α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v a : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜
⊢ Set.Sized r ↑(𝓒 u v 𝒜)


R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

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Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

case intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
⊢ ∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
⊢ abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
⊢ abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) <
    abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

case intro.intro.intro.intro.intro.intro
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0
inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)
a' : S
b' : R
hb' : b' ≠ 0
h : b' • a = b * a'
q : S
r : R
hr : r ∈ finsetApprox bS adm
hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))
⊢ abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) =
    abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) * abv ((Algebra.norm R) b)


R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂
⊢ ⁅I, N⁆ ≤ N' ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ ∈ N'


Context:
x y : ℂ
h : cexp x = 0


case intro
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r
⊢ q = C q.leadingCoeff * p


case intro.inr
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0
rzero : r ≠ 0
⊢ q = C q.leadingCoeff * p


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: r : R[X]

Context: hr : q = p * r

Context: hq : q ≠ 0

Context: rzero : r ≠ 0

case intro.inr
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
hdeg : p.natDegree + r.natDegree ≤ p.natDegree
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0
rzero : r ≠ 0
⊢ q = C q.leadingCoeff * p


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α

α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
⊢ s.encard ≤ 1 ↔ s = ∅ ∨ ∃ x, s = {x}


G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a⁻¹ ∈ s
⊢ a ∈ s


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝² : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: X : C

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ X

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hπ : IsIso (Sigma.desc π)

J : Type v'
inst✝⁴ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
D : Type u''
inst✝² : Category.{v'', u''} D
X✝ Y✝ : C
inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C
α : Type
inst✝ : Finite α
X : C
Z : α → C
π : (a : α) → Z a ⟶ X
Y : C
f : Y ⟶ X
hπ : IsIso (Sigma.desc π)
this : IsColimit (Cofan.mk X π) := (coproductIsCoproduct Z).ofPointIso
⊢ IsColimit (Cofan.mk Y fun x => pullback.fst f (π x))


G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
⊢ μ' = μ


G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
⊢ μ' = μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G
A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s
Z : μ' univ = μ'.haarScalarFactor μ • μ univ
⊢ μ' = μ


ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
⊢ (b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)


ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂)
⊢ (b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)


ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂).det
⊢ (b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
⊢ ConvexOn 𝕜 s (f ⊔ g)


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f : Multiplicative ℕ →* α
n : Multiplicative ℕ
⊢ f n = f (ofAdd 1) ^ toAdd n


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁ : S.LeftHomologyData

Context: h₂ : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

Context: ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

Context: inst✝⁶ : S₁.HasHomology

Context: inst✝⁵ : S₂.HasHomology

Context: inst✝² : F.PreservesLeftHomologyOf S₁

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D
inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C
inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex C
h₁ : S.LeftHomologyData
h₂ : S.RightHomologyData
F : C ⥤ D
inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ : S₁ ⟶ S₂
hl₁ : S₁.LeftHomologyData
hr₁ : S₁.RightHomologyData
hl₂ : S₂.LeftHomologyData
hr₂ : S₂.RightHomologyData
ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂
ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂
inst✝⁶ : S₁.HasHomology
inst✝⁵ : S₂.HasHomology
inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology
inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology
inst✝² : F.PreservesLeftHomologyOf S₁
inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂
inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms
γ : LeftHomologyMapData φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData
⊢ QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ QuasiIso φ


R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E
⊢ (convexHull R) ↑s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}


case succ
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)
⊢ toZ i0 (pred^[n + 1] i0) = -↑(n + 1)


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: inst✝² : SuccOrder ι

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι

Context: inst✝ : PredOrder ι

Context: i0 i : ι

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)

Context: this : pred^[n.succ] i0 < i0

case succ
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)
this : pred^[n.succ] i0 < i0
m : ℕ := (-toZ i0 (pred^[n.succ] i0)).toNat
⊢ toZ i0 (pred^[n + 1] i0) = -↑(n + 1)


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map X✝.mor₁ ≫ F.map f.hom₂ = F.map f.hom₁ ≫ F.map Y✝.mor₁


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ F.map X✝.mor₂ ≫ F.map f.hom₃ = F.map f.hom₂ ≫ F.map Y✝.mor₂


C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝
⊢ (F.map X✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app X✝.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.hom₁) =
    F.map f.hom₃ ≫ F.map Y✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app Y✝.obj₁


