Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

IsNilpotent (LinearMap.restrict (g - (algebraMap R (End R M)) μ) h₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set β

(M.mapEmbedding f).Base B ↔ M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f


(∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) ↔ M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f


(∃ B₀, M.Base B₀ ∧ B = ⇑f '' B₀) → M.Base (⇑f ⁻¹' B) ∧ B ⊆ range ⇑f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f✝ : α → β
E I s : Set α
M : Matroid α
N : Matroid β
f : α ↪ β
B : Set α
hB : M.Base B

M.Base (⇑f ⁻¹' (⇑f '' B)) ∧ ⇑f '' B ⊆ range ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type u_3
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f✝ f₀ f₁ : E → F
f' : F
s✝ t : Set E
x v : E
L : E →L[𝕜] F
f : E → F
x₀ : E
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s


∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖


Context: n : ℕ

eval 0 (bernoulli n) = _root_.bernoulli n


Context: n : ℕ

∑ x ∈ range n, eval 0 ((monomial (n - x)) (_root_.bernoulli x * ↑(n.choose x))) + eval 0 ((monomial (n - n)) (_root_.bernoulli n * ↑(n.choose n))) = _root_.bernoulli n


Context: n : ℕ

Context: this : ∑ x ∈ range n, _root_.bernoulli x * ↑(n.choose x) * 0 ^ (n - x) = 0


Context:
α : Type u
α' : Type w
β : Type v
β' : Type x
γ : Type u_1
δ : Type u_2
x y : α ⊕ β
h₁ : x.isLeft = true
h₂ : x.getLeft?.isSome = true


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing α
k : α
h : ∀ (x : α), x * k = 0 → x = 0
x y : α
h' : x * k = y * k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s : Set α
h : IsCompact s
hμ : ∀ x ∈ s, μ.FiniteAtFilter (𝓝 x)


∀ ⦃s t : Set α⦄, s ⊆ t → (∃ U ⊇ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤) → ∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤


∀ ⦃s t : Set α⦄, (∃ U ⊇ s, IsOpen U ∧ μ U < ⊤) → (∃ U ⊇ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤) → ∃ U ⊇ s ∪ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤


∀ x ∈ s, ∃ t ∈ 𝓝[s] x, ∃ U ⊇ t, IsOpen U ∧ μ U < ⊤


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r : R[X]
x : R
p : R[X]
hp : p.coeff 0 = 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W.negY Q * P z ^ 3

W.add P Q = W.dblZ P • ![W.toAffine.addX (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), W.toAffine.addY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3)), 1]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
s : Set α
t : Set β
f : Filter α
g : Filter β


Context: a x z✝ z : ℂ

z.arg < π / 2 ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0


Context: a x z✝ z : ℂ

(0 ≤ z.re ∨ z.im < 0) ∧ ¬(z.re = 0 ∧ 0 < z.im) ↔ 0 < z.re ∨ z.im < 0 ∨ z = 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re < 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : z.re = 0


Context:
a x z✝ z : ℂ
hre : 0 < z.re


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCommGroup α
s t : Set α
a : α
hs : IsUpperSet s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Group G
a✝ b c d : G
n✝ : ℤ
a : G
n : ℤ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
V : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : Fintype V
inst✝² : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝¹ : DecidableRel G.Adj
inst✝ : NonAssocSemiring R
v : V
vec : V → R

(degMatrix R G *ᵥ vec) v = ↑(G.degree v) * vec v


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s t u : Multiset α
a : α
hr : ∀ a' ∈ u, r a' a
he : s + {a} = t + u

InvImage (Finsupp.Lex (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) fun x x_1 => x < x_1) (⇑toFinsupp) s t


Context:
α : Type u_1
r : α → α → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : IsIrrefl α r
s t u : Multiset α
a : α
he : s + {a} = t + u
hr : ∀ (a' : α), ¬r a' a → a' ∉ u


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
f₂ : 𝕜 → F
s₂ : Set 𝕜
n : ℕ
hs : IsOpen s₂

ContDiffOn 𝕜 (↑(n + 1)) f₂ s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂


DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (derivWithin f₂ s₂) s₂ ↔ DifferentiableOn 𝕜 f₂ s₂ ∧ ContDiffOn 𝕜 (↑n) (deriv f₂) s₂


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R
h : c ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
this : ProperSpace 𝕜


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : LocallyCompactSpace 𝕜

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: this : ProperSpace 𝕜

Context: e : E ≃L[𝕜] Fin (finrank 𝕜 E) → 𝕜 := ContinuousLinearEquiv.ofFinrankEq ⋯


Context:
n : ℕ
x : ℝ

(aeval x) (hermite n) = (-1) ^ n * deriv^[n] (fun y => Real.exp (-(y ^ 2 / 2))) x * Real.exp (x ^ 2 / 2)


Context:
n : ℕ
x : ℝ


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ⊥ ≠ ⊤


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ∀ (y : M), 0 = y


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
S : Type u_3
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : Ring S
M : Type u_4
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsSimpleModule R M
h : ∀ (y : M), 0 = y
x : M

x ∈ ⊥ ↔ x ∈ ⊤


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)

((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) = 𝟙 (⨁ f)


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
inst✝³ : Preadditive C
β γ : Type
inst✝² : Finite β
ε : β ≃ γ
f : γ → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct (f ∘ ⇑ε)
val✝ : Fintype β
g g' : γ

ι f g' ≫ ((lift fun b => π f (ε b)) ≫ desc fun b => ι f (ε b)) ≫ π f g = ι f g' ≫ 𝟙 (⨁ f) ≫ π f g


Context:
C : Type u
inst✝⁴ : Category.{v, u} C
D : Type u'
inst✝³ : Category.{v', u'} D
J : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J ⥤ K ⥤ C
j : J
k : K

(preservesLimitIso ((evaluation K C).obj k) F).inv ≫ (limit.π F j).app k = limit.π (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j


(limit.π F j).app k = (preservesLimitIso ((evaluation K C).obj k) F).hom ≫ limit.π (F ⋙ (evaluation K C).obj k) j


Context:
V : Type u
V' : Type v
V'' : Type w
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
G'' : SimpleGraph V''
u✝ v✝ w✝ u v w : V
p : G.Walk u v
q : G.Walk v w
h : (p.append q).IsTrail


Context: V : Type u

Context: V' : Type v

Context: V'' : Type w

Context: G : SimpleGraph V

Context: G' : SimpleGraph V'

Context: G'' : SimpleGraph V''

Context: u✝ v✝ w✝ u v w : V

Context: p : G.Walk u v

Context: q : G.Walk v w

Context: h : p.edges.Nodup ∧ q.edges.Nodup ∧ p.edges.Disjoint q.edges


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace X
inst✝ : PseudoMetricSpace Y
C r : ℝ≥0
f : X → Y
hf : HolderWith C r f
x y : X
d : ℝ≥0
hd : nndist x y ≤ d


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
B B₁ B₂ : Set α
hB₁ : M.Base B₁
hB₂ : M.Base B₂


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct X I
hI : IsInitial I


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasStrictInitialObjects C
I X : C
inst✝ : HasBinaryProduct X I
hI : IsInitial I
this : IsIso prod.snd


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : SemilatticeInf β
ι : Sort u_4
S : Set (Set α)
f✝ : ι → Set α
s t : Set α
a✝ : α
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : InfHomClass F α β
hs : InfClosed s
f : F
a : α
ha : a ∈ s
b : α
hb : b ∈ s


