Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
⊢ ‖s.prod‖ ≤ ↑B ^ ((map f p).natDegree - i)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
⊢ (Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s).prod ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

Context: x : ℝ≥0

Context: hx : x ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s

case intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
x : ℝ≥0
hx : x ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
⊢ x ≤ B


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

Context: z : K

Context: hz : z ∈ s

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
hi : i ≤ (map f p).natDegree
s : Multiset K
hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i
B : ℝ≥0
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B
z : K
hz : z ∈ s
hx : ↑nnnormHom z ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s
⊢ ↑nnnormHom z ≤ B


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ
⊢ toIcoMod hp (m • p + a) b = m • p + toIcoMod hp a b


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ (gaugeSeminorm ⋯ ⋯ ⋯).ball 0 1 = ↑s


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ {y | (gaugeSeminorm ⋯ ⋯ ⋯) y < 1} = ↑s


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E
⊢ {y | gauge (↑s) y < 1} = ↑s


𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
y : E
ε : ℝ
a : E
⊢ a ∈ ball y ε ↔ a ∈ {x | ‖x / y‖ < ε}


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
⊢ ∏' (x : β), a = a ^ Nat.card β


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n = multiplicity p m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

case h
M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

case h
M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
⊢ multiplicity (Associates.mk p) (Associates.mk m) =
    multiplicity (Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩))
      (Associates.mk n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

case h
M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this :
  Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) =
    ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
⊢ multiplicity (Associates.mk p) (Associates.mk m) =
    multiplicity (↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)) (Associates.mk n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

case h
M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this :
  Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) =
    ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
⊢ Associates.mk p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: q : Associates M

Context: hq' : Associated (Associates.mk p) q

case h.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N
inst✝⁵ : Unique Mˣ
inst✝⁴ : Unique Nˣ
inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M
inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N
inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1
m p : M
n : N
hm : m ≠ 0
hn : n ≠ 0
hp : p ∈ normalizedFactors m
d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }
hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'
this :
  Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) =
    ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)
q : Associates M
hq : q ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)
hq' : Associated (Associates.mk p) q
⊢ Associates.mk p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

α : Type u_1
E : Type u_2
F✝ : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E
hE : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝
inst✝⁴ : CompleteSpace F✝
G : Type u_5
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace ℝ G
f✝ g : α → E
m : MeasurableSpace α
μ✝ : Measure α
X : Type u_6
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
μ : Measure α
f : ℕ → α → ℝ
F : α → ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ
hF : Integrable F μ
h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x
h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))
⊢ Tendsto (fun n => ∫ (x : α), -f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), -F x ∂μ))


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ
⊢ AEMeasurable (g ∘ f) μa ↔ AEMeasurable g μb


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1
B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1
⊢ (fun h =>
      f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) -
        h ^ 2 • (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1
B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1
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      f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) -
        h ^ 2 • (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2


Context: E : Type u_1

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    fun h => h ^ 2


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h2w : x + 2 • w ∈ interior s
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    fun h => h ^ 2


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    fun h => h ^ 2


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Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

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h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s
hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s
TA1 :
  (fun h =>
      f (x + h • (2 • v + w) + h • w) - f (x + h • (2 • v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (2 • v + w)) w -
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⊢ (fun h =>
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    fun h => h ^ 2


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Context: xs : x ∈ s

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Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

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Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

E : Type u_1
F : Type u_2
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inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
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f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1
B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1
C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w
h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s
h2vww : x + (2 • v + w) + w ∈ interior s
h2v : x + 2 • v ∈ interior s
h2w : x + 2 • w ∈ interior s
hvw : x + (v + w) ∈ interior s
h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s
hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s
TA1 :
  (fun h =>
      f (x + h • (2 • v + w) + h • w) - f (x + h • (2 • v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (2 • v + w)) w -
        (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2
TA2 :
  (fun h =>
      f (x + h • (v + w) + h • w) - f (x + h • (v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (v + w)) w -
        (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2
⊢ (fun h =>
      f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) -
        h ^ 2 • (f'' v) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

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Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

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Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

