Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (α × α)

Context: x : α

α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
x : α
h : (comap Prod.swap (𝓤 α)).HasBasis p fun i => Prod.swap ⁻¹' s i
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | (y, x) ∈ s i}


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: p : ι → Prop

Context: s : ι → Set (α × α)

Context: x : α

α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
x : α
h : (𝓤 α).HasBasis p fun i => Prod.swap ⁻¹' s i
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | (y, x) ∈ s i}


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Finite β
this✝ : Fintype α
this : Fintype β
⊢ Nat.card α = Nat.card β ↔ Nonempty (α ≃ β)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ ↑(g.compQuasiMeasurePreserving f hf) =ᶠ[ae μ] ↑g ∘ f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : QuasiMeasurePreserving f μ ν
⊢ ↑(mk (↑g ∘ f) ⋯) =ᶠ[ae μ] ↑g ∘ f


ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : M i
⊢ (lift (Pi.mulSingle i (MonoidHom.id (M i)))) (of x) = x


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n
⊢ rank 1 = Fintype.card n


α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x y : FreeGroup α
⊢ (x * y).norm = (mk (x.toWord ++ y.toWord)).norm


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousAt f x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝 x)

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousAt f x
hg : Tendsto g p (𝓝 x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f univ x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝 x)

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f univ x
hg : Tendsto g p (𝓝 x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f univ x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[univ] x)

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
inst✝ : TopologicalSpace α
h : ContinuousWithinAt f univ x
hg : Tendsto g p (𝓝[univ] x)
hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u
⊢ Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : ¬(s.Nonempty ∧ t.Nonempty)
⊢ False


α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : s = ∅ ∨ t = ∅
⊢ False


M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i ↔ ∃ i, x ∈ S i


M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ ⨆ i, S i → ∃ i, x ∈ S i


M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
⊢ x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i


J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : J ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
x : (fun F => ↑F.sections) F
j j' : J
f : j ⟶ j'
⊢ (F.map f ≫ φ.app j') (↑x j) = (fun j => φ.app j (↑x j)) j'


X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
r : ↑Γ(X, ⊤)
⊢ IsAffineOpen ((X.basicOpen r).ι ⁻¹ᵁ U)


X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
r : ↑Γ(X, ⊤)
⊢ IsAffineOpen (⋯.functor.obj ((X.basicOpen r).ι ⁻¹ᵁ U))


X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
r : ↑Γ(X, ⊤)
⊢ IsAffineOpen (X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) r))


f ⊓ 𝓟 s = ⊥ ↔ sᶜ ∈ f

α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : Filter α
s : Set α
⊢ f ⊓ 𝓟 s = ⊥ ↔ sᶜ ∈ f


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : Filter α
s : Set α
⊢ {x | x ∈ s → x ∈ ∅} ∈ f ↔ sᶜ ∈ f


a✝ b✝ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a b : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.cos (z * ↑x) = Complex.sin (z * ↑b) / z - Complex.sin (z * ↑a) / z


case hderiv
a✝¹ b✝ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a b x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a, b]]
⊢ HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


Context: a✝² b✝ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b]]

case hderiv
a✝² b✝ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a✝¹ b x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a✝¹, b]]
a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)
⊢ HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

case hderiv
a✝² b✝¹ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a✝¹ b✝ x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]
a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)
b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x
⊢ HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

case hderiv
a✝² b✝¹ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a✝¹ b✝ x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]
a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)
b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x
c : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * z)) (Complex.cos (↑x * z) * z) ↑x
⊢ HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

case hderiv
a✝² b✝¹ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a✝¹ b✝ x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]
a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)
b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x
c : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * z)) (Complex.cos (↑x * z) * z) ↑x
d : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (↑y * z) / z) (Complex.cos (↑x * z) * z / z) x
⊢ HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

case h.e'_7
a✝² b✝¹ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a✝¹ b✝ x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]
a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)
b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x
c : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * z)) (Complex.cos (↑x * z) * z) ↑x
d : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (z * ↑y) / z) (z * Complex.cos (z * ↑x) / z) x
⊢ Complex.cos (z * ↑x) = z * Complex.cos (z * ↑x) / z


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

case h.e'_7
a✝² b✝¹ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a✝¹ b✝ x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]
a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)
b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x
c : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * z)) (Complex.cos (↑x * z) * z) ↑x
d : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (z * ↑y) / z) (z * Complex.cos (z * ↑x) / z) x
⊢ Complex.cos (z * ↑x) = Complex.cos (z * ↑x) * z / z


case mk.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s : Set α
t : Set β
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
v : Finset β
hv : v.Nonempty
hvt : ↑v ⊆ t
⊢ (u.inf' hu id, v.inf' hv id) ∈ infClosure (s ×ˢ t)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hts : t ⊆ s
ha : a ∈ t
⊢ s \ t ∪ t.erase a = s.erase a


case inr.inr
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
h2✝ : a ≤ c
h3✝ : c ≤ b
h2 : a < c
h3 : c < b
⊢ c = a ∨ c = b


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ

R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ k, v.ltAddSubgroup k ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ

case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ v.ltAddSubgroup (min γ₀ γ₁) ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ

case h
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ
⊢ ∀ (a : R), v a < ↑γ₀ → v a < ↑γ₁ → v a < ↑γ₀


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ : Γ₀ˣ

R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ γ₀ : Γ₀ˣ

Context: h : γ₀ * γ₀ ≤ γ

case intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ γ₀ : Γ₀ˣ

Context: h : γ₀ * γ₀ ≤ γ

Context: r : R

Context: r_in : r ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)

Context: s : R

Context: s_in : s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)

case h.intro.intro.intro.intro
R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
γ γ₀ : Γ₀ˣ
h : γ₀ * γ₀ ≤ γ
r : R
r_in : r ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)
s : R
s_in : s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)
⊢ (fun x x_1 => x * x_1) r s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x : R

