Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : CharZero K

Context: inst✝⁶ : LieRing L

Context: inst✝⁵ : LieAlgebra K L

Context: inst✝⁴ : IsKilling K L

Context: inst✝³ : FiniteDimensional K L

Context: H : LieSubalgebra K L

Context: inst✝² : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L

Context: α β : Weight K (↥H) L

Context: hα : α.IsNonZero

Context: inst✝ : Nontrivial L

Context: x : L

Context: x_ne0 : x ≠ 0

Context: e✝ f : L

Context: he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α

Context: hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)

Context: isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f

Context: k : K

Context: e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0

case hba.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
K : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : CharZero K
inst✝⁶ : LieRing L
inst✝⁵ : LieAlgebra K L
inst✝⁴ : IsKilling K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
H : LieSubalgebra K L
inst✝² : H.IsCartanSubalgebra
inst✝¹ : IsTriangularizable K (↥H) L
α β : Weight K (↥H) L
hα : α.IsNonZero
inst✝ : Nontrivial L
x : L
hx : x ∈ weightSpace L ⇑(chainTop (⇑α) 0)
x_ne0 : x ≠ 0
e✝ f : L
he : e✝ ∈ rootSpace H ⇑α
hf : f ∈ rootSpace H (-⇑α)
isSl2 : IsSl2Triple (↑(coroot α)) e✝ f
prim : isSl2.HasPrimitiveVectorWith x ↑(chainLength α 0)
k : K
hk : 0 = ((toEnd K L L) f ^ (chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1)) x
e : 1 < chainTopCoeff (⇑α) 0
this : chainLength α 0 = 2 * chainTopCoeff (⇑α) 0
⊢ chainTopCoeff (⇑α) 0 + 1 + 1 ≤ chainLength α 0


α : Type u_1
R✝ : Type u_2
k : Type u_3
S✝ : Type u_4
M : Type u_5
M₂ : Type u_6
M₃ : Type u_7
ι : Type u_8
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M₂
F : Type u_9
inst✝⁵ : FunLike F M M₂
inst✝⁴ : AddMonoidHomClass F M M₂
f : F
R : Type u_10
S : Type u_11
inst✝³ : Ring R
inst✝² : Ring S
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : Module S M₂
x : ℤ
a : M
⊢ f (↑x • a) = ↑x • f a


R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
r₁ r₂ : R
⊢ (ι 0) r₁ * (ι 0) r₂ = 0


Context:
α✝ β : Type u
α : Type u_1
s : Set α

α✝ β : Type u
α : Type u_1
s : Set α
⊢ s.Countable ∧ s.Infinite ↔ Nonempty (Denumerable ↑s)


R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
ι : Type u
s : ι → K[X]
t : Finset ι
⊢ (∀ j ∈ t, s j ≠ 0) → (Splits i (∏ x ∈ t, s x) ↔ ∀ j ∈ t, Splits i (s j))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup β

Context: f g : ι → α → β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: hf : UnifIntegrable f p μ

Context: E : Set α

Context: ε : ℝ

Context: hε✝ : 0 < ε

Context: δ : ℝ

Context: hδ_pos : 0 < δ

Context: i : ι

Context: s : Set α

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : NormedAddCommGroup β
f g : ι → α → β
p : ℝ≥0∞
hf : UnifIntegrable f p μ
E : Set α
ε : ℝ
hε✝ : 0 < ε
δ : ℝ
hδ_pos : 0 < δ
hε :
  ∀ (i : ι) (s : Set α), MeasurableSet s → μ s ≤ ENNReal.ofReal δ → eLpNorm (s.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε
i : ι
s : Set α
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≤ ENNReal.ofReal δ
⊢ eLpNorm (s.indicator ((fun i => E.indicator (f i)) i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace α
z : α
s : Set α
⊢ z ∈ closure (s \ {z}) ↔ ∃ᶠ (x : α) in 𝓝[≠] z, x ∈ s


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
Z X✝ Y P : C
f : Z ⟶ X✝
g : Z ⟶ Y
inl : X✝ ⟶ P
inr : Y ⟶ P
inst✝¹ : HasZeroObject C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X : C
⊢ 0 ≫ ((coprodZeroIso X).symm ≪≫ (pushoutZeroZeroIso X 0).symm).hom = pushout.inr 0 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.degree < P.degree

𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.degree < P.degree

Context: hQ : Q ≠ 0

𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.degree < P.degree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.natDegree < P.natDegree

Context: hQ : Q ≠ 0

𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => eval x P / eval x Q) atTop atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.natDegree < P.natDegree

Context: hQ : Q ≠ 0

𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff * x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: hdeg : Q.natDegree < P.natDegree

Context: hQ : Q ≠ 0

𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
hdeg : Q.natDegree < P.natDegree
hpos : 0 < P.leadingCoeff / Q.leadingCoeff
hQ : Q ≠ 0
⊢ Tendsto (fun x => x ^ (↑P.natDegree - ↑Q.natDegree)) atTop atTop


Context:
x✝ y : ℂ
x : ℝ

x✝ y : ℂ
x : ℝ
⊢ (starRingEnd ℂ) (cosh ↑x) = cosh ↑x


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a b c d : G
n : ℤ
h : b * a = c
⊢ a = b⁻¹ * c


f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f
⊢ deriv f = enumOrd (fixedPoints f)


case h.e'_3.h.e'_1
f : Ordinal.{u} → Ordinal.{u}
H : IsNormal f
⊢ fixedPoints f = ⋂ i, fixedPoints f


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
⊢ Tendsto (fun x => μ (Ico a x)) atTop (𝓝 (μ (Ici a)))


case h.e'_5.h.e'_3
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
⊢ μ (Ici a) = ⨆ i, μ (Ico a i)


case h.e'_5.h.e'_3.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
⊢ μ (Ici a) = ⨆ i, μ (Ico a i)


case h.e'_5.h.e'_3.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_Ici : Ici a = ⋃ n, Ico a (xs n)
⊢ μ (Ici a) = ⨆ i, μ (Ico a i)


case h.e'_5.h.e'_3.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : MeasurableSpace β
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : NoMaxOrder α
inst✝ : atTop.IsCountablyGenerated
μ : Measure α
a : α
this : Nonempty α
h_mono : Monotone fun x => μ (Ico a x)
xs : ℕ → α
hxs_mono : Monotone xs
hxs_tendsto : Tendsto xs atTop atTop
h_Ici : Ici a = ⋃ n, Ico a (xs n)
⊢ Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) fun n => Ico a (xs n)


E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ (fun x => P.f x - P.f₀) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-P.k)


E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
P : WeakFEPair E
⊢ (fun x => P.f x - (P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀ + ((P.ε * ↑(x ^ (-P.k))) • P.g₀ - P.f₀)) =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-P.k)


x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ y ^ z < x ^ z


x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ x ^ (-z) < y ^ (-z)

case hx
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 ≤ y

case hx
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 ≤ x

case ha
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 < x ^ z

case hb
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x
hxy : x < y
hz : z < 0
this : 0 < y
⊢ 0 < y ^ z


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ (s ∩ t).Nonempty


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : μ u < μ s + μ t
⊢ ¬Disjoint s t


μ s + μ t ≤ μ u

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t u : Set α
ht : MeasurableSet t
h's : s ⊆ u
h't : t ⊆ u
h : Disjoint s t
⊢ μ s + μ t ≤ μ u


α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
inst✝ : CommMonoid M
n : ℕ
v : Fin n.succ → M
⊢ ∏ i ∈ Ioi 0, v i = ∏ j : Fin n, v j.succ


α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
⊢ x \ y < x


α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
h : x \ y = x
⊢ y = ⊥


α : Type u
β : Type u_1
w x y z : α
inst✝ : GeneralizedBooleanAlgebra α
hx : y ≤ x
hy : y ≠ ⊥
h : x ⊓ y = ⊥
⊢ y = ⊥