α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
⊢ ∃ a, 1 < a


case intro
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
⊢ ∃ a, 1 < a


𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
⊢ x ∈ support g + support f


𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : x ∉ support g + support f
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x = 0


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: x : G

Context: h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)

𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
⊢ (f ⋆[L, μ] g) x = 0


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: x : G

Context: h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)

𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x
⊢ ∫ (t : G), (L (f t)) (g (x - t)) ∂μ = 0


ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j
⊢ (X.d j i).unop = 0


ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²
⊢ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atBot atBot


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α
⊢ Tendsto (fun a => (a, a)) atBot (atBot ×ˢ atBot)


α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
⊢ ∃ b, b.Countable ∧ ∅ ∉ b ∧ IsTopologicalBasis b


case intro.intro
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b
⊢ ∃ b, b.Countable ∧ ∅ ∉ b ∧ IsTopologicalBasis b


case intro.intro.refine_1
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b
⊢ ((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ b} \ {∅}).Countable

case intro.intro.refine_2
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b
⊢ ∅ ∈ {∅}


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α
⊢ x ∈ Icc a b ∪ Icc c d ↔ x ∈ Icc (min a c) (max b d)


X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : Y
y : X
⊢ ε ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y)


X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : Y
y : X
⊢ ε ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Finite α

Context: p q : α → Prop

Context: inst✝³ : Fintype { x // p x }

Context: inst✝² : Fintype { x // ¬p x }

Context: inst✝¹ : Fintype { x // q x }

Context: inst✝ : Fintype { x // ¬q x }

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Finite α
p q : α → Prop
inst✝³ : Fintype { x // p x }
inst✝² : Fintype { x // ¬p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // ¬q x }
h : card { x // p x } = card { x // q x }
⊢ card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Finite α

Context: p q : α → Prop

Context: inst✝³ : Fintype { x // p x }

Context: inst✝² : Fintype { x // ¬p x }

Context: inst✝¹ : Fintype { x // q x }

Context: inst✝ : Fintype { x // ¬q x }

Context: val✝ : Fintype α

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁴ : Finite α
p q : α → Prop
inst✝³ : Fintype { x // p x }
inst✝² : Fintype { x // ¬p x }
inst✝¹ : Fintype { x // q x }
inst✝ : Fintype { x // ¬q x }
h : card { x // p x } = card { x // q x }
val✝ : Fintype α
⊢ card { x // ¬p x } = card { x // ¬q x }


↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1

α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
⊢ ↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1


α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1
⊢ ↑u⁻¹ * 1 = a


case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
cs : Set α
cs_count : cs.Countable
hcs : s ⊆ closure cs
ct : Set β
ct_count : ct.Countable
hct : t ⊆ closure ct
⊢ IsSeparable (s ×ˢ t)


case intro.intro.intro.intro
α : Type u
β✝ : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
cs : Set α
cs_count : cs.Countable
hcs : s ⊆ closure cs
ct : Set β
ct_count : ct.Countable
hct : t ⊆ closure ct
⊢ s ×ˢ t ⊆ closure (cs ×ˢ ct)


M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α
⊢ r • x * s • y = (r * s) • (x * y)


ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∉ s
⊢ ((mk β s) f) n = 0


ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∉ s
⊢ (if H : n ∈ s then f ⟨n, H⟩ else 0) = 0


A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
⊢ (aeval ((algebraMap A S) r)) (p.scaleRoots ↑s) = 0


case h.e'_2.h.e
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
⊢ ⇑(aeval ((algebraMap A S) r)) = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s)


case h.e'_2.h.e.h
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
x✝ : A[X]
⊢ (aeval ((algebraMap A S) r)) x✝ = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s) x✝


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

E : Type u_1
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
W : Type u_3
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
f : V → E
inst✝⁴ : SecondCountableTopology V
inst✝³ : MeasurableSpace V
inst✝² : BorelSpace V
μ✝ : Measure V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
μ : Measure V
inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure
K N : ℕ∞
hf : ContDiff ℝ N f
h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ
k n : ℕ
hk : ↑k ≤ K
hn : ↑n ≤ N
w : W
⊢ fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n =
    fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set α
⊢ ⇑e ⁻¹' (⇑e '' s) = s


X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
⊢ Disjoint (interior s) (frontier s)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
⊢ f ∈ lifts (algebraMap R K)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
⊢ (Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod ∈ liftsRing (algebraMap R K)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

