Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_le_one : p ≤ 1

Context: this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) ((1 - (1 - p))⁻¹ * p)


Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_le_one : p ≤ 1

Context: this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) (p⁻¹ * p)


Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_le_one : p ≤ 1

Context: this : HasSum (fun i => (1 - p) ^ i * p) 1


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: I✝ : MultispanIndex C

Context: K : Multicofork I✝

Context: I : MultispanIndex C

Context: P : C

Context: π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P

Context: w : ∀ (a : I.L), I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) = I.snd a ≫ π (I.sndFrom a)

∀ ⦃X Y : WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom⦄ (f : X ⟶ Y), I.multispan.map f ≫ (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) Y = (fun x => match x with | WalkingMultispan.left a => I.fst a ≫ π (I.fstFrom a) | WalkingMultispan.right b => π b) X ≫ ((Functor.const (WalkingMultispan I.fstFrom I.sndFrom)).obj P).map f


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: I✝ : MultispanIndex C

Context: K : Multicofork I✝

Context: I : MultispanIndex C

Context: P : C

Context: π : (b : I.R) → I.right b ⟶ P

Context: a✝ : I.L

I.snd a✝ ≫ π (I.sndFrom a✝) = I.fst a✝ ≫ π (I.fstFrom a✝)


Context:
X : Scheme
𝒰 : X.OpenCover
x y z : 𝒰.J

(fun x y z => 𝒰.gluedCoverT' x y z) x y z ≫ pullback.snd ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y z) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) y x) = pullback.fst ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x y) ((fun x y => pullback.fst (𝒰.map x) (𝒰.map y)) x z) ≫ (fun x y => (pullbackSymmetry (𝒰.map x) (𝒰.map y)).hom) x y


Context:
α : Type u
β : Type v
δ : Type w
n : ℕ
xs : Stream' α


Context:
p q : ℝ
hp : 0 < p
hq : -1 < q

∫ (x : ℝ) in Ioi 0, x ^ q * rexp (-x ^ p) = 1 / p * Gamma ((q + 1) / p)


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S
f g : R
x : PrimeSpectrum R

x ∈ zeroLocus {f * g} ↔ x ∈ zeroLocus {f} ∪ zeroLocus {g}


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedRing α
inst✝² : LinearOrderedAddCommGroup β
inst✝¹ : Module α β
inst✝ : OrderedSMul α β
s : Finset ι
σ : Perm ι
f : ι → α
g : ι → β
hfg : MonovaryOn f g ↑s
hσ : {x | σ x ≠ x} ⊆ ↑s

∑ i ∈ s, f (σ i) • g i < ∑ i ∈ s, f i • g i ↔ ¬MonovaryOn (f ∘ ⇑σ) g ↑s


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.60429, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.60433, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S✝ S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
S : ShortComplex Cᵒᵖ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C'✝ C'' : ℝ

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → T s = T' s

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C'✝ C'' : ℝ

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: f : ↥(Lp E 1 μ)

(setToL1 hT').comp (coeToLp α E ℝ) = setToL1SCLM α E μ hT


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C'✝ C'' : ℝ

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: f✝ : ↥(Lp E 1 μ)

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(setToL1 hT') ↑f = (setToL1SCLM α E μ hT) f


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T✝ T'✝ T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C✝ C'✝ C'' : ℝ

Context: T T' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' : ℝ

Context: hT : DominatedFinMeasAdditive μ T C

Context: hT' : DominatedFinMeasAdditive μ T' C'

Context: f✝ : ↥(Lp E 1 μ)

Context: f : ↥(simpleFunc E 1 μ)

(setToL1SCLM α E μ hT') f = (setToL1SCLM α E μ hT) f


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : LinearOrderedField 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
x : E
s : Set E
hs : StarConvex 𝕜 0 s
hx : x ∈ s
t : 𝕜
ht : 1 ≤ t


Context:
m n✝ p n : ℕ
_h : 0 ≤ ↑n


Context:
R : Type u
inst✝² : CommRing R
n : Type w
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : Fintype n
P A : Matrix n n R
h : Invertible P


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrderedField 𝕜
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : 𝕜
s t : Finset α
a b : α
h : ¬G.IsUniform ε s t

↑t.card * ε ≤ ↑(G.nonuniformWitnesses ε s t).2.card


↑t.card * ε ≤ ↑(⋯.choose, ⋯.choose).2.card


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
K : Type u_3
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : CommRing A
inst✝⁷ : Field K
R₁ : Type u_4
inst✝⁶ : CommRing R₁
inst✝⁵ : IsDomain R₁
inst✝⁴ : Algebra R₁ K
inst✝³ : IsFractionRing R₁ K
I J : FractionalIdeal R₁⁰ K
K' : Type u_5
inst✝² : Field K'
inst✝¹ : Algebra R₁ K'
inst✝ : IsFractionRing R₁ K'
x : K
hx : x ≠ 0

(spanSingleton R₁⁰ x)⁻¹ * spanSingleton R₁⁰ x = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a : Ordinal.{u_4}


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Group G✝

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : (x : ConjClasses G) → Fintype ↑x.carrier

Context: inst✝² : Fintype G

Context: inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)

Context: inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

Fintype.card ↥(Subgroup.center G) + ∑ x ∈ (noncenter G).toFinset, x.carrier.toFinset.card = Fintype.card G


Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Group G✝

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝² : Fintype G

Context: inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)

Context: inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

Fintype.card ↥(Subgroup.center G) = Nat.card ↥(Subgroup.center G)


Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Group G✝

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝² : Fintype G

Context: inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)

Context: inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)

∑ x ∈ (noncenter G).toFinset, x.carrier.toFinset.card = ∑ᶠ (x : ConjClasses G) (_ : x ∈ noncenter G), Nat.card ↑x.carrier


Context: G✝ : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Group G✝

Context: G : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝² : Fintype G

Context: inst✝¹ : Fintype ↥(Subgroup.center G)

Context: inst✝ : Fintype ↑(noncenter G)


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
s : Multiset α
p : { a // a ∈ s } → Prop
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidablePred p

filter p s.attach = map (Subtype.map id ⋯) (filter (fun x => ∃ (h : x ∈ s), p ⟨x, h⟩) s).attach


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : Abelian C
inst✝ : HasInjectiveResolutions C
X Y : C
f : X ⟶ Y
I : InjectiveResolution X
J : InjectiveResolution Y
φ : I.cocomplex ⟶ J.cocomplex
comm : I.ι.f 0 ≫ φ.f 0 = f ≫ J.ι.f 0

I.iso.inv ≫ (injectiveResolutions C).map f = (HomotopyCategory.quotient C (ComplexShape.up ℕ)).map φ ≫ J.iso.inv


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
inst✝ : Group G
A : Rep k G
f : G × G → CoeSort.coe A


(∀ (a : G × G × G), (dTwo A) f a = 0 a) ↔ ∀ (g h j : G), (A.ρ g) (f (h, j)) - f (g * h, j) + f (g, h * j) - f (g, h) = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
s : Set M
hf : ContMDiffOn I' I n f s
hg : ContMDiffOn I' I n g s

ContMDiffOn I' I n (fun x => f x / g x) s


ContMDiffOn I' I n (fun x => f x * (g x)⁻¹) s


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: inst✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} K L

Context: hirr : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k + 1))) K)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

(Algebra.norm K) (ζ ^ ↑p ^ s - 1) = ↑↑p ^ ↑p ^ s


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑p ^ (k - s + 1)) K)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: hirr₁ : Irreducible (cyclotomic (↑(p ^ (k - s + 1))) K)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: η₁ : ↥K⟮η⟯ := IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: hη : IsPrimitiveRoot (η + 1) (↑p ^ (k + 1 - s))


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: hη : IsPrimitiveRoot (η₁ + 1) ↑(p ^ (k - s + 1))


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯

Context: this : FiniteDimensional K L


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝¹ : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L

