Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
C : Type u_3
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : NonUnitalSemiring A
inst✝⁹ : StarRing R
inst✝⁸ : StarRing A
inst✝⁷ : Module R A
inst✝⁶ : SMulCommClass R A A
inst✝⁵ : IsScalarTower R A A
inst✝⁴ : StarModule R A
inst✝³ : Semiring C
inst✝² : StarRing C
inst✝¹ : Algebra R C
inst✝ : StarModule R C
f : A →⋆ₙₐ[R] C
c : StarSubalgebra R C

(starLift f).range ≤ c ↔ StarAlgebra.adjoin R ↑(NonUnitalStarAlgHom.range f) ≤ c


NonUnitalStarAlgHom.range f ≤ c.toNonUnitalStarSubalgebra ↔ ↑(NonUnitalStarAlgHom.range f) ⊆ ↑c


Context:
α : Type u
β : Type u_1
n : ℕ
x : α
inst✝ : StrictOrderedRing α
hx : x < 0
hx' : 0 < x + 1
hn : 1 < n

0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1


0 < ∑ i ∈ range 2, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range 2, x ^ i < 1


∀ (n : ℕ), 2 ≤ n → 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1 → 0 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i ∧ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 1


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : α

Context: inst✝ : StrictOrderedRing α

Context: hx : x < 0

Context: hx' : 0 < x + 1

Context: n : ℕ

Context: hmn✝ : 2 ≤ n

Context: ihn : 0 < ∑ i ∈ range n, x ^ i ∧ ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1

0 < ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i ∧ ∑ i ∈ range (n + 1), x ^ i < 1


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: n✝ : ℕ

Context: x : α

Context: inst✝ : StrictOrderedRing α

Context: hx : x < 0

Context: hx' : 0 < x + 1

Context: n : ℕ

Context: hmn✝ : 2 ≤ n

-x * ∑ i ∈ range n, x ^ i < 1 ∧ x * ∑ i ∈ range n, x ^ i < 0


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝⁸ : Zero α✝
inst✝⁷ : One α✝
inst✝⁶ : Neg α✝
α : Type u_2
β : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : AddGroupWithOne α
inst✝⁴ : One β
inst✝³ : SubtractionMonoid β
inst✝² : FunLike F α β
inst✝¹ : AddMonoidHomClass F α β
inst✝ : OneHomClass F α β
f : F
s : SignType


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s✝ s t : Set G
ht : IsSubgroup t
h : s ⊆ t
a : G
ha : a ∈ closure s


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hP : W'.Equation P

Context: hQ : W'.Equation Q

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy : P y * Q z ^ 3 ≠ W'.negY Q * P z ^ 3


Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: W' : Jacobian R

Context: F : Type v

Context: inst✝¹ : Field F

Context: W : Jacobian F

Context: inst✝ : NoZeroDivisors R

Context: P Q : Fin 3 → R

Context: hP : W'.Equation P

Context: hQ : W'.Equation Q

Context: hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2

Context: hy' : P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 = 0


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝¹ : Field F
W : Jacobian F
inst✝ : NoZeroDivisors R
P Q : Fin 3 → R
hP : W'.Equation P
hQ : W'.Equation Q
hx : P x * Q z ^ 2 = Q x * P z ^ 2
hy' : P y * Q z ^ 3 - Q y * P z ^ 3 = 0
hy : P y = W'.negY P


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I : Box ι
i✝ : ι
x✝ : ℝ
y : ι → ℝ
i : ι
x : ℝ


(I.upper i ≤ max x (I.lower i) ∨ ∃ x, x ≠ i ∧ I.upper x ≤ I.lower x) ↔ I.upper i ≤ x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: s : ℕ → Set α

Context: H : ∀ (x : α), ∃ n, x ∈ s n

Context: inst✝ : (x : α) → (n : ℕ) → Decidable (x ∈ s n)

Context: n : ℕ

Context: x : α

x ∈ (fun x => Nat.find ⋯) ⁻¹' {n} ↔ x ∈ disjointed s n


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: x y : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: p q : FreeAddMonoid (R × ((i : ι) → s i))

Context: hp : p ∈ x.lifts

Context: hq : q ∈ y.lifts


Context: ι : Type u_1

Context: ι₂ : Type u_2

Context: ι₃ : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: inst✝⁷ : CommSemiring R

Context: R₁ : Type u_5

Context: R₂ : Type u_6

Context: s : ι → Type u_7

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)

Context: inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)

Context: M : Type u_8

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: E : Type u_9

Context: inst✝² : AddCommMonoid E

Context: inst✝¹ : Module R E

Context: F : Type u_10

Context: inst✝ : AddCommMonoid F

Context: x y : ⨂[R] (i : ι), s i

Context: hp : p ∈ x.lifts

Context: hq : q ∈ y.lifts


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.30360, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0
hg : S.g = 0


Context: r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f g : α → β
c c₁ c₂ x : α
inst✝¹ : AddGroup α
inst✝ : AddGroup β
h : Antiperiodic f c
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
s✝ t✝ : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s t : Finset α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
c x y : P
R : ℝ
hR : R ≠ 0
hy : y ≠ c

inversion c R ⁻¹' ↑(perpBisector c y) = sphere (inversion c R y) (R ^ 2 / dist y c) \ {c}


Context:
G : Type u_1
inst✝ : CommGroup G
a b : G


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ

Context: hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: this : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

∀ (I : Ideal Sₘ), I.IsMaximal → (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsMaximal


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: this✝ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: this✝¹ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime

Context: this : (comap φ' I).IsPrime


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: this✝² : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝¹ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime

Context: this✝ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this : ⊥.IsPrime


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this : ⊥.IsPrime

Context: hcomm : φ'.comp (algebraMap R Rₘ) = (algebraMap S Sₘ).comp φ


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this : ⊥.IsPrime

Context: f : R ⧸ comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I) →+* S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I := quotientMap (comap (algebraMap S Sₘ) I) φ ⋯


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this : ⊥.IsPrime

Context: g : S ⧸ comap (algebraMap S Sₘ) I →+* Sₘ ⧸ I := quotientMap I (algebraMap S Sₘ) ⋯


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: this✝³ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝² : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime

Context: this✝¹ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this✝ : ⊥.IsPrime

Context: this : (comap φ' I).IsMaximal


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: this✝⁴ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝³ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime

Context: this✝² : (comap φ' I).IsPrime

Context: this✝¹ : ⊥.IsPrime

Context: this✝ : (comap φ' I).IsMaximal

Context: this : (comap (algebraMap R Rₘ) (comap φ' I)).IsMaximal


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: inst✝ : IsLocalization (Submonoid.map φ (Submonoid.powers x)) Sₘ

Context: hφ' : (IsLocalization.map Sₘ φ ⋯).IsIntegral

Context: hM : Submonoid.map φ (Submonoid.powers x) ≤ nonZeroDivisors S

Context: this✝⁵ : IsDomain Sₘ := IsLocalization.isDomain_of_le_nonZeroDivisors S hM

Context: φ' : Rₘ →+* Sₘ := IsLocalization.map Sₘ φ ⋯

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝⁴ : (comap (algebraMap S Sₘ) I).IsPrime

Context: this✝³ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this✝² : ⊥.IsPrime

Context: this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal

Context: this✝ : (comap (algebraMap R Rₘ) (comap φ' I)).IsMaximal

Context: this : (comap φ (comap (algebraMap S Sₘ) I)).IsMaximal


Context: R✝ : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: inst✝¹³ : CommRing R✝

