Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace H

Context: c : ChartedSpaceCore H M

Context: e : PartialEquiv M H

Context: he : e ∈ c.atlas

H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas
E : e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' e.source = e.target
⊢ IsOpen e.target


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)

Context: hR : 0 < R

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R

E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ≥0
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ z ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hR : 0 < R
w : ℂ
hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R
⊢ HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c (↑R) n) fun x => w) (f (c + w))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)

Context: hR : 0 < R

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R

Context: hw' : c + w ∈ ball c ↑R

E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ≥0
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ z ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hR : 0 < R
w : ℂ
hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R
hw' : c + w ∈ ball c ↑R
⊢ HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c (↑R) n) fun x => w) (f (c + w))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)

Context: hR : 0 < R

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R

Context: hw' : c + w ∈ ball c ↑R

E : Type u
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
R : ℝ≥0
c : ℂ
f : ℂ → E
s : Set ℂ
hs : s.Countable
hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)
hd : ∀ z ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f z
hR : 0 < R
w : ℂ
hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R
hw' : c + w ∈ ball c ↑R
⊢ HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c (↑R) n) fun x => w)
    ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)


R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : TopologicalRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalRing A
⊢ IsAdic ⊥ ↔ DiscreteTopology A


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)

x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y

case intro.intro.intro
x y : ℝ
f : ℝ → ℝ
hf : ContinuousOn f (Icc x y)
hxy : x < y
hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)
h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0
A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)
a : ℝ
ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)
hxa : x < a
hay : a < y
⊢ ∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a


case a.h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α
⊢ s(x✝, y✝) ∈ filter (fun a => ¬a.IsDiag) (image Sym2.mk (s ×ˢ s)) ↔ s(x✝, y✝) ∈ image Sym2.mk s.offDiag


M : Type u
inst✝ : Monoid M
X x✝¹ x✝ : Discrete M
f : x✝¹ ⟶ x✝
⊢ { as := X.as * x✝¹.as } = { as := X.as * x✝.as }


M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ X₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
X : Discrete M
⊢ { as := X₁✝.as * X.as } = { as := X₂✝.as * X.as }


M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ Y₁✝ X₂✝ Y₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ Y₁✝
g : X₂✝ ⟶ Y₂✝
⊢ { as := X₁✝.as * X₂✝.as } = { as := Y₁✝.as * Y₂✝.as }


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : CstarRing A

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A

Context: inst✝ : IsScalarTower ℂ A A

Context: a b : A

Context: hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝

A : Type u_1
inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A
inst✝⁸ : CompleteSpace A
inst✝⁷ : PartialOrder A
inst✝⁶ : StarRing A
inst✝⁵ : StarOrderedRing A
inst✝⁴ : CstarRing A
inst✝³ : NormedSpace ℂ A
inst✝² : StarModule ℂ A
inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A
inst✝ : IsScalarTower ℂ A A
a b : A
hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝
h₁ : a * b * star a = star (star a) * b * star a
h₂ : a * star a = star (star a) * star a
⊢ star (star a) * b * star a ≤ ‖b‖ • (star (star a) * star a)


α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
⊢ (s.mulAntidiagonal t a).Finite


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
⊢ False


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

case intro
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg :
  ∀ (m n : ℕ),
    m ≤ n →
      (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m))
        ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ False


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg :
  ∀ (m n : ℕ),
    m ≤ n →
      (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m))
        ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' :
  (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m))
    ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ False


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

case intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite
h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)
g : ℕ ↪o ℕ
hg :
  ∀ (m n : ℕ),
    m ≤ n →
      (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m))
        ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
m n : ℕ
mn : m < n
h2' :
  (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m))
    ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))
⊢ (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 (0 + 1 • c))
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : CompleteSpace F
μ ν : Measure α
s t : Set α
ι : Type u_4
a : ι → Set α
l : Filter ι
f : α → E
c : E
g : ι → α → ℝ
K : ℝ
hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)
f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ
hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)
g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i
g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal
g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ
I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ
L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)
this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 c)
⊢ Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), Epi (h.counit.app X)
X Y : D
f g : X ⟶ Y
hfg : R.map f = R.map g
⊢ f = g


case a
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), Epi (h.counit.app X)
X Y : D
f g : X ⟶ Y
hfg : R.map f = R.map g
⊢ h.counit.app X ≫ f = h.counit.app X ≫ g