(Algebra.norm K) (IntermediateField.AdjoinSimple.gen K η) ^ FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑↑p ^ ↑p ^ s


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L

Context: H : (Algebra.norm K) (η₁ + 1 - 1) = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L

Context: H : (Algebra.norm K) η₁ = ↑(↑(p ^ (k - s + 1))).minFac


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝ : FiniteDimensional K L

Context: this : IsGalois K L

FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ s


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝² : IsCyclotomicExtension {p ^ (k - s + 1)} K ↥K⟮η⟯

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : IsGalois K L

Context: this : FiniteDimensional.finrank K ↥K⟮η⟯ * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = FiniteDimensional.finrank K L


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : IsGalois K L

Context: this : (↑p - 1) * (↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L) = (↑p - 1) * ↑p ^ (k.succ - 1)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : IsGalois K L

Context: this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ (k.succ - 1)


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : IsGalois K L

Context: Hex : k.succ - 1 = (k - s).succ - 1 + s


Context: p n : ℕ+

Context: A : Type w

Context: B : Type z

Context: K : Type u

Context: L : Type v

Context: C : Type w

Context: inst✝⁷ : CommRing A

Context: inst✝⁶ : CommRing B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsCyclotomicExtension {n} A B

Context: inst✝³ : Field L

Context: ζ : L

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑n

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: k s : ℕ

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: hpri : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hs : s ≤ k

Context: htwo : p ^ (k - s + 1) ≠ 2

Context: η : L := ζ ^ ↑p ^ s - 1

Context: this✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: this✝ : IsGalois K L

Context: this : ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * FiniteDimensional.finrank (↥K⟮η⟯) L = ↑p ^ ((k - s).succ - 1) * ↑p ^ s

Context: Hex : k.succ - 1 = (k - s).succ - 1 + s


Context:
a b : ℤ
H : b ≠ 0


Context:
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj α

({ toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 α) x✝


Context:
α β : DistLat
e : ↑α ≃o ↑β
x✝ : (forget DistLat).obj β

({ toFun := ⇑e.symm, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ } ≫ { toFun := ⇑e, map_sup' := ⋯, map_inf' := ⋯ }) x✝ = (𝟙 β) x✝


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ γ₁✝ γ₂✝ : Cochain K L n✝

Context: n' a : ℤ

Context: γ₁ γ₂ : Cochain ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj K) L n'

Context: n : ℤ

Context: hn : n + a = n'

(leftShiftAddEquiv K L n a n' hn).symm (γ₁ + γ₂) = γ₁.leftUnshift n hn + γ₂.leftUnshift n hn


Context:
J : Type u₁
K : Type u₂
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
inst✝² : Small.{v, u₂} K
F : J × K ⥤ Type v
inst✝¹ : IsFiltered K
inst✝ : Finite J


Context:
J : Type w
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
f : J → (X ⟶ Y)
s : Cotrident f
j : J


Context:
L : Language
M : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure M
N : Type u_2
inst✝ : L.Structure N
h : FG L M
f : M →[L] N


Context:
α : Type u_1
a : α
inst✝ : Preorder α
x : ↑(Iic a)


Context:
α : Type u
β✝ : Type v
m : Type u → Type v
inst✝¹ : Monad m
β : Type u
f : ℕ → α → β → m β
b : β
as : List α
inst✝ : LawfulMonad m

foldrIdxM f b as = foldrM (uncurry f) b as.enum


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : LocalRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Nontrivial S
f : R →+* S
hf : Function.Surjective ⇑f
a : R


Context:
M₀ : Type u_1
G₀ : Type u_2
inst✝ : GroupWithZero G₀
s : Set G₀
a b : G₀
ha : a ∈ s.centralizer
hb : b ∈ s.centralizer


Context: a : Cardinal.{u_1}


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S T : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: h1 : ∀ (s : Computation α), s ∈ S → s ~> a

Context: H : WSeq.LiftRel Equiv S T

Context: h2 : ∀ (t : Computation α), t ∈ T → t ~> a := (parallel_congr_lem H).mp h1

Context: a' : α

Context: h : a' ∈ parallel S


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S T : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: H : WSeq.LiftRel Equiv S T

Context: a' : α

Context: h : a' ∈ parallel S

Context: aa : a = a'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S T : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: H : WSeq.LiftRel Equiv S T

Context: a' : α

Context: h : a ∈ parallel S

Context: aa : a = a'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S T : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: H : WSeq.LiftRel Equiv S T

Context: a' : α

Context: h : a' ∈ parallel T


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S T : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: H : WSeq.LiftRel Equiv S T

Context: a' : α

Context: h : a' ∈ parallel T

Context: aa : a = a'


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: S T : WSeq (Computation α)

Context: a : α

Context: H : WSeq.LiftRel Equiv S T

Context: a' : α

Context: h : a ∈ parallel T

Context: aa : a = a'


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
δ : Type u_3
a : α
b : β
s : Multiset α
t : Multiset β
l₁ : List α
l₂ : List β


((↑l₁).bind fun a => map (Prod.mk a) ↑l₂) = (↑l₁).bind fun a => ↑(List.map (Prod.mk a) l₂)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: k : ℕ

Context: hk : a ^ k ∣ b

Context: hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b


Context:
a : ℤ
ha0 : 0 < a


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: mul : ∀ (x : M) (hx : x ∈ closure s) (y : M) (hy : y ∈ closure s), p x hx → p y hy → p (x * y) ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure s


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: inst✝¹ : Mul M

Context: s✝ : Set M

Context: inst✝ : Add A

Context: t : Set A

Context: S : Subsemigroup M

Context: s : Set M

Context: p : (x : M) → x ∈ closure s → Prop

Context: mem : ∀ (x : M) (h : x ∈ s), p x ⋯

Context: x : M

Context: hx : x ∈ closure s


Context:
μ : YoungDiagram
j : ℕ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s✝ t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
f : E → F
f' : E →L[𝕜] F
x₀ : E
hf : HasFDerivAt f f' x₀
s : Set E
hs : s ∈ 𝓝 x₀
C : ℝ≥0
hlip : LipschitzOnWith C f s


∀ᶠ (x : E) in 𝓝 x₀, ‖f x - f x₀‖ ≤ ↑C * ‖x - x₀‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
xs : List α
ys : List β
x : α
y : β

(x, y) ∈ xs.product ys ↔ x ∈ xs ∧ y ∈ ys


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
hb : b ≠ 0


Context:
a b✝ m n p b : ℕ
hb : b ≠ 0


Context:
a✝ b✝ m n p a b : ℕ
hb : b ≠ 0
ha : a ≠ 0


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : Group α
inst✝ : AddGroup β
f : Multiplicative ℤ →* α
n : Multiplicative ℤ


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α β γ : Type u
f : α → β
g : β → γ
x : F α


(g ∘ f) <$> abs (repr x) = g <$> f <$> abs (repr x)


Context:
F : Type u → Type u
q : QPF F
α β γ : Type u
f✝ : α → β
g : β → γ
x : F α
a : (P F).A
f : (P F).B a → α

(g ∘ f✝) <$> abs ⟨a, f⟩ = g <$> f✝ <$> abs ⟨a, f⟩


abs ((P F).map (g ∘ f✝) ⟨a, f⟩) = abs ((P F).map g ((P F).map f✝ ⟨a, f⟩))


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

(algebraMap R[X] (RatFunc R)) (cyclotomic n R) = ∏ i ∈ n.divisorsAntidiagonal, (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (X ^ i.2 - 1) ^ μ i.1


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R

(algebraMap R[X] (RatFunc R)) (cyclotomic 0 R) = ∏ i ∈ Nat.divisorsAntidiagonal 0, (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (X ^ i.2 - 1) ^ μ i.1


Context:
n : ℕ
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
hpos : n > 0


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: hpos : n > 0

Context: h : ∀ (n : ℕ), 0 < n → ∏ i ∈ n.divisors, (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (cyclotomic i R) = (algebraMap R[X] (RatFunc R)) (X ^ n - 1)