Context: inst✝¹² : CommRing S

Context: inst✝¹¹ : IsDomain S

Context: Rₘ✝ : Type u_3

Context: Sₘ✝ : Type u_4

Context: inst✝¹⁰ : CommRing Rₘ✝

Context: inst✝⁹ : CommRing Sₘ✝

Context: R : Type u_5

Context: inst✝⁸ : CommRing R

Context: inst✝⁷ : IsDomain R

Context: inst✝⁶ : IsJacobson R

Context: Rₘ : Type u_6

Context: Sₘ : Type u_7

Context: inst✝⁵ : CommRing Rₘ

Context: inst✝⁴ : CommRing Sₘ

Context: φ : R →+* S

Context: hφ : Function.Injective ⇑φ

Context: x : R

Context: hx : x ≠ 0

Context: inst✝³ : Algebra R Rₘ

Context: inst✝² : IsLocalization.Away x Rₘ

Context: inst✝¹ : Algebra S Sₘ

Context: I : Ideal Sₘ

Context: hI : I.IsMaximal

Context: this✝³ : (comap φ' I).IsPrime

Context: this✝² : ⊥.IsPrime

Context: this✝¹ : (comap φ' I).IsMaximal

Context: this : ⊥.IsMaximal


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : LinearOrder α
s : Finset ι
H : s.Nonempty
f : ι → α
a : α


(∀ b ∈ s, (WithBot.some ∘ f) b < ↑a) ↔ ∀ i ∈ s, f i < a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
s✝ t✝ : Set α
hf : Surjective f
s t : Set β
h : Disjoint (f ⁻¹' s) (f ⁻¹' t)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁸ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w₁

Context: inst✝⁷ : Category.{max v u, w₁} D

Context: E : Type w₂

Context: inst✝⁶ : Category.{max v u, w₂} E

Context: F : D ⥤ E

Context: inst✝⁵ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) D

Context: inst✝⁴ : ∀ (α β : Type (max v u)) (fst snd : β → α), HasLimitsOfShape (WalkingMulticospan fst snd) E

Context: inst✝³ : (X : C) → (W : J.Cover X) → (P : Cᵒᵖ ⥤ D) → PreservesLimit (W.index P).multicospan F

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝² : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: inst✝¹ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ E

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ F

J.toPlus (P ⋙ F) ≫ (J.plusCompIso F P).inv = whiskerRight (J.toPlus P) F


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
R X Y Z : C
f : X ⟶ Y
a b : R ⟶ X
f₁ : X ⟶ Y
f₂ : Y ⟶ Z
inst✝ : Mono f₂
big_k : IsKernelPair (f₁ ≫ f₂) a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
ν : Measure δ
g : δ → β
f : α → δ
hf : MeasurePreserving f μ ν
hg : AEStronglyMeasurable g ν


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν✝ : Measure α

Context: inst✝² : MeasurableSpace δ

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: inst✝ : NormedAddCommGroup γ

Context: ν : Measure δ

Context: g : δ → β

Context: f : α → δ

Context: hf : MeasurePreserving f μ ν

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (Measure.map f μ)

Integrable (g ∘ f) μ ↔ Integrable g (Measure.map f μ)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : CommMonoid M
f : α → M
a✝ b : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α
a : α

(∏ x ∈ Ioi a, f x) * f a = ∏ x ∈ Ici a, f x


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝ : Semiring R
s : Set R[X]
s_fin : s.Finite
hs : s.Nonempty

∃ p' ∈ s, ∀ p ∈ Submodule.span R s, p.degree ≤ p'.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: s : Set R[X]

Context: s_fin : s.Finite

Context: hs : s.Nonempty

Context: a : R[X]

Context: has : a ∈ s

Context: hmax : ∀ a' ∈ s, a.degree ≤ a'.degree → a.degree = a'.degree


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: s : Set R[X]

Context: s_fin : s.Finite

Context: hs : s.Nonempty

Context: a : R[X]

Context: has : a ∈ s

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ Submodule.span R s


Context: R : Type u

Context: S : Type u_1

Context: inst✝ : Semiring R

Context: s : Set R[X]

Context: s_fin : s.Finite

Context: hs : s.Nonempty

Context: a : R[X]

Context: has : a ∈ s

Context: p : R[X]

Context: hp : p ∈ Submodule.span R s

Context: p' : R[X]

Context: hp' : p' ∈ s ∧ p.degree ≤ p'.degree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b : β
x : α ⊕ β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s : Multiset α
t : Multiset β
s₁ s₂ : Multiset α
t₁ t₂ : Multiset β
a : α
b✝ : β
x : α ⊕ β
b : β
left✝ : b ∈ t
hb : inr b = inl a


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
G' : G.Subgraph
s✝ s s' : Set (Sym2 V)
h : s ⊆ s'


∀ ⦃v w : V⦄, G'.Adj v w → s(v, w) ∉ s' → s(v, w) ∉ s


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α
hs : MeasurableSet s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
α : Type u_8
l : Filter α
g : α → M
hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source
y : M
hy : y ∈ f.source

Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y)) ↔ Tendsto g l (𝓝 y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: α : Type u_8

Context: l : Filter α

Context: g : α → M

Context: hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source

Context: y : M

Context: hy : y ∈ f.source

Context: h : Tendsto (↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I) y))

Context: u : Set M

Context: hu : u ∈ 𝓝 y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: α : Type u_8

Context: l : Filter α

Context: g : α → M

Context: hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source

Context: y : M

Context: hy : y ∈ f.source

Context: u : Set M

Context: hu : u ∈ 𝓝 y

Context: this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 (↑(f.extend I).symm (↑(f.extend I) y)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: α : Type u_8

Context: l : Filter α

Context: g : α → M

Context: hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source

Context: y : M

Context: hy : y ∈ f.source

Context: u : Set M

Context: hu : u ∈ 𝓝 y

Context: this : Tendsto (↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g) l (𝓝 y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: H : Type u_4

Context: E' : Type u_5

Context: M' : Type u_6

Context: H' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace H

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace M

Context: f f' : PartialHomeomorph M H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace H'

Context: inst✝ : TopologicalSpace M'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: s t : Set M

Context: α : Type u_8

Context: l : Filter α

Context: g : α → M

Context: hg : ∀ᶠ (z : α) in l, g z ∈ f.source

Context: y : M

Context: hy : y ∈ f.source

Context: u : Set M

Context: hu : u ∈ 𝓝 y

Context: z : α

Context: hz : g z ∈ f.source

Context: hzu : z ∈ ↑(f.extend I).symm ∘ ↑(f.extend I) ∘ g ⁻¹' u


Context:
α : Type u
inst✝ : Infinite α
c : Cardinal.{u}


Context:
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u


(fun α β => β → α) (α ⊕ ULift.{u, 0} (Fin 1)) β → { t // #↑t ≤ #β }


Context:
α : Type u
inst✝ : Infinite α
β : Type u
s : Set α
g : ↑s ↪ β

∃ a, (fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) a = ⟨s, ⋯⟩


((fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) fun y => if h : ∃ x, g x = y then Sum.inl ↑(Classical.choose h) else Sum.inr { down := 0 }) = ⟨s, ⋯⟩


↑((fun f => ⟨Sum.inl ⁻¹' range f, ⋯⟩) fun y => if h : ∃ x, g x = y then Sum.inl ↑(Classical.choose h) else Sum.inr { down := 0 }) = ↑⟨s, ⋯⟩


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y Z✝ : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: ι : Type u_1

Context: Z : ι → C

Context: g : (i : ι) → Z i ⟶ X

Context: j : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → ofArrows Z g f → Type u_2

Context: W : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → j f H → C

Context: k : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ X) → (H : ofArrows Z g f) → (i : j f H) → W f H i ⟶ Y

((ofArrows Z g).bind fun Y f H => ofArrows (W f H) (k f H)) = ofArrows (fun i => W (g i.fst) ⋯ i.snd) fun ij => k (g ij.fst) ⋯ ij.snd ≫ g ij.fst


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝ : Category.{v₂, u₂} D

Context: F : C ⥤ D

Context: X Y✝ Z✝ : C

Context: f : Y✝ ⟶ X

Context: ι : Type u_1

Context: Z : ι → C

Context: g : (i : ι) → Z i ⟶ X

Context: Y : C


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝² : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝¹ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: F : L.Functions n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

(funMap F fun a => ⟦Structure.Sigma.mk f i (x a)⟧) = ⟦Structure.Sigma.mk f i (funMap F x)⟧