α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
n : ℕ
⊢ IsPeriodicPt f (n * m) x


R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s'✝ t✝ s s' t : Set α
ht : MeasurableSet t
⊢ (μ.restrict (s ∪ s')) t ≤ (μ.restrict s + μ.restrict s') t


Context:
a x : ℝ
hx : 0 < x

a x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasSum (fun n => (↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) (oddKernel (↑a) x)


Context:
a x : ℝ
hx : 0 < x

a x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x)))
    (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
⊢ HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x)))
    (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
⊢ HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x)))
    (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ

a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
n : ℤ
⊢ ↑((↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) =
    cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) *
      (jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ

a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
n : ℤ
⊢ (↑n + ↑a) * cexp (-↑π * (↑n + ↑a) ^ 2 * ↑x) =
    (↑n + ↑a) * cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x + (2 * ↑π * I * ↑n * (↑a * I * ↑x) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (I * ↑x)))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ

a x : ℝ
hx : 0 < x
h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))
n : ℤ
⊢ -↑π * (↑n + ↑a) ^ 2 = -↑π * ↑a ^ 2 + (2 * ↑π * I * ↑n * ↑a + ↑π * I * ↑n ^ 2) * I


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖


case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖


case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: a b r : ℝ

Context: hx : 0 < ‖x‖

Context: hy : 0 < ‖y‖

Context: hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y

Context: hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖

case intro.intro
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖
this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1
⊢ ‖x + y‖ < ‖x‖ + ‖y‖


σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ
⊢ supported R Set.univ = ⊤


X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s
hS : S.Countable
⊢ IsGδ (⋂₀ S)


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞

x : ℝ
n : ℕ∞
⊢ DifferentiableOn ℝ log {0}ᶜ ∧ ContDiffOn ℝ ⊤ (deriv log) {0}ᶜ


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ I.incl.idealRange = I


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ c
⊢ a ∣ b - c ↔ a ∣ b


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
n : ℕ

α : Type u
inst✝ : Semiring α
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ range (n + 2), 0 ^ i = if n + 2 = 0 then 0 else 1


𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F
⊢ derivWithin (fun y => c - f y) s x = -derivWithin f s x


R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R M₁ ≤ Module.rank R M


R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f
⊢ Module.rank R ↥(range f) ≤ Module.rank R M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : MeasurableSet s

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEStronglyMeasurable g (μ.restrict sᶜ)
⊢ AEStronglyMeasurable (s.piecewise f g) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : MeasurableSet s

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝³ : Countable ι
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
f g : α → β
s : Set α
inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s
hs : MeasurableSet s
hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)
hg : AEStronglyMeasurable g (μ.restrict sᶜ)
⊢ s.piecewise f g =ᶠ[ae μ] s.piecewise (AEStronglyMeasurable.mk f hf) (AEStronglyMeasurable.mk g hg)


𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E
⊢ dist a (a * b) = ‖b‖


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ

case h
x✝ : ℝ
⊢ ↑(↑(↑x✝).expMapCircle).arg = ↑x✝


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : CommRing S

Context: inst✝¹⁷ : CommRing T

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : Algebra L F

Context: inst✝⁷ : Algebra R F

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R L F

Context: A₁ : Type u_7

Context: B₁ : Type u_8

Context: A₂ : Type u_9

Context: B₂ : Type u_10

Context: inst✝⁵ : CommRing A₁

Context: inst✝⁴ : CommRing B₁

Context: inst✝³ : CommRing A₂

Context: inst✝² : CommRing B₂

Context: inst✝¹ : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: x : B₁

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹⁹ : CommRing R
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : CommRing T
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : Algebra R T
K : Type u_4
L : Type u_5
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra K L
ι κ : Type w
inst✝¹¹ : Fintype ι
F : Type u_6
inst✝¹⁰ : Field F
inst✝⁹ : Algebra R L
inst✝⁸ : Algebra L F
inst✝⁷ : Algebra R F
inst✝⁶ : IsScalarTower R L F
A₁ : Type u_7
B₁ : Type u_8
A₂ : Type u_9
B₂ : Type u_10
inst✝⁵ : CommRing A₁
inst✝⁴ : CommRing B₁
inst✝³ : CommRing A₂
inst✝² : CommRing B₂
inst✝¹ : Algebra A₁ B₁
inst✝ : Algebra A₂ B₂
e₁ : A₁ ≃+* A₂
e₂ : B₁ ≃+* B₂
he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)
x : B₁
this : Algebra A₁ B₂ := ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)).toAlgebra
e' : B₁ ≃ₐ[A₁] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }
⊢ (trace A₁ B₁) x = e₁.symm ((trace A₂ B₂) (e₂ x))


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i

Context: c : 𝕜

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p✝ q : ℝ≥0∞
inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
𝕜 : Type u_3
inst✝³ : NormedRing 𝕜
inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)
inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)
inst✝ : DecidableEq α
p : ℝ≥0∞
i : α
a : E i
c : 𝕜
⊢ lp.single p i (c • a) = c • lp.single p i a


ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1
⊢ x ∈ (extChartAt I (fs.c i)).source


ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1
⊢ x ∈ (chartAt H (fs.c i)).source


𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : Differentiable 𝕜 fun y => f y + c
⊢ Differentiable 𝕜 f


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0

a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0
⊢ sinKernel a x = 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ

case H
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ
⊢ sinKernel (↑a') x = 0


ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α
⊢ Equicontinuous F ↔ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)


α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.202561}
α : Type u
A : Set (Set α)
⊢ #↑(⋃₀ A) ≤ #↑A * ⨆ s, #↑↑s


α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.202561}
α : Type u
A : Set (Set α)
⊢ #↑(⋃ i, ↑i) ≤ #↑A * ⨆ s, #↑↑s


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)
⊢ MeasurableSet {a | ∃ i, p i a}


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)
⊢ MeasurableSet (⋃ i, {x | p i x})


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.63018, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f
⊢ Hom.comp (homMk z₁) (homMk z₂) = homMk (z₁.comp₀ z₂ z₃)


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n fun x => f x / g x


𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g
⊢ ContMDiff I' I n fun x => f x * (g x)⁻¹


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.313, u_3} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j
⊢ ¬c'.Rel (e.f i) (e.f j)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f g u v : R[X]

Context: h1 : u * v = 1

Context: h2 : v * u = 1

Context: a b : R[X]

Context: h3 : derivative (u * v) = derivative 1

case intro.mk.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : CommSemiring R
S : Type v
inst✝ : CommSemiring S
f g u v : R[X]
h1 : u * v = 1
h2 : v * u = 1
ha : f * ↑{ val := u, inv := v, val_inv := h1, inv_val := h2 } = g
a b : R[X]
h : (a * f + b * derivative f) * (u * v) = 1 * 1
h3 : derivative (u * v) = derivative 1
⊢ (a * v + b * derivative v) * g + b * v * derivative g = 1


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]
⊢ (p + q).degree ≤ max p.degree q.degree


x✝ ∈ ∅ ×ˢ t ↔ x✝ ∈ ∅

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β
⊢ x✝ ∈ ∅ ×ˢ t ↔ x✝ ∈ ∅


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: a n' : ℤ

Context: n : ℤ

Context: hn' : n' + a = n

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n' = q

case h
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n✝ : ℤ
γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝
a n' : ℤ
γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'
n : ℤ
hn' : n' + a = n
p q : ℤ
hpq : p + n' = q
⊢ ((γ.rightUnshift n hn').rightShift a n' hn').v p q hpq = γ.v p q hpq


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s✝ : Set α
inst✝ : Bornology α
s : Set ι
f : ι → Set α
hs : s.Finite
⊢ IsBounded (⋃ i ∈ s, f i) ↔ ∀ i ∈ s, IsBounded (f i)


p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : n = 0
⊢ ‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1


p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
⊢ ‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ ‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ padicNorm p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ (↑p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num)⁻¹ ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

case ha
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ 1 ≤ p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

case ha.h
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0
hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0
⊢ 0 < p