Context: n : ℕ

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsDomain R

Context: hpos : n > 0


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
K : Compacts G
hU : (interior U).Nonempty

↑(index (↑K) U) / ↑(index (↑K₀) U) ≤ ↑(index ↑K ↑K₀)


index (↑K) U ≤ index ↑K ↑K₀ * index (↑K₀) U


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n✝ d✝ k N : ℕ
x : Fin n✝ → ℕ
n d : ℕ

∃ k, ↑(d ^ n) / ↑(n * d ^ 2) ≤ ↑(sphere n d k).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d✝ k✝ N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: n d k : ℕ

Context: hk : ↑(d ^ n) / (↑(n * (d - 1) ^ 2) + 1) ≤ ↑(sphere n d k).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d✝ k✝ N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: n d k : ℕ

↑(d ^ n) / ↑(n * d ^ 2) ≤ ↑(sphere n d k).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n d✝ k✝ N : ℕ

Context: x : Fin n → ℕ

Context: d k : ℕ

Context: hk : ↑(d ^ 0) / (↑(0 * (d - 1) ^ 2) + 1) ≤ ↑(sphere 0 d k).card

↑(d ^ 0) / ↑(0 * d ^ 2) ≤ ↑(sphere 0 d k).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d✝ k✝ N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: n d k : ℕ

Context: hn : n > 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d k✝ N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: n k : ℕ

Context: hn : n > 0

Context: hk : ↑(0 ^ n) / (↑(n * (0 - 1) ^ 2) + 1) ≤ ↑(sphere n 0 k).card

↑(0 ^ n) / ↑(n * 0 ^ 2) ≤ ↑(sphere n 0 k).card


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: n✝ d✝ k✝ N : ℕ

Context: x : Fin n✝ → ℕ

Context: n d k : ℕ

Context: hn : n > 0

Context: hd : d > 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: H : ∀ x ∈ s, ∀ y ∈ s, ∃ t ⊆ s, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s t u v : Set α

Context: H : ∀ x ∈ ∅, ∀ y ∈ ∅, ∃ t ⊆ ∅, x ∈ t ∧ y ∈ t ∧ IsPreconnected t


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Type u_1

Context: π : ι → Type u_2

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: s✝ t u v s : Set α

Context: x : α

Context: hx : x ∈ s


Context:
u✝ : Lean.Level
arg : Q(Type u✝)
sα✝ : Q(CommSemiring «$arg»)
u : Lean.Level
α : Q(Type u)
sα : Q(CommSemiring «$α»)
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
a a' a₁ a₂ a₃ b' b₁ b₂ b₃ c₁ c₂ : R
k : ℕ


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
α : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
k : ℕ
inst✝ : Fintype (Sym α k)

Fintype.card (Sym α k) = (Fintype.card α + k - 1).choose k


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α
a : α
f : α → β
l : Filter β

Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f atTop l


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
κ : Kernel α β
η : Kernel (α × β) γ
a : α
inst✝¹ : IsSFiniteKernel κ
inst✝ : IsSFiniteKernel η
t : Set (α × β)
ht : MeasurableSet t
c : ℝ≥0∞

Measurable fun a => ∫⁻ (b : β), t.indicator (Function.const (α × β) c) (a, b) ∂κ a


Measurable fun x => c * (κ x) (Prod.mk x ⁻¹' t)


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t✝ : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t : Finset ι
hw₀ : ∀ i ∈ t, w i ≤ 0
hws : ∑ i ∈ t, w i < 0
hz : ∀ i ∈ t, z i ∈ s


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝¹ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
f : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter f
h : g ⊆ f.sets
s : Set α
S : Set (Set α)
Sct : S.Countable
a✝ : ∀ s ∈ S, CountableGenerateSets g s
ih : ∀ s ∈ S, s ∈ f


Context:
α : Type u
β : α → Type v
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : AList β

⟦AList.erase a s⟧.keys = ⟦s⟧.keys.erase a


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X : C

R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))


R.map (L.map (R.map (h.counit.app (L.obj X))) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = R.map (h.counit.app (L.obj (R.obj (L.obj X)))) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X))


R.map (L.map (h.unit.app X)) ≫ R.map (h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))


R.map (L.map (h.unit.app X) ≫ h.counit.app (L.obj X)) = 𝟙 (R.obj (L.obj X))


Context: p n✝ k n : ℕ

∏ p ∈ Finset.range (2 * n + 1), p ^ n.centralBinom.factorization p = n.centralBinom


Context: p n✝ k n : ℕ


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0


∑ x ∈ t, (∑ x ∈ t', w x)⁻¹ • w x • z x = ∑ x ∈ t', (∑ i ∈ t', w i)⁻¹ • w x • z x


∀ x ∈ t', x ∉ t → (∑ x ∈ t', w x)⁻¹ • w x • z x = 0


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s : Set E
i✝ j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
t' : Finset ι
ht : t ⊆ t'
h : ∀ i ∈ t', i ∉ t → w i = 0
i : ι
hit' : i ∈ t'
hit : i ∉ t


Context:
r : ℝ
hr : Irrational r
x✝ k : ℤ

k > 0 ∧ ⌈↑k * r⌉ - 1 = x✝ ↔ k > 0 ∧ ⌊↑k * r⌋ = x✝


Context:
r : ℝ
hr : Irrational r
x✝ k : ℤ

k > 0 → (⌈↑k * r⌉ - 1 = x✝ ↔ ⌊↑k * r⌋ = x✝)


Context:
r : ℝ
hr : Irrational r
x✝ k : ℤ
hk : k > 0


↑⌊↑k * r⌋ < ↑k * r ∧ ↑k * r ≤ ↑⌊↑k * r⌋ + 1


Context:
r : ℝ
hr : Irrational r
x✝ k : ℤ
hk : k > 0
h : ↑⌊↑k * r⌋ = ↑k * r


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y✝ : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: y : E b

(Pretrivialization.linearMapAt R e b) y = if b ∈ e.baseSet then (↑e { proj := b, snd := y }).2 else 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M₁ : Type u_7
M₂ : Type u_8
M₃ : Type u_9
V : Type u_10
V₂ : Type u_11
inst✝¹¹ : Ring R
inst✝¹⁰ : Ring R₂
inst✝⁹ : Ring R₃
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M₂
inst✝⁶ : AddCommGroup M₃
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R₂ M₂
inst✝³ : Module R₃ M₃
τ₁₂ : R →+* R₂
τ₂₃ : R₂ →+* R₃
τ₁₃ : R →+* R₃
inst✝² : RingHomCompTriple τ₁₂ τ₂₃ τ₁₃
F : Type u_12
inst✝¹ : FunLike F M M₂
inst✝ : SemilinearMapClass F τ₁₂ M M₂
f✝ : F
p : Submodule R M
f : M →ₗ[R] M
hf : ∀ x ∈ p, f x ∈ p

Injective ⇑(f.restrict hf) ↔ Disjoint p (ker f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
h₁ : s₁ ⊆ s
h₂ : s₂ ⊆ s
h' : f '' s₁ ⊆ f '' s₂


f ⁻¹' (f '' s₁) ∩ s ⊆ f ⁻¹' (f '' s₂) ∩ s


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁴ : AddCommGroup E
inst✝³ : AddCommGroup F
inst✝² : AddCommGroup G
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
c x y : E
h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]
z : E
hzt : z ∈ [c-[𝕜]x]
hzs : z ∈ [c-[𝕜]y]


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: c x y : E

Context: h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]

Context: z : E

Context: hzt : ∃ x_1 ∈ Icc 0 1, (1 - x_1) • c + x_1 • x = z

Context: hzs : ∃ x ∈ Icc 0 1, (1 - x) • c + x • y = z


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: c x y : E

Context: h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]