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: F : L.Functions n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

(funMap F fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) ≈ Structure.Sigma.mk f i (funMap F x)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: F : L.Functions n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : Classical.choose ⋯ ≤ k

(f (Classical.choose ⋯) k jk) (funMap F (unify f (fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) (Classical.choose ⋯) ⋯)) = (f i k ik) (funMap F x)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: n : ℕ

Context: F : L.Functions n

Context: i : ι

Context: x : Fin n → G i

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : Classical.choose ⋯ ≤ k

funMap F (unify f (fun i_1 => Structure.Sigma.mk f i (x i_1)) k ⋯) = funMap F (⇑(f i k ik) ∘ x)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : a ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
ha : 0 < a


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: hαγ : MeasurableSpace.CountableOrCountablyGenerated α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(κ.singularPart η) a = 0 ↔ (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η = κ


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ∀ (a : α) (s : Set γ), MeasurableSet s → ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) s = (κ a) s


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ((η.withDensity (κ.rnDeriv η) + κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

Context: h_eq_add : ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = (κ a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a)


Context: α : Type u_1

Context: γ : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: κ✝ η✝ : Kernel α γ

Context: κ η : Kernel α γ

Context: inst✝¹ : IsFiniteKernel κ

Context: inst✝ : IsFiniteKernel η

Context: a : α

(κ.singularPart η) a = 0 ↔ ((κ.singularPart η) a) (κ.mutuallySingularSetSlice η a) = 0


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
β : ι → Type u_3
s s₁ s₂ : Set ι
t t₁ t₂ : (i : ι) → Set (α i)
i : ι

Disjoint (univ.pi t₁) (univ.pi t₂) ↔ ∃ i, Disjoint (t₁ i) (t₂ i)


Context: n k : ℕ


Context:
n k : ℕ
h : n < k


Context:
n k : ℕ
h : n ≥ k


Context:
n k : ℕ
h : n ≥ k

n.descFactorial k * (n - k)! = n.choose k * k ! * (n - k)!


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹³ : Semiring R
inst✝¹² : Semiring R₂
inst✝¹¹ : Semiring R₃
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₃
σ₁₂ : R →+* R₂
σ₂₃ : R₂ →+* R₃
σ₁₃ : R →+* R₃
inst✝⁷ : RingHomCompTriple σ₁₂ σ₂₃ σ₁₃
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : Module R₂ M₂
inst✝⁴ : Module R₃ M₃
σ₂₁ : R₂ →+* R
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝³ : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝² : FunLike F M M₂
inst✝¹ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
inst✝ : RingHomSurjective τ₁₂
f : F
p : Submodule R M


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : R


Context:
T : Type u
inst✝ : Category.{v, u} T
f g : Arrow T
sq : f ⟶ g
e : f ≅ g


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : PseudoEMetricSpace α✝
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β
K : ℝ≥0


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : I ⊔ J = ⊤
i : R
hi : i ∈ I ⊔ K


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : 1 ∈ I ⊔ J
i : R
hi : i ∈ I ⊔ K


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
h : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ J, y + z = 1
i : R
hi : ∃ y ∈ I, ∃ z ∈ K, y + z = i


Context:
R : Type u
ι : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
I J K L : Ideal R
i i1 : R
hi1 : i1 ∈ I
j : R
hj : j ∈ J
h : i1 + j = 1
i' : R
hi' : i' ∈ I
k : R
hk : k ∈ K
hi : i' + k = i


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: s✝ t✝ u : Finset α

Context: f : α → β

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: r : Finset α

Context: har : a ∉ r

Context: h : (s ∪ r).card + (s ∩ r).card = s.card + r.card

(s ∪ insert a r).card + (s ∩ insert a r).card = s.card + (insert a r).card


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α

zip appendStream' s.inits s.tails = const s


∀ (n : ℕ), (zip appendStream' s.inits s.tails).get n = (const s).get n


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
s : Stream' α
n : ℕ

(zip appendStream' s.inits s.tails).get n = (const s).get n


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
A : Matrix m n α
f : α → β
hf : ∀ (a : α), ‖f a‖₊ = ‖a‖₊


Context:
α : Sort u_2
inst✝¹ : DecidableEq α
β : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq β
a b : α
e : α ≃ β
x : β

((e.symm.trans (swap a b)).trans e) x = (swap (e a) (e b)) x


Context: α : Sort u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Sort u_1

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a b : α

Context: e : α ≃ β

Context: x : β

Context: this : ∀ (a : α), e.symm x = a ↔ x = e a


Context: α : Sort u_2

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: β : Sort u_1

Context: inst✝ : DecidableEq β

Context: a b : α

Context: e : α ≃ β

Context: x : β

e (if x = e a then b else if x = e b then a else e.symm x) = if x = e a then e b else if x = e b then e a else x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a✝ b c d a : α
n : ℕ


a⁻¹ ^ Int.negSucc n = (a ^ Int.negSucc n)⁻¹


Context:
X : Type u_1
inst✝² : LinearOrder X
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : OrderTopology X
a b c : X
s t : Set X
hd : Disjoint s (closure t)
x : X
hx : x ∈ s


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: inst✝⁶ : SmoothManifoldWithCorners I' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: s : Set (M × M')

Context: x : M × M'

Context: hxs : UniqueMDiffWithinAt (I.prod I') s x

mfderivWithin (I.prod I') I' Prod.snd s x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace H

Context: I : ModelWithCorners 𝕜 E H

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹³ : ChartedSpace H M

Context: inst✝¹² : SmoothManifoldWithCorners I M

Context: E' : Type u_5

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: H' : Type u_6

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace H'

Context: I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'

Context: M' : Type u_7

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace M'

Context: inst✝⁷ : ChartedSpace H' M'

Context: E'' : Type u_8

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: H'' : Type u_9

Context: inst✝³ : TopologicalSpace H''

Context: I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''

Context: M'' : Type u_10

Context: inst✝² : TopologicalSpace M''

Context: inst✝¹ : ChartedSpace H'' M''

Context: s✝ : Set M

Context: x✝ : M

Context: s : Set (M × M')

Context: x : M × M'

mfderiv (I.prod I') I' Prod.snd x = ContinuousLinearMap.snd 𝕜 (TangentSpace I x.1) (TangentSpace I' x.2)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
p : Fin (n + 1) → Prop
inst✝ : DecidablePred p

(if p 0 then 1 else 0) + (filter (p ∘ succ) univ).card = if p 0 then (filter (p ∘ succ) univ).card + 1 else (filter (p ∘ succ) univ).card


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F

(S.comp (T.comp (adjoint S))).IsPositive


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 F
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : CompleteSpace F
T : E →L[𝕜] E
hT : T.IsPositive
S : E →L[𝕜] F
x : F

0 ≤ (S.comp (T.comp (adjoint S))).reApplyInnerSelf x


0 ≤ re ⟪(T.comp (adjoint S)) x, (adjoint S) x⟫_𝕜


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π

∃ b, b.Countable ∧ inst✝¹ = generateFrom b


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
X : Type u_1
inst✝² : TopologicalSpace X
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
π : X → Y
inst✝ : SecondCountableTopology X
h' : QuotientMap π
h : IsOpenMap π
V : Set (Set X)
V_countable : V.Countable
V_generates : IsTopologicalBasis V


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝³ : ConditionallyCompleteLinearOrder α

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hι : IsEmpty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hι : Nonempty ι


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hι : Nonempty ι

Context: A : MeasurableSet {b | BddAbove (range fun i => f i b)}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hι : Nonempty ι

Context: this : Measurable fun _b => sSup ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hι : Nonempty ι

Context: this : Measurable fun _b => sSup ∅

∀ b ∈ {b | BddAbove (range fun i => f i b)}, IsLUB {a | ∃ i, f i b = a} (⨆ i, f i b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι✝ : Sort y