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ E
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)
v : ↑(sphere 0 1)
x : EuclideanSpace ℝ (Fin n)

↑(↑(stereographic' n v).symm x) = let U := (OrthonormalBasis.fromOrthogonalSpanSingleton n ⋯).repr; (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • 4 • ↑(U.symm x) + (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 + 4)⁻¹ • (‖↑(U.symm x)‖ ^ 2 - 4) • ↑v


Context:
α : Type u_1
P : α → Prop
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

All P (node size✝ l x r) ↔ ∀ (x_1 : α), Emem x_1 (node size✝ l x r) → P x_1


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

Context: nth_partDenom_eq : (of v).partDens.get? n = some b


Context: K : Type u_1

Context: v : K

Context: n : ℕ

Context: inst✝¹ : LinearOrderedField K

Context: inst✝ : FloorRing K

Context: b : K

b * ((of v).contsAux (n + 1)).b ≤ (of v).dens (n + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
f : R' →+* R''
hf : Function.Injective ⇑f

Function.Injective fun x => x.ringHomComp f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a : α
ha : fract a ≠ 0


Context:
K : Type u_1
L : Type u_2
L' : Type u_3
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field L'
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K L'
S✝ S S' : IntermediateField K L
h : S.toSubalgebra = S'.toSubalgebra
x✝ : L

x✝ ∈ S ↔ x✝ ∈ S'


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
f : α → Multiset β
s : Finset α
b : β


Context: m n : ℕ+


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy : x ≤ y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hxa : x ≠ a
hy : x ∈ s
hya : x ≠ a
hxy : x ≤ x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x < a


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField 𝕜
s : Set 𝕜
f : 𝕜 → 𝕜
hf : ConvexOn 𝕜 s f
a x y : 𝕜
ha : a ∈ s
hx : x ∈ s
hy : y ∈ s
hxa✝ : x ≠ a
hya : y ≠ a
hxy✝ : x ≤ y
hxy : x < y
hxa : x > a


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity p m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n ≤ multiplicity (↑(d.symm (d ⟨p, ⋯⟩))) m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁵ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid M

Context: m p : Associates M

Context: n : Associates N

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : ↑(Set.Iic m) ≃o ↑(Set.Iic n)

Context: this : DecidableEq (Associates N) := Classical.decEq (Associates N)


Context:
S : Set ℝ
f : ℝ → ℝ
x y f' : ℝ
hfc : ConcaveOn ℝ S f
hx : x ∈ S
hy : y ∈ S
hxy : x < y
hf' : HasDerivWithinAt f f' (Iio y) y


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r✝ : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
r : R


∑ n ∈ p.support, f (p.coeff n) * f r ^ n = ∑ x ∈ p.support, f (p.coeff x * r ^ x)


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

Context: h : ∀ i ∈ t, ContMDiffAt I' I n (f i) x₀

ContMDiffAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) x₀


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: inst✝¹² : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : TopologicalSpace H

Context: E : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: G : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommMonoid G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : ChartedSpace H G

Context: inst✝⁵ : SmoothMul I G

Context: E' : Type u_6

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝² : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M : Type u_8

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace M

Context: inst✝ : ChartedSpace H' M

Context: s : Set M

Context: x x₀ : M

Context: t : Finset ι

Context: f : ι → M → G

Context: n : ℕ∞

Context: p : ι → Prop

Context: h : ∀ i ∈ t, ContMDiffWithinAt I' I n (f i) Set.univ x₀

ContMDiffWithinAt I' I n (fun x => ∏ i ∈ t, f i x) Set.univ x₀


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: ν : Measure G := μ'.haarScalarFactor μ • μ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: A : Set (Set G) := {t | t ⊆ s ∧ t.PairwiseDisjoint fun x => x • k}

Context: m : Set G

Context: m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m

Context: mA : m ⊆ s ∧ m.PairwiseDisjoint fun x => x • k

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: m_max : ∀ a ∈ A, ∅ ⊆ a → a = ∅

Context: mA : ∅ ⊆ s ∧ ∅.PairwiseDisjoint fun x => x • k

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ ∅, x • (k * k⁻¹)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁶ : Group G

Context: inst✝⁵ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝³ : BorelSpace G

Context: inst✝² : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: s : Set G

Context: hs : MeasurableSet s

Context: h's : μ.IsEverywherePos s

Context: k : Set G

Context: k_comp : IsCompact k

Context: k_closed : IsClosed k

Context: k_mem : k ∈ 𝓝 1

Context: one_k : 1 ∈ k

Context: m : Set G

Context: m_max : ∀ a ∈ A, m ⊆ a → a = m

Context: sm : s ⊆ ⋃ x ∈ m, x • (k * k⁻¹)

Context: hm : m.Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝⁵ : (x : B) → TopologicalSpace (E₁ x)

Context: inst✝⁴ : (x : B) → TopologicalSpace (E₂ x)

Context: inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝² : FiberBundle F₂ E₂

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: x : B

Context: hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet

Context: v₁ : E₁ x

Context: v₂ : E₂ x

(continuousLinearEquivAt 𝕜 (e₁.prod e₂) x hx) (v₁, v₂) = ((continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)) (v₁, v₂)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F₁

Context: inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F₁

Context: E₁ : B → Type u_4

Context: F₂ : Type u_5

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F₂

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F₂

Context: E₂ : B → Type u_6

Context: inst✝⁹ : (x : B) → AddCommMonoid (E₁ x)

Context: inst✝⁸ : (x : B) → Module 𝕜 (E₁ x)

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E₂ x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module 𝕜 (E₂ x)

Context: inst✝³ : FiberBundle F₁ E₁

Context: inst✝² : FiberBundle F₂ E₂

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₁

Context: inst✝ : Trivialization.IsLinear 𝕜 e₂

Context: x : B

Context: hx : x ∈ (e₁.prod e₂).baseSet

Context: v₁ : E₁ x

Context: v₂ : E₂ x

(fun y => (↑{ toFun := Prod.toFun' e₁ e₂, invFun := Prod.invFun' e₁ e₂, source := TotalSpace.proj ⁻¹' (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet), target := (e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet) ×ˢ univ, map_source' := ⋯, map_target' := ⋯, left_inv' := ⋯, right_inv' := ⋯, open_source := ⋯, open_target := ⋯, continuousOn_toFun := ⋯, continuousOn_invFun := ⋯, baseSet := e₁.baseSet ∩ e₂.baseSet, open_baseSet := ⋯, source_eq := ⋯, target_eq := ⋯, proj_toFun := ⋯ } { proj := x, snd := y }).2) (v₁, v₂) = ((continuousLinearEquivAt 𝕜 e₁ x ⋯).prod (continuousLinearEquivAt 𝕜 e₂ x ⋯)) (v₁, v₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
x y : α
h : diag x = diag y


Context: a b c p q✝ q : ℚ


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
S : L.Substructure M
s : Set M
α : Type u_3
n : ℕ
φ : L.BoundedFormula α n
v : α → ↥⊤
xs : Fin n → ↥⊤

φ.Realize v xs ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v) (Subtype.val ∘ xs)


