y : E
hy : u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u
⊢ u ∈ 𝓝[s] y


T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
⊢ IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T).op) (Ioc t (t + T)) μ


T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
⊢ ∃! g, g +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)


Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

Context: x : ℝ

T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)
⊢ ∃! g, g +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)


Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

Context: x : ℝ

T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ
this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)
⊢ ∃! x_1, (⇑(zmultiples T).equivOp ∘ codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯) x_1 +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)


Context: τ : ℂ

τ : ℂ
⊢ jacobiTheta (2 + τ) = jacobiTheta τ


K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
r : K
x : RatFunc K
⊢ r • x = C r * x


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F
⊢ Tendsto (fun a => ‖a‖) (𝓝 1) (𝓝 0)


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
⊢ lTensor M (-f) = -lTensor M f


R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P
⊢ (lTensorHom M) (-f) = -(lTensorHom M) f


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0
⊢ (replicate (n + 2) x).dedup = [x]


R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R
⊢ ((rename f) φ).vars ⊆ Finset.image f φ.vars


case h
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
x✝ : Γ
⊢ x✝ ∈ (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).support ↔ x✝ ∈ x.support


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M
⊢ IsSemisimple LinearMap.id


case intro
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ
⊢ IsRegular ↑a


ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (mk s (-x)) i = (-mk s x) i


ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι
⊢ (if H : i ∈ s then (-x) ⟨i, H⟩ else 0) = -if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0


C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
⊢ (w.whiskerVertical α.hom β.inv).GuitartExact


C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁
⊢ ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: D₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁

Context: inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃

Context: T : C₁ ⥤ D₁

Context: L : C₁ ⥤ C₂

Context: R : D₁ ⥤ D₂

Context: B : C₂ ⥤ D₂

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: L' : C₁ ⥤ C₂

Context: R' : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : w.GuitartExact

Context: α : L ≅ L'

Context: β : R ≅ R'

Context: X₂ : D₁

C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁
e : (w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂ ≅
  w.structuredArrowDownwards X₂ ⋙ (StructuredArrow.mapIso (β.app X₂)).functor :=
  NatIso.ofComponents (fun f => StructuredArrow.isoMk (α.symm.app f.right) ⋯) ⋯
⊢ ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial


case mk
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁y₁ : (x₁, y₁) ∈ A
hx₁y₂ : (x₁, y₂) ∈ A
hx₂y₁ : (x₂, y₁) ∈ A
hxy : x₁ + y₂ = x₂ + y₁
⊢ IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hF_zero : ¬∑ i ∈ s, f i ^ p = 0

Context: hG_zero : ¬∑ i ∈ s, g i ^ q = 0

case neg
ι : Type u
s : Finset ι
f g : ι → ℝ≥0
p q : ℝ
hpq : p.IsConjExponent q
hF_zero : ¬∑ i ∈ s, f i ^ p = 0
hG_zero : ¬∑ i ∈ s, g i ^ q = 0
f' : ι → ℝ≥0 := fun i => f i / (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p)
g' : ι → ℝ≥0 := fun i => g i / (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)
⊢ ∑ i ∈ s, f' i * g' i ≤ 1


Context: z : ℍ


S : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
X : DifferentialObject S C
⊢ (eqToHom ⋯).f = eqToHom ⋯


K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
h : x.num = 0
⊢ x = 0


R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
⊢ χ = 1 ↔ χ.conductor = 1


R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
⊢ χ = 1


case intro.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
h' : χ.conductor ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R χ.conductor
h : χ = (changeLevel h') χ₀
⊢ χ = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: i : ι

Context: y : ↥(H i)

G : Type u_1
inst✝ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Subgroup G
f g : (i : ι) → ↥(H i)
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y
i : ι
y : ↥(H i)
⊢ (noncommPiCoprod hcomm) (Pi.mulSingle i y) = ↑y


R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + x * z)
⊢ IsCoprime x y


R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y + x * z) x
⊢ IsCoprime y x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
⊢ IsIntegral (↥L) x ∧ (IsSeparable (↥L) x → x ∈ (algebraMap (↥L) E).range)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

Context: this : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯

Context: hx : x ∈ restrictScalars F (↥L)⟮x⟯

F : Type u
E : Type v
inst✝⁵ : Field F
inst✝⁴ : Field E
inst✝³ : Algebra F E
K : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra F K
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E
x : E
L : IntermediateField F E := separableClosure F E
h : IsSeparable (↥L) x
this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯
this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)
hx : x ∈ restrictScalars F (↥L)⟮x⟯
⊢ x ∈ (algebraMap (↥L) E).range


C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ (c : C), 𝟙 c ∈ (sInf s).arrows c c