Context: h : ℝ

case h.e'_7.h
E : Type u_1
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
s : Set E
s_conv : Convex ℝ s
f : E → F
f' : E → E →L[ℝ] F
f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F
hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x
x : E
xs : x ∈ s
hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x
v w : E
h4v : x + 4 • v ∈ interior s
h4w : x + 4 • w ∈ interior s
A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1
B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1
C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w
h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s
h2vww : x + (2 • v + w) + w ∈ interior s
h2v : x + 2 • v ∈ interior s
h2w : x + 2 • w ∈ interior s
hvw : x + (v + w) ∈ interior s
h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s
hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s
TA1 :
  (fun h =>
      f (x + h • (2 • v + w) + h • w) - f (x + h • (2 • v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (2 • v + w)) w -
        (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2
TA2 :
  (fun h =>
      f (x + h • (v + w) + h • w) - f (x + h • (v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (v + w)) w -
        (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0]
    fun h => h ^ 2
h : ℝ
⊢ f (x + h • (2 • v + 2 • w)) + f (x + h • (v + w)) - f (x + h • (2 • v + w)) - f (x + h • (v + 2 • w)) -
      h ^ 2 • (f'' v) w =
    f (x + h • (2 • v + w) + h • w) - f (x + h • (2 • v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (2 • v + w)) w -
        (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w -
      (f (x + h • (v + w) + h • w) - f (x + h • (v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (v + w)) w -
        (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w)


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o

o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
⊢ (sup fun n => o ^ ↑n) = o ^ ω


case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ c ∈ a.bind (f.comp g) ↔ c ∈ (a.bind g).bind f


case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ (∃ a_1 x, a_1 ∈ a ∧ x ∈ g a_1 ∧ c ∈ f x) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1


case H
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ
⊢ (∃ b, ∃ a_1 ∈ a, b ∈ g a_1 ∧ c ∈ f b) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1


Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ
⊢ cgf (-X) μ t = cgf X μ (-t)


𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
⊢ ContinuousWithinAt (toIocMod hp a) (Iic x) x


𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
this : ContinuousNeg 𝕜
⊢ ContinuousWithinAt ((fun x => p - x) ∘ toIcoMod hp (-a) ∘ Neg.neg) (Iic x) x


case w.w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ⟶ g b
j✝¹ j✝ : J
⊢ ι f j✝ ≫ map p ≫ π g j✝¹ = ι f j✝ ≫ map' p ≫ π g j✝¹


case w.w
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ⟶ g b
j✝¹ j✝ : J
⊢ ι f j✝ ≫ π f j✝¹ ≫ p j✝¹ = p j✝ ≫ ι g j✝ ≫ π g j✝¹


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: p : α

Context: s : Set α

Context: hps : (of p).IsSupported s

Context: this✝ : DecidablePred s

α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
this : ∃ n, (lift fun a => if a ∈ s then 0 else X) (of p) = ↑n
⊢ p ∈ s


case neg
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
h : p ∉ s
this : ∃ n, X = ↑n
⊢ False


case neg.intro
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = ↑w
⊢ 1 = 0


case neg.intro
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = C ↑w
this : X.coeff 1 = (C w).coeff 1
⊢ 1 = 0


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

Context: l l' la la' lb lb' : Filter ℝ

Context: lt : Filter ι

Context: μ : Measure ℝ

Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: hab : IntervalIntegrable f μ a b

Context: ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)

Context: hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)

Context: hua : Tendsto ua lt la

Context: hva : Tendsto va lt la

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ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
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lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
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inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
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hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖


Context: ι : Type u_1

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

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Context: μ : Measure ℝ

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Context: hua : Tendsto ua lt la

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Context: this : la'.IsMeasurablyGenerated

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
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hua : Tendsto ua lt la
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this : la'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖


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Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

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ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
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lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
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inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
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hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun t =>
      ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
        (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt]
    fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖


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ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
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inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
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μ : Measure ℝ
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hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
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hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)


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Context: F : Type u_4

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Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

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Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

Context: inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'

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Context: hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)

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ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
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lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
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hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
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hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
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A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)


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Context: F : Type u_4

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Context: c ca cb : E

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Context: inst✝³ : CompleteSpace E

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ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
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c ca cb : E
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this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)


Context: ι : Type u_1

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Context: F : Type u_4

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Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

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Context: inst✝³ : CompleteSpace E

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Context: hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)

Context: hua : Tendsto ua lt la

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Context: hvb : Tendsto vb lt lb

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
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this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)


Context: ι : Type u_1

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Context: a b : ℝ

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Context: hua : Tendsto ua lt la

Context: hva : Tendsto va lt la

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ι : Type u_1
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F : Type u_4
A✝ : Type u_5
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a b : ℝ
c ca cb : E
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lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
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hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
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this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
⊢ (fun x =>
      -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) +
        (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt]
    fun t =>
    ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)