Context: P : K[X]

R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
P : K[X]
hP : P ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots
⊢ P ∈ liftsRing (algebraMap R K)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

Context: b : K

Context: hb : b ∈ f.roots

case intro.intro
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : Field K
inst✝² : Field L
inst✝¹ : Field F
i : K →+* L
inst✝ : Algebra R K
f : K[X]
hs : Splits (RingHom.id K) f
hm : f.Monic
hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range
b : K
hb : b ∈ f.roots
hP : X - C b ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots
⊢ X - C b ∈ liftsRing (algebraMap R K)


‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖

α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α
⊢ ‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
y : L'
⊢ y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w₂

Context: M : Type w

Context: M' : Type w₁

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : LieRing L'

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: J : LieIdeal R L'

Context: y : L'

R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range
y : L'
⊢ y ∈ f.idealRange ↔ ∃ x, f x = y


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : n ≤ ramificationIdx f p P
⊢ map f p ≤ P ^ n


R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : ¬map f p ≤ P ^ n
⊢ ramificationIdx f p P < n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: a : A

Context: n : ℕ

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

R : Type u_1
A : Type u_2
p : A → Prop
inst✝⁹ : CommSemiring R
inst✝⁸ : StarRing R
inst✝⁷ : MetricSpace R
inst✝⁶ : TopologicalSemiring R
inst✝⁵ : ContinuousStar R
inst✝⁴ : TopologicalSpace A
inst✝³ : Ring A
inst✝² : StarRing A
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p
f g : R → R
a✝ : A
ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝
hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝
hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝
a : A
n : ℕ
ha : autoParam (p a) _auto✝
⊢ cfc (fun x => x ^ n) a = a ^ n


Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
⊢ (f * g) ∣[k1 + k2] ↑A = (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A


Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
⊢ (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A


Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ
⊢ 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = f ∣[k1] A * g ∣[k2] A


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1


case intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
⊢ (s.gcd fun j => f j / s.gcd f) = 1


case intro.intro
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ f a / s.gcd f = g a


case intro.intro.ha
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s
⊢ s.gcd f ≠ 0


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : Module.Free R M'

Context: inst✝⁶ : Module.Finite R M✝

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M'

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : Module.Free R M'
inst✝⁶ : Module.Finite R M✝
inst✝⁵ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
⊢ finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : Module.Free R M'

Context: inst✝⁶ : Module.Finite R M✝

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M'

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

R S : Type u
M✝ : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁷ : Ring R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'
inst✝¹³ : AddCommGroup M₁
inst✝¹² : Module R M✝
inst✝¹¹ : Module R M'
inst✝¹⁰ : Module R M₁
inst✝⁹ : StrongRankCondition R
inst✝⁸ : Module.Free R M✝
inst✝⁷ : Module.Free R M'
inst✝⁶ : Module.Finite R M✝
inst✝⁵ : Module.Finite R M'
ι : Type v
inst✝⁴ : Fintype ι
M : ι → Type w
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)
inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)
inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)
this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R
⊢ finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)


Context: a✝¹ a✝ : ℝ

↑a✝¹ * ↑a✝ = ↑a✝ * ↑a✝¹

case h_real.h_real
a✝¹ a✝ : ℝ
⊢ ↑a✝¹ * ↑a✝ = ↑a✝ * ↑a✝¹


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Ring S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra K E

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: x : L

R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹¹ : CommRing R
inst✝¹⁰ : Ring S
inst✝⁹ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : Field L
inst✝⁶ : Field F
inst✝⁵ : Algebra K L
inst✝⁴ : Algebra K F
ι : Type w
E : Type u_7
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra K E
inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L
inst✝ : FiniteDimensional K L
x : L
hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)
⊢ (algebraMap K F) ((norm K) x) = ((minpoly K x).aroots F).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A
⊢ (fromBlocks A B C D).det = A.det * (D - C * ⅟A * B).det


R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)


case intro.mk
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
fst✝ : Type v
bs : Basis fst✝ R M
⊢ Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)


ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 1
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)
⊢ ∏ i ∈ s, f i = ∏ j ∈ t, g j


case w
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj α
⊢ (↑e ≫ ↑e.symm) x = (𝟙 α) x


case w
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj β
⊢ (↑e.symm ≫ ↑e) x = (𝟙 β) x


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
m : M
h : ∀ x ∈ l, x = m
⊢ l.prod = m ^ l.length