C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ (c : C), ∀ i ∈ s, 𝟙 c ∈ i.arrows c c


C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, γ ∈ (sInf s).arrows c c → Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ (sInf s).arrows d d


C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal
⊢ ∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, (∀ i ∈ s, γ ∈ i.arrows c c) → ∀ i ∈ s, Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ i.arrows d d


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0

T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0

T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0

T : ℝ
hT : Fact (0 < T)
n : ℤ
hn✝ : 1 < |n|
s : Set (AddCircle T)
hs : MeasurableSet s
hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s
u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)
hn : 1 < n.natAbs
hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j
hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0
hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s
hu₂ : Tendsto (fun j => addOrderOf (u j)) atTop atTop
⊢ s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0
⊢ W.negMap ⟦P⟧ = ⟦![1, 1, 0]⟧


𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ interior (⇑f ⁻¹' s)


𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • x + b • y ∈ ⇑f ⁻¹' interior s


𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1
⊢ a • f x + b • f y ∈ interior s


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
⊢ X.OpenCover


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤
t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose
⊢ X.OpenCover


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

X✝ Y Z : Scheme
𝒰✝ : X✝.OpenCover
f : X✝ ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace
this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤
t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose
h : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), ∃ y, x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f ↑y)).val.base
⊢ X.OpenCover


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in a..b, f x‖ ≤ C * |b - a|


ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C
⊢ ‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂volume‖ ≤ C * |b - a|


X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X
⊢ (𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x


X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X
⊢ (comap f (𝓝 (f x))).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x


Context:
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s


s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : ¬s.Nonempty
⊢ False


Context:
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅

s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
⊢ False


s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
h' : sInf s ≠ 0
⊢ sInf s = 0


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
⊢ Finite ι


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Archimedean α

Context: inst✝ : OrderClosedTopology α

Context: b : α

Context: hb : 0 < b

Context: hf : Summable fun x => b

ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b
⊢ Finite ι


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Archimedean α

Context: inst✝ : OrderClosedTopology α

Context: b : α

Context: hb : 0 < b

Context: hf : Summable fun x => b

Context: n : ℕ

Context: hn : ∑' (x : ι), b ≤ n • b

case intro
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b
H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b
n : ℕ
hn : ∑' (x : ι), b ≤ n • b
⊢ Finite ι


K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
⊢ IsUnit a


K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
⊢ IsUnit a


K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
ha' : (↑a)⁻¹ ∈ A
⊢ IsUnit a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : γ →. δ
g : β →. γ
h : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : δ
⊢ x✝ ∈ (f.comp g).comp h x✝¹ ↔ x✝ ∈ f.comp (g.comp h) x✝¹


case h
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n
⊢ init (snoc p x) i = p i


case h
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n
⊢ p (i.castSucc.castLT ⋯) = p i


R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
⊢ derivative (p.comp (1 - X)) = -(derivative p).comp (1 - X)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
g : β → γ
f : α → β
l : Language α
⊢ (map g) ((map f) l) = (map (g ∘ f)) l


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
P : X → Prop
⊢ (∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, ⋃ (_ : p i), s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂
⊢ S₁.δ ≫ f.f₃.τ₁ = f.f₀.τ₃ ≫ S₂.δ


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop
⊢ (∃ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in f, q x


α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
⊢ (lift f).range = Subgroup.closure (Set.range f)


α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
⊢ Subgroup.closure (Set.range f) ≤ (lift f).range


case intro
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α
⊢ f a ∈ ↑(lift f).range


Context: q✝ q : ℕ+


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α
⊢ (s₁ ∪ s₂) ○ t = s₁ ○ t ∪ s₂ ○ t


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card


Context:
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0

w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0
⊢ (x ^ (1 / y)) ^ y = x


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ (g * g).IsThreeCycle


α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle
⊢ Nat.Coprime 2 (_root_.orderOf g)


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ φ.τ₃.op ≫ S₁.g.op = S₂.g.op ≫ φ.τ₂.op


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂
⊢ φ.τ₂.op ≫ S₁.f.op = S₂.f.op ≫ φ.τ₁.op


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E
⊢ infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * infDist x s


𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (t : G), (L (f t)) (g (-x - t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ


case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ (fun a => (L (f a)) (g (-x - a))) =ᶠ[ae μ] fun a => (L (f (-a))) (g (x + a))


case h
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
t : G
ht : f (-t) = f t
h't : g (-(x + t)) = g (x + t)
⊢ (L (f t)) (g (-x - t)) = (L (f (-t))) (g (x + t))


𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
⊢ ∫ (t : G), (L (f (-t))) (g (x + t)) ∂μ = ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