Context: s t u : Set α

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁸ : BorelSpace α

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace β

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace β

Context: inst✝⁵ : BorelSpace β

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace δ

Context: inst✝² : OrderTopology α

Context: inst✝¹ : SecondCountableTopology α

Context: ι : Sort u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : ι → δ → α

Context: hf : ∀ (i : ι), Measurable (f i)

Context: hι : Nonempty ι

Context: this : Measurable fun _b => sSup ∅

EqOn (fun b => ⨆ i, f i b) (fun _b => sSup ∅) {b | BddAbove (range fun i => f i b)}ᶜ


Context:
F : Type u_1
inst✝² : Field F
E : Type u_2
inst✝¹ : Field E
inst✝ : Algebra F E
S : Set (IntermediateField F E)

↑(sInf S).toSubalgebra = ↑(sInf (toSubalgebra '' S))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
δ : α → Sort u_6
s✝ : Set α
f g : (i : α) → δ i
inst✝¹ : (j : α) → Decidable (j ∈ s✝)
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
f₁ f₂ : α → β
inst✝ : (i : α) → Decidable (i ∈ s)
h₁ : MapsTo f₁ (s₁ ∩ s) (t₁ ∩ t)
h₂ : MapsTo f₂ (s₂ ∩ sᶜ) (t₂ ∩ tᶜ)

MapsTo (s.piecewise f₁ f₂) (s.ite s₁ s₂) (t.ite t₁ t₂)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Ioo (I.lower i) (I.upper i)


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
I J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
h : x ∉ Ioo (I.lower i) (I.upper i)
J : Box ι
hJ : J ∈ ⊤.boxes


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)
hJ : J ∈ ⊤.boxes


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ∉ Ioo (J.lower i) (J.upper i)


↑J = J.splitLower i x ∨ ↑J = J.splitUpper i x


Context:
ι : Type u_1
M : Type u_2
n : ℕ
J✝ : Box ι
i : ι
x : ℝ
J : Box ι
h : x ≤ J.lower i ∨ J.upper i ≤ x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a b : ℝ
μ : Measure ℝ
inst✝ : NoAtoms μ

IntervalIntegrable f μ a b ↔ IntegrableOn f [[a, b]] μ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocMod hp 0 (a - b) + toIcoMod hp 0 (b - a) = p


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹² : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.18320, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁶ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor D n).Additive

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: X : C

F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), IsZero ((F.shift n).obj X)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹⁶ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝¹⁵ : HasZeroObject C

Context: inst✝¹⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹³ : Preadditive C

Context: inst✝¹¹ : Pretriangulated C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{?u.18320, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroObject D

Context: inst✝⁸ : HasShift D ℤ

Context: inst✝⁷ : Preadditive D

Context: inst✝⁵ : Pretriangulated D

Context: inst✝⁴ : Category.{u_5, u_3} A

Context: inst✝³ : Abelian A

Context: F : C ⥤ A

Context: inst✝² inst✝¹ : F.IsHomological

Context: inst✝ : F.ShiftSequence ℤ

Context: X : C

F.homologicalKernel.P X ↔ ∀ (n : ℤ), IsZero ((shiftFunctor C n ⋙ F).obj X)


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x y : E
h : SameRay ℝ x y

‖x‖ • y = ‖y‖ • x


Context:
E : Type u_1
inst✝³ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
u : E
a b : ℝ
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
h : SameRay ℝ (a • u) (b • u)

‖a • u‖ • b • u = ‖b • u‖ • a • u


a • ‖u‖ • b • u = b • ‖u‖ • a • u


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : IsDomain R
inst✝¹ : IsBezout R
inst✝ : GCDMonoid R
x y : R


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
C : Set X

AccPt x (𝓟 C) ↔ ∃ᶠ (y : X) in 𝓝 x, y ≠ x ∧ y ∈ C


Context:
R : Type u
a✝ b✝ : R
m n : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
a b : R[ℕ]

{ toFinsupp := a + b } = Polynomial.add { toFinsupp := a } { toFinsupp := b }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Append α
a b : Part α
ma mb : α
ha : ma ∈ a
hb : mb ∈ b


Context: α : Type u_1

Context: β✝ : Type u_2

Context: σ : Type u_3

Context: inst✝² : Primcodable α

Context: inst✝¹ : Primcodable β✝

Context: inst✝ : Primcodable σ

Context: β : Type u_4

Context: e : β ≃ α

Context: this : Primcodable β := Primcodable.ofEquiv α e


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ

f.integralNormalization.coeff i = if f.degree = ↑i then 1 else f.coeff i * f.leadingCoeff ^ (f.natDegree - 1 - i)


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
i : ℕ
this : f.coeff i = 0 → f.degree ≠ ↑i


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
inst✝ : MonoidalCategory C
M : Comon_ C
A : Mon_ Cᵒᵖ

A.mul.unop ≫ A.one.unop ▷ unop A.X = (λ_ (unop A.X)).inv


A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.one.unop = (ρ_ (unop A.X)).inv


A.mul.unop ≫ unop A.X ◁ A.mul.unop = A.mul.unop ≫ A.mul.unop ▷ unop A.X ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom


((α_ A.X A.X A.X).inv ≫ A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop = (A.mul ▷ A.X ≫ A.mul).unop ≫ (α_ (unop A.X) (unop A.X) (unop A.X)).hom


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y z t : X ⊕ Y

HD (candidatesBDist X Y) ≤ diam univ + 1 + diam univ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x✝ y z t : X ⊕ Y
x : X

⨅ y, (candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y
f : GromovHausdorff.ProdSpaceFun X Y
x y✝ z t : X ⊕ Y
y : Y

⨅ x, (candidatesBDist X Y) (inl x, inr y) ≤ diam univ + 1 + diam univ


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
s t : Submodule K V
hdisjoint : Disjoint s t

finrank K ↥s + finrank K ↥t ≤ finrank K V


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Group α
e : α
x : Finset α × Finset α

x.2.card + (e⁻¹ • x.2).card = 2 * x.2.card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
s s₁ s₂ : Set α
t : Finset α
a b : α
m n : ℕ
hs : G.CliqueFreeOn s (n + 1)
ha : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : PredOrder α
a b : α
inst✝ : NoMinOrder α
h : a ≤ b


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ Z✝ W X X' Y Z : C
f : W ⟶ X
g : X ⟶ Y
f' : W ⟶ X'
g' : X' ⟶ Y
h : Z ≅ Y

f ≫ g ≫ h.inv = f' ≫ g' ≫ h.inv ↔ f ≫ g = f' ≫ g'


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝ : PseudoMetricSpace α
s : Set α
ι : Type u_1
f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)
K : ℝ≥0
hfl : LipschitzOnWith K f s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: ι : Type u_1

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

Context: hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: ι : Type u_1

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

Context: this : ∀ (i : ι), ∃ g, LipschitzWith K g ∧ EqOn (fun x => ↑(f x) i) g s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: ι : Type u_1

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

Context: g : ι → α → ℝ

Context: hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)

Context: hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: ι : Type u_1

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

Context: g : ι → α → ℝ

Context: hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)

Context: hfl : ∀ (i : ι), LipschitzOnWith K (fun a => ↑(f a) i) ∅

Context: hgeq : ∀ (i : ι), EqOn (fun x => ↑(f x) i) (g i) ∅


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: s : Set α

Context: ι : Type u_1

Context: f : α → ↥(lp (fun i => ℝ) ⊤)

Context: K : ℝ≥0

Context: g : ι → α → ℝ

Context: hgl : ∀ (i : ι), LipschitzWith K (g i)

Context: a₀ : α

Context: ha₀_in_s : a₀ ∈ s


Context:
x : ℤ
r : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
C : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁵ : GroupWithZero α
inst✝⁴ : Preorder α
inst✝³ : Preorder β
inst✝² : MulAction α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : 0 < a

b₁ ≤ a⁻¹ • b₂ ↔ a • b₁ ≤ b₂


Context:
z : ℍ
k : ℤ
N : ℕ
hk : 3 ≤ k
a : Fin 2 → ZMod N

TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex) ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop {z | 0 < z.im}