φ.Realize (⇑topEquiv ∘ v) (⇑topEquiv ∘ xs) ↔ φ.Realize (Subtype.val ∘ v) (Subtype.val ∘ xs)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ


x ∈ p.support → p.SameCycle x ((p ^ n) x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
p : Perm α
x : α
n : ℕ
x✝ : x ∈ p.support


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: f : (a : Composition n) × Composition a.length → H := fun c => (r c.snd.length) (q.applyComposition c.snd (p.applyComposition c.fst v))

Context: g : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)) → H := fun c => (r c.fst.length) fun i => (q (c.snd i).length) (p.applyComposition (c.snd i) (v ∘ ⇑(c.fst.embedding i)))

((r.comp q).comp p n) v = (r.comp (q.comp p) n) v


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

∑ c : (a : Composition n) × Composition a.length, f c = ∑ c : (c : Composition n) × ((i : Fin c.length) → Composition (c.blocksFun i)), g c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

∑ c : (a : Composition n) × Composition a.length, f c = ∑ i : (a : Composition n) × Composition a.length, g ((sigmaEquivSigmaPi n) i)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

∀ x ∈ Finset.univ, f x = g ((sigmaEquivSigmaPi n) x)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

f ⟨a, b⟩ = g ⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

∀ (i : ℕ) (him : i < b.length) (hin : i < (a.gather b).length), q.applyComposition ⟨a, b⟩.snd (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v) ⟨i, him⟩ = (q (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hin⟩).length) (p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hin⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hin⟩)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

q.applyComposition ⟨a, b⟩.snd (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v) ⟨i, hi1⟩ = (q (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).length) (p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

∀ (i_1 : ℕ) (him : i_1 < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩) (hin : i_1 < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).length), (p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩)) ⟨i_1, him⟩ = p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ⟨i_1, hin⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

Context: j : ℕ

Context: hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩

Context: hj2 : j < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).length

(p.applyComposition ⟨a, b⟩.fst v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩)) ⟨j, hj1⟩ = p.applyComposition (⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩) (v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ⟨j, hj2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

Context: j : ℕ

Context: hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩

∀ (i_1 : ℕ) (him : i_1 < a.blocksFun ((b.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩)) (hin : i_1 < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).blocksFun ⟨↑⟨j, hj1⟩, ⋯⟩), (v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.fst.embedding ((⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩))) ⟨i_1, him⟩ = ((v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ∘ ⇑((⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).embedding ⟨j, hj2⟩)) ⟨i_1, hin⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

Context: j : ℕ

Context: hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩

Context: k : ℕ

Context: hk1 : k < a.blocksFun ((b.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩)

Context: hk2 : k < (a.sigmaCompositionAux b ⟨↑⟨i, hi1⟩, ⋯⟩).blocksFun ⟨↑⟨j, hj1⟩, ⋯⟩

(v ∘ ⇑(⟨a, b⟩.fst.embedding ((⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩))) ⟨k, hk1⟩ = ((v ∘ ⇑(⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩)) ∘ ⇑((⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).embedding ⟨j, hj2⟩)) ⟨k, hk2⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

Context: j : ℕ

Context: hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩

Context: k : ℕ

↑((⟨a, b⟩.fst.embedding ((⟨a, b⟩.snd.embedding ⟨i, hi1⟩) ⟨j, hj1⟩)) ⟨k, hk1⟩) = ↑((⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.fst.embedding ⟨i, hi2⟩) (((⟨a.gather b, a.sigmaCompositionAux b⟩.snd ⟨i, hi2⟩).embedding ⟨j, hj2⟩) ⟨k, hk2⟩))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: r : FormalMultilinearSeries 𝕜 G H

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: v : Fin n → E

Context: a : Composition n

Context: b : Composition a.length

Context: a✝ : ⟨a, b⟩ ∈ Finset.univ

Context: i : ℕ

Context: hi1 : i < b.length

Context: hi2 : i < (a.gather b).length

Context: j : ℕ

Context: hj1 : j < b.blocksFun ⟨i, hi1⟩

Context: k : ℕ

a.sizeUpTo (b.sizeUpTo i + j) + k = (a.gather b).sizeUpTo i + ((a.sigmaCompositionAux b ⟨i, hi2⟩).sizeUpTo j + k)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
s : Set G
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f

map f (normalClosure s) = normalClosure (⇑f '' s)


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
s : Set G
f : G →* N
hf : Surjective ⇑f
this : (map f (normalClosure s)).Normal


map f (normalClosure s) ≤ normalClosure (⇑f '' s)


normalClosure (⇑f '' s) ≤ map f (normalClosure s)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝ : PseudoEMetricSpace E
f : ℝ → E
s : Set ℝ
l : ℝ≥0

(∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = ENNReal.ofReal (0 * (y - x))) ↔ ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, edist (f x) (f y) = 0


(∀ ⦃x : ℝ⦄, x ∈ s → ∀ ⦃y : ℝ⦄, y ∈ s → eVariationOn f (s ∩ Icc x y) = 0) ↔ eVariationOn f s = 0


Context:
α β : Type u
c : Cardinal.{u_1}
h : ∀ (n : ℕ), ↑n ≤ c
hn : c < ℵ₀


Context:
α β : Type u
n : ℕ
h : ∀ (n_1 : ℕ), ↑n_1 ≤ ↑n
hn : ↑n < ℵ₀


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
E B I X R J : Set α
hIE : I ⊆ E


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
x✝ : M


Context:
R : Type u_1
inst✝¹² : CommRing R
M✝ : Type u_2
inst✝¹¹ : AddCommGroup M✝
inst✝¹⁰ : Module R M✝
M' : Type u_3
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : Fintype ι
e : Basis ι R M✝
A : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Module A M✝
κ : Type u_6
inst✝³ : Fintype κ
𝕜 : Type u_7
inst✝² : Field 𝕜
M : Type u_8
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module 𝕜 M

LinearMap.det 0 = 0 ^ FiniteDimensional.finrank 𝕜 M


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
K : Submodule 𝕜 E

Kᗮ = ⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v)


Kᗮ ≤ ⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v)


⨅ v, LinearMap.ker ((innerSL 𝕜) ↑v) ≤ Kᗮ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x✝ : α
inst✝¹ : AddSemigroup α
inst✝ : Neg β
h : Antiperiodic f c
a x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
o : Part α
inst✝ : Decidable o.Dom
a : α


Context:
n : ℕ
v : Vector ℕ n.succ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ

∫⁻ (b : β), ENNReal.ofReal (↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ∂ν a = (κ a) (univ ×ˢ Iic x)


Context:
R : Type u_1
A✝ : Type u_2
B : Type u_3
A : Type u_4
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : Semiring A
inst✝² : Semiring B
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f g : R[ε] →ₐ[R] A
hε : f ε = g ε


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIcoDiv hp a (-b) = -(toIocDiv hp (-a) b + 1)


toIcoDiv hp a (-b) = -toIocDiv hp (-(a + p)) b


toIocDiv hp (-(a + p)) b = -toIcoDiv hp a (-b)


b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ∈ Set.Ioc (-(a + p)) (-(a + p) + p)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c : α

Context: n : ℤ

Context: a b : α

Context: hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p

Context: ho : -b - toIcoDiv hp a (-b) • p < a + p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c : α