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card
⊢ f.eraseLead ≠ 0


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card
⊢ ¬(f.support.erase f.natDegree).card = 0


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: Y' : B

case w.w.h
A : Type u_1
A' : Type u_2
B : Type u_3
B' : Type u_4
inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A
inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'
inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} B
inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'
eA : A ≌ A'
eB : B ≌ B'
e' : A' ≌ B'
F : A ⥤ B'
hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F
G : B ⥤ A
hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor
Y' : B
⊢ eB.inverse.map ((equivalence₁ hF).counitIso.hom.app (eB.functor.obj Y')) ≫ eB.unitIso.inv.app Y' =
    (equivalence₂CounitIso eB hF).hom.app Y'


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact
⊢ S.δ₀.Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact ∧ S.δ₀.Exact
⊢ S.δ₀.Exact


H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ LiftPropWithinAt P g s x ↔ LiftPropWithinAt P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧
      P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source
⊢ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔
    P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
inst✝ : IsFiniteKernel ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s
⊢ ∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun n => κ.densityProcess ν n a x s) atTop (𝓝 (κ.density ν a x s))


R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X) =
    𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)


case w
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u
⊢ ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
          (𝟙 X)) ∘
      FreeAlgebra.ι R =
    ⇑(𝟙
          ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S),
                map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj
            X)) ∘
      FreeAlgebra.ι R


R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
      (f✝ ≫ g✝) =
    { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫
      { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝


case w
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
⊢ ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
          (f✝ ≫ g✝)) ∘
      FreeAlgebra.ι R =
    ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
            f✝ ≫
          { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map
            g✝) ∘
      FreeAlgebra.ι R


case w.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ (FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ =
    (⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝


case w.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ (FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ =
    ((⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝))) ∘
        FreeAlgebra.ι R)
      x✝


case w.h
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝
⊢ FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) =
    ((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) (((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝)) (FreeAlgebra.ι R x✝))


Context: m n✝ n : ℤ


R : Type u
X : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R
⊢ Module.rank R (FreeAlgebra R X) = Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk (List X))


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
g : α → γ
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α
⊢ edist ((fun x => (f x, g x)) x) ((fun x => (f x, g x)) y) ≤ ↑(max Kf Kg) * edist x y


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
g : α → γ
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α
⊢ max (edist ((fun x => (f x, g x)) x).1 ((fun x => (f x, g x)) y).1)
      (edist ((fun x => (f x, g x)) x).2 ((fun x => (f x, g x)) y).2) ≤
    max (↑Kf * edist x y) (↑Kg * edist x y)


α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b = (b * a⁻¹ ∈ s)


α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
⊢ ∀ (a b : α), Setoid.r a b ↔ b * a⁻¹ ∈ s


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α
⊢ x ∈ Icc a b \ {b} ↔ x ∈ Ico a b


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : End X
⊢ (refl X).conj f = f


ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : PushoutI φ →* K
i : ι
⊢ ((fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).1 i).comp (φ i) = (fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).2


ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K
⊢ ∀ (i : ι),
    ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (of i) =
      x✝.comp (of i)


ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K
⊢ ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (base φ) =
    x✝.comp (base φ)


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)

Context: inst✝ : Monoid H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: fst✝ : (i : ι) → G i →* K

Context: snd✝ : H →* K

ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }
fst✝ : (i : ι) → G i →* K
snd✝ : H →* K
property✝ : ∀ (i : ι), ((fst✝, snd✝).1 i).comp (φ i) = (fst✝, snd✝).2
⊢ (fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩)
      ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩) =
    ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
k n : ℕ
⊢ replicate k a ≤ replicate n a ↔ List.replicate k a <+ List.replicate n a


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N

n m N : ℕ
a : ZMod N
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
⊢ ∃ d, d ∣ N ∧ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (unitsMap ⋯) u = hu₀.unit
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ ∃ u, IsUnit u ∧ a = u * ↑d


case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ a = ↑u * ↑d


case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ d * a₀ % N = d * (↑u).val % N


case inr.intro.intro.intro
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀
⊢ a₀ % N₀ = (↑u).val % N₀