TendstoLocallyUniformlyOn (fun s => (fun z => ∑ x ∈ s, eisSummand k (↑x) z) ∘ ↑ofComplex) ((eisensteinSeries_SIF a k).toFun ∘ ↑ofComplex) Filter.atTop (Subtype.val '' Set.univ)


TendstoLocallyUniformlyOn (fun n z => ∑ x ∈ n, eisSummand k (↑x) z) (eisensteinSeries_SIF a k).toFun Filter.atTop ⊤


MapsTo (↑(OpenEmbedding.toPartialHomeomorph UpperHalfPlane.coe openEmbedding_coe).symm) (OpenEmbedding.toPartialHomeomorph UpperHalfPlane.coe openEmbedding_coe).target ⊤


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁷ : MeasurableSpace δ
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup β
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup γ
E : Type u_5
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
𝕜 : Type u_6
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
H : Type u_7
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
φ : α → H
L : H ≃L[𝕜] E
h : Integrable (fun a => L (φ a)) μ


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α α✝ : Type u_1

Context: p₁ : (α → α✝) → Prop

Context: f✝ : m (α → α✝)

Context: p₂ : α → Prop

Context: q : α✝ → Prop

Context: inst✝¹ : Applicative m

Context: inst✝ : LawfulApplicative m

Context: x✝ : m α

Context: hf : SatisfiesM p₁ f✝

Context: hx : SatisfiesM p₂ x✝

Context: H : ∀ {f : α → α✝} {a : α}, p₁ f → p₂ a → q (f a)

Context: f : m { a // p₁ a }

Context: x : m { a // p₂ a }

(Subtype.val <$> Seq.seq ((fun x x_1 => match x with | ⟨a, h₁⟩ => match x_1 with | ⟨b, h₂⟩ => ⟨a b, ⋯⟩) <$> f) fun x_1 => x) = Seq.seq (Subtype.val <$> f) fun x_1 => Subtype.val <$> x


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α α✝ : Type u_1

Context: p₁ : (α → α✝) → Prop

Context: f✝ : m (α → α✝)

Context: p₂ : α → Prop

Context: q : α✝ → Prop

Context: inst✝¹ : Applicative m

Context: inst✝ : LawfulApplicative m

Context: x✝ : m α

Context: hf : SatisfiesM p₁ f✝

Context: hx : SatisfiesM p₂ x✝

Context: f : m { a // p₁ a }

Context: x : m { a // p₂ a }

(Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_1 => Seq.seq (Seq.seq (pure fun x x_2 => ⟨x.val x_2.val, ⋯⟩) fun x => f) fun x_2 => x) = Seq.seq (Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x_2 => x


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α α✝ : Type u_1

Context: p₁ : (α → α✝) → Prop

Context: f✝ : m (α → α✝)

Context: p₂ : α → Prop

Context: q : α✝ → Prop

Context: inst✝¹ : Applicative m

Context: inst✝ : LawfulApplicative m

Context: x✝ : m α

Context: hf : SatisfiesM p₁ f✝

Context: hx : SatisfiesM p₂ x✝

Context: f : m { a // p₁ a }

Context: x : m { a // p₂ a }

(Seq.seq (Seq.seq (pure (Function.comp Subtype.val ∘ fun x x_1 => ⟨x.val x_1.val, ⋯⟩)) fun x => f) fun x_1 => x) = Seq.seq ((fun h => h Subtype.val) <$> Function.comp <$> Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => x


Context: m : Type u_1 → Type u_2

Context: α α✝ : Type u_1

Context: p₁ : (α → α✝) → Prop

Context: f✝ : m (α → α✝)

Context: p₂ : α → Prop

Context: q : α✝ → Prop

Context: inst✝¹ : Applicative m

Context: inst✝ : LawfulApplicative m

Context: x✝ : m α

Context: hf : SatisfiesM p₁ f✝

Context: hx : SatisfiesM p₂ x✝

Context: f : m { a // p₁ a }

Context: x : m { a // p₂ a }

(Seq.seq (Seq.seq (pure (Function.comp Subtype.val ∘ fun x x_1 => ⟨x.val x_1.val, ⋯⟩)) fun x => f) fun x_1 => x) = Seq.seq (Seq.seq (pure fun h => h Subtype.val) fun x => Seq.seq (pure Function.comp) fun x => Seq.seq (pure Subtype.val) fun x => f) fun x_1 => x


Context:
K : Type u
inst✝² : CommRing K
p : ℕ
inst✝¹ : Fact (Nat.Prime p)
inst✝ : CharP K p
x : ℕ × K

(frobenius (PerfectClosure K p) p) (mk K p x) = mk K p (x.1, x.2 ^ p)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: hf : ∀ x ∈ Icc a b, HasDerivWithinAt f (f' x) (Icc a b) x

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

∀ x ∈ Icc a b, ‖f x - f a‖ ≤ C * (x - a)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: f' : ℝ → E

Context: C : ℝ

Context: bound : ∀ x ∈ Ico a b, ‖f' x‖ ≤ C

Context: x : ℝ

Context: hx : x ∈ Ico a b


Context:
F : Type u_1
α✝ : Type u_2
β✝ : Type u_3
γ : Type u_4
ι✝ : Type u_5
κ✝ : Type u_6
inst✝² : SemilatticeSup α✝
s✝ : Finset β✝
H : s✝.Nonempty
f✝ : β✝ → α✝
ι : Type u_7
κ : Type u_8
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝¹ : SemilatticeSup α
inst✝ : SemilatticeSup β
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → β
i : α × β
a : ι
ha : a ∈ s
b : κ
hb : b ∈ t

(s.sup' ⋯ f, t.sup' ⋯ g) ≤ i ↔ (s ×ˢ t).sup' ⋯ (Prod.map f g) ≤ i


((∀ b ∈ s, f b ≤ i.1) ∧ ∀ b ∈ t, g b ≤ i.2) ↔ ∀ (a : ι) (b : κ), a ∈ s → b ∈ t → f a ≤ i.1 ∧ g b ≤ i.2


Context: ι : Type u

Context: γ✝ : Type w

Context: β : ι → Type v

Context: β₁ : ι → Type v₁

Context: β₂ : ι → Type v₂

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: γ : Type w

Context: α : Type x

Context: inst✝² : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → (x : β i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: inst✝ : CommMonoid γ

Context: s : Finset α

Context: g : α → Π₀ (i : ι), β i

Context: h : (i : ι) → β i → γ

Context: h_zero : ∀ (i : ι), h i 0 = 1

Context: h_add : ∀ (i : ι) (b₁ b₂ : β i), h i (b₁ + b₂) = h i b₁ * h i b₂

∏ i ∈ s, (g i).prod h = (∑ i ∈ s, g i).prod h


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : PolishSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : BorelSpace α

∀ {s : Set α}, MeasurableSet s → IsClopenable s


∀ (U : Set α), IsOpen U → IsClopenable U


∀ (t : Set α), MeasurableSet t → IsClopenable t → IsClopenable tᶜ


∀ (f : ℕ → Set α), Pairwise (Disjoint on f) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f i)) → (∀ (i : ℕ), IsClopenable (f i)) → IsClopenable (⋃ i, f i)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
r : α → β → Prop
p : γ → δ → Prop
a : Multiset α


(a = 0 ∧ 0 = 0 ∨ ∃ a_1 b as bs, r a_1 b ∧ Rel r as bs ∧ a = a_1 ::ₘ as ∧ 0 = b ::ₘ bs) ↔ a = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
xs : List α
h : xs.Nodup
n : ℕ
hn : n < xs.length

xs.formPerm (xs.nthLe n hn) = xs.nthLe ((n + 1) % xs.length) ⋯


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
M : Type u_3
n : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
ιM : Type u_7
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : AddCommGroup L
inst✝¹⁰ : Module R L
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : Module R M
φ : L →ₗ[R] Module.End R M
inst✝⁷ : Fintype ι
inst✝⁶ : Fintype ι'
inst✝⁵ : Fintype ιM
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : DecidableEq ι'
inst✝² : DecidableEq ιM
b : Basis ι R L
bₘ : Basis ιM R M
inst✝¹ : Module.Finite R M
inst✝ : Module.Free R M
x : ι → R

Polynomial.map (MvPolynomial.eval x) (φ.polyCharpolyAux b bₘ) = charpoly (φ (b.repr.symm (Finsupp.equivFunOnFinite.symm x)))


Context:
M : Type u_1
N✝ : Type u_2
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : AddMonoid N✝
N : Submonoid M


Context:
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n : ℕ

∃ a b, 1 < b ∧ liouvilleNumber ↑m ≠ ↑a / ↑b ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑a / ↑b| < 1 / ↑b ^ n


Context: m : ℕ

Context: hm : 2 ≤ m

Context: mZ1 : 1 < ↑m

Context: m1 : 1 < ↑m

Context: n p : ℕ

Context: hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑(m ^ n !)