Context: p : 𝕜

Context: p0 : 0 ≤ p

Context: p1 : p ≤ 1

Context: q : 𝕜

Context: H : (1 - q) • c + q • y = (1 - p) • c + p • x

Context: q0 : 0 ≤ q

Context: q1 : q ≤ 1

Context: Hx : x = x - c + c

Context: Hy : y = y - c + c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: c x y : E

Context: h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]

Context: p : 𝕜

Context: p0 : 0 ≤ p

Context: p1 : p ≤ 1

Context: q : 𝕜

Context: H : (1 - q) • c + (q • (y - c) + q • c) = (1 - p) • c + (p • (x - c) + p • c)

Context: q0 : 0 ≤ q

Context: q1 : q ≤ 1

Context: Hx : x = x - c + c

Context: Hy : y = y - c + c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: c x y : E

Context: h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]

Context: p : 𝕜

Context: p0 : 0 ≤ p

Context: p1 : p ≤ 1

Context: q : 𝕜

Context: q0 : 0 ≤ q

Context: q1 : q ≤ 1

Context: Hx : x = x - c + c

Context: Hy : y = y - c + c

Context: this : c + q • (y - c) = c + p • (x - c)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝⁵ : OrderedRing 𝕜

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup E

Context: inst✝³ : AddCommGroup F

Context: inst✝² : AddCommGroup G

Context: inst✝¹ : Module 𝕜 E

Context: inst✝ : Module 𝕜 F

Context: c x y : E

Context: h : LinearIndependent 𝕜 ![x - c, y - c]

Context: Hx : x = x - c + c

Context: Hy : y = y - c + c

Context: p0 : 0 ≤ 0

Context: p1 : 0 ≤ 1

Context: q0 : 0 ≤ 0

Context: q1 : 0 ≤ 1

Context: H : (1 - 0) • c + (0 • (y - c) + 0 • c) = (1 - 0) • c + (0 • (x - c) + 0 • c)

Context: this : c + 0 • (y - c) = c + 0 • (x - c)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁴ : RCLike 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 F
T : E →ₗ.[𝕜] F
S : F →ₗ.[𝕜] E
h : T.IsFormalAdjoint S
y : ↥S.domain
x✝ : ↥T.domain

⟪↑S y, ↑x✝⟫_𝕜 = ⟪↑y, ↑T x✝⟫_𝕜


Context:
H : Type u
H' : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝ : TopologicalSpace H
c : ChartedSpaceCore H M
e : PartialEquiv M H
he : e ∈ c.atlas


Context: H : Type u

Context: H' : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace H

Context: c : ChartedSpaceCore H M

Context: e : PartialEquiv M H

Context: he : e ∈ c.atlas

Context: E : e.target ∩ ↑e.symm ⁻¹' e.source = e.target


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)

Context: hd : ∀ z ∈ ball c ↑R \ s, DifferentiableAt ℂ f z

Context: hR : 0 < R

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R

HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c (↑R) n) fun x => w) (f (c + w))


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)

Context: hR : 0 < R

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R

Context: hw' : c + w ∈ ball c ↑R


Context: E : Type u

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: R : ℝ≥0

Context: c : ℂ

Context: f : ℂ → E

Context: s : Set ℂ

Context: hs : s.Countable

Context: hc : ContinuousOn f (closedBall c ↑R)

Context: hR : 0 < R

Context: w : ℂ

Context: hw : w ∈ EMetric.ball 0 ↑R

Context: hw' : c + w ∈ ball c ↑R

HasSum (fun n => (cauchyPowerSeries f c (↑R) n) fun x => w) ((2 * ↑π * I)⁻¹ • ∮ (z : ℂ) in C(c, ↑R), (z - (c + w))⁻¹ • f z)


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : TopologicalSpace R
inst✝³ : TopologicalRing R
A : Type u_2
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : TopologicalSpace A
inst✝ : TopologicalRing A


((∀ (n : ℕ), IsOpen ↑(⊥ ^ n)) ∧ ∀ s ∈ 𝓝 0, ∃ n, ↑(⊥ ^ n) ⊆ s) ↔ DiscreteTopology A


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: hf'_mono : StrictMonoOn (deriv f) (Ioo x y)

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

∃ a ∈ Ioo x y, (f y - f x) / (y - x) < deriv f a


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y


Context: x y : ℝ

Context: f : ℝ → ℝ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc x y)

Context: hxy : x < y

Context: h : ∀ w ∈ Ioo x y, deriv f w ≠ 0

Context: A : DifferentiableOn ℝ f (Ioo x y)

Context: a : ℝ

Context: ha : deriv f a = (f y - f x) / (y - x)

Context: hxa : x < a

Context: hay : a < y

Context: b : ℝ

Context: hab : a < b

Context: hby : b < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
e : Sym2 α
f : α → β
inst✝ : DecidableEq α
s : Finset α
x✝ y✝ : α

s(x✝, y✝) ∈ filter (fun a => ¬a.IsDiag) (image Sym2.mk (s ×ˢ s)) ↔ s(x✝, y✝) ∈ image Sym2.mk s.offDiag


(∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ s) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)) ∧ ¬s(x✝, y✝).IsDiag ↔ ∃ a b, (a ∈ s ∧ b ∈ s ∧ a ≠ b) ∧ s(a, b) = s(x✝, y✝)


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X x✝¹ x✝ : Discrete M
f : x✝¹ ⟶ x✝

{ as := X.as * x✝¹.as } = { as := X.as * x✝.as }


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ X₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ X₂✝
X : Discrete M

{ as := X₁✝.as * X.as } = { as := X₂✝.as * X.as }


Context:
M : Type u
inst✝ : Monoid M
X₁✝ Y₁✝ X₂✝ Y₂✝ : Discrete M
f : X₁✝ ⟶ Y₁✝
g : X₂✝ ⟶ Y₂✝

{ as := X₁✝.as * X₂✝.as } = { as := Y₁✝.as * Y₂✝.as }


Context: A : Type u_1

Context: inst✝⁹ : NonUnitalNormedRing A

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace A

Context: inst✝⁷ : PartialOrder A

Context: inst✝⁶ : StarRing A

Context: inst✝⁵ : StarOrderedRing A

Context: inst✝⁴ : CstarRing A

Context: inst✝³ : NormedSpace ℂ A

Context: inst✝² : StarModule ℂ A

Context: inst✝¹ : SMulCommClass ℂ A A

Context: inst✝ : IsScalarTower ℂ A A

Context: a b : A

Context: hb : autoParam (IsSelfAdjoint b) _auto✝

Context: h₁ : a * b * star a = star (star a) * b * star a

Context: h₂ : a * star a = star (star a) * star a

star (star a) * b * star a ≤ ‖b‖ • (star (star a) * star a)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α
s t : Set α
a✝ : α
x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)
hs : s.IsPWO
ht : t.IsPWO
a : α
h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: h1 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)

Context: h2 : (s.mulAntidiagonal t a).PartiallyWellOrderedOn (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: hg : ∀ (m n : ℕ), m ≤ n → (Prod.fst ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

Context: h2' : (Prod.snd ⁻¹'o fun x x_1 => x ≤ x_1) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m)) ↑((Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedCancelCommMonoid α

Context: s t : Set α

Context: a✝ : α

Context: x y : ↑(s.mulAntidiagonal t a✝)

Context: hs : s.IsPWO

Context: ht : t.IsPWO

Context: a : α

Context: h : (s.mulAntidiagonal t a).Infinite

Context: g : ℕ ↪o ℕ

Context: m n : ℕ

Context: mn : m < n

(Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g m) = (Infinite.natEmbedding (s.mulAntidiagonal t a) h) (g n)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

Context: hf : Tendsto (fun i => ⨍ (y : α) in a i, ‖f y - c‖ ∂μ) l (𝓝 0)

Context: f_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, IntegrableOn f (a i) μ

Context: hg : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y ∂μ) l (𝓝 1)

Context: g_supp : ∀ᶠ (i : ι) in l, support (g i) ⊆ a i

Context: g_bound : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∀ (x : α), |g i x| ≤ K / (μ (a i)).toReal

Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ) l (𝓝 c)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

Context: g_int : ∀ᶠ (i : ι) in l, Integrable (g i) μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

Context: I : ∀ᶠ (i : ι) in l, ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g i y ∂μ) • c = ∫ (y : α), g i y • f y ∂μ

Context: L0 : Tendsto (fun i => ∫ (y : α), g i y • (f y - c) ∂μ) l (𝓝 0)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

Context: this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 (0 + 1 • c))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: μ ν : Measure α

Context: s t : Set α

Context: ι : Type u_4

Context: a : ι → Set α

Context: l : Filter ι

Context: f : α → E

Context: c : E

Context: g : ι → α → ℝ

Context: K : ℝ

Context: this : Tendsto (fun x => ∫ (y : α), g x y • (f y - c) ∂μ + (∫ (y : α), g x y ∂μ) • c) l (𝓝 c)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
inst✝ : ∀ (X : D), Epi (h.counit.app X)
X Y : D
f g : X ⟶ Y
hfg : R.map f = R.map g


(h.homEquiv (R.obj X) Y) (h.counit.app X ≫ f) = (h.homEquiv (R.obj X) Y) (h.counit.app X ≫ g)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
f fa : α → α
fb : β → β
x y : α
m n✝ : ℕ
hm : IsPeriodicPt f m x
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
δ : Type u_4
γ : Type u_5
ι : Type u_6
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s✝ s'✝ t✝ s s' t : Set α
ht : MeasurableSet t

(μ.restrict (s ∪ s')) t ≤ (μ.restrict s + μ.restrict s') t


Context:
a x : ℝ
hx : 0 < x

HasSum (fun n => (↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) (oddKernel (↑a) x)


Context:
a x : ℝ
hx : 0 < x

HasSum (fun x_1 => ↑((↑x_1 + a) * rexp (-π * (↑x_1 + a) ^ 2 * x))) (cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h1 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂ (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: h2 : HasSum (fun n => jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x)) (jacobiTheta₂' (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ

↑((↑n + a) * rexp (-π * (↑n + a) ^ 2 * x)) = cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x) * (jacobiTheta₂'_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x) / (2 * ↑π * I) + ↑a * jacobiTheta₂_term n (↑a * I * ↑x) (I * ↑x))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ

(↑n + ↑a) * cexp (-↑π * (↑n + ↑a) ^ 2 * ↑x) = (↑n + ↑a) * cexp (-↑π * ↑a ^ 2 * ↑x + (2 * ↑π * I * ↑n * (↑a * I * ↑x) + ↑π * I * ↑n ^ 2 * (I * ↑x)))


Context: a x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: n : ℤ

(↑n + ↑a) * cexp (-↑π * (↑n + ↑a) ^ 2 * ↑x) = (↑n + ↑a) * cexp ((-↑π * ↑a ^ 2 + (2 * ↑π * I * ↑n * ↑a + ↑π * I * ↑n ^ 2) * I) * ↑x)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
h : ¬SameRay ℝ x y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: a b r : ℝ

Context: h : x ≠ 0 ∧ y ≠ 0 ∧ ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : x ≠ 0
hy : y ≠ 0
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E
x y z : E
a b r : ℝ
hx : 0 < ‖x‖
hy : 0 < ‖y‖
hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y
hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁴ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : StrictConvexSpace ℝ E

Context: x y z : E

Context: a b r : ℝ

Context: hx : 0 < ‖x‖

Context: hy : 0 < ‖y‖

Context: hne : ‖x‖⁻¹ • x ≠ ‖y‖⁻¹ • y

Context: hxy : 0 < ‖x‖ + ‖y‖

Context: this : (‖x‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖x‖⁻¹ • x + (‖y‖ / (‖x‖ + ‖y‖)) • ‖y‖⁻¹ • y ∈ ball 0 1


Context:
σ : Type u_1
τ : Type u_2
R : Type u
S : Type v
r : R
e : ℕ
n m : σ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
s t : Set σ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
ι' : Sort u_4
inst✝ : TopologicalSpace X
S : Set (Set X)
h : ∀ s ∈ S, IsGδ s
hS : S.Countable


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞


Context:
x : ℝ
n : ℕ∞

DifferentiableOn ℝ log {0}ᶜ ∧ ContDiffOn ℝ ⊤ (deriv log) {0}ᶜ


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : NonUnitalRing α
a b c : α
h : a ∣ c


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
n : ℕ

∑ i ∈ range (n + 2), 0 ^ i = if n + 2 = 0 then 0 else 1


Context:
α : Type u
inst✝ : Semiring α
n : ℕ

0 ^ (n + 1) + ∑ i ∈ range (n + 1), 0 ^ i = if n + 2 = 0 then 0 else 1


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hxs : UniqueDiffWithinAt 𝕜 s x
c : F

derivWithin (fun y => c - f y) s x = -derivWithin f s x


Context:
R : Type u
R' : Type u'
M M₁ : Type v
M' : Type v'
inst✝⁹ : Ring R
inst✝⁸ : Ring R'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Module R' M'
inst✝ : Module R' M₁
f : M →ₗ[R] M₁
h : Surjective ⇑f


Module.rank R ↥(range f) ≤ Module.rank R M


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hf : AEStronglyMeasurable f (μ.restrict s)

Context: hg : AEStronglyMeasurable g (μ.restrict sᶜ)

AEStronglyMeasurable (s.piecewise f g) μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : MeasurableSet s

s.piecewise f g =ᶠ[ae μ] s.piecewise (AEStronglyMeasurable.mk f hf) (AEStronglyMeasurable.mk g hg)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict s, s.piecewise f g x = s.piecewise (AEStronglyMeasurable.mk f hf) (AEStronglyMeasurable.mk g hg) x


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝³ : Countable ι

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: f g : α → β

Context: s : Set α

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => x ∈ s

Context: hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : α) ∂μ.restrict sᶜ, s.piecewise f g x = s.piecewise (AEStronglyMeasurable.mk f hf) (AEStronglyMeasurable.mk g hg) x


Context: θ : Angle


Context: x✝ : ℝ


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : CommRing S

Context: inst✝¹⁷ : CommRing T

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : Algebra L F

Context: inst✝⁷ : Algebra R F

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R L F

Context: A₁ : Type u_7

Context: B₁ : Type u_8

Context: A₂ : Type u_9

Context: B₂ : Type u_10

Context: inst✝⁵ : CommRing A₁

Context: inst✝⁴ : CommRing B₁

Context: inst✝³ : CommRing A₂

Context: inst✝² : CommRing B₂

Context: inst✝¹ : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: he : (algebraMap A₂ B₂).comp ↑e₁ = (↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)

Context: x : B₁

Context: this : Algebra A₁ B₂ := ((↑e₂).comp (algebraMap A₁ B₁)).toAlgebra

Context: e' : B₁ ≃ₐ[A₁] B₂ := { toEquiv := e₂.toEquiv, map_mul' := ⋯, map_add' := ⋯, commutes' := ⋯ }

(trace A₁ B₁) x = e₁.symm ((trace A₂ B₂) (e₂ x))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹⁹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁸ : CommRing S

Context: inst✝¹⁷ : CommRing T

Context: inst✝¹⁶ : Algebra R S

Context: inst✝¹⁵ : Algebra R T

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra K L

Context: ι κ : Type w

Context: inst✝¹¹ : Fintype ι

Context: F : Type u_6

Context: inst✝¹⁰ : Field F

Context: inst✝⁹ : Algebra R L

Context: inst✝⁸ : Algebra L F

Context: inst✝⁷ : Algebra R F

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R L F

Context: A₁ : Type u_7

Context: B₁ : Type u_8

Context: A₂ : Type u_9

Context: B₂ : Type u_10

Context: inst✝⁵ : CommRing A₁

Context: inst✝⁴ : CommRing B₁

Context: inst✝³ : CommRing A₂

Context: inst✝² : CommRing B₂

Context: inst✝¹ : Algebra A₁ B₁

Context: inst✝ : Algebra A₂ B₂

Context: e₁ : A₁ ≃+* A₂

Context: e₂ : B₁ ≃+* B₂

Context: x : B₁

(trace A₁ B₂) (e' x) = (trace A₁ B₂) (e₂ x)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i