Context: n : ℤ

Context: a b : α

Context: hc : a ≤ -b - toIcoDiv hp a (-b) • p

Context: ho : -(a + p) < b - -toIcoDiv hp a (-b) • p


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: hα : Archimedean α

Context: p : α

Context: hp : 0 < p

Context: a✝ b✝ c : α

Context: n : ℤ

Context: a b : α

Context: hc : b - -toIcoDiv hp a (-b) • p ≤ -a


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b✝ c d b : α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ b✝ c : α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α
f g : α → β

∏ x ∈ s, t.piecewise f g x = (∏ x ∈ s ∩ t, f x) * ∏ x ∈ s \ t, g x


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: A : Cᵒᵖ ⥤ Type v

Context: F : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: X : C

Context: G : (CostructuredArrow yoneda A)ᵒᵖ ⥤ Type v

Context: η : F ⟶ G

Context: p : YonedaCollection F X

(map₁ η p).yonedaEquivFst = p.yonedaEquivFst


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
m n✝ n : ℕ


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
x y : ↑↑X
h : x ⤳ y

colimit.desc ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op ⋙ Y.presheaf) { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op ⋙ Y.presheaf), ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } } ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (f.base x)).op f.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base x).op = (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (f.base y)).op f.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base y ⋙ OpenNhds.inclusion y).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base y).op) ≫ colimit.desc ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf), ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } }


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
x y : ↑↑X
h : x ⤳ y
j : (OpenNhds (f.base y))ᵒᵖ

colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f.base y))ᵒᵖ (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f.base y)).op).obj Y.presheaf) j ≫ colimit.desc ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op ⋙ Y.presheaf) { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op ⋙ Y.presheaf), ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } } ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (f.base x)).op f.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base x).op = colimit.ι (((whiskeringLeft (OpenNhds (f.base y))ᵒᵖ (Opens ↑↑Y)ᵒᵖ C).obj (OpenNhds.inclusion (f.base y)).op).obj Y.presheaf) j ≫ (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (f.base y)).op f.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base y ⋙ OpenNhds.inclusion y).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base y).op) ≫ colimit.desc ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf), ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } }


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
f : X ⟶ Y
x y : ↑↑X
h : x ⤳ y
j : OpenNhds (f.base y)

colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op ⋙ Y.presheaf) (op j) ≫ colimit.desc ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op ⋙ Y.presheaf) { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op ⋙ Y.presheaf), ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op ⋙ Y.presheaf) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } } ≫ colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (f.base x)).op f.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base x).op = colimit.ι ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op ⋙ Y.presheaf) (op j) ≫ (colimMap (whiskerLeft (OpenNhds.inclusion (f.base y)).op f.c) ≫ colimMap (whiskerRight (𝟙 (OpenNhds.map f.base y ⋙ OpenNhds.inclusion y).op) X.presheaf) ≫ colimit.pre ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) (OpenNhds.map f.base y).op) ≫ colimit.desc ((OpenNhds.inclusion y).op ⋙ X.presheaf) { pt := colimit ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf), ι := { app := fun U => colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (op { obj := (unop U).obj, property := ⋯ }), naturality := ⋯ } }


f.c.app ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op.obj (op { obj := j.obj, property := ⋯ })) ≫ X.presheaf.map (𝟙 ((OpenNhds.map f.base x ⋙ OpenNhds.inclusion x).op.obj (op { obj := j.obj, property := ⋯ }))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) ((OpenNhds.map f.base x).op.obj (op { obj := j.obj, property := ⋯ })) = f.c.app ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op.obj (op j)) ≫ X.presheaf.map (𝟙 ((OpenNhds.map f.base y ⋙ OpenNhds.inclusion y).op.obj (op j))) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) (op { obj := (unop ((OpenNhds.map f.base y).op.obj (op j))).obj, property := ⋯ })


f.c.app ((OpenNhds.inclusion (f.base x)).op.obj (op { obj := j.obj, property := ⋯ })) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) ((OpenNhds.map f.base x).op.obj (op { obj := j.obj, property := ⋯ })) = f.c.app ((OpenNhds.inclusion (f.base y)).op.obj (op j)) ≫ colimit.ι ((OpenNhds.inclusion x).op ⋙ X.presheaf) ((OpenNhds.map f.base x).op.obj (op { obj := j.obj, property := ⋯ }))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: P : α → Prop

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ν s < ⊤ → ∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, P x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: δ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : MeasurableSpace β

Context: μ✝ ν✝ ν₁ ν₂ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : SigmaFinite ν

Context: P : α → Prop

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∀ᵐ (x : α) ∂μ, x ∈ spanningSets (μ + ν) n → P x


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a b : ℝ≥0∞
h : b ≤ a
ha : a ≠ ⊤


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
a : ℝ≥0∞
ha : a ≠ ⊤
b : ℝ≥0
h : ↑b ≤ a

(a - ↑b).toReal = a.toReal - (↑b).toReal


Context:
a✝ b✝ c d : ℝ≥0∞
r p q b a : ℝ≥0
h : ↑b ≤ ↑a

(↑a - ↑b).toReal = (↑a).toReal - (↑b).toReal


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f : α → Option β
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂

List.filterMap f l₁ ~ List.filterMap f l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : InvolutiveNeg β
h1 : Periodic f c₁
h2 : Antiperiodic f c₂


Context:
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
f : ℝ → E
T : ℝ
hf : Periodic f T
hT : 0 < T
t s : ℝ

∫ (x : ℝ) in t..t + T, f x = ∫ (x : ℝ) in s..s + T, f x


∫ (x : ℝ) in Ioc t (t + T), f x ∂volume = ∫ (x : ℝ) in Ioc s (s + T), f x ∂volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: hT : 0 < T

Context: t s : ℝ

Context: this : VAddInvariantMeasure ↥(zmultiples T) ℝ volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: hT : 0 < T

Context: t s : ℝ

IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T)) (Ioc t (t + T)) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: hT : 0 < T

Context: t s : ℝ

IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T)) (Ioc s (s + T)) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : ℝ → E

Context: T : ℝ

Context: hf : Periodic f T

Context: hT : 0 < T

Context: t s : ℝ

∀ (g : ↥(zmultiples T)) (x : ℝ), f (g +ᵥ x) = f x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : ℕ → Set α

Context: p : ℕ → Prop

Context: h : ∀ (n : ℕ), p n → MeasurableSet (s n)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: s : ℕ → Set α

Context: p : ℕ → Prop

MeasurableSet (⋃ i, ⋂ j, ⋂ (_ : p j ∧ i ≤ j), s j)


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : ι → Type u_3

Context: β : ι → Type u_4

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (β i)

Context: f : PiLp ⊤ β

↑‖f‖₊ = ↑(⨆ i, ‖f i‖₊)


Context:
R : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
φ : ι → Type u_3
inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (φ i)
inst✝¹ : (i : ι) → Module R (φ i)
inst✝ : DecidableEq ι
i i' : ι

(stdBasis R (fun _x => R) i) 1 i' = if i = i' then 1 else 0


(if i' = i then 1 else 0) = if i = i' then 1 else 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
𝕜₂ : Type u_4
𝕜₃ : Type u_5
𝕝 : Type u_6
E : Type u_7
E₂ : Type u_8
E₃ : Type u_9
F : Type u_10
G : Type u_11
ι : Type u_12
inst✝² : NormedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
p : Seminorm 𝕜 E
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
ε : ℝ
εpos : 0 < ε
x : E
hx : p x ≠ 0
xεpos : 0 < p x / ε