R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ (Ideal.span {X}).IsPrime


R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
⊢ Ideal.span {X} = RingHom.ker (constantCoeff R)


case h
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
φ : R⟦X⟧
⊢ φ ∈ Ideal.span {X} ↔ φ ∈ RingHom.ker (constantCoeff R)


ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
hi : i ∈ ρ.finsupport x₀
⊢ i ∈ ρ.fintsupport x₀


ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
hi : i ∈ ρ.finsupport x₀
⊢ x₀ ∈ tsupport ⇑(ρ i)


case a
ι : Type u
X : Type v
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
E : Type u_1
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : SMulWithZero ℝ E
inst✝¹ : TopologicalSpace E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s✝ : Set X
f : PartitionOfUnity ι X s✝
s : Set X
ρ : PartitionOfUnity ι X s
x₀ : X
i : ι
hi : i ∈ ρ.finsupport x₀
⊢ x₀ ∈ support ⇑(ρ i)


G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (map f H).index ∣ H.index


G : Type u_1
G' : Type u_2
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group G'
H K L : Subgroup G
f : G →* G'
hf : Function.Surjective ⇑f
⊢ (H ⊔ f.ker).index ∣ H.index


Context:
f : ℕ → ℂ
h : f =O[atTop] 1

f : ℕ → ℂ
h : f =O[atTop] 1
⊢ abscissaOfAbsConv f ≤ 1


X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : FirstCountableTopology X
⊢ T2Space (SeparationQuotient X) ↔ R1Space X


R : Type u_1
inst✝⁵ : Ring R
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing A
M : Type u_3
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
U U₁ U₂ : Submodule R M
x x₁ x₂ y y₁ y₂ z z₁ z₂ : M
N : Type u_4
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
V V₁ V₂ : Submodule R N
⊢ x ≡ y [SMOD U] ↔ x - y ∈ U


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing α

Context: p : α

Context: h1 : p ≠ 0

Context: h2 : ¬IsUnit p

case intro.intro
α : Type u_1
inst✝ : CommRing α
p : α
h1 : p ≠ 0
h2 : ¬IsUnit p
h3 : ∀ (a b : α), p ∣ a * b → p ∣ a ∨ p ∣ b
⊢ Prime (-p)


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (↿F) (p ×ˢ p') (𝓝 c) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p p'


α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : UniformSpace β
F : ι → α → β
f : α → β
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
p' : Filter α
g : ι → α
c : β
⊢ Tendsto (Prod.mk c ∘ ↿F) (p ×ˢ p') (𝓤 β) ↔ TendstoUniformlyOnFilter F (fun x => c) p p'


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
s✝ t s : Finset α
a : α
⊢ a ∈ filter q (filter p s) ↔ a ∈ filter (fun a => p a ∧ q a) s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rα : α → α → Prop

Context: rβ : β → β → Prop

Context: f : γ → α

Context: g : γ → β

Context: s : Set γ

Context: hα : WellFounded (rα on f)

ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
f : γ → α
g : γ → β
s : Set γ
hα : WellFounded (rα on f)
hβ : ∀ (a : α), (f ⁻¹' {a}).WellFoundedOn (rβ on g)
⊢ WellFounded (Prod.Lex rα rβ on fun c => (f c, g c))


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: γ : Type u_4

Context: π : ι → Type u_5

Context: rα : α → α → Prop

Context: rβ : β → β → Prop

Context: f : γ → α

Context: g : γ → β

Context: s : Set γ

Context: hα : WellFounded (rα on f)

Context: c c' : γ

ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
π : ι → Type u_5
rα : α → α → Prop
rβ : β → β → Prop
f : γ → α
g : γ → β
s : Set γ
hα : WellFounded (rα on f)
hβ : ∀ (a : α), (f ⁻¹' {a}).WellFoundedOn (rβ on g)
c c' : γ
h : (Prod.Lex rα rβ on fun c => (f c, g c)) c c'
⊢ ((PSigma.Lex (fun a b => rα ↑a ↑b) fun a a_1 b => (rβ on g) ↑a_1 ↑b) on fun c => ⟨⟨f c, ⋯⟩, ⟨c, ⋯⟩⟩) c c'


Context: x✝ y x : ℝ


Context: a b : Rat


a✝ b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
h : 0 < a
⊢ a ∈ {b | 1 ≤ ⊤ * b}


Context:
X Y : CommRingCat
f : X ⟶ Y

X Y : CommRingCat
f : X ⟶ Y
⊢ (𝟭 CommRingCat).map f ≫ ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) Y).hom =
    ((fun R => asIso (toSpecΓ R)) X).hom ≫ (Spec.toLocallyRingedSpace.rightOp ⋙ Γ).map f


R : Type u
ι : Type w
s : Finset ι
inst✝ : CommRing R
t : Multiset R
⊢ (Multiset.map (fun x => X - C x) t).prod.nextCoeff = -t.sum


Context:
n k : ℕ
hk : k ≤ n

n k : ℕ
hk : k ≤ n
⊢ n.choose (n - k) = n.choose k


G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
g : G
s : Set G
⊢ g ∈ centralizer s ↔ ∀ h ∈ s, h * g * h⁻¹ * g⁻¹ = 1


ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P Q : Submodule R A
m n x y : A
⊢ x ∈ map ((LinearMap.mul R A) y) P ↔ ∃ z ∈ P, Mul.mul y z = x


Context: x y : ℂ


l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
R : Type u_4
α : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Fintype n
i j k : n
M : Matrix n n α
hM : Commute (stdBasisMatrix i j 1) M
hki : k ≠ i
⊢ M k i = 0


R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
v : V
hv : v ∈ s.direction
⊢ s.WOppSide x (v +ᵥ y) ↔ s.WOppSide x y


ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : TopologicalSpace γ
ι : Type u_5
b : ι → Opens α
hb : IsBasis (range b)
hb' : ∀ (i : ι), IsCompact ↑(b i)
U : Set α
⊢ IsCompact U ∧ IsOpen U ↔ ∃ s, s.Finite ∧ U = ⋃ i ∈ s, ↑(b i)


K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ f.eigenspace (a / b) = f.eigenspace (b⁻¹ * a)


K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (f - (b⁻¹ * a) • LinearMap.id) = LinearMap.ker (f - b⁻¹ • a • LinearMap.id)


K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (f - b⁻¹ • (algebraMap K (End K V)) a) = LinearMap.ker (b • (f - b⁻¹ • (algebraMap K (End K V)) a))


K R : Type v
V M : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : Field K
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module K V
f : End K V
a b : K
hb : b ≠ 0
⊢ LinearMap.ker (b • (f - b⁻¹ • (algebraMap K (End K V)) a)) = LinearMap.ker (b • f - (algebraMap K (End K V)) a)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Fintype α

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: P : Finpartition univ

Context: hP : P.IsEquipartition

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝¹ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: x : { i // i ∈ P.parts.offDiag }

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

α : Type u_1
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : DecidableEq α
P : Finpartition univ
hP : P.IsEquipartition
G : SimpleGraph α
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
inst✝ : Nonempty α
x : { i // i ∈ P.parts.offDiag }
hε₁ : ε ≤ 1
hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α
hPε : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5
⊢ ↑(G.edgeDensity (↑x).1 (↑x).2) ^ 2 + ((if G.IsUniform ε (↑x).1 (↑x).2 then 0 else ε ^ 4 / 3) - ε ^ 5 / 25) ≤
    (∑ i ∈ SzemerediRegularity.distinctPairs hP G ε x, ↑(G.edgeDensity i.1 i.2) ^ 2) / 16 ^ P.parts.card


R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I I₂ : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
⊢ map f (comap f J) ≤ J


R : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing P
inst✝⁴ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
R₁ : Type u_3
inst✝³ : CommRing R₁
K : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R₁ K
frac : IsFractionRing R₁ K
inst✝ : IsDomain R₁
I✝ J I : FractionalIdeal R₁⁰ K
⊢ I / 1 = I