R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Star R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
x : A
hx : IsSelfAdjoint x
⊢ IsSelfAdjoint (r • x)


case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (F.obj (op U))
V : C
i : V ⟶ U
⊢ (imageSieve f ((f.app (op U)) s)).arrows i ↔ ⊤.arrows i


case h
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (F.obj (op U))
V : C
i : V ⟶ U
⊢ ∃ t, (f.app (op V)) t = (G.map i.op) ((f.app (op U)) s)


n m : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
hi : optParam (i.castSucc ≠ 0) ⋯
⊢ p.predAbove i.castSucc = i.castSucc.pred hi


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: g : B →+* C

Context: f : A →+* B

Context: hg : g.FinitePresentation

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: a : A

Context: b : B

Context: c : C

A : Type u_1
B : Type u_2
C : Type u_3
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : CommRing B
inst✝ : CommRing C
g : B →+* C
f : A →+* B
hg : g.FinitePresentation
hf : f.FinitePresentation
ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra
ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra
ins3 : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra
a : A
b : B
c : C
⊢ (a • b) • c = a • b • c


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α
⊢ univ / univ = univ


α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
g : β → α
f : ι → β
⊢ ⨆ b ∈ range f, g b = ⨆ i, g (f i)


R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0
⊢ False


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: s : R

Context: h : p.scaleRoots s = 0

Context: this✝ : p.coeff p.natDegree ≠ 0

R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0
this✝ : p.coeff p.natDegree ≠ 0
this : (p.scaleRoots s).coeff p.natDegree = 0
⊢ False


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property : a ∈ f ⁻¹' {h c}

case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property : a ∈ f ⁻¹' {h c}
⊢ o.matrixDecomposition (z ≫ w) (h c) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩ =
    (o.matrixDecomposition w (h c) * o.matrixDecomposition z (h c)) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ o.matrixDecomposition (z ≫ w) (h c) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩ =
    (o.matrixDecomposition w (h c) * o.matrixDecomposition z (h c)) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c =
    ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}),
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ eqToHom ⋯ ≫
      biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
        z ≫
          ((∑ j : β, biproduct.π (fun b => s (g b)) j ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) j) ≫ w) ≫
            biproduct.π (fun b => s (h b)) c =
    ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}),
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

case a.mk.refl.mk
C : Type u
inst✝⁵ : Category.{v, u} C
ι : Type u_1
s : ι → C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : HasFiniteBiproducts C
o : HomOrthogonal s
α β γ : Type
inst✝² : Finite α
inst✝¹ : Fintype β
inst✝ : Finite γ
f : α → ι
g : β → ι
h : γ → ι
z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)
w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)
c : γ
a : α
j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}
j_property : f a = h c
⊢ ∑ j : β,
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            ((biproduct.π (fun b => s (g b)) j ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) j) ≫ w) ≫
              biproduct.π (fun b => s (h b)) c =
    ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}),
      eqToHom ⋯ ≫
        biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫
          z ≫
            biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


G : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
s : Set G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant
⊢ MeasurePreserving ?m.119417 ?m.119413 (?m.119343.prod ?m.119344)


ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
c d : Concept α β r
⊢ c.toProd.2 ⊂ d.toProd.2 ↔ d < c


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α
⊢ a ⊓ s.sup f = s.sup fun i => a ⊓ f i


A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)
⊢ I • ↑(negISMul a) = ↑a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α

case intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
val✝ : Fintype α
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α

Context: e : α ≃ β

Context: this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e

case intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
val✝ : Fintype α
e : α ≃ β
this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α

Context: e : α ≃ β

Context: this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e

Context: h1 : Fintype.card α = Fintype.card β

case intro.intro
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Finite α
s : Set α
t : Set β
h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t
val✝ : Fintype α
e : α ≃ β
this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e
h1 : Fintype.card α = Fintype.card β
⊢ lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ


Context: i j : Fin 2

case a
i j : Fin 2
⊢ (LinearMap.toMatrix basisOneI basisOneI) conjAe.toLinearMap i j = !![1, 0; 0, -1] i j