∃ n, c ^ n ≠ 0 ∧ p (c ^ n • x) < ε ∧ ε / ‖c‖ ≤ p (c ^ n • x) ∧ ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ ε⁻¹ * ‖c‖ * p x


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : p x ≠ 0

Context: xεpos : 0 < p x / ε

Context: n : ℤ

Context: hn : p x / ε ∈ Ico (‖c‖ ^ n) (‖c‖ ^ (n + 1))


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : p x ≠ 0

Context: xεpos : 0 < p x / ε

Context: n : ℤ

Context: cpos : 0 < ‖c‖


Context: R : Type u_1

Context: R' : Type u_2

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: 𝕜₂ : Type u_4

Context: 𝕜₃ : Type u_5

Context: 𝕝 : Type u_6

Context: E : Type u_7

Context: E₂ : Type u_8

Context: E₃ : Type u_9

Context: F : Type u_10

Context: G : Type u_11

Context: ι : Type u_12

Context: inst✝² : NormedField 𝕜

Context: inst✝¹ : AddCommGroup E

Context: inst✝ : Module 𝕜 E

Context: p : Seminorm 𝕜 E

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖c‖

Context: ε : ℝ

Context: εpos : 0 < ε

Context: x : E

Context: hx : p x ≠ 0

Context: xεpos : 0 < p x / ε

Context: n : ℤ

Context: cpos : 0 < ‖c‖

Context: cnpos : 0 < ‖c ^ (n + 1)‖


Context:
K : Type uK
inst✝⁴ : Field K
V₁ : Type uV₁
V₂ : Type uV₂
inst✝³ : AddCommGroup V₁
inst✝² : Module K V₁
inst✝¹ : AddCommGroup V₂
inst✝ : Module K V₂
f : V₁ →ₗ[K] V₂

finrank K ↥(range f.dualMap) = finrank K ↥(range f)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ι : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
inst✝⁴ : FunLike F α β
inst✝³ : CompleteLattice α
inst✝² : CompleteLattice β
inst✝¹ : CompleteLattice γ
inst✝ : CompleteLattice δ
g : FrameHom β γ
f₁ f₂ : FrameHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: t : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: ih : ∀ {𝒜 : Finset (Finset α)} {s : Finset α}, s ∈ ∂⁺ ^[k] 𝒜 ↔ ∃ t ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ t.card + k = s.card

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

s ∈ ∂⁺ ^[k + 1] 𝒜 ↔ ∃ t ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ t.card + (k + 1) = s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: t : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

s ∈ ∂⁺ ^[k] (∂⁺ 𝒜) ↔ ∃ t ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ t.card + (k + 1) = s.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : Fintype α

Context: t : Finset α

Context: a : α

Context: r k : ℕ

Context: 𝒜 : Finset (Finset α)

Context: s : Finset α

(∃ t ∈ ∂⁺ 𝒜, t ⊆ s ∧ t.card + k = s.card) ↔ ∃ t ∈ 𝒜, t ⊆ s ∧ t.card + (k + 1) = s.card


Context:
α : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : SeparableSpace α
inst✝ : PartialOrder α

∃ s, s.Countable ∧ Dense s ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∈ s) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a b : α
ha : a ∈ t
s : Finset α


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap

((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


∀ (j : Discrete I.R), colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).π ≫ (Iso.refl ((I.ofSigmaCoforkFunctor ⋙ I.toSigmaCoforkFunctor).obj K).pt).hom = colimit.ι (Discrete.functor I.right) j ≫ ((𝟭 (Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap)).obj K).π


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
I : MultispanIndex C
inst✝¹ : HasCoproduct I.left
inst✝ : HasCoproduct I.right
K : Cofork I.fstSigmaMap I.sndSigmaMap
j : I.R

colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ Sigma.desc (Multicofork.ofSigmaCofork I K).π ≫ 𝟙 K.pt = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


(Multicofork.ofSigmaCofork I K).π j = colimit.ι (Discrete.functor I.right) { as := j } ≫ K.π


Context:
J : Type u₁
inst✝⁵ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
F : J ⥤ C
inst✝² : HasLimit F
E : K ⥤ J
inst✝¹ : HasLimit (E ⋙ F)
L : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} L
D : L ⥤ K
h : HasLimit (D ⋙ E ⋙ F)
this : HasLimit ((D ⋙ E) ⋙ F)
j : L

(pre F E ≫ pre (E ⋙ F) D) ≫ π (D ⋙ E ⋙ F) j = pre F (D ⋙ E) ≫ π (D ⋙ E ⋙ F) j


π F (E.obj (D.obj j)) = π F ((D ⋙ E).obj j)


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
R : Type u_3
𝕜 : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : StarRing R
inst✝² : StarOrderedRing R
inst✝¹ : RCLike 𝕜
inst✝ : DecidableEq n
A : Matrix n n 𝕜
hA : A.PosSemidef


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: C : Matrix n n 𝕜 := ↑⋯.eigenvectorUnitary


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: E : Matrix n n 𝕜 := diagonal (RCLike.ofReal ∘ Real.sqrt ∘ ⋯.eigenvalues)


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef


Context: m : Type u_1

Context: n : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝⁷ : Fintype m

Context: inst✝⁶ : Fintype n

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : PartialOrder R

Context: inst✝³ : StarRing R

Context: inst✝² : StarOrderedRing R

Context: inst✝¹ : RCLike 𝕜

Context: inst✝ : DecidableEq n

Context: A : Matrix n n 𝕜

Context: hA : A.PosSemidef

Context: this : E * E = diagonal (RCLike.ofReal ∘ ⋯.eigenvalues)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => x ∈ s)))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s)))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Submodule.span ℤ (Set.range (spanFinBasis C s)) ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s)))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Set.range (spanFinBasis C s) ⊆ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x : ↑(π C fun x => x ∈ s)

spanFinBasis C s x ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: s : Finset I

Context: x : ↑(π C fun x => x ∈ s)

(factors C s x).prod ∈ ↑(Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval (π C fun x => x ∈ s))))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
inst✝ : DecidableEq α
h : s₁ ⊆ s₂

(∏ x ∈ s₂ \ s₁, f x) * ∏ x ∈ s₁, f x = ∏ x ∈ s₂, f x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set α
t : (i : ι) → κ i → Set α

s ∪ ⋂ i, ⋂ j, t i j = ⋂ i, ⋂ j, s ∪ t i j


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝¹⁰ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁶ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
i : ι
a : 𝕜
v : EuclideanSpace 𝕜 ι

⟪v, single i a⟫_𝕜 = a * (starRingEnd ((fun x => 𝕜) i)) (v i)


Context: n✝ : ℤ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
P : Type u_3
N : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
inst✝³ : AddCommGroup P
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : IsNoetherian R M
inst✝ : Nontrivial R
ι : Type u_4
v : ι → M
hv : LinearIndependent R v
hwf : WellFounded fun x x_1 => x > x_1
i : ι
contra : span R {v i} = ⊥
this : v i ∈ span R {v i}


Context:
R : Type u
M : Type v
N : Type w
inst✝⁴ : Ring R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N

toNat (Module.rank R ↥⊤) = toNat (Module.rank R M)


Context:
τ : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace β
f : Filter τ
ϕ : τ → α → β
s s₁ s₂ : Set α
y : β

y ∈ ω f ϕ s ↔ ∀ n ∈ 𝓝 y, ∃ᶠ (t : τ) in f, (ϕ t '' s ∩ n).Nonempty


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : OrderedSemiring α
inst✝⁴ : OrderedAddCommMonoid β
inst✝³ : MulActionWithZero α β
inst✝² : FloorDiv α β
a : α
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a
b : β