S : Type u_1
R R' : Type u
M : Type v
inst✝²⁶ : CommSemiring S
inst✝²⁵ : Semiring R
inst✝²⁴ : CommSemiring R'
inst✝²³ : AddCommMonoid M
inst✝²² : Algebra S R
inst✝²¹ : Algebra S R'
inst✝²⁰ : Module S M
inst✝¹⁹ : Module R M
inst✝¹⁸ : Module Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁷ : SMulCommClass R Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁶ : IsScalarTower S R M
inst✝¹⁵ : IsScalarTower S Rᵐᵒᵖ M
inst✝¹⁴ : Module R' M
inst✝¹³ : Module R'ᵐᵒᵖ M
inst✝¹² : IsCentralScalar R' M
inst✝¹¹ : IsScalarTower S R' M
A : Type u_2
inst✝¹⁰ : Semiring A
inst✝⁹ : Algebra S A
inst✝⁸ : Algebra R' A
N : Type u_3
P : Type u_4
inst✝⁷ : AddCommMonoid N
inst✝⁶ : Module R' N
inst✝⁵ : Module R'ᵐᵒᵖ N
inst✝⁴ : IsCentralScalar R' N
inst✝³ : AddCommMonoid P
inst✝² : Module R' P
inst✝¹ : Module R'ᵐᵒᵖ P
inst✝ : IsCentralScalar R' P
f : M →ₗ[R'] N
x : tsze R' M
⊢ ((map f) x).fst = x.fst


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: ms : MeasurableSpace α

Context: s✝ t : Set α

Context: m : OuterMeasure α

Context: h : ms ≤ m.caratheodory

Context: s : Set α

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
ms : MeasurableSpace α
s✝ t : Set α
m : OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)
⊢ (m.toMeasure h) s = m s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: ms : MeasurableSpace α

Context: s✝ t : Set α

Context: m : OuterMeasure α

Context: h : ms ≤ m.caratheodory

Context: s : Set α

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
ms : MeasurableSpace α
s✝ t : Set α
m : OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)
⊢ (m.toMeasure h) s ≤ m s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: ms : MeasurableSpace α

Context: s✝ t✝ : Set α

Context: m : OuterMeasure α

Context: h : ms ≤ m.caratheodory

Context: s : Set α

Context: t : Set α

Context: hts : t ⊆ s

Context: htm : MeasurableSet t

Context: heq : t =ᶠ[ae (m.toMeasure h)] s

case intro.intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
ms : MeasurableSpace α
s✝ t✝ : Set α
m : OuterMeasure α
h : ms ≤ m.caratheodory
s : Set α
hs : NullMeasurableSet s (m.toMeasure h)
t : Set α
hts : t ⊆ s
htm : MeasurableSet t
heq : t =ᶠ[ae (m.toMeasure h)] s
⊢ (m.toMeasure h) s ≤ m s


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
hp : p ≠ 2
this : 2 = ↑2
⊢ legendreSym p 2 = χ₈ ↑p


Context: u v : ℤ


α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
s : Set γ
hs : s.Finite
⊢ ∃ z, ∀ i ∈ s, r (f i) (f z)


case h.e'_2.h.h.h.a
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝² : IsTrans α r
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Nonempty γ
f : γ → α
inst✝ : Finite β
D : Directed r f
s : Set γ
hs : s.Finite
x✝ a✝ : γ
⊢ a✝ ∈ s ↔ a✝ ∈ hs.toFinset


C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
X Y : C
f : X ⟶ Y
s : CokernelCofork f
⊢ f ≫ Cofork.π s = 0


C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (h.F (m₁ + (m₂ + m₃))).obj X = (h.F (m₁ + m₂ + m₃)).obj X


C : Type u
A : Type u_1
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : AddMonoid A
h : ShiftMkCore C A
m₁ m₂ m₃ : A
X : C
⊢ (h.F m₃).map ((h.add m₁ m₂).inv.app X) ≫ (h.add (m₁ + m₂) m₃).inv.app X =
    (h.add m₂ m₃).inv.app ((h.F m₁).obj X) ≫ (h.add m₁ (m₂ + m₃)).inv.app X ≫ eqToHom ⋯


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: s : Set P

Context: v : P → G

Context: hv : ContinuousOn v s

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
⊢ ContinuousOn (fun x => (f ⋆[L, μ] g x) (v x)) s


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g✝ g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : AddGroup G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝² : TopologicalAddGroup G

Context: inst✝¹ : BorelSpace G

Context: inst✝ : TopologicalSpace P

Context: s : Set P

Context: v : P → G

Context: hv : ContinuousOn v s

Context: g : P → G → E'

Context: k : Set G

Context: hk : IsCompact k

Context: hf : LocallyIntegrable f μ

Context: hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)

Context: x : P

Context: hx : x ∈ s

𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g✝ g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddGroup G
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : TopologicalAddGroup G
inst✝¹ : BorelSpace G
inst✝ : TopologicalSpace P
s : Set P
v : P → G
hv : ContinuousOn v s
g : P → G → E'
k : Set G
hk : IsCompact k
hgs : ∀ (p : P) (x : G), p ∈ s → x ∉ k → g p x = 0
hf : LocallyIntegrable f μ
hg : ContinuousOn (↿g) (s ×ˢ univ)
x : P
hx : x ∈ s
⊢ (fun x => (_root_.id x, v x)) x ∈ s ×ˢ univ


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x y : E
⊢ ⟪x + y, x + y⟫_𝕜 = ⟪x, x⟫_𝕜 + ⟪x, y⟫_𝕜 + ⟪y, x⟫_𝕜 + ⟪y, y⟫_𝕜


R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
⊢ FiniteType R (MvPolynomial ι R)


case intro
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : CommSemiring S
inst✝⁹ : Semiring A
inst✝⁸ : Semiring B
inst✝⁷ : Algebra R S
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra R B
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : AddCommMonoid N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_1
inst✝ : Finite ι
val✝ : Fintype ι
⊢ FiniteType R (MvPolynomial ι R)


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε


p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: hε3 : 0 < ε / 3

Context: N : ℕ

p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
⊢ ∃ i, ∀ j ≥ i, padicNorm p (limSeq f j - limSeq f i) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: hε3 : 0 < ε / 3

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ max N N2

p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2
⊢ padicNorm p (limSeq f j - limSeq f (max N N2)) < ε


Context: p : ℕ

Context: inst✝ : Fact (Nat.Prime p)

Context: f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE

Context: ε : ℚ

Context: hε : ε > 0

Context: hε3 : 0 < ε / 3

Context: N : ℕ

Context: N2 : ℕ

Context: j : ℕ

Context: hj : j ≥ max N N2

p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
f : CauSeq ℚ_[p] ⇑padicNormE
ε : ℚ
hε : ε > 0
hε3 : 0 < ε / 3
N : ℕ
hN : ∀ i ≥ N, padicNormE (↑f i - ↑(limSeq f i)) < ε / 3
N2 : ℕ
hN2 : ∀ j ≥ N2, ∀ k ≥ N2, padicNormE (↑f j - ↑f k) < ε / 3
j : ℕ
hj : j ≥ max N N2
⊢ padicNormE (↑(limSeq f j) - ↑f (max N N2) + (↑f (max N N2) - ↑(limSeq f (max N N2)))) < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set ι

Context: t : Set ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hj : (j, j') ∈ s ×ˢ t

Context: h : (i, i') ≠ (j, j')

case mk.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i') ∈ s ×ˢ t
j : ι
j' : ι'
hj : (j, j') ∈ s ×ˢ t
h : (i, i') ≠ (j, j')
⊢ (Disjoint on f) (i, i') (j, j')