⊢ Tendsto (fun s => (s - 1) * riemannZeta s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)


n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.natDegree ≤ Fintype.card n


n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ (∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i).natDegree ≤ Fintype.card n


n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ Finset.fold max 0 (natDegree ∘ fun σ => sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i) Finset.univ ≤
    Fintype.card n


n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
⊢ ∀ x ∈ Multiset.map (natDegree ∘ fun σ => sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i) Finset.univ.val,
    x ≤ Fintype.card n


n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ ((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).natDegree ≤ 1


n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ
⊢ (X * C (A (g i) i) + C (B (g i) i)).natDegree ≤ 1


Context:
b : Bool
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ

b : Bool
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ
⊢ shiftLeft' b m n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: hg : Inducing g

Context: s : Set α

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : TopologicalSpace α
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
inst✝² : TopologicalSpace β
inst✝¹ : TopologicalSpace γ
inst✝ : TopologicalSpace δ
f : α → β
g : β → γ
hg : Inducing g
s : Set α
⊢ ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) s


α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
r' : List α
⊢ foldr List.cons (node size✝ l x r) r' = (node size✝ l x r).toList ++ r'


Context: a b m n p : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: f : ℕ → β

Context: hf0 : f 0 = 1

Context: hf1 : f 1 = 1

a b m n p : ℕ
β : Type u_1
inst✝ : CommMonoid β
f : ℕ → β
h_mult : ∀ (x y : ℕ), x.Coprime y → f (x * y) = f x * f y
hf0 : f 0 = 1
hf1 : f 1 = 1
⊢ f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : BorelSpace α
inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E
inst✝⁴ : CompactSpace α
inst✝³ : IsFiniteMeasure μ
𝕜 : Type u_5
inst✝² : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
⊢ ‖BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
⊢ Summable fun n => f n * z ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
⊢ CauchySeq fun s => ∑ b ∈ s, f b * z ^ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C

Context: n : ℕ

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖f n * z ^ n‖ ≤ C * (‖z‖ / ‖w‖) ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C

Context: n : ℕ

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖f n‖ * ‖z‖ ^ n ≤ C / ‖w‖ ^ n * ‖z‖ ^ n


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C / ‖w‖ ^ n

Context: n : ℕ

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝¹ : NormedDivisionRing α
inst✝ : CompleteSpace α
f : ℕ → α
w z : α
h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i
hz : ‖z‖ < ‖w‖
hw : 0 < ‖w‖
C : ℝ
hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C / ‖w‖ ^ n
n : ℕ
⊢ ‖f n‖ * ‖z‖ ^ n ≤ C / ‖w‖ ^ n * ‖z‖ ^ n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
h : eval {fun x => false} nil ∈ Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {m | m < nil})
⊢ False


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁵ : Lattice α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Disjoint a b
⊢ Disjoint (f a) (f b)


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ
⊢ op ((x - 1) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (x ^ n - 1)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Finset β
f : β → α
⊢ ∏ i ∈ p, Associates.mk (f i) = Associates.mk (∏ i ∈ p, f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid α

Context: p : Finset β

Context: f : β → α

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Finset β
f : β → α
this : (fun i => Associates.mk (f i)) = Associates.mk ∘ f
⊢ ∏ i ∈ p, Associates.mk (f i) = Associates.mk (∏ i ∈ p, f i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

𝕜 : Type u_1
inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F
f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
ι : Type u_6
𝔸 : Type u_7
𝔸' : Type u_8
inst✝⁴ : NormedRing 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
u✝ : Finset ι
f : ι → E → 𝔸
f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸
g : ι → E → 𝔸'
g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'
inst✝ : DecidableEq ι
u : Multiset ι
x : E
h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x
⊢ HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod)
    (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
⊢ IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧
    HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ)
      ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

𝕜 : Type u_1
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
μ : Measure ℝ
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : CompleteSpace E
H : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
a b ε : ℝ
bound : ℝ → ℝ
F : 𝕜 → ℝ → E
F' : ℝ → E
x₀ : 𝕜
ε_pos : 0 < ε
hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))
hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))
h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)
h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀
hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ
bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ
this :
  Integrable F' (μ.restrict (Ι a b)) ∧
    HasDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' a ∂μ) x₀
⊢ IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧
    HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ)
      ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀


ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P✝ Q✝ : Submodule R A
m n : A
P Q : Submodule R A
x : A
hx : x ∈ P * Q
⊢ x ∈ span R (↑P * ↑Q)


case mpr
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
⊢ (∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α

Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α

Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α

case mpr.refine_1
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ IsClosed (closure (orbit M x✝))

case mpr.refine_2
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ ∀ (c : M), c • closure (orbit M x✝) ⊆ closure (orbit M x✝)

case mpr.refine_3
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α
H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ
x✝ : α
⊢ ¬closure (orbit M x✝) = ∅


C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g
⊢ (isoIsPullback X Y h h').inv ≫ snd = snd'


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset β
f : β → α
h : p ∣ (Multiset.map f s).prod
⊢ ∃ a ∈ s, p ∣ f a


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
⊢ UniformContinuous fun p => p.1 / p.2


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f
⊢ UniformContinuous fun x => f x.1 / f x.2


J : Type v'
inst✝¹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H : IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ Y
αY : Y' ⟶ X
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX g
hg : IsPullback g' αW αY f
hh : CommSq h' αX αZ i
hi : CommSq i' αY αZ h
w : CommSq f' g' h' i'
⊢ IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ i ∧ IsPullback i' αY αZ h


K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A
⊢ Algebra.IsAlgebraic K A ↔ Algebra.IsIntegral K A


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b✝ : α
inst✝³ : Mul H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a b : H
⊢ Commute (g • a) b ↔ Commute a b


Context: a b : ℕ


G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
⊢ IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥


G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G
⊢ (∀ (g : G), g ≠ 1 → ¬IsOfFinOrder g) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ CommGroup.torsion G → x ∈ ⊥


R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n
⊢ (bernsteinPolynomial R n ν).comp (1 - X) = bernsteinPolynomial R n (n - ν)


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
⊢ (f.genEigenspace μ) k = f.eigenspace μ


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
m : M
hm : m ∈ (f.genEigenspace μ) k
⊢ f m = μ • m


Context:
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y

X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y
⊢ e.hom.val.base ≫ e.inv.val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)
g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X
⊢ ∀ (p : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R), (f.comp g) p = p


R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
a : R
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C a)) = Polynomial.C a


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p✝ p q : R[X]

R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ p q : R[X]
hp : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) p) = p
hq : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) q) = q
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (p + q)) = p + q


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p✝ : R[X]

Context: p : ℕ

Context: n : R

R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p✝ : R[X]
p : ℕ
n : R
x✝ :
  eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) =
    Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p
⊢ eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X)
      (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) =
    Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Injective f
l : β →₀ M
hl : ↑l.support ⊆ Set.range f
⊢ mapDomain f (comapDomain f l ⋯) = l


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card


α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α
⊢ (A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card


α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h : a ∈ s
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n
⊢ ∃ t, s = a ::ₛ t


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n
⊢ s = a ::ₛ ⟨m, this⟩


α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α✝
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s ≠ univ ↔ ∃ a, a ∉ s


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α
⊢ edist ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
x : Part α
⊢ ∀ (a : β), a ∈ x.bind (some ∘ f) ↔ a ∈ map f x


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
⊢ (1 - A * B).det = (1 - B * A).det


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α
⊢ ∀ (i : (α × α) × α × α),
    i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔
      (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈
        filter
          (fun x =>
            match x with
            | ((a, b), c, d) => a * b = c * d)
          ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
⊢ (𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis p fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 S (s i)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α
⊢ (comap (Prod.map S.restrict S.restrict) (𝓤 (↑S → β))).HasBasis p fun i =>
    Prod.map (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (↑S) β (s i)


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α
⊢ u ⬝ᵥ (v + w) = u ⬝ᵥ v + u ⬝ᵥ w


R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ
⊢ (p * X ^ n).coeff (d + n) = p.coeff d


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)

I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
m n : ↑(MaxProducts C ho)
h : MaxToGood C hC hsC ho h₁ m = MaxToGood C hC hsC ho h₁ n
⊢ m = n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)