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S
r : T

(X - C r).aroots S = {(algebraMap T S) r}


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
d : Measurable f


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
X : Type u_3
Y : Type u_4
Z : Type u_5
β : Type u_6
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
inst✝⁷ : StandardBorelSpace X
inst✝⁶ : TopologicalSpace Y
inst✝⁵ : T0Space Y
inst✝⁴ : MeasurableSpace Y
inst✝³ : OpensMeasurableSpace Y
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace Z
inst✝ : SecondCountableTopology Y
f : X → Y
hf : Measurable f
hsurj : Surjective f
d : Measurable f
this✝ : MeasurableSpace Y := borel Y
this : BorelSpace Y


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : F → E
hf : Differentiable ℝ f
x : F
p : ℝ
hp : 1 < p

‖fderiv ℝ (fun x => ‖f x‖ ^ p) x‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖


‖p‖ * ‖‖f x‖ ^ (p - 2)‖ * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖ ≤ p * ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖


p * (‖f x‖ ^ (p - 2) * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖) ≤ p * (‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖)


‖f x‖ ^ (p - 2) * ‖((innerSL ℝ) (f x)).comp (fderiv ℝ f x)‖ ≤ ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖


‖f x‖ ^ (p - 2) * (‖(innerSL ℝ) (f x)‖ * ‖fderiv ℝ f x‖) = ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖


‖f x‖ ^ (p - 2 + 1) * ‖fderiv ℝ f x‖ = ‖f x‖ ^ (p - 1) * ‖fderiv ℝ f x‖


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : b * a + c = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : a * b + c = 1


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
I✝ : Ideal R
a✝¹ b✝ : R
S : Type v
x y : R
I : Ideal R
hI : I.IsMaximal
a✝ : R ⧸ I
a : R
h : Quot.mk Setoid.r a ≠ 0
b c : R
hc : c ∈ I
abc : c = 1 - a * b


Context:
α : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
W : Type u_4
Q : Type u_5
inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : PseudoMetricSpace P
inst✝³ : NormedAddTorsor V P
inst✝² : NormedAddCommGroup W
inst✝¹ : MetricSpace Q
inst✝ : NormedAddTorsor W Q
v : V
x : P


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : Semiring α
I : Ideal α
a b : α
s : Set α

span s = ⊤ ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ span ↑s' = ⊤


1 ∈ span s ↔ ∃ s', ↑s' ⊆ s ∧ 1 ∈ span ↑s'


Context:
u v : Level
n : ℕ
pn : NormNum.IsNat n 0


Context:
a b c : ℕ
r : ℤ
ha : a % 2 = 0
hb : b % 8 = 1
hc : a / 2 = c
hr : jacobiSymNat c b = r


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Ring R
n : ℕ

(monomial n) (a - b) = (monomial n) a - (monomial n) b


(monomial n) a + -(monomial n) b = (monomial n) a - (monomial n) b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : CommMonoid α
inst✝ : TopologicalSpace α
f✝ g : β → α
a b : α
s✝ : Finset β
s : Set β
hs : s.Finite
f : β → α
this : Multipliable (f ∘ Subtype.val)


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a b c : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
R✝ : Type u_3
S✝ : Type u_4
F✝ : Type u_5
inst✝⁵ : NonAssocSemiring R✝
inst✝⁴ : NonAssocSemiring S✝
R : Type u_6
S : Type u_7
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Semiring S
F : Type u_8
inst✝¹ : FunLike F R S
inst✝ : RingHomClass F R S
f : F
n : ℕ
hn : NeZero ↑n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
n : ℕ
G : Type u_3
inst✝ : Group G
f : Fin n → G
i : ℕ
hn : i < n

(partialProd f ⟨i, hn⟩.castSucc)⁻¹ * partialProd f ⟨i, hn⟩.succ = f ⟨i, hn⟩


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝ : CancelMonoidWithZero M₀
a b c : M₀
hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'

((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom = (μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)


(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g))


∀ (a : X), (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle a = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X

(TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x = (TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x


((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1


∀ (a : X'), ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'

((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x' = ((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x'


(((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1 = (((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1


∀ (a : Y ⊗ Y'), ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ (((free R).map f ⊗ (free R).map g) ≫ (μ R Y Y').hom) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1) a = ((((TensorProduct.mk R ↑((free R).obj X) ↑((free R).obj X')).compr₂ ((μ R X X').hom ≫ (free R).map (f ⊗ g)) ∘ₗ Finsupp.lsingle x) 1 ∘ₗ Finsupp.lsingle x') 1) a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X Y X' Y' : Type u
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y'
x : X
x' : X'
y : Y
y' : Y'

((finsuppTensorFinsupp' R Y Y') (Finsupp.mapDomain f (Finsupp.single x 1) ⊗ₜ[R] Finsupp.mapDomain g (Finsupp.single x' 1))) (y, y') = (Finsupp.mapDomain (f ⊗ g) ((finsuppTensorFinsupp' R X X') (Finsupp.single x 1 ⊗ₜ[R] Finsupp.single x' 1))) (y, y')


(Finsupp.single (f x, g x') 1) (y, y') = (Finsupp.single (f x, g x') 1) (y, y')


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
h : a / b ≤ c / d
he : 0 ≤ e


Context:
x✝ y x : ℝ
hx : 0 < cos x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x y a : R
s : Finset α
p : α → R
hp : ∀ i ∈ s, Prime (p i)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ s, p i

∃ t u b c, t ∪ u = s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
α : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
p : α → R
x y a : R
hp : ∀ i ∈ ∅, Prime (p i)
hx : x * y = a * ∏ i ∈ ∅, p i

∃ t u b c, t ∪ u = ∅ ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R

Context: α : Type u_2

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : α → R

Context: i : α

Context: s : Finset α

Context: his : i ∉ s

Context: ih : ∀ {x y a : R}, (∀ i ∈ s, Prime (p i)) → x * y = a * ∏ i ∈ s, p i → ∃ t u b c, t ∪ u = s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i

Context: x y a : R

Context: hp : ∀ i_1 ∈ insert i s, Prime (p i_1)

Context: hx : x * y = a * ∏ i ∈ insert i s, p i

∃ t u b c, t ∪ u = insert i s ∧ Disjoint t u ∧ a = b * c ∧ x = b * ∏ i ∈ t, p i ∧ y = c * ∏ i ∈ u, p i


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
H : Type u_6
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
f : E → F
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E

HasFPowerSeriesWithinAt f p univ x ↔ HasFPowerSeriesAt f p x


Context:
R : Type u_1
inst✝⁴ : CommSemiring R
M : Submonoid R
S : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring S
inst✝² : Algebra R S
P : Type u_3
inst✝¹ : CommSemiring P
inst✝ : IsLocalization M S
z : S

(algebraMap R S) (sec M z).1 = (algebraMap R S) ↑(sec M z).2 * z


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r

∀ᶠ (n : ℕ) in atTop, ∀ (i : α), ‖↑(r i n) - b i * ↑n‖ ≤ ↑n / log ↑n ^ 2


∀ (i : α), ∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑(r i x) - b i * ↑x‖ ≤ ↑x / log ↑x ^ 2