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: κ : Sort u_6

Context: r p q : α → α → Prop

Context: inst✝ : CompleteLattice α

Context: s : Set ι

Context: t : Set ι'

Context: f : ι × ι' → α

Context: i : ι

Context: i' : ι'

Context: hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t

Context: j : ι

Context: j' : ι'

Context: hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t

Context: h : (i, i') ≠ (j, j')

case mk.mk
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
κ : Sort u_6
r p q : α → α → Prop
inst✝ : CompleteLattice α
s : Set ι
t : Set ι'
f : ι × ι' → α
hs : s.PairwiseDisjoint fun i => ⨆ i' ∈ t, f (i, i')
ht : t.PairwiseDisjoint fun i' => ⨆ i ∈ s, f (i, i')
i : ι
i' : ι'
hi : (i, i').1 ∈ s ∧ (i, i').2 ∈ t
j : ι
j' : ι'
hj : (j, j').1 ∈ s ∧ (j, j').2 ∈ t
h : (i, i') ≠ (j, j')
⊢ (Disjoint on f) (i, i') (j, j')


α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
ι : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝³ : Bornology α✝
inst✝² : Bornology β✝
inst✝¹ : (i : ι) → Bornology (π i)
α : Type u_5
β : Type u_6
inst✝ : Bornology β
f : α → β
⊢ BoundedSpace α ↔ IsBounded (range f)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
e : α ≃o β
b : β
x : α
⊢ x ∈ ⇑e ⁻¹' Iic b ↔ x ∈ Iic (e.symm b)


R : Type u_1
R₂ : Type u_2
R₃ : Type u_3
K : Type u_4
K₂ : Type u_5
M : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
V : Type u_9
V₂ : Type u_10
inst✝¹¹ : Semiring R
inst✝¹⁰ : Semiring R₂
inst✝⁹ : Semiring R₃
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁶ : AddCommMonoid M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
M' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
O : Submodule R M
ϕ : ↥O →ₗ[R] M'
N : Submodule R M
hNO : N ≤ O
x : M'
⊢ x ∈ ϕ.submoduleImage N ↔ ∃ y, ∃ (yN : y ∈ N), ϕ ⟨y, ⋯⟩ = x


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ‖(innerSL 𝕜) x‖ = ‖x‖


𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace ℝ F
x : E
⊢ ‖x‖ ≤ ‖(innerSL 𝕜) x‖


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ eval 1 p.mirror = eval 1 p


R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
⊢ ∑ x ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.mirror.coeff x = ∑ x ∈ Finset.range (p.natDegree + 1), p.coeff x


α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
δ ε ε₁ ε₂ : ℝ
s : Set α
⊢ y ∈ sphere x ε ↔ dist x y = ε


Context: X : Type w

Context: t : TopologicalSpace X

X : Type w
t : TopologicalSpace X
h :
  ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y),
    (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f
⊢ t ≤ compactlyGenerated X


Context: X : Type w

Context: t : TopologicalSpace X

Context: S : CompHaus

Context: g : C(↑S.toTop, X)

case a
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h :
  ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y),
    (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f
S : CompHaus
g : C(↑S.toTop, X)
f : (i : (T : CompHaus) × C(↑T.toTop, X)) × ↑i.fst.toTop → X :=
  fun x =>
    match x with
    | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s
⊢ ∀ (i : (T : CompHaus) × C(↑T.toTop, X)), Continuous fun a => f ⟨i, a⟩


Context: X : Type w

Context: t : TopologicalSpace X

Context: S : CompHaus

Context: g : C(↑S.toTop, X)

case a
X : Type w
t : TopologicalSpace X
h :
  ∀ {Y : Type w} [tY : TopologicalSpace Y] (f : X → Y),
    (∀ (S : CompHaus) (g : C(↑S.toTop, X)), Continuous (f ∘ ⇑g)) → Continuous f
S : CompHaus
g : C(↑S.toTop, X)
f : (i : (T : CompHaus) × C(↑T.toTop, X)) × ↑i.fst.toTop → X :=
  fun x =>
    match x with
    | ⟨⟨fst, i⟩, s⟩ => i s
⊢ Continuous f


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : s.offDiag = ∅
⊢ (↑s).infsep = 0


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s✝ t : Set α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
hs : ¬s.offDiag.Nonempty
⊢ (↑s).infsep = 0


α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
b : β a
⊢ lookup a (singleton a b) = some b


σ : Type u_1
R : Type u_2
τ : Type u_3
S : Type u_4
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommSemiring S
inst✝¹ : Fintype σ
inst✝ : Fintype τ
⊢ esymm σ R = (Multiset.map X univ.val).esymm


X✝ : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X✝
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
X : Type u_5
seq : X → Y × Z
f : Filter X
p : Y × Z
⊢ Tendsto seq f (𝓝 p) ↔ Tendsto (fun n => (seq n).1) f (𝓝 p.1) ∧ Tendsto (fun n => (seq n).2) f (𝓝 p.2)


G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
⊢ ∀ᵐ (x : α) ∂μ, ∃ g, g • x ∈ fundamentalInterior G s


G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
⊢ μ (⋃ i, i⁻¹ • fundamentalInterior G s)ᶜ = 0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Countable G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
this : (⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s ⊆ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalInterior G s
⊢ μ (⋃ i, i⁻¹ • fundamentalInterior G s)ᶜ = 0


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Countable G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
this : (⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s ⊆ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalInterior G s
⊢ μ.measureOf ((⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s)ᶜ = ⊥


Context: G : Type u_1

Context: H : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: E : Type u_5

Context: inst✝⁶ : Countable G

Context: inst✝⁵ : Group G

Context: inst✝⁴ : MulAction G α

Context: inst✝³ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: hs : IsFundamentalDomain G s μ

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹ : MeasurableSMul G α

Context: inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ

G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁶ : Countable G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
inst✝³ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
hs : IsFundamentalDomain G s μ
inst✝² : MeasurableSpace G
inst✝¹ : MeasurableSMul G α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
this : (⋃ g, g⁻¹ • s) \ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalFrontier G s ⊆ ⋃ g, g⁻¹ • fundamentalInterior G s
⊢ μ.measureOf ((⋃ g, g • fundamentalFrontier G s) ∪ {a | ∃ g, g • a ∈ s}ᶜ) = 0


R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
⊢ Sbtw R x ((lineMap x y) r) y ↔ x ≠ y ∧ r ∈ Set.Ioo 0 1


R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : OrderedRing R
inst✝⁶ : AddCommGroup V
inst✝⁵ : Module R V
inst✝⁴ : AddTorsor V P
inst✝³ : AddCommGroup V'
inst✝² : Module R V'
inst✝¹ : AddTorsor V' P'
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R V
x y : P
r : R
hxy : x ≠ y
⊢ (lineMap x y) r ∈ ⇑(lineMap x y) '' Set.Ioo 0 1 ↔ r ∈ Set.Ioo 0 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: F : Type u_5

Context: inst✝⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: u : α → ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 F

Context: f : α → E → F

Context: f' : α → E → E →L[𝕜] F

Context: g g' : α → 𝕜 → F

Context: v : ℕ → α → ℝ

Context: s : Set E

Context: t : Set 𝕜

Context: x₀ x : E

Context: y₀ y : 𝕜

Context: N : ℕ∞

Context: hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)

Context: hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)