Context: γ : Γ₀ˣ

R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x : R

Context: γ : Γ₀ˣ

R : Type u
inst✝¹ : Ring R
Γ₀ : Type v
inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀
v : Valuation R Γ₀
x : R
γ : Γ₀ˣ
⊢ ∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)


ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : G.Adj a b
⊢ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b = {s(a, b)}


ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : G.Adj a b
⊢ s(a, b) ∈ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b


Context:
n : ℕ
r : ℝ

n : ℕ
r : ℝ
⊢ ↑n ≤ r.toNNReal ↔ ↑n ≤ r ∨ n = 0


case a
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ x y : R[X]
h : Coe.coe x = Coe.coe y
n✝ : ℕ
⊢ x.coeff n✝ = y.coeff n✝


case h
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G
⊢ x✝ ∈ MulOpposite.op a • ↑s ↔ x✝ ∈ ↑s


R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
s : ↥S
⊢ 0 /ₒ s = 0


case mk
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
t : R[X]
ht : t ∈ Submonoid.closure {X}
⊢ IsUnit ((algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑⟨t, ht⟩)


case mk.intro
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
ht : X ^ n ∈ Submonoid.closure {X}
⊢ IsUnit ((algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑⟨X ^ n, ht⟩)


R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[T;T⁻¹]
⊢ ∃ x, f * (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑x.2 = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) x.1


case Qf
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
⊢ ∃ x, toLaurent f * T (-↑n) * (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑x.2 = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) x.1


case Qf
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
this : X ^ n ∈ Submonoid.closure {X}
⊢ toLaurent f * T (-↑n) * (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑(f, ⟨X ^ n, this⟩).2 =
    (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) (f, ⟨X ^ n, this⟩).1


R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]
⊢ (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) f = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) g → ∃ c, ↑c * f = ↑c * g


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ a⁻¹ * b ∈ ker f


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G
⊢ f a = f b ↔ f (a⁻¹ * b) = 1


J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
f : j ⟶ j'
w : F.map f x = x'
⊢ colimit.ι F j x = colimit.ι F j' x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: y : (i : ι) → E i

Context: x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤

𝕜 : Type u_1
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
E✝ : Type u
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝
F : Type v
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
ι : Type u_2
E : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)
inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)
inst✝ : Fintype ι
f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F
y : (i : ι) → E i
x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤
⊢ (∑ i ∈ Finset.range (Fintype.card ι + 1), (f.toFormalMultilinearSeries i) fun x => y) = f (0 + y)


α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
h₀ : optParam (Injective id) ⋯
⊢ range id ∈ f


α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
h₀ : optParam (Injective id) ⋯
⊢ univ ∈ f


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }
⊢ p ↑x


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β

ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }
⊢ ¬p ↑x


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }
_hx : x ∈ (filter p s).attach
⊢ p ↑x


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β

ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }
_hx : x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach
⊢ ¬p ↑x


K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
f : K →+* L
s : Subfield L
h : s ≤ f.fieldRange
⊢ map f (comap f s) = s


α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ
⊢ edist (Memℒp.toLp f hf) 0 = eLpNorm f p μ


R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
⊢ ↑(↑m + ↑n) = ↑↑m + ↑↑n


R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
⊢ ↑(↑m + -[n+1]) = ↑↑m + ↑-[n+1]


R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
⊢ ↑(-[m+1] + ↑n) = ↑-[m+1] + ↑↑n


R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ
⊢ ↑-[m + n + 1+1] = ↑-[m+1] + ↑-[n+1]


Context: a b : Ordinal.{u_1}


ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≠ 1 → i ∈ s
⊢ ∀ x ∈ univ, x ∉ s → f x = 1


C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.functor.IsEquivalence
h : W₂ ≤ W₁.map Φ.functor
⊢ Φ.IsLocalizedEquivalence


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: D₁ : Type u₄

Context: D₂ : Type u₅

Context: D₃ : Type u₆

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂

Context: inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : Φ.functor.IsEquivalence

Context: h : W₂ ≤ W₁.map Φ.functor

C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.functor.IsEquivalence
h : W₂ ≤ W₁.map Φ.functor
this : (Φ.functor ⋙ W₂.Q).IsLocalization W₁
⊢ Φ.IsLocalizedEquivalence


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²² : CommRing A
inst✝²¹ : Field K
inst✝²⁰ : CommRing B
inst✝¹⁹ : Field L
inst✝¹⁸ : Algebra A K
inst✝¹⁷ : Algebra B L
inst✝¹⁶ : Algebra A B
inst✝¹⁵ : Algebra K L
inst✝¹⁴ : Algebra A L
inst✝¹³ : IsScalarTower A K L
inst✝¹² : IsScalarTower A B L
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁸ : IsFractionRing B L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝² : Algebra.IsIntegral A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ coeSubmodule (FractionRing B) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²² : CommRing A
inst✝²¹ : Field K
inst✝²⁰ : CommRing B
inst✝¹⁹ : Field L
inst✝¹⁸ : Algebra A K
inst✝¹⁷ : Algebra B L
inst✝¹⁶ : Algebra A B
inst✝¹⁵ : Algebra K L
inst✝¹⁴ : Algebra A L
inst✝¹³ : IsScalarTower A K L
inst✝¹² : IsScalarTower A B L
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁸ : IsFractionRing B L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝² : Algebra.IsIntegral A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
⊢ 1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1 ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap B (FractionRing B))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²² : CommRing A
inst✝²¹ : Field K
inst✝²⁰ : CommRing B
inst✝¹⁹ : Field L
inst✝¹⁸ : Algebra A K
inst✝¹⁷ : Algebra B L
inst✝¹⁶ : Algebra A B
inst✝¹⁵ : Algebra K L
inst✝¹⁴ : Algebra A L
inst✝¹³ : IsScalarTower A K L
inst✝¹² : IsScalarTower A B L
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁸ : IsFractionRing B L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝² : Algebra.IsIntegral A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : (FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1)⁻¹ ≤ 1
this : (fun a => ↑a) (FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1)⁻¹ ≤ ↑1
⊢ 1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1 ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap B (FractionRing B))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

A : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u
B : Type u_3
inst✝²² : CommRing A
inst✝²¹ : Field K
inst✝²⁰ : CommRing B
inst✝¹⁹ : Field L
inst✝¹⁸ : Algebra A K
inst✝¹⁷ : Algebra B L
inst✝¹⁶ : Algebra A B
inst✝¹⁵ : Algebra K L
inst✝¹⁴ : Algebra A L
inst✝¹³ : IsScalarTower A K L
inst✝¹² : IsScalarTower A B L
inst✝¹¹ : IsDomain A
inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K
inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L
inst✝⁸ : IsFractionRing B L
inst✝⁷ : FiniteDimensional K L
inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A
inst✝⁴ : IsDedekindDomain B
inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B
inst✝² : Algebra.IsIntegral A B
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)
inst✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)
this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)
this✝ : (FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1)⁻¹ ≤ 1
this : ↑(1 / FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1) ≤ ↑1
⊢ 1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1 ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap B (FractionRing B))


Context:
y : ℝ
h : 0 < y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α → StieltjesFunction
hf : ∀ (q : ℝ), Measurable fun a => ↑(f a) q
hf_bot : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atBot (𝓝 0)
hf_top : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atTop (𝓝 1)
⊢ Measurable fun a => (f a).measure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α → StieltjesFunction
hf : ∀ (q : ℝ), Measurable fun a => ↑(f a) q
hf_bot : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atBot (𝓝 0)
hf_top : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atTop (𝓝 1)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
⊢ Measurable fun b => (f b).measure s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ : Kernel α (β × ℝ)
ν✝ : Kernel α β
x✝ : MeasurableSpace β
f✝ : α × β → StieltjesFunction
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α → StieltjesFunction
hf : ∀ (q : ℝ), Measurable fun a => ↑(f a) q
hf_bot : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atBot (𝓝 0)
hf_top : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atTop (𝓝 1)
s : Set ℝ
hs : MeasurableSet s
this : ∀ (a : α), IsProbabilityMeasure (f a).measure
⊢ Measurable fun b => (f b).measure s


R : Type u
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo
⊢ ↑(OfNat.ofNat n) = OfNat.ofNat n


case cons.refl
α : Type u_1
le : α → α → Bool
r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
⊢ (cons r a c s).realSize =
    (merge le (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap
          ((findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before
            (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next)).realSize +
      1


case cons.refl
α : Type u_1
le : α → α → Bool
r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α
⊢ Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize
      (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }) (c.realSize + s.realSize + 1) →
    (cons r a c s).realSize =
      (merge le (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap
            ((findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before
              (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next)).realSize +
        1


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype m
f : n → m
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
⊢ (A.submatrix f ⇑e).rank ≤ A.rank


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype m
f : n → m
e : n ≃ m
A : Matrix m m R
⊢ finrank R ↥(Submodule.map (LinearMap.funLeft R R f) (LinearMap.range A.mulVecLin)) ≤
    finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)


case has_limit
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
J' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J'
e : J ≌ J'
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J' ⥤ C
⊢ HasLimit F


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ (s ⊼ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a ⊓ t.truncatedSup a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ ((filter (fun x => a ≤ x) s ⊼ filter (fun x => a ≤ x) t).sup' ⋯ fun x => id x) =
    (filter (fun b => a ≤ b) s ×ˢ filter (fun b => a ≤ b) t).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ ((image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) (filter (fun x => a ≤ x) s ×ˢ filter (fun x => a ≤ x) t)).sup' ⋯
      fun x => id x) =
    (filter (fun b => a ≤ b) s ×ˢ filter (fun b => a ≤ b) t).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : DistribLattice α
inst✝² : BoundedOrder α
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s t : Finset α
a : α
hs : a ∈ lowerClosure ↑s
ht : a ∈ lowerClosure ↑t
⊢ (filter (fun x => a ≤ x) s ×ˢ filter (fun x => a ≤ x) t).sup' ⋯
      ((fun x => id x) ∘ Function.uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) =
    (filter (fun b => a ≤ b) s ×ˢ filter (fun b => a ≤ b) t).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
N : Type u_4
α : Type u_5
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : MulAction M N
inst✝¹ : SMul N α
inst✝ : MulAction M α
s : Set M
htop : Submonoid.closure s = ⊤
hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z
⊢ IsScalarTower M N α


R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ adjoin R ↑{X} = ⊤


R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N
⊢ adjoin R {X} = ⊤


R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
h : s ∈ Set.range ⇑f
⊢ (monomial n) s ∈ lifts f


case intro
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
r : R
h : f r ∈ Set.range ⇑f
⊢ (monomial n) (f r) ∈ lifts f


case h
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
r : R
h : f r ∈ Set.range ⇑f
⊢ (mapRingHom f) ((monomial n) r) = (monomial n) (f r)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
⊢ b ∈ [[a, c]] → c ∈ [[a, b]] → b = c


L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N
⊢ f.toHom.comp f.symm.toHom = Hom.id L N


Context: n : ℕ


a b c : Ordinal.{u_1}
c0 : 0 < c
ha : a < ω ^ c
hb : b < ω
⊢ a * b < ω ^ c


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : α → δ → ε

Context: n : β → γ → δ

Context: m' : α → γ → δ'

Context: n' : β → δ' → ε

α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m' : α → γ → δ'
n' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' b (m' a c)
⊢ map₂ m f (map₂ n g h) = map₂ n' g (map₂ m' f h)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : α → δ → ε

Context: n : β → γ → δ

Context: m' : α → γ → δ'