Context: c : 𝕜

lp.single p i (c • a) = c • lp.single p i a


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p✝ q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: i : α

Context: a : E i

Context: c : 𝕜

Context: j : α

↑(lp.single p i (c • a)) j = ↑(c • lp.single p i a) j


Context:
ι : Type uι
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁶ : FiniteDimensional ℝ E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
H : Type uH
inst✝³ : TopologicalSpace H
I : ModelWithCorners ℝ E H
M : Type uM
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : SmoothManifoldWithCorners I M
s : Set M
U : M → Set M
fs : SmoothBumpCovering ι I M s
i : ι
x : M
h : ↑(fs.toFun i) x = 1


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
c : F
h : Differentiable 𝕜 fun y => f y + c


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
F : ι → X → α

Equicontinuous F ↔ Continuous (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F)


Context:
α✝ β : Type u
c : Cardinal.{?u.202561}
α : Type u
A : Set (Set α)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
inst✝¹ : MeasurableSpace α
p✝ q : α → Prop
inst✝ : Countable ι
p : ι → α → Prop
hp : ∀ (i : ι), Measurable (p i)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝² : Category.{u_3, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.63018, u_2} D
W : MorphismProperty C
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
z₁ : W.LeftFraction X Y
z₂ : W.LeftFraction Y Z
z₃ : W.LeftFraction z₁.Y' z₂.Y'
h₃ : z₂.f ≫ z₃.s = z₁.s ≫ z₃.f

Hom.comp (homMk z₁) (homMk z₂) = homMk (z₁.comp₀ z₂ z₃)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
H : Type u_2
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace H
E : Type u_3
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 E
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
F : Type u_4
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 F
J : ModelWithCorners 𝕜 F F
G : Type u_5
inst✝¹³ : TopologicalSpace G
inst✝¹² : ChartedSpace H G
inst✝¹¹ : Group G
inst✝¹⁰ : LieGroup I G
E' : Type u_6
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
H' : Type u_7
inst✝⁷ : TopologicalSpace H'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
M : Type u_8
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H' M
E'' : Type u_9
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E''
H'' : Type u_10
inst✝² : TopologicalSpace H''
I'' : ModelWithCorners 𝕜 E'' H''
M' : Type u_11
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
inst✝ : ChartedSpace H'' M'
n : ℕ∞
f g : M → G
hf : ContMDiff I' I n f
hg : ContMDiff I' I n g


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
C : Type u_3
inst✝³ : Category.{?u.313, u_3} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
inst✝¹ : HasZeroObject C
K L M : HomologicalComplex C c'
φ : K ⟶ L
φ' : L ⟶ M
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hij : ¬c.Rel i j


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f g u v : R[X]

Context: h1 : u * v = 1

Context: h2 : v * u = 1

Context: ha : f * ↑{ val := u, inv := v, val_inv := h1, inv_val := h2 } = g

Context: a b : R[X]

Context: h : (a * f + b * derivative f) * (u * v) = 1 * 1

Context: h3 : derivative (u * v) = derivative 1

(a * v + b * derivative v) * g + b * v * derivative g = 1


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommSemiring R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommSemiring S

Context: f g u v : R[X]

Context: h1 : u * v = 1

Context: h2 : v * u = 1

Context: a b : R[X]

Context: h3 : derivative u * v + u * derivative v = 0

(a * v + b * derivative v) * (f * u) + b * v * (derivative f * u + f * derivative u) = 1


Context:
R : Type u
S : Type v
a b c d : R
n m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝¹ p✝ q✝ : R[X]
ι : Type u_1
p q : R[X]


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
a : α
b : β
x✝ : α × β

x✝ ∈ ∅ ×ˢ t ↔ x✝ ∈ ∅


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: inst✝ : Linear R C

Context: K L M : CochainComplex C ℤ

Context: n✝ : ℤ

Context: γ✝ γ₁ γ₂ : Cochain K L n✝

Context: a n' : ℤ

Context: γ : Cochain K ((CategoryTheory.shiftFunctor (CochainComplex C ℤ) a).obj L) n'

Context: n : ℤ

Context: hn' : n' + a = n

Context: p q : ℤ

Context: hpq : p + n' = q

((γ.rightUnshift n hn').rightShift a n' hn').v p q hpq = γ.v p q hpq


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
s✝ : Set α
inst✝ : Bornology α
s : Set ι
f : ι → Set α
hs : s.Finite

IsBounded (⋃ i ∈ s, f i) ↔ ∀ i ∈ s, IsBounded (f i)


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : n = 0

‖↑{ num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }‖ ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : n = 0

Context: this : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } = 0


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
n : ℤ
d : ℕ
hn : d ≠ 0
hd : n.natAbs.Coprime d
hq : ¬p ∣ d
hnz : ¬n = 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

Context: hnz' : { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≠ 0


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

↑(padicNorm p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }) ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

padicNorm p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd } ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

(↑p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num)⁻¹ ≤ 1


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

1 ≤ ↑p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0

1 ≤ p ^ padicValInt p { num := n, den := d, den_nz := hn, reduced := hd }.num


Context: p : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: n : ℤ

Context: d : ℕ

Context: hn : d ≠ 0

Context: hd : n.natAbs.Coprime d

Context: hq : ¬p ∣ d

Context: hnz : ¬n = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
f0 : 2 ≤ f.support.card


Context: A : Type u_1

Context: A' : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: B' : Type u_4

Context: inst✝³ : Category.{u_6, u_1} A

Context: inst✝² : Category.{u_7, u_2} A'

Context: inst✝¹ : Category.{u_5, u_3} B

Context: inst✝ : Category.{u_8, u_4} B'

Context: eA : A ≌ A'

Context: eB : B ≌ B'

Context: e' : A' ≌ B'

Context: F : A ⥤ B'

Context: hF : eA.functor ⋙ e'.functor ≅ F

Context: G : B ⥤ A

Context: hG : eB.functor ⋙ e'.inverse ≅ G ⋙ eA.functor

Context: Y' : B

eB.inverse.map ((equivalence₁ hF).counitIso.hom.app (eB.functor.obj Y')) ≫ eB.unitIso.inv.app Y' = (equivalence₂CounitIso eB hF).hom.app Y'


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
n : ℕ
S✝ : ComposableArrows C n
S : ComposableArrows C (n + 2)
hS : S.Exact


Context: C : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝ : HasZeroMorphisms C

Context: n : ℕ

Context: S✝ : ComposableArrows C n

Context: S : ComposableArrows C (n + 2)

Context: hS : (mk₂ (S.map' 0 1 ⋯ ⋯) (S.map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact ∧ S.δ₀.Exact


Context:
H : Type u_1
M : Type u_2
H' : Type u_3
M' : Type u_4
X : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
inst✝⁵ : ChartedSpace H M
inst✝⁴ : TopologicalSpace H'
inst✝³ : TopologicalSpace M'
inst✝² : ChartedSpace H' M'
inst✝¹ : TopologicalSpace X
G : StructureGroupoid H
G' : StructureGroupoid H'
e e' : PartialHomeomorph M H
f f' : PartialHomeomorph M' H'
P : (H → H') → Set H → H → Prop
g g' : M → M'
s t : Set M
x : M
Q : (H → H) → Set H → H → Prop
hG : G.LocalInvariantProp G' P
inst✝ : HasGroupoid M G
he : e ∈ maximalAtlas M G
xe : x ∈ e.source

LiftPropWithinAt P g s x ↔ LiftPropWithinAt P (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧ P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ ContinuousWithinAt (g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x) ∧ P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