α : Type u_1
β : Type u_2
𝕜 : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : CompleteSpace F
u : α → ℝ
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : α → E → F
f' : α → E → E →L[𝕜] F
g g' : α → 𝕜 → F
v : ℕ → α → ℝ
s : Set E
t : Set 𝕜
x₀ x : E
y₀ y : 𝕜
N : ℕ∞
hf : ∀ (i : α), ContDiff 𝕜 N (f i)
hv : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → Summable (v k)
h'f : ∀ (k : ℕ), ↑k ≤ N → ∀ᶠ (i : α) in cofinite, ∀ (x : E), ‖iteratedFDeriv 𝕜 k (f i) x‖ ≤ v k i
⊢ ContDiff 𝕜 N fun x => ∑' (i : α), f i x


case a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n
⊢ (M.updateColumn j c).map f i✝ j✝ = (M.map f).updateColumn j (f ∘ c) i✝ j✝


case a
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
α : Type v
β : Type w
ι : Type u_6
M : Matrix m n α
i : m
j : n
b : n → α
c : m → α
inst✝ : DecidableEq n
f : α → β
i✝ : m
j✝ : n
⊢ f (if j✝ = j then c i✝ else M i✝ j✝) = if j✝ = j then (f ∘ c) i✝ else f (M i✝ j✝)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ MDifferentiableAt I I (↑e) x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
⊢ ContinuousAt (↑e) x ∧ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M''

Context: inst✝³ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: e : PartialHomeomorph M H

Context: h : e ∈ atlas H M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ e.source

𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_3
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
M : Type u_4
inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M
inst✝¹³ : ChartedSpace H M
E' : Type u_5
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_6
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M' : Type u_7
inst✝⁹ : TopologicalSpace M'
inst✝⁸ : ChartedSpace H' M'
E'' : Type u_8
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_9
inst✝⁵ : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M'' : Type u_10
inst✝⁴ : TopologicalSpace M''
inst✝³ : ChartedSpace H'' M''
inst✝² : SmoothManifoldWithCorners I M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I' M'
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''
e : PartialHomeomorph M H
h : e ∈ atlas H M
x : M
hx : x ∈ e.source
mem : ↑I (↑(chartAt H x) x) ∈ ↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I
this : (chartAt H x).symm ≫ₕ e ∈ contDiffGroupoid ⊤ I
A : ContDiffOn 𝕜 ⊤ (↑I ∘ ↑((chartAt H x).symm ≫ₕ e) ∘ ↑I.symm) (↑I.symm ⁻¹' ((chartAt H x).symm ≫ₕ e).source ∩ range ↑I)
B :
  DifferentiableWithinAt 𝕜 (↑I ∘ (↑e ∘ ↑(chartAt H x).symm) ∘ ↑I.symm)
    (↑I.symm ⁻¹' (chartAt H x).target ∩ ↑I.symm ⁻¹' (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' e.source) ∩ range ↑I)
    (↑I (↑(chartAt H x) x))
⊢ DifferentiableWithinAt 𝕜 (writtenInExtChartAt I I x ↑e) (range ↑I) (↑(extChartAt I x) x)


case h
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → β
p q r : α → α → Prop
a b : α
c : { x // p a x ∧ q x b }
h : ∀ {x : α}, r (↑c) x → p a x
x✝ : α
⊢ x✝ ∈ {x | p a x ∧ q x b} ∩ {y | r (↑c) y} ↔ x✝ ∈ {y | r (↑c) y ∧ q y b}


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
⊢ (p ^ 0).degree ≤ 0 • p.degree


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
⊢ degree 1 ≤ 0


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ (n + 1)).degree ≤ (p ^ n).degree + p.degree


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n * p).degree ≤ (p ^ n).degree + p.degree


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).degree + p.degree ≤ (n + 1) • p.degree


R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q : R[X]
ι : Type u_1
p : R[X]
n : ℕ
⊢ (p ^ n).degree + p.degree ≤ n • p.degree + p.degree


Context:
α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0

α : Type u_1
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
⊢ ⋂ n, Ici ↑n = {⊤}


α : Type u
r : α → α → Prop
a b : α
hwf : WellFounded r
⊢ hwf.rank a = sup fun b => succ (hwf.rank ↑b)


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ

a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
⊢ Prime ↑n ↔ Nat.Prime n


Context:
a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ

a b : Cardinal.{u}
n m : ℕ
⊢ (↑n ≠ 0 ∧ ¬IsUnit ↑n ∧ ∀ (a b : Cardinal.{u_1}), ↑n ∣ a * b → ↑n ∣ a ∨ ↑n ∣ b) ↔
    n ≠ 0 ∧ ¬IsUnit n ∧ ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b


Context: a b✝ : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: b c : Cardinal.{u_1}

Context: hbc : ↑n ∣ b * c

↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c

case refine_3
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c


Context: a b✝ : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: b c : Cardinal.{u_1}

Context: hbc : ↑n ∣ b * c

Context: h' : ℵ₀ ≤ b * c

↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c

case refine_3.inr
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c


Context: a b✝ : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: b c : Cardinal.{u_1}

Context: hbc : ↑n ∣ b * c

Context: h' : ℵ₀ ≤ b * c

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c

↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c

case refine_3.inr.intro.intro
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c


Context: a b✝ : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: b c : Cardinal.{u_1}

Context: hbc : ↑n ∣ b * c

Context: h' : ℵ₀ ≤ b * c

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c

Context: hn : ↑n ≠ 0

Context: hℵ₀b : ¬ℵ₀ ≤ b

↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c

Context: n✝ : ℕ

Context: a b✝ : Cardinal.{u}

Context: n m : ℕ

Context: b c : Cardinal.{u_1}

Context: hbc : ↑n ∣ b * c

Context: h' : ℵ₀ ≤ b * c

Context: hb : b ≠ 0

Context: hc : c ≠ 0

Context: hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c

Context: hn : ↑n ≠ 0

Context: hℵ₀b : ℵ₀ ≤ b

↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c

case refine_3.inr.intro.intro.inr
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
this :
  ∀ {a b : Cardinal.{u}} {n : ℕ} {m : ℕ},
    (∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b) →
      ∀ (b c : Cardinal.{u_1}),
        ↑n ∣ b * c → ℵ₀ ≤ b * c → b ≠ 0 → c ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c → ↑n ≠ 0 → ℵ₀ ≤ b → ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c
hℵ₀b : ¬ℵ₀ ≤ b
⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c

n✝ : ℕ
a b✝ : Cardinal.{u}
n m : ℕ
h : ∀ (a b : ℕ), n ∣ a * b → n ∣ a ∨ n ∣ b
b c : Cardinal.{u_1}
hbc : ↑n ∣ b * c
h' : ℵ₀ ≤ b * c
hb : b ≠ 0
hc : c ≠ 0
hℵ₀ : ℵ₀ ≤ b ∨ ℵ₀ ≤ c
hn : ↑n ≠ 0
hℵ₀b : ℵ₀ ≤ b
⊢ ↑n ∣ b ∨ ↑n ∣ c


R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I
m n : ℕ
⊢ IsCoprime ↑m ↑n ↔ m.Coprime n


α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
s : Set α
a b c d : α
hf : Monotone f
⊢ f (max a b) = max (f a) (f b)


C : Type u_1
C₁ : Type u_2
C₂ : Type u_3
C₃ : Type u_4
D₁ : Type u_5
D₂ : Type u_6
D₃ : Type u_7
inst✝⁹ : Category.{u_8, u_1} C
inst✝⁸ : Category.{?u.46756, u_2} C₁
inst✝⁷ : Category.{?u.46760, u_3} C₂
inst✝⁶ : Category.{?u.46764, u_4} C₃
inst✝⁵ : Category.{u_10, u_5} D₁
inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂
inst✝³ : Category.{?u.46776, u_7} D₃
W : MorphismProperty C
L₁ : C ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W
L₂ : C ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W
L₃ : C ⥤ D₃
inst✝ : L₃.IsLocalization W
X Y Z : C
f : X ⟶ Y
⊢ (homEquiv W L₁ L₂) (L₁.map f) = L₂.map f


α : Type u_1
a b : α
s : α → α → Bool
l r : List α
h : ¬s a b = true
⊢ merge s (a :: l) (b :: r) = b :: merge s (a :: l) r


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: htwo : Invertible 2

Context: B : BilinForm R M

Context: Q : QuadraticMap R M R

case intro
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
htwo : Invertible 2
B : BilinForm R M
Q : QuadraticMap R M R
hB₁✝ hB₁ : (QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q ≠ 0
⊢ ∃ x, ¬IsOrtho ((QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q) x x