Context: ι : Type u_1

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Context: a✝ : ι

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case h
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F : Type u_4
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hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ -(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) +
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) =
    ∫ (x : ℝ) in va a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..ub a✝, f x ∂μ -
      (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)


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Context: a✝ : ι

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Context: ι : Type u_1

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Context: a✝ : ι

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Context: a b : ℝ

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Context: μ : Measure ℝ

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Context: inst✝³ : CompleteSpace E

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Context: a✝ : ι

Context: a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)

Context: b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)

case h.hab
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
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inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)

case h.hcd
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)

case h.hac
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E
f : ℝ → E
a b : ℝ
c ca cb : E
l l' la la' lb lb' : Filter ℝ
lt : Filter ι
μ : Measure ℝ
u v ua va ub vb : ι → ℝ
inst✝³ : CompleteSpace E
inst✝² : FTCFilter a la la'
inst✝¹ : FTCFilter b lb lb'
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ
hab : IntervalIntegrable f μ a b
hmeas_a : StronglyMeasurableAtFilter f la' μ
hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ
ha_lim : Tendsto f (la' ⊓ ae μ) (𝓝 ca)
hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)
hua : Tendsto ua lt la
hva : Tendsto va lt la
hub : Tendsto ub lt lb
hvb : Tendsto vb lt lb
this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated
this : lb'.IsMeasurablyGenerated
A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)
A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)
B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)
B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)
a✝ : ι
ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)
a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)
ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)
b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)
⊢ IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (ua a✝)


case isAlgebraic
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
R : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : S
⊢ IsAlgebraic R x


M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
α : Type u_4
M : Type u_5
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : SMul α M
inst✝ : IsScalarTower α M M
c : Con M
a : α
w x : M
h : c w x
⊢ c (a • w) (a • x)


Context: α : Type u_1

Context: c : Set (Set α)

Context: hc : IsPartition c

Context: x : α

Context: t : Set α

α : Type u_1
c : Set (Set α)
hc : IsPartition c
x : α
t : Set α
ht : (fun b => b ∈ c ∧ x ∈ b) t ∧ ∀ (y : Set α), (fun b => b ∈ c ∧ x ∈ b) y → y = t
⊢ t ∈ c ∧ x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: c : Set (Set α)

Context: hc : IsPartition c

Context: x : α

Context: t : Set α

α : Type u_1
c : Set (Set α)
hc : IsPartition c
x : α
t : Set α
ht : (t ∈ c ∧ x ∈ t) ∧ ∀ (y : Set α), y ∈ c ∧ x ∈ y → y = t
⊢ t ∈ c ∧ x ∈ t


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
⊢ (∏ i : ι, if i ∈ s then f i else 1) = ∏ i ∈ s, f i


R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
⊢ (X ^ n).toFinsupp = Finsupp.single n 1


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p✝
f : α → β
s : Multiset α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
⊢ countP p (map f s) = card (filter (fun a => p (f a)) s)


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x

x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
⊢ x ^ y < 1 ↔ 1 < x ∧ y < 0 ∨ x < 1 ∧ 0 < y


⊢ ∃ c, ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))


Context: d : ℝ

case intro
d : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ d
⊢ ∃ c, ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))


α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : s.Finite
hf : ∀ b ∈ s, (f ⁻¹' {b}).Finite
⊢ (f ⁻¹' s).Finite


α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : s.Finite
hf : ∀ b ∈ s, (f ⁻¹' {b}).Finite
⊢ (⋃ y ∈ s, f ⁻¹' {y}).Finite


C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G
⊢ f ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom.op =
    (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom.op ≫
      Quiver.Hom.op { app := fun X => f.unop.app X, naturality := ⋯ }


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Disjoint a b
⊢ Disjoint (f a) (f b)


F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Disjoint a b
⊢ f (a ⊓ b) ≤ f ⊥


R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0
⊢ P.toPoly.degree = 2


f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
⊢ Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(cos x) ^ n * f x) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) atTop (𝓝 (f 0))


f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Context: c_zero_pos : 0 < cos 0

f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x
c_zero_pos : 0 < cos 0
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Context: c_zero_pos : 0 < cos 0

f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))
c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0
c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x
c_zero_pos : 0 < cos 0
zero_mem : 0 ∈ closure (interior (Icc 0 (π / 2)))
⊢ Tendsto
    (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume)
    atTop (𝓝 (f 0))