I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
m n : ↑(MaxProducts C ho)
h : MaxToGood C hC hsC ho h₁ m = MaxToGood C hC hsC ho h₁ n
⊢ ↑↑m = ↑↑n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h : (↑m).Tail = (↑n).Tail

I : Type u
inst✝¹ : LinearOrder I
inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1
C : Set (I → Bool)
o : Ordinal.{u}
hC : IsClosed C
hsC : contained C (Order.succ o)
ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1
h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))
m n : ↑(MaxProducts C ho)
h : (↑m).Tail = (↑n).Tail
⊢ ↑↑m = ↑↑n


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β
⊢ ofNat (List α) 0 = []


a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : a ≤ b
⊢ (max a b).toReal = max a.toReal b.toReal


a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : b ≤ a
⊢ (max a b).toReal = max a.toReal b.toReal


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ
⊢ map f (U R n) = U S n


E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E
⊢ (thickening δ s)⁻¹ = thickening δ s⁻¹


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
⊢ (1 + A * B).det = (fromBlocks 1 (-A) B 1).det


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α
⊢ (fromBlocks 1 (-A) B 1).det = (1 + B * A).det


α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv (a⁻¹ - b⁻¹) < ε


α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ (abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹ < ε


α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b
⊢ abv a * ((abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹) * abv b < abv a * ε * abv b


𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x
⊢ HasFDerivAtFilter f₀ f₀' x L ↔ HasFDerivAtFilter f₁ f₁' x L


𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x
⊢ ((fun x' => f₀ x' - f₀ x - f₀' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔
    (fun x' => f₁ x' - f₁ x - f₁' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x


Context:
N : ℕ
hN : ¬Prime N

N : ℕ
hN : ¬Prime N
⊢ N.succ.smoothNumbers = N.smoothNumbers


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: ι✝¹ : Type

Context: fintype✝¹ : Fintype ι✝¹

Context: X✝¹ : ι✝¹ → C

Context: ι✝ : Type

Context: fintype✝ : Fintype ι✝

Context: X✝ : ι✝ → C

Context: f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝

case H.mk.mk
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝² : Preadditive C
D : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D
inst✝ : Preadditive D
ι✝¹ : Type
fintype✝¹ : Fintype ι✝¹
X✝¹ : ι✝¹ → C
i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι
ι✝ : Type
fintype✝ : Fintype ι✝
X✝ : ι✝ → C
j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι
f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝
⊢ ((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ =
    (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: κ : Type u

Context: w✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
⊢ ∑ i : ι, m i ⊗ₜ[R] n i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: κ : Type u

Context: w✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
⊢ ∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, a x x_1 • m x ⊗ₜ[R] y x_1 = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: κ : Type u

Context: w✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

case intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝⁵ : CommRing R
M : Type u
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u
inst✝ : Fintype ι
m : ι → M
n : ι → N
κ : Type u
w✝ : Fintype κ
a : ι → κ → R
y : κ → N
h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j
h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0
⊢ ∑ y_1 : κ, ∑ x : ι, a x y_1 • m x ⊗ₜ[R] y y_1 = 0


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : EsakiaHom β γ
f₁ f₂ : EsakiaHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α
⊢ g (f₁ a) = g (f₂ a)


Context:
m n : ℕ
x y : ZMod n

m n : ℕ
x y : ZMod n
⊢ (x - y).cast = (x.cast - y.cast) % ↑n


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
⊢ 0 < s.einfsep


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ ‖reCLM‖ = 1


K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
⊢ 1 ≤ ‖reLm.mkContinuous 1 ⋯‖


Context: α : Type u_1

Context: a b c d x y z : α

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : NoZeroDivisors α

Context: hn : n ≠ 0

α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero α
a b c d x y z : α
n : ℕ
inst✝ : NoZeroDivisors α
hn : n ≠ 0
⊢ 0 < a ^ n ↔ 0 < a


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Epi g

Context: s : PullbackCone f g

Context: hs : IsLimit s

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasPullbacks C
W X Y Z : C
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : Epi g
s : PullbackCone f g
hs : IsLimit s
this : Epi ((limit.cone (cospan f g)).π.app WalkingCospan.left)
⊢ Epi s.fst


a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹

case a
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α
⊢ a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