P (↑(chartAt H' (g x)) ∘ g ∘ ↑(chartAt H x).symm) (↑(chartAt H x).symm ⁻¹' s) (↑(chartAt H x) x) ↔ P (↑(chartAt H' ((g ∘ ↑e.symm) (↑e x))) ∘ g ∘ ↑e.symm) (↑e.symm ⁻¹' s) (↑e x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝¹ : CountablyGenerated γ
κ : Kernel α (γ × β)
ν : Kernel α γ
hκν : κ.fst ≤ ν
a : α
inst✝ : IsFiniteKernel ν
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∀ᵐ (x : γ) ∂ν a, Tendsto (fun n => κ.densityProcess ν n a x s) atTop (𝓝 (κ.density ν a x s))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X : Type u

{ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X) = 𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)


⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (𝟙 X)) ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑(𝟙 ({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.obj X)) ∘ FreeAlgebra.ι R


FreeAlgebra.ι R ∘ 𝟙 X = ⇑(𝟙 (mk (FreeAlgebra R X))) ∘ FreeAlgebra.ι R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝

{ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (f✝ ≫ g✝) = { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝


⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map (f✝ ≫ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R = ⇑({ obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map f✝ ≫ { obj := fun S => mk (FreeAlgebra R S), map := fun {X Y} f => (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f) }.map g✝) ∘ FreeAlgebra.ι R


FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝) = ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
M N U : ModuleCat R
X✝ Y✝ Z✝ : Type u
f✝ : X✝ ⟶ Y✝
g✝ : Y✝ ⟶ Z✝
x✝ : X✝

(FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ = (⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝) ≫ (FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝


(FreeAlgebra.ι R ∘ (f✝ ≫ g✝)) x✝ = ((⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) ∘ ⇑((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝))) ∘ FreeAlgebra.ι R) x✝


FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) = ((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝)) (((FreeAlgebra.lift R) (FreeAlgebra.ι R ∘ f✝)) (FreeAlgebra.ι R x✝))


FreeAlgebra.ι R (g✝ (f✝ x✝)) = (FreeAlgebra.ι R ∘ g✝) (f✝ x✝)


Context: m n✝ n : ℤ


Context:
R : Type u
X : Type v
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : Nontrivial R

Module.rank R (FreeAlgebra R X) = Cardinal.lift.{u, v} (Cardinal.mk (List X))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y✝ : α
r : ℝ≥0∞
f : α → β
Kf : ℝ≥0
hf : LipschitzWith Kf f
g : α → γ
Kg : ℝ≥0
hg : LipschitzWith Kg g
x y : α

edist ((fun x => (f x, g x)) x) ((fun x => (f x, g x)) y) ≤ ↑(max Kf Kg) * edist x y


max (edist ((fun x => (f x, g x)) x).1 ((fun x => (f x, g x)) y).1) (edist ((fun x => (f x, g x)) x).2 ((fun x => (f x, g x)) y).2) ≤ max (↑Kf * edist x y) (↑Kg * edist x y)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α

∀ (a b : α), Setoid.r a b = (b * a⁻¹ ∈ s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c x : α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y : C
α : X ≅ Y
f : End X


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
f : PushoutI φ →* K
i : ι

((fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).1 i).comp (φ i) = (fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)).2


Context:
ι : Type u_1
G : ι → Type u_2
H : Type u_3
K : Type u_4
inst✝² : Monoid K
inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)
inst✝ : Monoid H
φ : (i : ι) → H →* G i
x✝ : PushoutI φ →* K

∀ (i : ι), ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (of i) = x✝.comp (of i)


((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ((fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) x✝)).comp (base φ) = x✝.comp (base φ)


Context: ι : Type u_1

Context: G : ι → Type u_2

Context: H : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝² : Monoid K

Context: inst✝¹ : (i : ι) → Monoid (G i)

Context: inst✝ : Monoid H

Context: φ : (i : ι) → H →* G i

Context: x✝ : { f // ∀ (i : ι), (f.1 i).comp (φ i) = f.2 }

Context: fst✝ : (i : ι) → G i →* K

Context: snd✝ : H →* K

Context: property✝ : ∀ (i : ι), ((fst✝, snd✝).1 i).comp (φ i) = (fst✝, snd✝).2

(fun f => ⟨(fun i => f.comp (of i), f.comp (base φ)), ⋯⟩) ((fun f => lift (↑f).1 (↑f).2 ⋯) ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩) = ⟨(fst✝, snd✝), property✝⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
k n : ℕ

replicate k a ≤ replicate n a ↔ List.replicate k a <+ List.replicate n a


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N


Context:
n m : ℕ
a : ZMod 0


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (unitsMap ⋯) u = hu₀.unit


Context:
n m N : ℕ
a : ZMod N
hN : N ≠ 0
this : NeZero N
d : ℕ := a.val.gcd N
hd : d ≠ 0
a₀ : ℕ
ha₀ : a.val = d * a₀
N₀ : ℕ
hN₀ : N = d * N₀
hu₀ : IsUnit ↑a₀
u : (ZMod N)ˣ
hu : (castHom ⋯ (ZMod N₀)) ↑u = ↑a₀


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : Star R
inst✝³ : AddMonoid A
inst✝² : StarAddMonoid A
inst✝¹ : SMul R A
inst✝ : StarModule R A
r : R
hr : IsSelfAdjoint r
x : A
hx : IsSelfAdjoint x


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u'
inst✝¹ : Category.{v', u'} A
inst✝ : ConcreteCategory A
F G : Cᵒᵖ ⥤ A
f : F ⟶ G
U : C
s : (forget A).obj (F.obj (op U))
V : C
i : V ⟶ U

(imageSieve f ((f.app (op U)) s)).arrows i ↔ ⊤.arrows i


∃ t, (f.app (op V)) t = (G.map i.op) ((f.app (op U)) s)


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝¹ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝ : ConcreteCategory A

Context: F G : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f : F ⟶ G

Context: U : C

Context: s : (forget A).obj (F.obj (op U))

Context: V : C

Context: i : V ⟶ U

Context: this : ∀ (x : (forget A).obj (F.obj (op U))), (f.app (op V)) ((F.map i.op) x) = (G.map i.op) ((f.app (op U)) x)


Context:
n m : ℕ
p i : Fin n
h : p < i
hi : optParam (i.castSucc ≠ 0) ⋯

p.predAbove i.castSucc = i.castSucc.pred hi


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: g : B →+* C

Context: f : A →+* B

Context: hg : g.FinitePresentation

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: ins3 : Algebra A C := (g.comp f).toAlgebra

Context: a : A

Context: b : B

Context: c : C


Context: A : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: C : Type u_3

Context: inst✝² : CommRing A

Context: inst✝¹ : CommRing B

Context: inst✝ : CommRing C

Context: g : B →+* C

Context: f : A →+* B

Context: hg : g.FinitePresentation

Context: hf : f.FinitePresentation

Context: ins1 : Algebra A B := f.toAlgebra

Context: ins2 : Algebra B C := g.toAlgebra

Context: a : A

Context: b : B

Context: c : C

(algebraMap B C) ((algebraMap A B) a) * ((algebraMap B C) b * c) = (algebraMap A C) a * ((algebraMap B C) b * c)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
s t : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
β₂ : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Sort u_5
ι' : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ' : ι' → Sort u_8
inst✝ : CompleteLattice α
f✝ g✝ s t : ι → α
a b : α
g : β → α
f : ι → β


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0
this : p.coeff p.natDegree ≠ 0


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: A : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : Semiring R

Context: inst✝ : Semiring S

Context: p : R[X]

Context: hp : p ≠ 0

Context: s : R

Context: h : p.scaleRoots s = 0

Context: this✝ : p.coeff p.natDegree ≠ 0

Context: this : (p.scaleRoots s).coeff p.natDegree = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : Semiring S
p : R[X]
hp : p ≠ 0
s : R
h : p.scaleRoots s = 0
this✝ : p.coeff p.natDegree ≠ 0
this : p.leadingCoeff = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: z : (⨁ fun a => s (f a)) ⟶ ⨁ fun b => s (g b)