Context: m : ℕ

Context: hm : 2 ≤ m

Context: mZ1 : 1 < ↑m

Context: m1 : 1 < ↑m

Context: n p : ℕ

liouvilleNumber ↑m ≠ ↑↑p / ↑(↑m ^ n !) ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑↑p / ↑(↑m ^ n !)| < 1 / ↑(↑m ^ n !) ^ n


Context: m : ℕ

Context: hm : 2 ≤ m

Context: mZ1 : 1 < ↑m

Context: m1 : 1 < ↑m

Context: n p : ℕ

liouvilleNumber ↑m ≠ ↑p / ↑m ^ n ! ∧ |liouvilleNumber ↑m - ↑p / ↑m ^ n !| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n


Context:
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !


partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n ≠ partialSum (↑m) n ∧ |partialSum (↑m) n + remainder (↑m) n - partialSum (↑m) n| < 1 / (↑m ^ n !) ^ n


Context:
m : ℕ
hm : 2 ≤ m
mZ1 : 1 < ↑m
m1 : 1 < ↑m
n p : ℕ
hp : partialSum (↑m) n = ↑p / ↑m ^ n !
hpos : 0 < remainder (↑m) n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace α
j : JordanDecomposition α
r : ℝ
hr : r < 0

(r • j).posPart = (-r).toNNReal • j.negPart


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0

Context: hextr : IsLocalExtrOn T.reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀

x₀ ∈ eigenspace ↑T ↑(T.rayleighQuotient x₀)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: T : E →L[𝕜] E

Context: hT : IsSelfAdjoint T

Context: x₀ : E

Context: hx₀ : x₀ ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
μ : Measure β
a : α

∫⁻ (x : β), f x ∂(const α μ) a = ∫⁻ (x : β), f x ∂μ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree
h₁ : n < f.natDegree


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
𝓟 : Ideal R
f : R[X]
hf : f.IsEisensteinAt 𝓟
n : ℕ
hn : n ≠ f.natDegree
h₂ : n > f.natDegree


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : Preorder α
f : α → Part β
g : α → β → Part γ
hf : Monotone f
hg : Monotone g
x y : α
h : x ≤ y
a : γ

a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) x → a ∈ (fun x => (f x).bind (g x)) y


∀ x_1 ∈ f x, a ∈ g x x_1 → ∃ a_3 ∈ f y, a ∈ g y a_3


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⁅I, N⁆ = ⊥ ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0


(∀ m ∈ {m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m}, m = 0) ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ = 0


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : NormedSpace ℝ V
inst✝¹ : NormedAddCommGroup W
inst✝ : NormedSpace ℝ W
L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ
v y : V
w : W


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddGroupWithOne R
n : ℕ


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K₁ K₂ : Compacts G

(fun s => ↑(μ.toFun s)) (K₁ ⊔ K₂) ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₁ + (fun s => ↑(μ.toFun s)) K₂


↑(μ.toFun (K₁ ⊔ K₂)) ≤ ↑(μ.toFun K₁) + ↑(μ.toFun K₂)


μ.toFun (K₁ ⊔ K₂) ≤ μ.toFun K₁ + μ.toFun K₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable β

Context: x✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: hf : ∀ (y : β), Measurable fun x => f (x, y)

Context: h'f : ∀ (y y' : β) (x : α), y' ∈ measurableAtom y → f (x, y') = f (x, y)

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable β

Context: x✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : f ⁻¹' s = ⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: δ' : Type u_5

Context: ι : Sort uι

Context: s✝ t u : Set α

Context: m : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: mγ : MeasurableSpace γ

Context: inst✝ : Countable β

Context: x✝ : MeasurableSpace γ

Context: f : α × β → γ

Context: s : Set γ

Context: hs : MeasurableSet s

MeasurableSet (⋃ y, ((fun x => f (x, y)) ⁻¹' s) ×ˢ measurableAtom y)


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

(triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ∈ distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

∃ T', ∃ (_ : T' ∈ distinguishedTriangles), Nonempty ((triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T) ≅ (triangleOpEquivalence C).functor.obj (Opposite.op T'))


Context:
E : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace ℝ E
F : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
H : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ F H
M : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace M
inst✝² : ChartedSpace H M
inst✝¹ : SmoothManifoldWithCorners I M
n : ℕ
inst✝ : Fact (finrank ℝ E = n + 1)

ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) ⊤ fun x => -x


ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ fun x => -↑x


ContMDiff 𝓘(ℝ, EuclideanSpace ℝ (Fin n)) 𝓘(ℝ, E) ⊤ Subtype.val


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
ι : Type u_4
s : Finset ι
ι₂ : Type u_5
s₂ : Finset ι₂
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
h : i ∈ s

∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = 1


∑ j ∈ s, affineCombinationSingleWeights k i j = affineCombinationSingleWeights k i i


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝ : Semigroup G
a b c : G
h : SemiconjBy a b c
j : G

(fun x => x * a) ((fun x => x * c) j) = (fun x => x * b) ((fun x => x * a) j)


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hdf : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ f x

Context: hg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, deriv g x ≠ 0

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hdiv : Tendsto (fun x => deriv f x / deriv g x) (𝓝[<] a) l


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hdg : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, DifferentiableAt ℝ g x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hdf' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt f (deriv f x) x


Context: a b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: l : Filter ℝ

Context: f f' g g' : ℝ → ℝ

Context: hfa : Tendsto f (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hga : Tendsto g (𝓝[<] a) (𝓝 0)

Context: hdg' : ∀ᶠ (x : ℝ) in 𝓝[<] a, HasDerivAt g (deriv g x) x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
i j : σ
f : MvPolynomial σ R
h : i ≠ j


Context: a b c : ℕ

a ⊔ b + 1 - a ⊓ b = (↑b - ↑a).natAbs + 1


Context:
cf cg : Code
a : ℕ

(cf.prec cg).eval (Nat.pair a 0) = cf.eval a


Context:
cf cg : Code
a : ℕ

Nat.rec (cf.eval (a, 0).1) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair (a, 0).1 (Nat.pair y i))) (a, 0).2 = cf.eval a


Context:
cf cg : Code
a : ℕ

Nat.rec (cf.eval a) (fun y IH => do let i ← IH cg.eval (Nat.pair a (Nat.pair y i))) 0 = cf.eval a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
h : ∀ᶠ (x : α) in l, g'' x ≠ 0

f =O[l] g'' ↔ IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) l fun x => ‖f x‖ / ‖g'' x‖


(∃ c, ∀ᶠ (x : α) in l, ‖f x‖ ≤ c * ‖g'' x‖) ↔ ∃ b, ∀ᶠ (a : α) in l, ‖f a‖ / ‖g'' a‖ ≤ b


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝³ : PseudoEMetricSpace E
V : Type u_3
inst✝² : NormedAddCommGroup V
inst✝¹ : NormedSpace ℝ V
inst✝ : FiniteDimensional ℝ V
f : ℝ → V
s : Set ℝ
h : LocallyBoundedVariationOn f s
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : ℝ) ∂volume.restrict s, DifferentiableWithinAt ℝ f s x


∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ s → DifferentiableWithinAt ℝ f s x


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
f : R →+* S
x✝ y : 𝕎 R
n : ℕ
x : 𝕎 R


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁷ : Ring R
inst✝⁶ : Invertible 2
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
x✝ y✝ z x y : P


Context:
Ω : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : MeasurableSpace E
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → E
ℙ : Measure Ω
μ : autoParam (Measure E) _auto✝


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
S : Type u_3
inst✝ : Group G
a b : G
h : Commute a b


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : ContinuousConstSMul αᵐᵒᵖ α
s t : Set α
hs : IsOpen s


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
B✝ B : GroupFilterBasis G


toFilterBasis.filter.HasBasis (fun V => V ∈ B) id


Context: a : ℝ

frontier {z | z.re ≤ a} = {z | z.re = a}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Lattice α

Context: inst✝¹ : Group α

Context: a : α

Context: inst✝ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{?u.16556, u_1} C
inst✝³ : Category.{?u.16560, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : Preadditive D
F G : CochainComplex C ℤ
φ : F ⟶ G
inst✝ : HasHomotopyCofiber φ
p q : ℤ
hpq : q + 1 = p


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f✝ 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a✝)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : ¬ContinuousOn f (σₙ R a)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F : C ⥤ Type w
F₁ F₂ : Cᵒᵖ ⥤ Type v
α : F₁ ⟶ F₂

(map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂ = toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α


∀ (X : F₁.Elementsᵒᵖ), ((map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂).obj X = (toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α).obj X


autoParam (∀ (X Y : F₁.Elementsᵒᵖ) (f : X ⟶ Y), ((map α).op ⋙ toCostructuredArrow F₂).map f = eqToHom ⋯ ≫ (toCostructuredArrow F₁ ⋙ CostructuredArrow.map α).map f ≫ eqToHom ⋯) _auto✝


Context:
u v : ℤ
hu : IsUnit u
hv : IsUnit v


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁵ : RCLike 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : TopologicalSpace E
inst✝² : Module 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
x : E
y : NormedSpace.Dual 𝕜 F


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : x ∉ thickening δ E


Context:
α : Type u_1
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
δ : ℝ
δ_pos : 0 < δ
E : Set α
x : α
x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

Context: E : Set α

Context: x : α

Context: x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E

Context: key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - ENNReal.ofReal δ / ENNReal.ofReal δ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace α

Context: δ : ℝ

Context: δ_pos : 0 < δ

Context: E : Set α

Context: x : α

Context: x_out : ENNReal.ofReal δ ≤ infEdist x E

Context: key : 1 - infEdist x E / ENNReal.ofReal δ ≤ 1 - 1


Context:
α : Type u_1
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => x < c
hcb : c ≤ b

filter (fun x => x < c) (Ico a b) = Ico a c


Context:
M : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M
N : Type u_2
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N
m : Associates M
n : Associates N
d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }


Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }

Context: this : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯


Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }

Context: this✝ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯

Context: this : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯


Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }


Context: M : Type u_1

Context: inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: m : Associates M

Context: n : Associates N

Context: d : { l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }

Context: this✝¹ : OrderBot { l // l ≤ m } := Subtype.orderBot ⋯

Context: this✝ : OrderBot { l // l ≤ n } := Subtype.orderBot ⋯

Context: this : BotHomClass ({ l // l ≤ m } ≃o { l // l ≤ n }) { l // l ≤ m } { l // l ≤ n } := OrderIsoClass.toBotHomClass


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
σ : Type u_5
inst✝⁴ : Primcodable α
inst✝³ : Primcodable β
inst✝² : Primcodable γ
inst✝¹ : Primcodable δ
inst✝ : Primcodable σ
m n : ℕ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: γ : kernel S.g ⟶ cokernel S.f := kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: f' : S.X₁ ⟶ kernel S.g := kernel.lift S.g S.f ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: hf' : f' = kernel.lift γ f' ⋯ ≫ kernel.ι γ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: e : Abelian.image S.f ≅ kernel γ := S.abelianImageToKernelIsKernel.conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (parallelPair (kernel.ι S.g ≫ cokernel.π S.f) 0))


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: he : e.hom ≫ kernel.ι γ = S.abelianImageToKernel


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: fac : f' = Abelian.factorThruImage S.f ≫ e.hom ≫ kernel.ι γ


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: inst✝ : Abelian C

Context: S : ShortComplex C

Context: wπ : f' ≫ cokernel.π (kernel.ι γ) = 0

Context: hπ : IsColimit (CokernelCofork.ofπ (cokernel.π (kernel.ι γ)) wπ)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a b c d : G
h : b = c / a


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
S : Submonoid R
P : Type u_2
inst✝¹ : CommRing P
inst✝ : Algebra R P
loc : IsLocalization S P
I : FractionalIdeal S P
x : P
hx : x ∈ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝² : AddMonoid R
inst✝¹ : StarAddMonoid R
inst✝ : Star A
a : A


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedRing α
n : ℕ
a b c : α
h : a ^ 2 ≤ b ^ 2
hb : 0 ≤ b


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
inst✝¹ : UniformSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : β → α
s : Set β

ContinuousOn f s ↔ ∀ b ∈ s, Tendsto (fun x => (f b, f x)) (𝓝[s] b) (𝓤 α)


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)
x✝ y✝ : (i : ι) → α i
inst✝ : DecidableEq ι
x y : (i : ι) → α i
i₀ : ι
m : α i₀
hm : m ≤ y i₀

(univ.pi fun i => Ioc (x i) (update y i₀ m i)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ univ.pi fun i => Ioc (x i) (y i)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: hm : m ≤ y i₀

Context: this : Ioc (x i₀) m = Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)


Context: ι : Type u_1

Context: α : ι → Type u_2

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Preorder (α i)

Context: x✝ y✝ : (i : ι) → α i

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: x y : (i : ι) → α i

Context: i₀ : ι

Context: m : α i₀

Context: hm : m ≤ y i₀

({x_1 | x_1 i₀ ∈ Iic m ∩ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)) = {z | z i₀ ≤ m} ∩ {x_1 | x_1 i₀ ∈ Ioc (x i₀) (y i₀)} ∩ {i₀}ᶜ.pi fun j => Ioc (x j) (y j)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F

Bijective ⇑f ↔ (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'
σ : 𝕜 →+* 𝕜'
σ' : 𝕜' →+* 𝕜
inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ
inst✝⁷ : RingHomIsometric σ
inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜' F
f✝ : E →SL[σ] F
inst✝¹ : CompleteSpace F
inst✝ : CompleteSpace E
f : E →SL[σ] F
h : Bijective ⇑f

(LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜' : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜'

Context: σ : 𝕜 →+* 𝕜'

Context: σ' : 𝕜' →+* 𝕜

Context: inst✝⁹ : RingHomInvPair σ σ'

Context: inst✝⁸ : RingHomInvPair σ' σ

Context: inst✝⁷ : RingHomIsometric σ

Context: inst✝⁶ : RingHomIsometric σ'

Context: E : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜' F

Context: f✝ : E →SL[σ] F

Context: inst✝¹ : CompleteSpace F

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f : E →SL[σ] F

Context: x✝ : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤ ∧ ∃ c, AntilipschitzWith c ⇑f

Context: hd : (LinearMap.range f).topologicalClosure = ⊤

Context: c : ℝ≥0

Context: hf : AntilipschitzWith c ⇑f


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq κ

Context: inst✝ : Fintype κ

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: c : Basis κ R M

Context: f g : M →ₗ[R] M

Context: H : ∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)

Context: s : Finset M

Context: b : Basis { x // x ∈ s } R M

(trace R M) (f * g) = (trace R M) (g * f)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq κ