Context: n' : β → δ' → ε

α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
γ' : Type u_6
δ : Type u_7
δ' : Type u_8
ε : Type u_9
ε' : Type u_10
m✝ : α → β → γ
f f₁ f₂ : Filter α
g g₁ g₂ : Filter β
h h₁ h₂ : Filter γ
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
u : Set γ
v : Set δ
a : α
b : β
c : γ
m : α → δ → ε
n : β → γ → δ
m' : α → γ → δ'
n' : β → δ' → ε
h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' b (m' a c)
⊢ map₂ (fun a b => m b a) (map₂ n g h) f = map₂ n' g (map₂ (fun a b => m' b a) h f)


G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ
⊢ (x ^ Int.ofNat n) ⤳ (y ^ Int.ofNat n)


G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ
⊢ (x ^ Int.negSucc n) ⤳ (y ^ Int.negSucc n)


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ
⊢ LocallyLipschitz fun x => min a (f x)


case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ : Set α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
Huv : ⋃₀ S ⊆ u ∪ v
a : α
hau : a ∈ u
s : Set α
hsS : s ∈ S
has : a ∈ s
b : α
hbv : b ∈ v
t : Set α
htS : t ∈ S
hbt : b ∈ t
r : Set α
hrS : r ∈ S
hsr : s ⊆ r
htr : t ⊆ r
⊢ (⋃₀ S ∩ (u ∩ v)).Nonempty


case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ : Set α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
Huv : ⋃₀ S ⊆ u ∪ v
a : α
hau : a ∈ u
s : Set α
hsS : s ∈ S
has : a ∈ s
b : α
hbv : b ∈ v
t : Set α
htS : t ∈ S
hbt : b ∈ t
r : Set α
hrS : r ∈ S
hsr : s ⊆ r
htr : t ⊆ r
Hnuv : (r ∩ (u ∩ v)).Nonempty
⊢ (⋃₀ S ∩ (u ∩ v)).Nonempty


case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ : Set α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
Huv : ⋃₀ S ⊆ u ∪ v
a : α
hau : a ∈ u
s : Set α
hsS : s ∈ S
has : a ∈ s
b : α
hbv : b ∈ v
t : Set α
htS : t ∈ S
hbt : b ∈ t
r : Set α
hrS : r ∈ S
hsr : s ⊆ r
htr : t ⊆ r
Hnuv : (r ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Kruv : r ∩ (u ∩ v) ⊆ ⋃₀ S ∩ (u ∩ v)
⊢ (⋃₀ S ∩ (u ∩ v)).Nonempty


α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
⊢ r ((p.toFun ∘ Fin.rev) i.succ) ((p.toFun ∘ Fin.rev) i.castSucc)


α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
hi : ↑i + 1 ≤ p.length
⊢ r (p.toFun i.succ.rev) (p.toFun i.castSucc.rev)


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

xl xr : Type u
x : PGame
⊢ 0 ⧏ x ↔ ∃ i, ∀ (j : (x.moveLeft i).RightMoves), 0 ⧏ (x.moveLeft i).moveRight j


α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α
⊢ a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ b


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : Countable α
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
x y : α
h : x ∈ measurableAtom y
⊢ (fun a => (κ a).condKernel) x = (fun a => (κ a).condKernel) y


Context: n : ℤ


Context:
t : ℝ
ht : 0 < t

t : ℝ
ht : 0 < t
⊢ ‖F_nat 0 0 t - 1‖ ≤ rexp (-π * t) / (1 - rexp (-π * t))


a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0
⊢ a < a + b


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α
ht : t.Sized

α : Type u_1
t : Ordnode α
ht : t.Sized
⊢ t.size = 0 ↔ t = nil


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u₁ u₂ : UniformSpace γ
⊢ uniformSpace α γ 𝔖 = uniformSpace α γ 𝔖 ⊓ uniformSpace α γ 𝔖


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u₁ u₂ : UniformSpace γ
⊢ ⨅ i, uniformSpace α γ 𝔖 = ⨅ b, bif b then uniformSpace α γ 𝔖 else uniformSpace α γ 𝔖


α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ NullMeasurableSet {x | f x = g x} μ


α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
⊢ {x | AEMeasurable.mk f hf x = AEMeasurable.mk g hg x} =ᶠ[ae μ] {x | f x = g x}


ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ Function.RightInverse ⇑(piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯)


ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
⊢ ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) = ⇑LinearMap.id


ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
⊢ (quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯)
      (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j =
    LinearMap.id (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j


ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
⊢ (fun i_1 => (p i_1).mkQ ((single i) x' i_1)) j = Pi.single i (Quotient.mk x') j


p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ (ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate n)) =
    ((zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom.comp (TruncatedWittVector.truncate h)).comp (truncate n)


p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
h : m ≤ n
⊢ ((zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom.comp (TruncatedWittVector.truncate h)).comp (truncate n) =
    (zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom.comp (truncate m)


Context: x✝ : ℂ


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
⊢ f ≫ add' W g₁ g₂ = add' W (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)


case intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
⊢ f ≫ add' W g₁ g₂ = add' W (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)


case intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction₂ Y Z
hβ₁ : g₁ = β.fst.map L ⋯
hβ₂ : g₂ = β.snd.map L ⋯
⊢ f ≫ add' W g₁ g₂ = add' W (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)


case intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction₂ Y Z
hβ₁ : g₁ = β.fst.map L ⋯
hβ₂ : g₂ = β.snd.map L ⋯
γ : W.LeftFraction₂ α.Y' β.Y'
hγ₁ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
hγ₂ : β.f' ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f'
⊢ f ≫ add' W g₁ g₂ = add' W (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)


case intro.intro.intro.intro.intro
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction₂ Y Z
hβ₁ : g₁ = β.fst.map L ⋯
hβ₂ : g₂ = β.snd.map L ⋯
γ : W.LeftFraction₂ α.Y' β.Y'
hγ₁ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
hγ₂ : β.f' ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f'
⊢ (LeftFraction.mk (α.f ≫ (γ.f + γ.f')) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯ =
    (LeftFraction.mk (α.f ≫ γ.f + α.f ≫ γ.f') (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯


R✝ : Type u
S : Type u_1
A✝ : Type v
inst✝⁹ : CommRing R✝
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Ring A✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
inst✝⁴ : Algebra S A✝
inst✝³ : IsScalarTower R✝ S A✝
R : Type u
A : Type v
inst✝² : DivisionRing A
inst✝¹ : Field R
inst✝ : Algebra R A
n : ℚ
⊢ IsAlgebraic R ↑n


R✝ : Type u
S : Type u_1
A✝ : Type v
inst✝⁹ : CommRing R✝
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Ring A✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
inst✝⁴ : Algebra S A✝
inst✝³ : IsScalarTower R✝ S A✝
R : Type u
A : Type v
inst✝² : DivisionRing A
inst✝¹ : Field R
inst✝ : Algebra R A
n : ℚ
⊢ IsAlgebraic R ((algebraMap R A) ↑n)


𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
⊢ Function.HasTemperateGrowth ⇑f


X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s : Set X
t : Set ↑s
⊢ Dense t ↔ s ⊆ closure (val '' t)


X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s : Set X
t : Set ↑s
⊢ (∀ (x : X) (h : x ∈ s), ↑⟨x, h⟩ ∈ closure (val '' t)) ↔ s ⊆ closure (val '' t)


X✝ : Type u_1
X : Type u_2
x : FreeAbelianGroup X
⊢ toFreeAbelianGroup (toFinsupp x) = x


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
⊢ Continuous fun a => a ^ 0


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
k : ℕ
⊢ Continuous fun a => a ^ (k + 1)


ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
k : ℕ
⊢ Continuous fun a => a * a ^ k


E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {v})ᗮ.subtypeL 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v✝ v : E

E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E
this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) ((Submodule.span ℝ {v})ᗮ.subtypeL 0)
⊢ HasFDerivAt (stereoInvFunAux v ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {v})ᗮ.subtypeL 0


Context: C : Type u_1

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: C₃ : Type u_4

Context: D₁ : Type u_5

Context: D₂ : Type u_6

Context: D₃ : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.15810, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_10, u_2} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_11, u_3} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.15822, u_4} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.15834, u_7} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: L₃ : C₃ ⥤ D₃

Context: inst✝ : L₃.IsLocalization W₃

Context: X Y Z : C₁

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{?u.15810, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{u_10, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{u_11, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.15822, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.15834, u_7} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
L₃ : C₃ ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W₃
X Y Z : C₁
G : D₁ ⥤ D₂
e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G
f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y
G' : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂
e' : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G'
this : Localization.Lifting L₁ W₁ (Φ.functor ⋙ L₂) G := { iso' := e.symm }
α : G' ≅ G := Localization.liftNatIso L₁ W₁ (L₁ ⋙ G') (Φ.functor ⋙ L₂) G' G e'.symm
⊢ e'.hom.app X ≫ G'.map f ≫ e'.inv.app Y = e.hom.app X ≫ G.map f ≫ e.inv.app Y


G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ rightTransversals ↑H
g : G
⊢ (g * (↑(toFun hS g))⁻¹)⁻¹ = ↑(toFun hS g) * g⁻¹


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ

c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ
⊢ ¬Set.univ.Countable


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}
⊢ a + b < a + c ↔ b < c


Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t✝ u✝ u t : Set Ω
hs : s.Finite
⊢ (condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u + (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount s) uᶜ = (condCount s) t


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t✝ u✝ u t : Set Ω

Context: hs : s.Finite

Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t✝ u✝ u t : Set Ω
hs : s.Finite
this :
  (condCount s) t =
    (condCount (s ∩ u)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ u) +
      (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ uᶜ)
⊢ (condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u + (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount s) uᶜ =
    (condCount (s ∩ u)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ u) +
      (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ uᶜ)


J : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Nonempty α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
inhabited_h : Inhabited α
⊢ ∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: x : ↑C.pt.toTop

case intro.intro.h
J : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Nonempty α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
inhabited_h : Inhabited α
j : J
gg : LocallyConstant (↑(F.obj j).toTop) (α → Fin 2)
h : LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) gg
ι : α → α → Fin 2 := fun a b => if a = b then 0 else 1
σ : (α → Fin 2) → α := fun f => if h : ∃ a, ι a = f then h.choose else default
x : ↑C.pt.toTop
⊢ f x = (LocallyConstant.comap (C.π.app j) (LocallyConstant.map σ gg)) x


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: x : ↑C.pt.toTop

Context: h1 : ι (f x) = gg ((C.π.app j) x)

Context: h2 : ∃ a, ι a = gg ((C.π.app j) x)

case intro.intro.h
J : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Nonempty α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
inhabited_h : Inhabited α
j : J
gg : LocallyConstant (↑(F.obj j).toTop) (α → Fin 2)
h : LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) gg
ι : α → α → Fin 2 := fun a b => if a = b then 0 else 1
σ : (α → Fin 2) → α := fun f => if h : ∃ a, ι a = f then h.choose else default
x : ↑C.pt.toTop
h1 : ι (f x) = gg ((C.π.app j) x)
h2 : ∃ a, ι a = gg ((C.π.app j) x)
⊢ f x = if h : ∃ a, ι a = gg ((C.π.app j) x) then h.choose else default


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : MulZeroClass R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
R : Type u_3
V : Type u_4
inst✝⁶ : PartialOrder Γ
inst✝⁵ : PartialOrder Γ'
inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'
inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'
inst✝² : AddCommMonoid V
inst✝¹ : MulZeroClass R
inst✝ : SMulWithZero R V
x : HahnSeries Γ R
y : HahnModule Γ' R V
h : x.support +ᵥ ((of R).symm y).support = x.support +ᵥ ((of R).symm y).support
⊢ ((of R).symm (x • y)).support ⊆ x.support +ᵥ ((of R).symm y).support