Context: S : Type u_1

Context: T : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: N : Type u_5

Context: P : Type u_6

Context: A : Type u_7

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: htwo : Invertible 2

Context: B : BilinForm R M

Context: Q : QuadraticMap R M R

Context: x : M

Context: hx : Q x ≠ 0

case intro.intro
S : Type u_1
T : Type u_2
R : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
A : Type u_7
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
htwo : Invertible 2
B : BilinForm R M
Q : QuadraticMap R M R
hB₁✝ hB₁ : (QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q ≠ 0
x : M
hx : Q x ≠ 0
⊢ ∃ x, ¬IsOrtho ((QuadraticMap.associatedHom ℕ) Q) x x


C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z : C
f g : X ⟶ Y
h : Y ⟶ Z
⊢ inv (𝟙 X) = 𝟙 X


Context:
z : ℂ
t : ℝ


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2051, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ S.Exact ↔ IsZero h.H


C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.2051, u_2} D
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms D
S S₁ S₂ : ShortComplex C
inst✝ : S.HasHomology
h : S.LeftHomologyData
⊢ IsZero S.homology ↔ IsZero h.H


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
⊢ f a ⩿ f b


α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c✝ : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
c : β
ha : f a < c
hb : c < f b
⊢ False


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c✝ : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
c : α
ha : f a < f c
hb : f c < f b
⊢ False


case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : Preorder β
a b c✝ : α
f : α ↪o β
hab : a ⩿ b
h : (range ⇑f).OrdConnected
c : α
ha : a < c
hb : c < b
⊢ False


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).inv = (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ (β_ X (𝟙_ C)).hom ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)


C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X : C
⊢ ((ρ_ X).hom ≫ (λ_ X).inv) ≫ (λ_ X).hom ≫ (ρ_ X).inv = 𝟙 (X ⊗ 𝟙_ C)


n m : ℕ
p✝ : Fin (n + 1)
i✝ j : Fin n
p i : Fin (n + 1)
h : p < i
hi : optParam (i ≠ 0) ⋯
⊢ p.succAbove (i.pred hi) = i


α : Type u
β : Type u_1
γ : Type u_2
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_3}
c : Cardinal.{u_3}
⊢ o.card ≤ c ↔ o < (succ c).ord


ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
⊢ s i ∈ f i


case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
⊢ s i ∈ f i


case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
x : α i
hx : x ∈ t i
⊢ x ∈ s i


case intro.intro.intro.intro
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
f f₁ f₂ : (i : ι) → Filter (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
p : (i : ι) → α i → Prop
inst✝ : ∀ (i : ι), (f i).NeBot
I : Set ι
h : I.pi s ∈ pi f
i : ι
hi : i ∈ I
I' : Set ι
t : (i : ι) → Set (α i)
htf : ∀ (i : ι), t i ∈ f i
hts : I'.pi t ⊆ I.pi s
x : α i
hx : x ∈ t i
g : (i : ι) → α i
hg : ∀ (i : ι), g i ∈ t i
⊢ x ∈ s i


α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ List.filterMap (Option.guard p) l = List.filter (fun b => decide (p b)) l


case e_f
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Multiset α
l : List α
⊢ Option.guard p = Option.guard fun x => decide (p x) = true


0 ≤ ⌊a⌋ ↔ 0 ≤ a

F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
⊢ 0 ≤ ⌊a⌋ ↔ 0 ≤ a


F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β✝ → β✝
op : α → α → α
inst✝³ : Monoid β✝
inst✝² : Monoid γ
inst✝¹ : FunLike F β✝ γ
β : Type u_6
inst✝ : CommMonoid β
s : Finset α
f : α → β
⊢ s.noncommProd f ⋯ = s.prod f


𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
⊢ HasStrictFDerivAt (exp 𝕂) 1 0


case h.e'_10.h
𝕂 : Type u_1
𝔸 : Type u_2
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕂
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕂 𝔸
inst✝ : CompleteSpace 𝔸
h : 0 < (expSeries 𝕂 𝔸).radius
x : 𝔸
⊢ x = (expSeries 𝕂 𝔸 1) fun x_1 => x


I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * 1 = -c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')


I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * (c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * (c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂') * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂'))) =
    -c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')


I₁ : Type u_1
I₂ : Type u_2
I₁₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
i₁ i₁' : I₁
i₂ i₂' : I₂
h₁ : c₁.Rel i₁ i₁'
h₂ : c₂.Rel i₂ i₂'
⊢ c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * (-c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂) * c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')) =
    -c₁.ε₂ c₂ c₁₂ (i₁', i₂) * c₁.ε₁ c₂ c₁₂ (i₁, i₂')


G : Type u_1
H : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
E : Type u_5
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MulAction G α
s : Set α
x : α
inst✝² : Group H
inst✝¹ : MulAction H α
inst✝ : SMulCommClass H G α
g : H
⊢ fundamentalFrontier G (g • s) = g • fundamentalFrontier G s


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: Z✝ : Type u_3

Context: Z : Type u_4

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace Y

Context: inst✝ : TopologicalSpace Z

Context: e : X ≃ Y

Context: s : Set X

X : Type u_1
Y : Type u_2
Z✝ : Type u_3
Z : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
e : X ≃ Y
he : ∀ (s : Set Y), IsOpen (⇑e ⁻¹' s) ↔ IsOpen s
s : Set X
⊢ IsOpen (⇑e.symm ⁻¹' s) ↔ IsOpen s


α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
s k : Set α
hk : IsCompact k
h'k : k ⊆ s \ μ.everywherePosSubset s
⊢ μ k = 0


case a
ι : Type u_1
μ : Type u_2
μ' : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
n k : ℕ
a✝ : Fin k → ℕ
⊢ a✝ ∈ univ.piAntidiag n ↔ a✝ ∈ Nat.antidiagonalTuple k n


Context:
α : Type u
k : ℕ
i : Fin k

α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i


Context: α : Type u

Context: k : ℕ

Context: i : Fin k

α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
this : indexOf i (finRange k) < (finRange k).length
⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i


Context: α : Type u

Context: k : ℕ

Context: i : Fin k

α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
this : indexOf i (finRange k) < (finRange k).length
h₁ : (finRange k).get ⟨indexOf i (finRange k), this⟩ = i
⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i


Context: α : Type u

Context: k : ℕ

Context: i : Fin k

Context: h₂ : (finRange k).get ⟨↑i, ⋯⟩ = i

α : Type u
k : ℕ
i : Fin k
this : indexOf i (finRange k) < (finRange k).length
h₁ : (finRange k).get ⟨indexOf i (finRange k), this⟩ = i
h₂ : (finRange k).get ⟨↑i, ⋯⟩ = i
⊢ indexOf i (finRange k) = ↑i


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l (g ∘ f) ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝³ : Nonempty β

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : Preorder γ

Context: inst✝ : NoMaxOrder γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: hg : Monotone g

Context: hg' : Tendsto g atTop atTop

Context: c : γ

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
c : γ
hc : ∀ᶠ (x : γ) in map (g ∘ f) l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) x c
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝³ : Nonempty β

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : Preorder γ

Context: inst✝ : NoMaxOrder γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: hg : Monotone g

Context: hg' : Tendsto g atTop atTop

Context: c : γ

case intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((g ∘ f) a) c
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: ι' : Type u_5