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : Nonempty α
T : ℕ → ℝ
g : ℝ → ℝ
a b : α → ℝ
r : α → ℕ → ℕ
R : AkraBazziRecurrence T g a b r
i : α

∀ᶠ (x : ℕ) in atTop, ‖↑(r i x) - b i * ↑x‖ ≤ ↑x / log ↑x ^ 2


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n

∃ q, |ξ - ↑q| ≤ 1 / ((↑n + 1) * ↑q.den) ∧ q.den ≤ n


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k


Context:
ξ : ℝ
n : ℕ
n_pos : 0 < n
j k : ℤ
hk₀ : 0 < k
hk₁ : k ≤ ↑n
h : |↑k * ξ - ↑j| ≤ 1 / (↑n + 1)
hk₀' : 0 < ↑k
hden : ↑(↑j / ↑k).den ≤ k


|ξ - ↑(↑j / ↑k)| * ↑(↑j / ↑k).den ≤ 1 / (↑n + 1)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedHeytingAlgebra α
a✝ b✝ c d a b : α
h : b ≤ a


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonAssocSemiring R


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α
h : b ≤ a


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Nonsingular x (W.negY x y) ↔ W.Nonsingular x y


W.Equation x y ∧ (W.a₁ * W.negY x y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ W.negY x y) ↔ W.Equation x y ∧ (W.a₁ * y ≠ 3 * x ^ 2 + 2 * W.a₂ * x + W.a₄ ∨ y ≠ -y - W.a₁ * x - W.a₃)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
s t U : Set X


Context:
F : PFunctor.{u}
X : Type u_1
f✝ : X → ↑F X
inst✝¹ : DecidableEq F.A
inst✝ : Inhabited F.M
ps : Path F
a : F.A
f : F.B a → F.M
i : F.B a

isubtree (⟨a, i⟩ :: ps) (M.mk ⟨a, f⟩) = isubtree ps (f i)


isubtree ps (f (cast ⋯ i)) = isubtree ps (f i)


Context: m c : ℤ


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : closure s = ⊤

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: mul : ∀ (x y : M), p x → p y → p (x * y)


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: p : M → Prop

Context: x : M

Context: s : Set M

Context: hs : closure s = ⊤

Context: mem : ∀ x ∈ s, p x

Context: this : ∀ x ∈ closure s, p x


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hFn : ((finSuccEquiv R N) F).coeff n ≠ 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

Context: hdeg : ((finSuccEquiv R N) F).natDegree < n + 1


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

Context: aux : ∀ i ∈ Finset.range n, constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff i) = 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) ≠ 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

Context: hFn : constantCoeff (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

Context: d : Fin N →₀ ℕ

coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = coeff d 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

Context: d : Fin N →₀ ℕ

coeff d (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

coeff 0 (((finSuccEquiv R N) F).coeff n) = 0


Context: σ : Type u_1

Context: τ : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝² inst✝¹ : CommSemiring R

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: φ ψ : MvPolynomial σ R

Context: m n✝ N : ℕ

Context: F : MvPolynomial (Fin N.succ) R

Context: n : ℕ

Context: hF : F.IsHomogeneous n

Context: hF₀ : F ≠ 0

Context: d : Fin N →₀ ℕ

Context: hd : d ≠ 0


Context:
V : Type u_1
V' : Type u_2
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V'
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V'
inst✝¹ : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Fact (finrank ℝ V' = 2)
o : Orientation ℝ V (Fin 2)
x y : V


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
l✝ l' la : Filter α
lb : Filter β
L : Filter (Set α)
l : Filter α

(fun L => L.bind 𝓟) L ≤ l ↔ L ≤ l.smallSets


L.bind 𝓟 ≤ l ↔ l.sets ⊆ powerset ⁻¹' L.sets


Context:
G₀ : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝² : GroupWithZero G₀
inst✝¹ : Bornology G₀
inst✝ : MulAction G₀ α
s : Set α
x : α

Absorbs G₀ s {x} ↔ ∀ᶠ (c : G₀) in cobounded G₀, c⁻¹ • x ∈ s


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a✝ a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V
ι : Type u_4
inst✝ : Fintype ι
f : ℝ → ι → ℝ
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s

∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ℝ → ι → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: A : ∀ (i : ι), LipschitzWith 1 fun x => x i


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ℝ → ι → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: this : ∀ (i : ι), ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : PseudoEMetricSpace E

Context: V : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ℝ → ι → ℝ

Context: s : Set ℝ

Context: h : LocallyBoundedVariationOn f s

Context: x : ℝ

Context: hx : ∀ (i : ι), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ (fun x => f x i) s x

Context: xs : x ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : Set β
t : ι → Set β


Context:
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1


Context: a b c : ℤ

Context: habc : a ∣ b * c

Context: hab : a.gcd c = 1

Context: this : ↑(a.gcd c) = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c


Context:
a b c : ℤ
habc : a ∣ b * c
hab : a.gcd c = 1
this : 1 = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c


Context: a b c : ℤ

Context: habc : a ∣ b * c

Context: hab : a.gcd c = 1

Context: this✝ : 1 = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c

Context: this : b * a * a.gcdA c + b * c * a.gcdB c = b


Context: a b c : ℤ

Context: habc : a ∣ b * c

Context: hab : a.gcd c = 1

Context: this✝ : 1 = a * a.gcdA c + c * a.gcdB c


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : Scheme
x : ↑↑X.toPresheafedSpace
U : X.Opens
hxU : x ∈ U

∃ R f, IsOpenImmersion f ∧ x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat

Context: hxV : x ∈ V

Context: R : CommRingCat

Context: e : X.restrict ⋯ ≅ Spec.toLocallyRingedSpace.obj (op R)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat

Context: hxV : x ∈ V

Context: R : CommRingCat

Context: this : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ (Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat

Context: hxV : x ∈ V

Context: R : CommRingCat

Context: r : ↑R

Context: hr : e.hom.val.base ⟨x, hxV⟩ ∈ ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r)

Context: hr' : ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑((Opens.map (e.inv.val.base ≫ V.inclusion)).obj U)


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat

Context: hxV : x ∈ V

Context: R : CommRingCat

Context: r : ↑R

Context: f : Spec (CommRingCat.of (Localization.Away r)) ⟶ X := Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r))) ≫ e.inv ≫ X.ofRestrict ⋯

x ∈ Set.range ⇑f.val.base ∧ Set.range ⇑f.val.base ⊆ ↑U


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat

Context: hxV : x ∈ V

Context: R : CommRingCat

Context: r : ↑R

x ∈ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' Set.range ⇑(Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r)))).val.base ∧ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' Set.range ⇑(Spec.map (CommRingCat.ofHom (algebraMap (↑R) (Localization.Away r)))).val.base ⊆ ↑U


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: X : Scheme

Context: x : ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: U : X.Opens

Context: hxU : x ∈ U

Context: V : TopologicalSpace.Opens ↑X.toTopCat

Context: hxV : x ∈ V

Context: R : CommRingCat

Context: r : ↑R

x ∈ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ∧ ⇑(e.inv.val.base ≫ (X.ofRestrict ⋯).val.base) '' ↑(PrimeSpectrum.basicOpen r) ⊆ ↑U


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
p q : ℚ
K : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField K