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f
⊢ f.IsIdealMorphism


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c : α
⊢ (fun x => a * x) '' Ioo b c = Ioo (a * b) (a * c)


R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic
⊢ p %ₘ q = 0 ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {q})) p = 0


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f'✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f g f' g' : Module.End R M
h : B.IsAdjointPair B f g
h' : B.IsAdjointPair B f' g'
x y : M
⊢ (B ((f * f') x)) y = (B x) ((g' * g) y)


m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B
⊢ A * B * ⅟B = A


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α
⊢ s.card + sᶜ.card = Fintype.card α


case intro
N✝ : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
N : ℕ+
HN : Gamma ↑N ≤ Γ
⊢ Gamma ↑N ≤ g • Γ


R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
⊢ inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


case h.e_5.h.h.e_5.h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
⊢ (Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯).toAlgebra = inst✝¹


case h.e_5.h.h.e_5.h
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
x' : R ⧸ p
x : R
⊢ (Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯) ((Quotient.mk p) x) =
    (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Quotient.mk p) x)


α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ i ∈ Ioc k (n + 1), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ∑ k ∈ Ioc k n, (↑k ^ 2)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
⊢ ((↑n + 1) ^ 2)⁻¹ + (↑n + 1)⁻¹ ≤ (↑n)⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

Context: A : 0 < ↑n

Context: B : 0 < ↑n + 1

case refine_2
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n✝ : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n✝
n : ℕ
hn : k ≤ n
IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹
A : 0 < ↑n
B : 0 < ↑n + 1
⊢ (↑n + 1 + (↑n + 1) ^ 2) / ((↑n + 1) ^ 2 * (↑n + 1)) ≤ 1 / ↑n


X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ 𝓝 a
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f : X → (i : ι) → π i

Context: I : Set ι

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: a : (i : ι) → π i

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ I

X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ Filter.pi fun i => 𝓝 (a i)
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ 𝓝 (a i)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)

K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)
h :
  (MonoidHom.toAdditive'
        ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp
          (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom))
      a₁✝ =
    (MonoidHom.toAdditive'
        ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp
          (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom))
      a₂✝
⊢ a₁✝ = a₂✝


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)

K : Type u_1
inst✝² : Field K
inst✝¹ inst✝ : NumberField K
a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)
h :
  (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K)))
      ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₁✝)) =
    (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K)))
      ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₂✝))
⊢ a₁✝ = a₂✝


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g) =
    (sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) =
    (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) =
    (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫
      (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀
N : SheafOfModules R
f : P₀ ⟶ Q₀
g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm
      (f ≫ g).hom =
    (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫
      ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv Q₀.presheaf
            ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm
        g.hom


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ : PresheafOfModules R₀

Context: M N : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M

Context: g : M ⟶ N

C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N) (f ≫ g) =
    ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ M) f ≫ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).map g


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ : PresheafOfModules R₀

Context: M N : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M

Context: g : M ⟶ N

case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((sheafificationHomEquiv α) (f ≫ g)).hom = ((sheafificationHomEquiv α) f).hom ≫ g.val.hom


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ : PresheafOfModules R₀

Context: M N : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M

Context: g : M ⟶ N

case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N))
      ((SheafOfModules.toSheaf R).map (f ≫ g)) =
    ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M))
        ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) ≫
      g.val.hom


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ : PresheafOfModules R₀

Context: M N : SheafOfModules R

Context: f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M

Context: g : M ⟶ N

case a
C : Type u'
inst✝⁴ : Category.{v', u'} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp
inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp
P₀ : PresheafOfModules R₀
M N : SheafOfModules R
f : (sheafification α).obj P₀ ⟶ M
g : M ⟶ N
⊢ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N))
      ((SheafOfModules.toSheaf R).map f ≫ (SheafOfModules.toSheaf R).map g) =
    ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj M))
        ((SheafOfModules.toSheaf R).map f) ≫
      g.val.hom


x✝ : Substring
h✝ : x✝.Valid
n : Nat
l m r : List Char
h : ValidFor l m r x✝
⊢ x✝.nextn n { byteIdx := x✝.bsize } = { byteIdx := x✝.bsize }


R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
⊢ (B a) b = (B b) c


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹ : Module R₁ M₁

Context: I₁ I₂ I : R₁ →+* R

Context: B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M

Context: H : B.IsAlt

Context: inst✝ : IsCancelAdd M

Context: a b c : M₁

Context: hAdd : a + b + c = 0

R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
this : (B a) a + (B a) b + (B a) c = (B a) c + (B b) c + (B c) c
⊢ (B a) b = (B b) c