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V
⊢ ⟪T y, x⟫_ℂ =
    (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ -
        Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) /
      4


R : Type u_1
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
σ : Equiv.Perm ι
⊢ g v = Equiv.Perm.sign σ • g (v ∘ ⇑σ)


X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
s : Set X
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, 1 ∂μ) = ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, ‖1‖ ∂μ)


X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
s : Set X
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, ‖1‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : X) in s, 1 ∂μ


X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
s : Set X
hs : μ s ≠ ⊤
⊢ ∫⁻ (x : X) in s, ↑‖1‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : X) in s, 1 ∂μ


case h.e'_6.h.e'_7.h.a
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq l
a : ℕ
B : Matrix m n α
x✝ : l
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (↑a • B) i✝ j✝ = (a • B) i✝ j✝


p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R
⊢ WittVector.ghostFun 1 = 1


Context: b x y : ℝ

b x y : ℝ
⊢ logb b x = 0 ↔ b = 0 ∨ b = 1 ∨ b = -1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1


Context: b x y : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: 𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ

ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
𝔖 : Set (Set X)
𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K
𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ
F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K
⊢ IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)) ↔ IsClosed (range F)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p₁ p₂ : P

V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ p₂ : P
⊢ dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist ((reflection s) p₁) p₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p₁ p₂ : P

V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝³ : MetricSpace P
inst✝² : NormedAddTorsor V P
s : AffineSubspace ℝ P
inst✝¹ : Nonempty ↥s
inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction
p₁ p₂ : P
⊢ dist ((reflection s) ((reflection s) p₁)) ((reflection s) p₂) = dist ((reflection s) p₁) p₂


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
⊢ ∃ G, Injective G ∧ IsCoseparator G


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
this : WellPowered C
⊢ ∃ G, Injective G ∧ IsCoseparator G


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
this✝ : WellPowered C
this : HasProductsOfShape (Subobject (op G)) C
T : C := Injective.under (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))
⊢ ∃ G, Injective G ∧ IsCoseparator G


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
this✝ : WellPowered C
this : HasProductsOfShape (Subobject (op G)) C
T : C := Injective.under (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0
⊢ f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0

Context: h : G ⟶ X

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
this✝ : WellPowered C
this : HasProductsOfShape (Subobject (op G)) C
T : C := Injective.under (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0
h : G ⟶ X
⊢ h ≫ f = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0

Context: h : G ⟶ X

C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
this✝ : WellPowered C
this : HasProductsOfShape (Subobject (op G)) C
T : C := Injective.under (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))
X Y : C
f : X ⟶ Y
hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0
h : G ⟶ X
R : Subobject (op G) := Subobject.mk (factorThruImage (h ≫ f)).op
q₁ : image (h ≫ f) ⟶ unop (Subobject.underlying.obj R) :=
  (Subobject.underlyingIso (factorThruImage (h ≫ f)).op).unop.hom
q₂ : unop (Subobject.underlying.obj R) ⟶ ∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P) :=
  section_ (Pi.π (fun P => unop (Subobject.underlying.obj P)) R)
q : image (h ≫ f) ⟶ T := q₁ ≫ q₂ ≫ Injective.ι (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))
⊢ factorThruImage (h ≫ f) = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α
⊢ 𝓤 α = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)


Context: m n✝ n : ℕ

m n✝ n : ℕ
⊢ shiftLeft' false m (n + 1) = m <<< (n + 1)


Context: m n✝ n : ℕ

m n✝ n : ℕ
this : 2 * (m * 2 ^ n) = 2 ^ (n + 1) * m
⊢ shiftLeft' false m (n + 1) = m <<< (n + 1)


case intro
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M✝
inst✝⁴ : SetLike B M✝
inst✝³ : SubmonoidClass B M✝
S : B
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S
⊢ (Multiset.map Subtype.val m).prod ∈ S


case intro
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M✝
inst✝⁴ : SetLike B M✝
inst✝³ : SubmonoidClass B M✝
S : B
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S
⊢ ↑m.prod ∈ S


s⁻¹ ⊆ t ↔ s ⊆ t⁻¹

F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α
⊢ s⁻¹ ⊆ t ↔ s ⊆ t⁻¹


case intro.intro
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
h0 : 0 < 2⁻¹
h1234 : 2⁻¹ < 3 / 4
h1 : 3 / 4 < 1
⊢ Continuous c.lim


case intro.intro
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
h0 : 0 < 2⁻¹
h1234 : 2⁻¹ < 3 / 4
h1 : 3 / 4 < 1
x : X
n : ℕ
x✝ : True
⊢ ∀ᶠ (x_1 : X) in 𝓝 x, c.lim x_1 ∈ Metric.closedBall (c.lim x) ((3 / 4) ^ n)


F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
n : ℕ
hfn : f.natDegree = n + 1
⊢ f.removeFactor.natDegree = n


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
⊢ f * ⊤ = ⊤


s ∈ f * ⊤ → s ∈ ⊤

F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α
⊢ s ∈ f * ⊤ → s ∈ ⊤


case intro.intro
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : t * univ ⊆ s
⊢ s = univ


n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : Cofix F α
h : x.dest = y.dest
⊢ x = y


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
inst✝ : Nontrivial P
⊢ affineSpan k s = ⊤ ↔ vectorSpan k s = ⊤


C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ
⊢ (shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).hom.app X =
    (shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).hom.app X ≫ ((shiftFunctorZero C ℤ).inv.app (Opposite.unop X)).op


α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
⊢ NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν) ↔ NullMeasurableSet s μ ∧ NullMeasurableSet t ν ∨ μ s = 0 ∨ ν t = 0


case inr
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
⊢ NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν) ↔ NullMeasurableSet s μ ∧ NullMeasurableSet t ν ∨ μ s = 0 ∨ ν t = 0


case inr.inr
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
ht : ν t ≠ 0
⊢ NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν) ↔ NullMeasurableSet s μ ∧ NullMeasurableSet t ν ∨ μ s = 0 ∨ ν t = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i =
    (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


case e_a.e_f
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite
⊢ (fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i) = fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C