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α
⊢ univ.sup' ⋯ f = ⨆ i, f i


V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ angle x (x + y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)


V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (‖x‖ * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))


V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0
⊢ Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (√(‖x‖ ^ 2) * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))


α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)
⊢ ∏ x ∈ eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x


G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
⊢ μ.innerContent ⊥ = 0


G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
⊢ μ.innerContent ⊥ ≤ 0


G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
⊢ μ.innerContent ⊥ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥


G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑⊥
⊢ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
⊢ Martingale f 𝒢 μ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[f i - f (i + 1)|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
⊢ 0 ≤ᶠ[ae μ] μ[-(f (i + 1) - f i)|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
⊢ 0 =ᶠ[ae μ] -μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Context: x : Ω

Context: hx : (μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x = 0 x

case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝⁴ : Preorder ι
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ g : ι → Ω → E
ℱ : Filtration ι m0
𝒢 : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
f : ℕ → Ω → ℝ
hadp : Adapted 𝒢 f
hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ
hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0
i : ℕ
x : Ω
hx : (μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x = 0 x
⊢ 0 x = (-μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
⊢ smul α φ 0 m = 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

case a.intro
C : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C
J : GrothendieckTopology C
R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat
R : Sheaf J RingCat
α : R₀ ⟶ R.val
inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α
inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α
M₀ : PresheafOfModules R₀
A : Sheaf J AddCommGrp
φ : M₀.presheaf ⟶ A.val
inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ
inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ
X Y✝ : Cᵒᵖ
π : X ⟶ Y✝
r r' : ↑(R.val.obj X)
m m' : ↑(A.val.obj X)
Y : C
f : Y ⟶ Opposite.unop X
m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))
hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m
⊢ (A.val.map f.op) (smul α φ 0 m) = (A.val.map f.op) 0


α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)


case inr
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0
⊢ ↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)


α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
⊢ (l₁ ++ l₂).erase a = l₁ ++ l₂.erase a


case a
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
b : α
h' : b ∈ l₁
h'' : (a == b) = true
⊢ False


case h
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup N
x✝ : N
⊢ x✝ ∈ comap (MonoidHom.id N) K ↔ x✝ ∈ K


L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
⊢ (fun l =>
        (do
            let a ← (listDecode l).head?
            pure (some a)).join)
      t.listEncode =
    some t


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: t : L.Term α

L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]
⊢ (fun l =>
        (do
            let a ← (listDecode l).head?
            pure (some a)).join)
      t.listEncode =
    some t


L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode t.listEncode = [t]
⊢ (fun l =>
        (do
            let a ← (listDecode l).head?
            pure (some a)).join)
      t.listEncode =
    some t


ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
x y : M
⊢ x = y ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x) i = (b.repr y) i


α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n
⊢ ∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ n - x ^ m) / (x - 1)


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : yoneda.map f ≫ η = s
⊢ MakesOverArrow η s f


ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) k
⊢ IsGLB (Set.Ioc i j) k


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
⊢ (∀ x ∈ Set.Ioc i j, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1) → x ≤ k


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

Context: x : ι

Context: hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1

Context: y : ι

Context: hy : y ∈ Set.Ioi i

ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k
x : ι
hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1
y : ι
hy : y ∈ Set.Ioi i
⊢ x ≤ y


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[<] b) l


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b
⊢ Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

case intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
hv : ∀ (a : PartialRefinement u s), v ≤ a → a = v
⊢ ∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

case intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
hv : ∀ (a : PartialRefinement u s), v ≤ a → a = v
⊢ ∀ (i : ι), i ∈ v.carrier


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

case intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
⊢ ∃ a, v ≤ a ∧ a ≠ v


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

Context: v' : PartialRefinement u s

Context: hlt : v < v'

case intro.intro.intro
ι : Type u_1
X : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : NormalSpace X
u : ι → Set X
s : Set X
hs : IsClosed s
uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)
uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite
us : s ⊆ ⋃ i, u i
this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)
this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub
v : PartialRefinement u s
i : ι
hi : i ∉ v.carrier
v' : PartialRefinement u s
hlt : v < v'
⊢ ∃ a, v ≤ a ∧ a ≠ v


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a ∆ c ≤ a ∆ b ⊔ b ∆ c


ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
⊢ a \ b ⊔ b \ c ⊔ (c \ b ⊔ b \ a) = a ∆ b ⊔ b ∆ c