Context: inst✝³ : Nonempty β

Context: inst✝² : LinearOrder β

Context: inst✝¹ : Preorder γ

Context: inst✝ : NoMaxOrder γ

Context: g : β → γ

Context: f : α → β

Context: l : Filter α

Context: hg : Monotone g

Context: hg' : Tendsto g atTop atTop

Context: c : γ

Context: b : β

Context: hb : ∀ a ≥ b, c < g a

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
inst✝³ : Nonempty β
inst✝² : LinearOrder β
inst✝¹ : Preorder γ
inst✝ : NoMaxOrder γ
g : β → γ
f : α → β
l : Filter α
hg : Monotone g
hg' : Tendsto g atTop atTop
c : γ
hc : ∀ᶠ (a : α) in l, (fun x x_1 => x ≤ x_1) ((g ∘ f) a) c
b : β
hb : ∀ a ≥ b, c < g a
⊢ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l f


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε

Context: N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε

Context: N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ

Context: hN_meas : Measurable N

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε

Context: N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ

Context: hN_meas : Measurable N

Context: hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n
⊢ ∃ g, (∀ (x : α), 0 < g x) ∧ Measurable g ∧ ∫⁻ (x : α), ↑(g x) ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε

Context: N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ

Context: hN_meas : Measurable N

Context: hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n
⊢ ∫⁻ (x : α), ↑((δ ∘ N) x) ∂μ < ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ✝ : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : SigmaFinite μ

Context: ε : ℝ≥0∞

Context: ε0 : ε ≠ 0

Context: this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤

Context: δ : ℕ → ℝ≥0

Context: δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i

Context: δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε

Context: N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ

Context: hN_meas : Measurable N

Context: hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n

case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ✝ : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SigmaFinite μ
ε : ℝ≥0∞
ε0 : ε ≠ 0
s : ℕ → Set α := disjointed (spanningSets μ)
this : ∀ (n : ℕ), μ (s n) < ⊤
δ : ℕ → ℝ≥0
δpos : ∀ (i : ℕ), 0 < δ i
δsum : ∑' (i : ℕ), μ (s i) * ↑(δ i) < ε
N : α → ℕ := spanningSetsIndex μ
hN_meas : Measurable N
hNs : ∀ (n : ℕ), N ⁻¹' {n} = s n
⊢ ∫⁻ (a : ℕ), ↑(δ a) ∂Measure.map N μ < ε


α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivInvOneMonoid G
a : G
⊢ a / 1 = a


R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
⊢ T R (-2) = 2 * X ^ 2 - 1


V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u v w : V
p : G.Walk u v
h : G.Adj v w
⊢ (p.concat h).support = p.support.concat w


Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
⊢ predictablePart (f + g) ℱ μ n =ᶠ[ae μ] g n


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: ω : Ω

case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
ω : Ω
hω : martingalePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω
⊢ predictablePart (f + g) ℱ μ n ω = g n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: ω : Ω

case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
ω : Ω
hω : martingalePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω
⊢ f n ω + predictablePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω + g n ω


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: n✝ : ℕ

Context: inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ

Context: f g : ℕ → Ω → E

Context: hf : Martingale f ℱ μ

Context: hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)

Context: hg0 : g 0 = 0

Context: hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ

Context: n : ℕ

Context: ω : Ω

case h
Ω : Type u_1
E : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
f✝ : ℕ → Ω → E
ℱ : Filtration ℕ m0
n✝ : ℕ
inst✝ : SigmaFiniteFiltration μ ℱ
f g : ℕ → Ω → E
hf : Martingale f ℱ μ
hg : Adapted ℱ fun n => g (n + 1)
hg0 : g 0 = 0
hgint : ∀ (n : ℕ), Integrable (g n) μ
n : ℕ
ω : Ω
hω : martingalePart (f + g) ℱ μ n ω = f n ω
⊢ f n ω + predictablePart (f + g) ℱ μ n ω = (martingalePart (f + g) ℱ μ + predictablePart (f + g) ℱ μ) n ω


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: x : M

Context: a : M

Context: n m : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: h : n < m

β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n m : ℕ
ha : 1 < a
h : n < m
⊢ a ^ n < a ^ m


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: x : M

Context: a : M

Context: n : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

case intro
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ
⊢ a ^ n < a ^ (n.succ + k)


Context: β : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : Preorder M

Context: x : M

Context: a : M

Context: n : ℕ

Context: ha : 1 < a

Context: k : ℕ

case intro
β : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
inst✝³ : Monoid M
inst✝² : Preorder M
inst✝¹ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1
x : M
inst✝ : CovariantClass M M (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1
a : M
n : ℕ
ha : 1 < a
k : ℕ
⊢ a ^ n < a ^ n * a ^ (k + 1)


case w.h.w.h
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : D ⥤ C
x✝ : E
⊢ (𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) ≫ x.map (adj.unit.app (G.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝))))) ≫
      𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫
        𝟙 (x.obj (G.obj (F.obj (G.obj x✝)))) ≫ x.map (G.map (adj.counit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (G.obj x✝)) =
    𝟙 (x.obj (G.obj x✝))


case w.h.w.h
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : Category.{?u.20707, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.20711, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.20715, u_3} E
F : D ⥤ E
G : E ⥤ D
adj : F ⊣ G
x : E ⥤ C
x✝ : D
⊢ (𝟙 (x.obj (F.obj x✝)) ≫ x.map (F.map (adj.unit.app x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝))))) ≫
      𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝)))) ≫
        𝟙 (x.obj (F.obj (G.obj (F.obj x✝)))) ≫ x.map (adj.counit.app (F.obj x✝)) ≫ 𝟙 (x.obj (F.obj x✝)) =
    𝟙 (x.obj (F.obj x✝))


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p q : MvPolynomial σ R

R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
⊢ S = ⊤


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: n m : σ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S₁

Context: p✝ q : MvPolynomial σ R

Context: p : MvPolynomial σ R

R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
S : Subalgebra R (MvPolynomial σ R) := Algebra.adjoin R (range X)
p : MvPolynomial σ R
⊢ p ∈ S


α : Type u_1
n : Nat
a' : α
l : List α
h : n < l.length
⊢ ∃ l₁ a l₂, l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ l.set n a' = l₁ ++ a' :: l₂


α : Type u_1
n : Nat
a' : α
l : List α
h : n < l.length
⊢ ∃ l₁ a l₂, l = l₁ ++ a :: l₂ ∧ l₁.length = n ∧ modifyNth (fun x => a') n l = l₁ ++ a' :: l₂


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0

k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..1, bernoulliFun k x = 0


Context:
k : ℕ
hk : k ≠ 0

k : ℕ
hk : k ≠ 0
⊢ bernoulliFun (k + 1) 1 / (↑k + 1) - bernoulliFun (k + 1) 0 / (↑k + 1) = 0


R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonAssocSemiring R✝
M : Submonoid R✝
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R
⊢ centralizer s.centralizer.centralizer = centralizer s


case a
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
inst✝³ : NonAssocSemiring R✝
M : Submonoid R✝
inst✝² : NonAssocSemiring S
inst✝¹ : NonAssocSemiring T
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R
⊢ ↑(centralizer s.centralizer.centralizer) = ↑(centralizer s)


Context:
M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M

M : Type u_1
inst✝ : Mul M
c d : Con M
⊢ { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } c ≤
      { toFun := op, invFun := unop, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ } d ↔
    c ≤ d


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h : b < a
⊢ b + 0 < a


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h✝ : b < a
c : Ordinal.{u_4}
h : c < a - b
⊢ succ c < a - b


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b : Ordinal.{u_4}
l : a.IsLimit
h✝ : b < a
c : Ordinal.{u_4}
h : c < a - b
⊢ succ (b + c) < a


R✝ : Type u
A✝ : Type v
inst✝⁹ : CommSemiring R✝
inst✝⁸ : Ring A✝
inst✝⁷ : Algebra R✝ A✝
S : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring S
inst✝⁴ : Ring A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra R A
inst✝¹ : Algebra S A
inst✝ : IsScalarTower R S A
a : A
r : R
⊢ (algebraMap R S) r ∈ spectrum S a ↔ r ∈ σ a