α : Type u_1
E : α → Type u_2
p q : ℝ≥0∞
inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
f : ↥(lp E ⊤)
C : ℝ
hC : 0 ≤ C
hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C
⊢ ‖f‖ ≤ C


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).cos * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1
⊢ (∡ p₂ p₃ p₁).cos * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂


α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ ↑↑(condexpL1 hm μ f) ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ g)


α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: E : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ E

Context: f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g
h_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), 0 ≤ x → 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x
⊢ condexpL1 hm μ f ≤ condexpL1 hm μ g


R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
p : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) p
f : K →ₐ[R] L
⊢ Algebra.adjoin R (p.rootSet L) = f.range ↔ Algebra.adjoin R (p.rootSet K) = ⊤


R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
p : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) p
f : K →ₐ[R] L
⊢ Subalgebra.map f (Algebra.adjoin R (p.rootSet K)) = Subalgebra.map f ⊤ ↔ Algebra.adjoin R (p.rootSet K) = ⊤


P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : HasLines P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card P = Fintype.card L
⊢ ∃ f, Function.Bijective f ∧ ∀ (l : L), pointCount P l = lineCount L (f l)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop

a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
⊢ ∀ {n : ℕ}, n ≤ 1 ↔ n = 0 ∨ n = 1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t : Multiset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
_l : List α
⊢ Nodup (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ ∀ (a : α), count a (Quot.mk Setoid.r _l) ≤ 1


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t : Multiset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
_l : List α
⊢ _l.Nodup ↔ ∀ (a : α), List.count a _l ≤ 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ convexBodySumFun x = 0 ↔ x = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (∀ i ∈ Finset.univ, ↑i.mult * (normAtPlace i) x = 0) ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
B : ℝ
x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)
⊢ (∀ w ∈ Finset.univ, (normAtPlace w) x = 0) ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x = 0


M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N
⊢ 𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor


M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N
⊢ e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)


C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n n' : M
g : n ⟶ n'
X : C
⊢ (F.μIso m n).inv.app X ≫ (F.map g).app ((F.obj m).obj X) = (F.map (m ◁ g)).app X ≫ (F.μIso m n').inv.app X


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t : Multiset α
a✝ b a : α
s : Multiset α
h : a ∈ s
⊢ s.erase a < s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ 𝓒 u v s

Context: hva : v ≤ a

Context: hua : Disjoint u a

α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v a b : α
inst✝ : DecidableEq α
ha : a ∈ 𝓒 u v s
hva : v ≤ a
hua : Disjoint u a
⊢ (a ⊔ u) \ v ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hva : v ≤ compress u v b

Context: hua : Disjoint u (compress u v b)

Context: left✝ : compress u v b ∉ s

case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
hb : b ∈ s
hva : v ≤ compress u v b
hua : Disjoint u (compress u v b)
left✝ : compress u v b ∉ s
⊢ (compress u v b ⊔ u) \ v ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hva : v ≤ compress u v b

Context: hua : Disjoint u (compress u v b)

Context: left✝ : compress u v b ∉ s

Context: hu : u = ⊥

case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
hb : b ∈ s
hva : v ≤ compress u v b
hua : Disjoint u (compress u v b)
left✝ : compress u v b ∉ s
hu : u = ⊥
⊢ (compress u v b ⊔ u) \ v ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hva : v ≤ compress u v b

Context: hua : Disjoint u (compress u v b)

Context: left✝ : compress u v b ∉ s

Context: hu : u = ⊥

Context: hv : v = ⊥

case inr.intro.intro.intro
α : Type u_1
inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α
inst✝² : DecidableRel Disjoint
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
s : Finset α
u v b✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
b : α
hb : b ∈ s
hva : v ≤ compress u v b
hua : Disjoint u (compress u v b)
left✝ : compress u v b ∉ s
hu : u = ⊥
hv : v = ⊥
⊢ (compress u v b ⊔ u) \ v ∈ s


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n
⊢ s.prod f ≤ n ^ s.card


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
a : α
f : α → β
⊢ {a}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)


𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝔸
⊢ HasDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x


𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
d : 𝔸
⊢ HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) univ x


α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0
⊢ (b + a) / b = 1 + a / b


α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α
⊢ foldl (n + 1) f x = f (foldl n (fun x x_1 => f x x_1.castSucc) x) (last n)


V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
⊢ (∡ p₁ p₂ p₃).sign = 0 ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: f : β → C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct f

Context: P : C

Context: g : (j : β) → f j ⟶ P

Context: j : β

case h
β : Type w
α : Type w₂
γ : Type w₃
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
f : β → C
inst✝¹ : HasCoproduct f
inst✝ : HasCoproduct fun b => G.obj (f b)
P : C
g : (j : β) → f j ⟶ P
j : β
⊢ Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) j ≫ sigmaComparison G f ≫ G.map (Sigma.desc g) =
    Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) j ≫ Sigma.desc fun j => G.map (g j)


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)
⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x y : X

Context: K U V : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hV : IsOpen V

Context: h2K : K ⊆ U ∪ V

Context: hK' : IsCompact (closure K)

X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)
this : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)
⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x y : X

Context: K U V : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hV : IsOpen V

Context: h2K : K ⊆ U ∪ V

Context: hK' : IsCompact (closure K)

Context: O₁ O₂ : Set X

Context: h1O₁ : IsOpen O₁

Context: h1O₂ : IsOpen O₂

Context: h2O₁ : K \ U ⊆ O₁

Context: h2O₂ : K \ V ⊆ O₂

Context: hO : Disjoint O₁ O₂

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)
this : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)
O₁ O₂ : Set X
h1O₁ : IsOpen O₁
h1O₂ : IsOpen O₂
h2O₁ : K \ U ⊆ O₁
h2O₂ : K \ V ⊆ O₂
hO : Disjoint O₁ O₂
⊢ ∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂


R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
⊢ (∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)) → IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i)


case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω
⊢ stoppedProcess u τ n ω =
    ({a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) ω


case h
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω
⊢ stoppedProcess u τ n ω =
    {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) ω + ∑ c ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = c}.indicator (u c) ω


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s✝ s : Set α
⊢ closure s = ↑(lowerClosure s)


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s✝ s : Set α
⊢ closure s ⊆ ↑(lowerClosure s) ∧ ↑(lowerClosure s) ⊆ closure s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ IsClosed s ↔ ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

case mpr
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
⊢ (∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s) → IsClosed s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: x : Ordinal.{u}

Context: hx : x ∈ closure s

case mpr
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}
h : ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s
x : Ordinal.{u}
hx : x ∈ closure s
⊢ x ∈ s


α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
k : κ
n : N
⊢ (lcongr e₁ e₂).symm (single k n) = single (e₁.symm k) (e₂.symm n)


case h
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ✝ φ : A →ₐ[R] B
x✝ : B
⊢ x✝ ∈ ↑φ.range ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ


case h
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ✝ φ : A →ₐ[R] B
x✝ : B
⊢ (∃ x, φ x = x✝) ↔ x✝ ∈ Set.range ⇑φ


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: i fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : G fst✝¹

Context: hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : G fst✝

Context: hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i

Context: j : ι

Context: w✝¹ : fst✝¹ ≤ j

Context: w✝ : fst✝ ≤ j

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

case mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i fst✝¹ : ι
snd✝¹ : G fst✝¹
hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i
fst✝ : ι
snd✝ : G fst✝
hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i
j : ι
w✝¹ : fst✝¹ ≤ j
w✝ : fst✝ ≤ j
h✝ : (f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹ = (f fst✝ j w✝) snd✝
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
h : (f j k jk) ((f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹) = (f j k jk) ((f fst✝ j w✝) snd✝)
⊢ (f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst i hx) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd = (f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst i hy) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: i fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : G fst✝¹

Context: hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : G fst✝

Context: hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i

Context: j : ι

Context: w✝¹ : fst✝¹ ≤ j

Context: w✝ : fst✝ ≤ j

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

case mk.mk.intro.intro.intro.intro.intro.a
L : Language
ι : Type v
inst✝³ : Preorder ι
G : ι → Type w
inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)
f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j
inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)
i fst✝¹ : ι
snd✝¹ : G fst✝¹
hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i
fst✝ : ι
snd✝ : G fst✝
hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i
j : ι
w✝¹ : fst✝¹ ≤ j
w✝ : fst✝ ≤ j
h✝ : (f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹ = (f fst✝ j w✝) snd✝
k : ι
ik : i ≤ k
jk : j ≤ k
h : (f j k jk) ((f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹) = (f j k jk) ((f fst✝ j w✝) snd✝)
⊢ (f i k ik) ((f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst i hx) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd) = (f i k ik) ((f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst i hy) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd)


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α

α : Type u_1
s t : Finset α
a : α
⊢ IsAtom s ↔ ∃ a, s = {a}


R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule


R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable
⊢ Submodule.span ↥(reesAlgebra I) ↑F.submodule = F.submodule


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ ClosedEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), ClosedEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Embedding f ∧ IsClosed (range f) ↔
    ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ IsClosed (range ((U i).carrier.restrictPreimage f))


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f
⊢ Embedding f ∧ IsClosed (range f) ↔
    (∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧
      ∀ (x : ι), IsClosed (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x

x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x


Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

x : ℝ
hx : 0 < x
this : HasStrictDerivAt log (rexp (log x))⁻¹ x
⊢ HasStrictDerivAt log x⁻¹ x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i j k : 𝒰.J

C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
X Y Z : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g
i j k : 𝒰.J
⊢ t' 𝒰 f g i j k ≫
      t' 𝒰 f g j k i ≫
        t' 𝒰 f g k i j ≫
          pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) =
    pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)


Context:
x : ℝ
hx this : |x| ≤ 1

x : ℝ
hx this : |x| ≤ 1
⊢ |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|


Context: x : ℝ

Context: hx this✝ : |x| ≤ 1

x : ℝ
hx this✝ : |x| ≤ 1
this : Complex.abs (cexp ↑x - 1) ≤ 2 * Complex.abs ↑x
⊢ |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|


Context: n : ℤ


m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R
⊢ (A * Aᴴ) *ᵥ v = 0 ↔ Aᴴ *ᵥ v = 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: x : α

Context: t : Ordset α

Context: h_mem : x ∈ t

α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordset α
h_mem : x ∈ t
⊢ 0 < t.size


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: x : α

Context: t : Ordset α

Context: h_mem : Ordnode.mem x ↑t = true

α : Type u_1
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1
x : α
t : Ordset α
h_mem : Ordnode.mem x ↑t = true
⊢ 0 < t.size


case intro.intro.intro.intro
C : Type u_2
D : Type ?u.23461
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.23469, ?u.23461} D
X : C
S : Presieve X
T : Sieve X
h : S.FactorsThru T.arrows
Y W : C
i : Y ⟶ W
e : W ⟶ X
h1 : T.arrows e
hf : i ≫ e ∈ S
⊢ i ≫ e ∈ T.arrows


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ +
        H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫
      ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) +
        (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) =
    𝟙 (((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj (mappingCone φ)).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = 𝟙 (H.obj ((mappingCone φ).X n))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

case e_a
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ (↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n = 𝟙 ((mappingCone φ).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝² : HasHomotopyCofiber φ
H : C ⥤ D
inst✝¹ : H.Additive
inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)
n m : ℤ
hnm : n + 1 = m
⊢ ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) +
        (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) ≫
      (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ +
        H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) =
    𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)