Context: w : (⨁ fun b => s (g b)) ⟶ ⨁ fun c => s (h c)

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property : a ∈ f ⁻¹' {h c}

o.matrixDecomposition (z ≫ w) (h c) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩ = (o.matrixDecomposition w (h c) * o.matrixDecomposition z (h c)) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

o.matrixDecomposition (z ≫ w) (h c) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩ = (o.matrixDecomposition w (h c) * o.matrixDecomposition z (h c)) ⟨c, ⋯⟩ ⟨a, j_property✝⟩


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c = ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}), eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ ((∑ j : β, biproduct.π (fun b => s (g b)) j ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) j) ≫ w) ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c = ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}), eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

∑ j : β, eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ ((biproduct.π (fun b => s (g b)) j ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) j) ≫ w) ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c = ∑ x : ↑(g ⁻¹' {h c}), eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑x ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑x ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

∀ (x : β) (h_1 : x ∈ g ⁻¹' {h c}), eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ ((biproduct.π (fun b => s (g b)) x ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) x) ≫ w) ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c = eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ biproduct.π (fun b => s (g b)) ↑⟨x, h_1⟩ ≫ biproduct.ι (fun a => s (g a)) ↑⟨x, h_1⟩ ≫ w ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c


Context: C : Type u

Context: inst✝⁵ : Category.{v, u} C

Context: ι : Type u_1

Context: s : ι → C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasFiniteBiproducts C

Context: o : HomOrthogonal s

Context: α β γ : Type

Context: inst✝² : Finite α

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : Finite γ

Context: f : α → ι

Context: g : β → ι

Context: h : γ → ι

Context: c : γ

Context: a : α

Context: j_property✝ : a ∈ f ⁻¹' {h c}

Context: j_property : f a = h c

∀ x ∉ g ⁻¹' {h c}, eqToHom ⋯ ≫ biproduct.ι (fun a => s (f a)) a ≫ z ≫ ((biproduct.π (fun b => s (g b)) x ≫ biproduct.ι (fun b => s (g b)) x) ≫ w) ≫ biproduct.π (fun b => s (h b)) c = 0


Context:
G : Type u_1
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : MeasurableMul₂ G
μ ν : Measure G
inst✝² : SFinite ν
inst✝¹ : SFinite μ
s : Set G
inst✝ : μ.IsMulRightInvariant


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
κ : ι → Sort u_5
r : α → β → Prop
s s₁ s₂ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
c d : Concept α β r


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : DistribLattice α
inst✝ : OrderBot α
s✝ : Finset ι
t : Finset κ
f✝ : ι → α
g : κ → α
a✝ : α
s : Finset ι
f : ι → α
a : α


Context:
A : Type u_1
inst✝³ : AddCommGroup A
inst✝² : Module ℂ A
inst✝¹ : StarAddMonoid A
inst✝ : StarModule ℂ A
a : ↥(skewAdjoint A)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: h1 : lift.{max v w, u} #α = lift.{max u w, v} #β

Context: h2 : lift.{max v w, u} #↑s = lift.{max u w, v} #↑t

lift.{max v w, u} #↑sᶜ = lift.{max u w, v} #↑tᶜ


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α

Context: e : α ≃ β


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α

Context: e : α ≃ β

Context: this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: inst✝ : Finite α

Context: s : Set α

Context: t : Set β

Context: val✝ : Fintype α

Context: e : α ≃ β

Context: this : Fintype β := Fintype.ofEquiv α e

Context: h1 : Fintype.card α = Fintype.card β


Context: i j : Fin 2

(LinearMap.toMatrix basisOneI basisOneI) conjAe.toLinearMap i j = !![1, 0; 0, -1] i j


Tendsto (fun s => (s - 1) * riemannZeta s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α

(X • A.map ⇑C + B.map ⇑C).det.natDegree ≤ Fintype.card n


(∑ σ : Equiv.Perm n, sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i).natDegree ≤ Fintype.card n


Finset.fold max 0 (natDegree ∘ fun σ => sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i) Finset.univ ≤ Fintype.card n


∀ x ∈ Multiset.map (natDegree ∘ fun σ => sign σ • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (σ i) i) Finset.univ.val, x ≤ Fintype.card n


∀ (a : Equiv.Perm n), (sign a • ∏ i : n, (X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (a i) i).natDegree ≤ Fintype.card n


Context:
n : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : CommRing α
A B : Matrix n n α
g : Equiv.Perm n
i : n
x✝ : i ∈ Finset.univ

((X • A.map ⇑C + B.map ⇑C) (g i) i).natDegree ≤ 1


(X * C (A (g i) i) + C (B (g i) i)).natDegree ≤ 1


Context:
b : Bool
m : ℕ
h : m ≠ 0
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: g : β → γ

Context: hg : Inducing g

Context: s : Set α

ContinuousOn f s ↔ ContinuousOn (g ∘ f) s


Context:
α : Type u_1
size✝ : ℕ
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α
r' : List α

foldr List.cons (node size✝ l x r) r' = (node size✝ l x r).toList ++ r'


foldr List.cons l (x :: r.toList) ++ r' = (node size✝ l x r).toList ++ r'


Context: a b m n p : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: f : ℕ → β

Context: h_mult : ∀ (x y : ℕ), x.Coprime y → f (x * y) = f x * f y

Context: hf0 : f 0 = 1

Context: hf1 : f 1 = 1

f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k)


Context: a b m p : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: f : ℕ → β

Context: hf0 : f 0 = 1

Context: hf1 : f 1 = 1

f 0 = (factorization 0).prod fun p k => f (p ^ k)


Context: a b m n p : ℕ

Context: β : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoid β

Context: f : ℕ → β

Context: hf0 : f 0 = 1

Context: hf1 : f 1 = 1

Context: hn : n ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁵ : SecondCountableTopologyEither α E

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

‖toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: p : ℝ≥0∞

Context: q : ℝ

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁶ : BorelSpace α

Context: inst✝⁴ : CompactSpace α

Context: inst✝³ : IsFiniteMeasure μ

Context: 𝕜 : Type u_5

Context: inst✝² : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

‖BoundedContinuousFunction.toLp p μ 𝕜‖ ≤ ↑(measureUnivNNReal μ) ^ p.toReal⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: h : CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, f i * w ^ i

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n * w ^ n‖ ≤ C

Context: n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing α

Context: inst✝ : CompleteSpace α

Context: f : ℕ → α

Context: w z : α

Context: hz : ‖z‖ < ‖w‖

Context: hw : 0 < ‖w‖

Context: C : ℝ

Context: hC : ∀ (n : ℕ), ‖f n‖ ≤ C / ‖w‖ ^ n

Context: n : ℕ


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: h : eval {fun x => false} nil ∈ Submodule.span ℤ (eval {fun x => false} '' {m | m < nil})


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
δ : Type u_6
inst✝⁵ : Lattice α
inst✝⁴ : BoundedOrder α
inst✝³ : Lattice β
inst✝² : BoundedOrder β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : BoundedLatticeHomClass F α β
f : F
a b : α
h : Disjoint a b


Context:
α : Type u
inst✝ : Ring α
x : α
n : ℕ

op ((x - 1) * ∑ i ∈ range n, x ^ i) = op (x ^ n - 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoid α
p : Finset β
f : β → α

∏ i ∈ p, Associates.mk (f i) = Associates.mk (∏ i ∈ p, f i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : CommMonoid α

Context: p : Finset β

Context: f : β → α

Context: this : (fun i => Associates.mk (f i)) = Associates.mk ∘ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ u, HasStrictFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x

HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

HasStrictFDerivAt (fun x => (Multiset.map ((fun x_1 => g x_1 x) ∘ Subtype.val) u.attach).prod) (Multiset.map ((fun x_1 => (Multiset.map (fun x_2 => g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod • g' x_1) ∘ Subtype.val) u.attach).sum x