α✝ α : Type u_1
inst✝¹ : Nonempty α
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
f : α → ℤ
n : ℕ
h : ∑ i ∈ s, (f i).natAbs ≤ n
⊢ ∃ β x sgn g,
    (∀ (b : β), g b ∉ s → sgn b = 0) ∧ Fintype.card β = n ∧ ∀ a ∈ s, (∑ i : β, if g i = a then ↑(sgn i) else 0) = f a


E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 :
  ((fun x =>
        ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘
      Neg.neg) =O[atBot]
    ((fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 :
  ((fun x =>
        ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘
      Neg.neg) =O[atBot]
    fun x => |x| ^ (-b)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)
⊢ (fun x => ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖) =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: x : ℝ

E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 :
  ((fun x =>
        ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘
      Neg.neg) =O[atBot]
    fun x => |x| ^ (-b)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)
x : ℝ
⊢ ‖‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + R) (x + S)) f‖‖ ≤
    ‖((fun x =>
            ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘
          Neg.neg)
        x‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc (x✝ + R) (x✝ + S)

case mk
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 :
  ((fun x =>
        ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘
      Neg.neg) =O[atBot]
    fun x => |x| ^ (-b)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)
x✝ x : ℝ
hx : x ∈ Icc (x✝ + R) (x✝ + S)
⊢ ‖(ContinuousMap.restrict (Icc (x✝ + R) (x✝ + S)) f) ⟨x, hx⟩‖ ≤
    ‖ContinuousMap.restrict (Icc (-x✝ + -S) (-x✝ + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖


Context: E : Type u_1

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup E

Context: f : C(ℝ, E)

Context: b : ℝ

Context: hb : 0 < b

Context: hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)

Context: R S : ℝ

Context: x✝ x : ℝ

Context: hx : x ∈ Icc (x✝ + R) (x✝ + S)

case mk
E : Type u_1
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : C(ℝ, E)
b : ℝ
hb : 0 < b
hf : ⇑f =O[atBot] fun x => |x| ^ (-b)
R S : ℝ
h1 : ⇑(f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ }) =O[atTop] fun x => |x| ^ (-b)
h2 :
  ((fun x =>
        ‖ContinuousMap.restrict (Icc (x + -S) (x + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖) ∘
      Neg.neg) =O[atBot]
    fun x => |x| ^ (-b)
this : (fun x => |x| ^ (-b)) ∘ Neg.neg = fun x => |x| ^ (-b)
x✝ x : ℝ
hx : x ∈ Icc (x✝ + R) (x✝ + S)
⊢ ‖f x‖ ≤ ‖ContinuousMap.restrict (Icc (-x✝ + -S) (-x✝ + -R)) (f.comp { toFun := fun a => -a, continuous_toFun := ⋯ })‖


ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a : α
l : List α
x : α
n : ℕ
⊢ l.length ≤ (insertNth n x l).length


K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
⊢ S.Solution'_descent.multiplicity = S.multiplicity - 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: k : 𝓞 K

case intro
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
k : 𝓞 K
hk : λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S = λ ^ (S.multiplicity - 1 + 1) * k
⊢ λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S


Context: K : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : NumberField K

Context: inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K

Context: ζ : K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3

Context: S : Solution hζ

Context: S' : Solution' hζ

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b

Context: inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)

Context: k : 𝓞 K

case intro
K : Type u_1
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {3} ℚ K
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑3
S : Solution hζ
S' : Solution' hζ
inst✝¹ : DecidableRel fun a b => a ∣ b
inst✝ : DecidableEq (𝓞 K)
k : 𝓞 K
hk : λ ^ (S.multiplicity - 1) * FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S = λ ^ (S.multiplicity - 1) * (λ * k)
⊢ λ ∣ FermatLastTheoremForThreeGen.Solution.X S


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f
inst✝ : HasCokernels C
X A B : C
g : B ⟶ X
hg : Mono g
i : A ≅ B
hf : Mono (i.hom ≫ g)
⊢ (fun A f x => Subobject.mk (cokernel.π f).op) A (i.hom ≫ g) hf = (fun A f x => Subobject.mk (cokernel.π f).op) B g hg


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasCokernels C
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (cokernel.π f).op) ⋯ (Subobject.mk f) ≤
    Subobject.lift (fun A f x => Subobject.mk (cokernel.π f).op) ⋯ (Subobject.mk g)


C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y Z : C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f✝ : X✝ ⟶ Y
inst✝¹ : HasKernel f✝
inst✝ : HasCokernels C
X A B : C
f : A ⟶ X
g : B ⟶ X
hf : Mono f
hg : Mono g
h : Subobject.mk f ≤ Subobject.mk g
⊢ Subobject.mk (cokernel.π f).op ≤ Subobject.mk (cokernel.π g).op


α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
inst✝ : CompleteLattice β
S : Set (Set α)
f : α → β
⊢ ⨅ x ∈ ⋃₀ S, f x = ⨅ s ∈ S, ⨅ x ∈ s, f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hn : n ≠ 0

f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hn : n ≠ 0
⊢ f 1 + (x * log ↑n + log ↑n ! - ∑ m ∈ Finset.range (n + 1), log (x + ↑m)) ≤ f x


Context: f : ℝ → ℝ

Context: x : ℝ

Context: n : ℕ

Context: hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f

Context: hx : 0 < x

Context: hn : n ≠ 0

f : ℝ → ℝ
x : ℝ
n : ℕ
hf_conv : ConvexOn ℝ (Ioi 0) f
hf_feq : ∀ {y : ℝ}, 0 < y → f (y + 1) = f y + log y
hx : 0 < x
hn : n ≠ 0
⊢ f 1 + (x * log ↑n + log ↑n !) ≤ f (↑(n + 1) + x)


J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
          map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
      (𝟙 X) =
    𝟙
      ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
            map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj
        X)


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ Cat

Context: X✝ Y : limit (F ⋙ objects)

Context: X : J

case h
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X✝ Y : limit (F ⋙ objects)
X : J
f :
  { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
        map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj
    X
this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj X)) := inferInstance
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
          map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
      (𝟙 X) f =
    𝟙
      ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X✝ ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
            map := fun {X Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj
        X)
      f


J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
          map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
      (f ≫ g) =
    { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
            map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
        f ≫
      { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
            map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
        g


Context: J : Type v

Context: inst✝ : SmallCategory J

Context: F : J ⥤ Cat

Context: X Y : limit (F ⋙ objects)

Context: x✝¹ x✝ Z : J

Context: f : x✝¹ ⟶ x✝

Context: g : x✝ ⟶ Z

case h
J : Type v
inst✝ : SmallCategory J
F : J ⥤ Cat
X Y : limit (F ⋙ objects)
x✝¹ x✝ Z : J
f : x✝¹ ⟶ x✝
g : x✝ ⟶ Z
h :
  { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
        map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.obj
    x✝¹
this : Category.{v, v} (objects.obj (F.obj Z)) := inferInstance
⊢ { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
          map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
      (f ≫ g) h =
    ({ obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
              map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
          f ≫
        { obj := fun j => limit.π (F ⋙ objects) j X ⟶ limit.π (F ⋙ objects) j Y,
              map := fun {X_1 Y_1} f g => eqToHom ⋯ ≫ (F.map f).map g ≫ eqToHom ⋯ }.map
          g)
      h


α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M✝ : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : Zero M✝
α : Type u_13
M : Type u_14
inst✝ : Zero M
f g : α →₀ M
h : f.graph = g.graph
⊢ f = g


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
h : affineSpan k s = ⊤
⊢ s.Nonempty


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : affineSpan k ∅ = ⊤
⊢ False


k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
h : ⊥ = ⊤
⊢ False


α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝ : UniformSpace α
p : ι → Prop
s : ι → Set (α × α)
h : (𝓤 α).HasBasis p s
x : α
⊢ (𝓝 x).HasBasis p fun i => {y | (y, x) ∈ s i}