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ ↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
⊢ c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : 𝕜

Context: x : F

Context: y : α

case h
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F
y : α
hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y
⊢ (c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.80223

Context: D : Type u_5

Context: D' : Type ?u.80229

Context: H : Type u_2

Context: H' : Type ?u.80235

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

C : Type u_1
C' : Type ?u.80223
D : Type u_5
D' : Type ?u.80229
H : Type u_2
H' : Type ?u.80235
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.80243, ?u.80223} C'
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝³ : Category.{?u.80251, ?u.80229} D'
inst✝² : Category.{u_4, u_2} H
inst✝¹ : Category.{?u.80259, ?u.80235} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W ↔ L.HasLeftKanExtension F


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.80223

Context: D : Type u_5

Context: D' : Type ?u.80229

Context: H : Type u_2

Context: H' : Type ?u.80235

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

C : Type u_1
C' : Type ?u.80223
D : Type u_5
D' : Type ?u.80229
H : Type u_2
H' : Type ?u.80235
inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝⁵ : Category.{?u.80243, ?u.80223} C'
inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D
inst✝³ : Category.{?u.80251, ?u.80229} D'
inst✝² : Category.{u_4, u_2} H
inst✝¹ : Category.{?u.80259, ?u.80235} H'
RF RF' RF'' : D ⥤ H
F F' F'' : C ⥤ H
e : F ≅ F'
L : C ⥤ D
α : F ⟶ L ⋙ RF
α' : F' ⟶ L ⋙ RF'
α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''
α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'
W : MorphismProperty C
inst✝ : L.IsLocalization W
this : F.HasRightDerivedFunctor W ↔ W.Q.HasLeftKanExtension F
⊢ F.HasRightDerivedFunctor W ↔ L.HasLeftKanExtension F


ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
⊢ Icc a b ⊆ Ici a


𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
k : ℕ
x : 𝕜
⊢ deriv^[k] Inv.inv x = (∏ i ∈ Finset.range k, (-1 - ↑i)) * x ^ (-1 - ↑k)


Context: f : Natβ Natα.succ → WType Natβ

f : Natβ Natα.succ → WType Natβ
⊢ ofNat (mk Natα.succ f).toNat = mk Natα.succ f


X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f✝ : X → Y
s : Set X
t : Set Y
f : X → Y
⊢ IsLocalHomeomorph f ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, OpenEmbedding (U.restrict f)


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜
⊢ ⟪x, r • y⟫_𝕜 = r * ⟪x, y⟫_𝕜


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜
⊢ (starRingEnd 𝕜) ((starRingEnd 𝕜) r * ⟪y, x⟫_𝕜) = r * ⟪x, y⟫_𝕜


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: a✝ b✝ c d a b : α

α : Type u
inst✝³ : Group α
inst✝² : LE α
inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
a✝ b✝ c d a b : α
⊢ a / b ≤ a ↔ 1 ≤ b


case intro
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ
⊢ W'.Equation ((fun m => m • Q) u) ↔ W'.Equation Q


ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : ¬G.Adj a b
hn : a ≠ b
⊢ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b = ∅


ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u✝ v w : V
e : Sym2 V
h : ¬G.Adj a b
hn : a ≠ b
u : Sym2 V
ha : u ∈ G.incidenceSet a
hb : u ∈ G.incidenceSet b
⊢ False


ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Unique α
inst✝ : Fintype α
f : α → β
⊢ ∏ x : α, f x = f default


J : Type u
inst✝² : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j : J
⊢ Nonempty (F.toEventualRanges.obj j)


J : Type u
inst✝² : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
h✝ : F.IsMittagLeffler
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j i : J
f : i ⟶ j
h : F.eventualRange j = range (F.map f)
⊢ Nonempty (F.toEventualRanges.obj j)


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : P s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s₁ s₂ : Set α
h₁ : P s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
⊢ extend m s₁ ≤ extend m s₂


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : P s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

Context: h₂ : P s₂

α : Type u_1
P : Set α → Prop
m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞
P0 : P ∅
m0 : m ∅ P0 = 0
PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)
mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯
m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂
s₁ s₂ : Set α
h₁ : P s₁
hs : s₁ ⊆ s₂
h₂ : P s₂
⊢ extend m s₁ ≤ m s₂ h₂


𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
⊢ ContinuousOn f s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s
this : ContinuousOn (fun x => (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)) s
⊢ ContinuousOn f s


α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l
⊢ l.formPerm x = l.next x hx


case intro
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l
⊢ l.formPerm (l.get k) = l.next (l.get k) hx


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
⊢ (Multiset.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ Multiset.count m s


ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
l : List α
⊢ (Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod =
    ∏ m ∈ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l), f m ^ Multiset.count m (Quot.mk Setoid.r l)


C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C
⊢ (shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).inv.app X =
    (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).inv.app ((shiftFunctor C a₁).obj X) ≫
      (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).inv.app X


α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
⊢ InjOn f s ↔ BijOn f s s


α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : InjOn f s
⊢ SurjOn f s s


α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : InjOn f s
this : Finite ↑s
⊢ SurjOn f s s


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
⊢ EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) (e.target ∩ t)


case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x✝ : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
x : α
hx : x ∈ e.source ∩ s
hx' : x ∈ e'.source ∩ s
⊢ ↑e.symm (↑e x) = ↑e'.symm (↑e x)


Context: U : Type u_1

Context: inst✝² : Quiver U

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: φ : U ⥤q V

Context: W : Type ?u.1952

Context: inst✝ : Quiver W

Context: ψ : V ⥤q W

Context: hφ : φ.IsCovering

Context: u v : U

Context: f g : u ⟶ v

U : Type u_1
inst✝² : Quiver U
V : Type u_2
inst✝¹ : Quiver V
φ : U ⥤q V
W : Type ?u.1952
inst✝ : Quiver W
ψ : V ⥤q W
hφ : φ.IsCovering
u v : U
f g : u ⟶ v
he : (fun f => φ.map f) f = (fun f => φ.map f) g
this : φ.star u (Star.mk f) = φ.star u (Star.mk g)
⊢ f = g


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
⊢ CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

case intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
⊢ Disjoint ((fun i => (ϕ i).range) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)

case intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)
hxp : f ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : ¬j = i), (ϕ j).range)
⊢ f ∈ ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
⊢ f ∈ ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
⊢ f ∈ ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
⊢ f = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

case intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
⊢ orderOf f ∣ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: c : ℕ

case intro.intro.intro.intro.intro
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
c : ℕ
hc : (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = orderOf f * c
⊢ orderOf f ∣ 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: c : ℕ

case h
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
ι : Type u_2
hdec : DecidableEq ι
hfin : Fintype ι
H : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → Group (H i)
ϕ : (i : ι) → H i →* G
f✝ g✝ : (i : ι) → H i
hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)
inst✝¹ : Finite ι
inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)
hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))
val✝ : Fintype ι
this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι
i : ι
f : G
hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)
g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1
hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f
g' : H i
hg'f : (ϕ i) g' = f
hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)
hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)
c : ℕ
hc : (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = orderOf f * c
⊢ (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = 1


a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m % k = n % k
⊢ (m - n) % k = 0


R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R
⊢ (⨅ i, I i).ringCon = ⨅ i, (I i).ringCon


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: g : Set (α × α) → Filter β

Context: f : Filter β

Context: hg : Monotone g

α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
g : Set (α × α) → Filter β
f : Filter β
hg : Monotone g
h : ((𝓤 α).lift fun s => g (Prod.swap ⁻¹' s)) ≤ f
⊢ (map Prod.swap (𝓤 α)).lift g ≤ f


α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α
⊢ ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
⊢ (l.rotateR x r).dual = r.dual.rotateL x l.dual


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β
⊢ ∀ (x : α), x ∈ r.core Set.univ ↔ x ∈ Set.univ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
⊢ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
⊢ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
x : α
⊢ f x ≤ ‖f x‖


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
x : α
⊢ f x ≤ |f x|


𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

case intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖

case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this✝ : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMinOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖
this : IsMinOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖

Context: hx₀_ne : x₀ ≠ 0

case intro.intro.intro
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this✝ : ProperSpace E
T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint
x : E
hx : x ≠ 0
H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)
H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty
x₀ : E
hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖
hTx₀ : IsMinOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀
hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖
this : IsMinOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀
hx₀_ne : x₀ ≠ 0
⊢ HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : Aᵀ ∈ symplecticGroup l R
⊢ A ∈ symplecticGroup l R


Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty
⊢ (condCount s) s = 1


α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ


α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ


α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ


α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0
⊢ ∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