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
s✝ : Set (β × γ)
μ : Kernel α β
κ η : Kernel (α × β) γ
inst✝² : IsSFiniteKernel μ
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
a : α
s : Set (β × γ)
hs : MeasurableSet s

((μ ⊗ₖ (κ + η)) a) s = ((μ ⊗ₖ κ + μ ⊗ₖ η) a) s


Measurable fun b => (κ (a, b)) {c | (b, c) ∈ s}


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b

upperCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = upperCrossingTime a b f N n ∧ lowerCrossingTime 0 (b - a) (fun n ω => (f n ω - a)⁺) N n = lowerCrossingTime a b f N n


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
hab : a < b
hab' : 0 < b - a


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hab : a < b

Context: hab' : 0 < b - a

Context: hf : ∀ (ω : Ω) (i : ℕ), b - a ≤ (f i ω - a)⁺ ↔ b ≤ f i ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: a b : ℝ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: N n m : ℕ

Context: ω : Ω

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hab : a < b

Context: hab' : 0 < b - a

Context: hf' : ∀ (ω : Ω) (i : ℕ), (f i ω - a)⁺ ≤ 0 ↔ f i ω ≤ a


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a b : α


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ

∃ n enc dec, enc default = Vector.replicate n false ∧ ∀ (a : Γ), dec (enc a) = a


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ
n : ℕ
e : Γ ≃ Fin n


Context:
Γ : Type u_1
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Finite Γ
n : ℕ
e : Γ ≃ Fin n
this : DecidableEq Γ := e.decidableEq


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: inst✝ : Finite Γ

Context: n : ℕ

Context: e : Γ ≃ Fin n

Context: this : DecidableEq Γ := e.decidableEq

Context: G : Fin n ↪ Fin n → Bool := { toFun := fun a b => decide (a = b), inj' := ⋯ }


Context: Γ : Type u_1

Context: inst✝¹ : Inhabited Γ

Context: inst✝ : Finite Γ

Context: n : ℕ

Context: e : Γ ≃ Fin n

Context: this : DecidableEq Γ := e.decidableEq

Context: H : Γ ↪ Vector Bool n := (e.toEmbedding.trans G).trans (Equiv.vectorEquivFin Bool n).symm.toEmbedding

Context: enc : Γ ↪ Vector Bool n := H.setValue default (Vector.replicate n false)


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ

p ^ a.factorization p ∣ p ^ b.factorization p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : ¬Prime p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p


Context:
a b✝ m n p✝ b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
p : ℕ
pp : Prime p
hab : 0 ∣ b

p ^ (factorization 0) p ∣ p ^ b.factorization p


Context:
a✝ b✝ m n p✝ a b : ℕ
hb0 : b ≠ 0
hab : a ∣ b
p : ℕ
pp : Prime p
ha0 : a ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : NeZero μ

Context: hf : Integrable (fun x => Real.exp (f x)) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : NeZero μ

0 < μ (Function.support fun x => Real.exp (f x))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : NeZero μ

(Function.support fun x => Real.exp (f x)) = univ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : α → ℝ

Context: hμ : NeZero μ

Context: x : α

(x ∈ Function.support fun x => Real.exp (f x)) ↔ x ∈ univ


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: s : Finset ι

Context: f : (i : { x // x ∈ s }) → { x // x ≠ 0 }

Context: i : ι

i ∈ (mk s fun i => ↑(f i)).support ↔ i ∈ s


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: f : Π₀ (i : ι), β i

Context: i : ι

↑((fun f_1 => ⟨mk f.support fun i => ↑(f_1 i), ⋯⟩) ((fun x => match (motive := { f_1 // f_1.support = f.support } → (i : { x // x ∈ f.support }) → { x // x ≠ 0 }) x with | ⟨f_1, hf⟩ => fun x => match x with | ⟨i, hi⟩ => ⟨f_1 i, ⋯⟩) ⟨f, ⋯⟩)) i = ↑⟨f, ⋯⟩ i


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : { x // x ∈ s }

(fun x => match (motive := { f // f.support = s } → (i : { x // x ∈ s }) → { x // x ≠ 0 }) x with | ⟨f, hf⟩ => fun x => match x with | ⟨i, hi⟩ => ⟨f i, ⋯⟩) ((fun f => ⟨mk s fun i => ↑(f i), ⋯⟩) f) x✝ = f x✝


Context: ι : Type u

Context: γ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Zero (β i)

Context: s : Finset ι

Context: x✝ : { x // x ∈ s }

f ⟨↑x✝, ⋯⟩ = f x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
inst✝ : Finite ↑s
hs : s.Nontrivial

∃ x ∈ s, ∃ y ∈ s, x ≠ y ∧ s.infsep = dist x y


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : ContinuousMul G
h : IsClosed {1}
x : G


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b c : E


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : LinearOrderedCommMonoidWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ≤ v.supp

(v.onQuot hJ).supp = Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ≤ v.supp

(v.onQuot hJ).supp ≤ Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp


Context: R : Type u_1

Context: Γ₀ : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: J : Ideal R

Context: hJ : J ≤ v.supp

Ideal.map (Ideal.Quotient.mk J) v.supp ≤ (v.onQuot hJ).supp


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t✝ t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
t : Set α
h : InjOn f s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Inter α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s : Submonoid α
a₁ b₁ : α
a₂ b₂ b✝ : ↥s
a b : α

{ toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } a ≤ { toFun := fun a => mk a b✝, inj' := ⋯ } b ↔ a ≤ b


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I

M.Indep (insert f I \ {e}) ↔ f ∈ M.E \ M.closure (I \ {e}) ∨ f ∈ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
x y : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I

M.Indep (insert e I \ {e}) ↔ e ∈ M.E \ M.closure (I \ {e}) ∨ e ∈ I


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
hI : M.Indep (I \ {e})
heI : e ∈ I
hne : e ≠ f


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
p q : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : Module R S
x : S
r : R


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: inst✝ : ∀ (F : Cᵒᵖ ⥤ A), G.op.HasPointwiseRightKanExtension F

Context: ℱ : Sheaf J A


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: ℱ : Sheaf J A

∀ (X : D) (S : K.Cover X), Nonempty (IsLimit (S.multifork (G.op.ran.obj ℱ.val)))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_4, u_2} D

Context: G : C ⥤ D

Context: A : Type w

Context: inst✝² : Category.{w', w} A

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: K : GrothendieckTopology D

Context: inst✝¹ : G.IsCocontinuous J K

Context: ℱ : Sheaf J A

Context: X : D

Context: S : K.Cover X

Nonempty (IsLimit (S.multifork (G.op.ran.obj ℱ.val)))


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : U ⟂ V


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
f : E →ₗᵢ[𝕜] F
U V : Submodule 𝕜 E
h : ∀ u ∈ U, ∀ v ∈ V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0

∀ u ∈ Submodule.map f U, ∀ v ∈ Submodule.map f V, ⟪u, v⟫_𝕜 = 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : α → Option α
l : List α


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq l

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: P : Matrix m n α → Prop

Context: M : Matrix m n α

Context: h_zero : P 0

Context: h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)

Context: h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq l

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: P : Matrix m n α → Prop

Context: M : Matrix m n α

Context: h_zero : P 0

Context: val✝ : Fintype m


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq l

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: P : Matrix m n α → Prop

Context: M : Matrix m n α

Context: h_zero : P 0

Context: val✝¹ : Fintype m

Context: val✝ : Fintype n