Context: R : Type u_1

Context: R₁ : Type u_2

Context: R₂ : Type u_3

Context: R₃ : Type u_4

Context: M : Type u_5

Context: M₁ : Type u_6

Context: M₂ : Type u_7

Context: M₃ : Type u_8

Context: Mₗ₁ : Type u_9

Context: Mₗ₁' : Type u_10

Context: Mₗ₂ : Type u_11

Context: Mₗ₂' : Type u_12

Context: K : Type u_13

Context: K₁ : Type u_14

Context: K₂ : Type u_15

Context: V : Type u_16

Context: V₁ : Type u_17

Context: V₂ : Type u_18

Context: n : Type u_19

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : CommSemiring R₁

Context: inst✝² : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝¹ : Module R₁ M₁

Context: I₁ I₂ I : R₁ →+* R

Context: B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M

Context: H : B.IsAlt

Context: inst✝ : IsCancelAdd M

Context: a b c : M₁

Context: hAdd : a + b + c = 0

R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : CommSemiring R₁
inst✝² : AddCommMonoid M₁
inst✝¹ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
inst✝ : IsCancelAdd M
a b c : M₁
hAdd : a + b + c = 0
this : (B a) c + (B a) b = (B a) c + (B b) c
⊢ (B a) b = (B b) c


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
x : α × α
a : α
⊢ {a}.diag = {(a, a)}


Context: q : ℍ

q : ℍ
⊢ exp ℝ q = exp ℝ q.re • (↑(Real.cos ‖q.im‖) + (Real.sin ‖q.im‖ / ‖q.im‖) • q.im)


Context: q : ℍ


R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝³ : CommRing R₁
inst✝² : IsDomain R₁
inst✝¹ : Algebra R₁ K
inst✝ : IsFractionRing R₁ K
I✝ J✝ I : FractionalIdeal R₁⁰ K
x✝ : ∃ J, I * J = 1
J : FractionalIdeal R₁⁰ K
hJ : I * J = 1
⊢ I * I⁻¹ = 1


n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal (MvPolynomial (Fin n) R)
hP : P.IsMaximal
⊢ (algebraMap R (MvPolynomial (Fin n) R ⧸ P)).IsIntegral


R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x y z p : P
⊢ z -ᵥ p ∈ affineSegment R (x -ᵥ p) (y -ᵥ p) ↔ z ∈ affineSegment R x y


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p : PMF α
s t : Set α
a : α
⊢ p.toOuterMeasure {a} = p a


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : Fintype α

Context: f : ↥(lp E p)

α : Type u_1
E : α → Type u_2
inst✝¹ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)
p : ℝ≥0∞
inst✝ : Fintype α
f : ↥(lp E p)
⊢ ‖Equiv.lpPiLp f‖ = ‖f‖


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝ : OrderTopology α
l : Filter β
f g : β → α
x : Filter β
a : α
⊢ Tendsto f x (𝓝 a) ↔ ∀ ε > 0, ∀ᶠ (b : β) in x, |f b - a| < ε


G : Type u
inst✝² : Group G
N : Subgroup G
nN : N.Normal
H : Type v
inst✝¹ : Group H
M : Type x
inst✝ : Monoid M
φ : G →* H
ψ : H → G
hφ : Function.RightInverse ψ ⇑φ
x : G ⧸ φ.ker
⊢ (kerLift φ) ((mk ∘ ψ) ((kerLift φ) x)) = (kerLift φ) x


K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
⊢ 1 = chainTopCoeff (⇑α) 0


case hba
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

case hba.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: h e f : L

Context: isSl2 : IsSl2Triple h e f

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
h e f : L
isSl2 : IsSl2Triple h e f
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e f : L

Context: he : e ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f

Context: k : K

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e f : L
he : e ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : ⁅f, k • f⁆ = ⁅f, ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1)) x⁆
⊢ ¬1 < chainTopCoeff (⇑α) 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e✝ f : L

Context: he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f

Context: k : K

Context: e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ False


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e✝ f : L

Context: he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f

Context: k : K

Context: e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e✝ f : L

Context: he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f

Context: k : K

Context: e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
this : ↑(↑(chainLength α 0) - 2 * ↑(chainTopCoeff (⇑α) 0)) = 0 (coroot α)
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0