Context: inst✝ : Fintype κ

Context: b✝ : Basis ι R M

Context: c : Basis κ R M

Context: f g : M →ₗ[R] M

Context: s : Finset M

Context: b : Basis { x // x ∈ s } R M

((toMatrix b b) f * (toMatrix b b) g).trace = ((toMatrix b b) g * (toMatrix b b) f).trace


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: M : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: ι : Type w

Context: inst✝³ : DecidableEq ι

Context: inst✝² : Fintype ι

Context: κ : Type u_1

Context: inst✝¹ : DecidableEq κ

Context: inst✝ : Fintype κ

Context: b : Basis ι R M

Context: c : Basis κ R M

Context: f g : M →ₗ[R] M

Context: H : ¬∃ s, Nonempty (Basis { x // x ∈ s } R M)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)

X.δ i ≫ X.δ i.castSucc = X.δ i ≫ X.δ i.succ


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : OrderedAddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
S : ConvexCone 𝕜 E
h : ∀ (x y : E), x ≤ y ↔ y - x ∈ S
x y : E
z : 𝕜
xy : x < y
hz : 0 < z


Context:
α : Type u
l l' : List α


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: p : ι → Prop

Context: hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)

Context: hf : LocallyFinite fun i => mulSupport (f i)

Continuous fun x => ∏ᶠ (i : ι) (_ : p i), f i x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: X : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X

Context: inst✝² : TopologicalSpace M

Context: inst✝¹ : CommMonoid M

Context: inst✝ : ContinuousMul M

Context: f : ι → X → M

Context: p : ι → Prop

Context: hc : ∀ (i : ι), p i → Continuous (f i)

Continuous fun x => ∏ᶠ (j : Subtype p), f (↑j) x


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
c : R
f : RingSeminorm R
hf1 : f 1 ≤ 1
hc : f c ≠ 0
hpm : IsPowMul ⇑f
x : R
m : ℕ
hm : 1 ≤ m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 ≤ m

Context: hlim : Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (seminormFromConst' hf1 hc hpm (x ^ m)))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 ≤ m

Tendsto (fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) atTop (𝓝 (⋯.choose ^ m))


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 ≤ m

(fun n => seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n)) = fun x_1 => seminormFromConst_seq c f x x_1 ^ m


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: c : R

Context: f : RingSeminorm R

Context: hf1 : f 1 ≤ 1

Context: hc : f c ≠ 0

Context: hpm : IsPowMul ⇑f

Context: x : R

Context: m : ℕ

Context: hm : 1 ≤ m

Context: n : ℕ

seminormFromConst_seq c f (x ^ m) (m * n) = seminormFromConst_seq c f x n ^ m


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: X Y : Mon_ C

Context: P Q : Bimod X Y

Context: f : P.X ≅ Q.X

Context: f_left_act_hom : P.actLeft ≫ f.hom = X.X ◁ f.hom ≫ Q.actLeft

Context: f_right_act_hom : P.actRight ≫ f.hom = f.hom ▷ Y.X ≫ Q.actRight

Q.actLeft ≫ f.inv = X.X ◁ f.inv ≫ P.actLeft


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: X Y : Mon_ C

Context: P Q : Bimod X Y

Context: f : P.X ≅ Q.X

Q.actRight ≫ f.inv = f.inv ▷ Y.X ≫ P.actRight


Context: C : Type u₁

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: X Y : Mon_ C

Context: P Q : Bimod X Y

Context: f : P.X ≅ Q.X


Context:
x y z : ℤ
h : PythagoreanTriple x y z
k : ℤ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Field K
inst✝² : IsDedekindDomain A
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
I J : Ideal A
h : J ≤ I
hI : ¬I = ⊥
hI' : ↑I ≠ 0
this : (↑I)⁻¹ * ↑J ≤ 1
H : Ideal A
hH : ↑H = (↑I)⁻¹ * ↑J


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
X Y Z : Mon_ C
f : Y ⟶ Z


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹² : CommSemiring R

Context: inst✝¹¹ : Nontrivial R

Context: inst✝¹⁰ : StarRing R

Context: inst✝⁹ : MetricSpace R

Context: inst✝⁸ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁷ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁶ : NonUnitalRing A

Context: inst✝⁵ : StarRing A

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Module R A

Context: inst✝² : IsScalarTower R A A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝ : NonUnitalContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (σₙ R a)) _auto✝

Context: hf0 : autoParam (f 0 = 0) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (σₙ R a)) _auto✝

Context: hg0 : autoParam (g 0 = 0) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ : C
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝² : HasImage f
inst✝¹ : Epi (image.ι f)
inst✝ : Epi (factorThruImage f)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)

(s.reindex e).circumcenter = s.circumcenter


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

∃ u ∈ 𝓝[{x | v.limRatioMeas hρ x = 0}] x, ρ u = 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁵ : MetricSpace α
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
v : VitaliFamily μ
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝³ : SecondCountableTopology α
inst✝² : BorelSpace α
inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ
ρ : Measure α
inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ
hρ : ρ ≪ μ
x : α
x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}
o : Set α
xo : x ∈ o
o_open : IsOpen o
μo : μ o < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: s : Set α := {x | v.limRatioMeas hρ x = 0} ∩ o


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: μs : μ s ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: μs : μ s ≠ ⊤

Context: A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: μs : μ s ≠ ⊤

Context: A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s

Context: B : Tendsto (fun q => ↑q * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 (↑0 * μ s))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁵ : MetricSpace α

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: v : VitaliFamily μ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝³ : SecondCountableTopology α

Context: inst✝² : BorelSpace α

Context: inst✝¹ : IsLocallyFiniteMeasure μ

Context: ρ : Measure α

Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure ρ

Context: hρ : ρ ≪ μ

Context: x : α

Context: x✝ : x ∈ {x | v.limRatioMeas hρ x = 0}

Context: o : Set α

Context: xo : x ∈ o

Context: o_open : IsOpen o

Context: μo : μ o < ⊤

Context: μs : μ s ≠ ⊤

Context: A : ∀ (q : ℝ≥0), 0 < q → ρ s ≤ ↑q * μ s

Context: B : Tendsto (fun q => ↑q * μ s) (𝓝[>] 0) (𝓝 0)


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M

(closure s).op = closure (MulOpposite.unop ⁻¹' s)


sInf {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} = sInf {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
ι : Sort u_1
M : Type u_2
inst✝ : MulOneClass M
s : Set M
a : Submonoid Mᵐᵒᵖ

a ∈ {a | s ⊆ MulOpposite.op ⁻¹' ↑a} ↔ a ∈ {S | MulOpposite.unop ⁻¹' s ⊆ ↑S}


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
X : CoalgebraCat R

ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat = (λ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv


ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.counit = (ρ_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).inv


ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat ≫ (α_ (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat) (ModuleCat.of R ↑X.toModuleCat)).hom


ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ X.toModuleCat ◁ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul = ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ≫ ModuleCat.ofHom Coalgebra.comul ▷ X.toModuleCat ≫ (α_ X.toModuleCat X.toModuleCat X.toModuleCat).hom


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
m : Type u_3
n : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype m
inst✝ : Fintype n
M₁₁ : Matrix m m R
M₁₂ : Matrix m n R
M₂₁ : Matrix n m R
M₂₂ M : Matrix n n R
i j : n
h : i ≠ j


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : MulOneClass G
inst✝ : ContinuousMul G
K U : Set G
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hKU : K ⊆ U


∀ ⦃s t : Set G⦄, s ⊆ t → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U


∀ ⦃s t : Set G⦄, (∃ V ∈ 𝓝 1, s * V ⊆ U) → (∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U) → ∃ V ∈ 𝓝 1, (s ∪ t) * V ⊆ U


∀ x ∈ K, ∃ t ∈ 𝓝[K] x, ∃ V ∈ 𝓝 1, t * V ⊆ U


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: X : Cᵒᵖ

(J.plusMap (J.toPlus P)).app X = (J.toPlus (J.plusObj P)).app X


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusMap (J.toPlus P)).app X = colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.toPlus (J.plusObj P)).app X