Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq l

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: P : Matrix m n α → Prop

Context: M : Matrix m n α

Context: h_zero : P 0

Context: val✝¹ : Fintype m

Context: val✝ : Fintype n

P (∑ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, stdBasisMatrix x.1 x.2 (M x.1 x.2))


Context: l : Type u_1

Context: m : Type u_2

Context: n : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝⁵ : DecidableEq l

Context: inst✝⁴ : DecidableEq m

Context: inst✝³ : DecidableEq n

Context: inst✝² : Semiring α

Context: inst✝¹ : Finite m

Context: inst✝ : Finite n

Context: P : Matrix m n α → Prop

Context: M : Matrix m n α

Context: h_zero : P 0

Context: h_add : ∀ (p q : Matrix m n α), P p → P q → P (p + q)

Context: h_std_basis : ∀ (i : m) (j : n) (x : α), P (stdBasisMatrix i j x)

Context: val✝¹ : Fintype m

Context: val✝ : Fintype n

∀ x ∈ Finset.univ ×ˢ Finset.univ, P (stdBasisMatrix x.1 x.2 (M x.1 x.2))


Context: m n : ℕ

(m + n)# = m# * ∏ p ∈ filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1)), p


Context: m n : ℕ


Context: m n : ℕ

Disjoint (filter Nat.Prime (Ico 0 (m + 1))) (filter Nat.Prime (Ico (m + 1) (m + n + 1)))


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
g : SL(2, R)
hg : ↑g 1 0 = 0

∃ a b, ∃ (h : a ≠ 0), g = ⟨!![a, b; 0, a⁻¹], ⋯⟩


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : ↑⟨!![a, b; c, d], ⋯⟩ 1 0 = 0


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : c = 0


Context:
n : Type u
inst✝⁴ : DecidableEq n
inst✝³ : Fintype n
R✝ : Type v
inst✝² : CommRing R✝
S : Type u_1
inst✝¹ : CommRing S
R : Type u_2
inst✝ : Field R
a b c d : R
h_det : a * d - b * c = 1
hg : c = 0
had : a * d = 1


Context:
α β : Type
n : ℕ
f g : (α → ℕ) → ℕ
df : DiophFn f
dg : DiophFn g


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: proof : Dioph (((fun v => v &2 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∩ fun v => v &0 = const (Fin2 3 → ℕ) 1 v) ∪ {v | const (Fin2 3 → ℕ) 0 v < v &2} ∩ (((fun v => v &1 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∩ fun v => v &0 = const (Fin2 3 → ℕ) 0 v) ∪ {v | const (Fin2 3 → ℕ) 0 v < v &1} ∩ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | ∃ x, (x :: v) ∈ {v | (v ∘ &4 :: &8 :: &1 :: &0 :: []) ∈ fun v => ∃ (h : 1 < v &0), xn h (v &1) = v &2 ∧ yn h (v &1) = v &3} ∩ ((fun v => v &1 ≡ v &0 * (v &4 - v &7) + v &6 [MOD v &3]) ∩ ((fun v => const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 2 v * v &4 * v &7 = v &3 + (v &7 * v &7 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v)) ∩ ({v | v &6 < v &3} ∩ ({v | v &7 ≤ v &5} ∩ ({v | v &8 ≤ v &5} ∩ fun v => v &4 * v &4 - ((v &5 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * (v &5 + const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) - const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v) * (v &5 * v &2) * (v &5 * v &2) = const (Fin2 (succ 8) → ℕ) 1 v)))))}}}}}}))


Context: α β : Type

Context: n : ℕ

Context: f g : (α → ℕ) → ℕ

Context: df : DiophFn f

Context: dg : DiophFn g

Context: this : Dioph {v | v &2 = 0 ∧ v &0 = 1 ∨ 0 < v &2 ∧ (v &1 = 0 ∧ v &0 = 0 ∨ 0 < v &1 ∧ ∃ w a t z x y, (∃ (a1 : 1 < a), xn a1 (v &2) = x ∧ yn a1 (v &2) = y) ∧ x ≡ y * (a - v &1) + v &0 [MOD t] ∧ 2 * a * v &1 = t + (v &1 * v &1 + 1) ∧ v &0 < t ∧ v &1 ≤ w ∧ v &2 ≤ w ∧ a * a - ((w + 1) * (w + 1) - 1) * (w * z) * (w * z) = 1)}


Context:
α : Type u_1
l : Filter α
f : α → ℝ

Tendsto (fun x => (f x).toNNReal) l atTop ↔ Tendsto f l atTop


Context: z : ↥circle


Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f✝) g

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: i : (𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackCover f).J

(pullbackCoverAffineRefinementObjIso f 𝒰 i).inv ≫ 𝒰.affineRefinement.openCover.pullbackHom f i = (𝒰.obj i.fst).affineCover.pullbackHom (𝒰.pullbackHom f i.fst) i.snd


Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

(pullbackSymmetry ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f)).inv ≫ (pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.fst (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)


Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: f : X ⟶ Y

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: e_1✝ : (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ Spec (𝒰.affineRefinement.obj i)) = (pullback (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f) ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) ⟶ (𝒰.obj i.fst).affineCover.obj i.snd)

Context: e_5✝ : Spec (𝒰.affineRefinement.obj i) = (𝒰.obj i.fst).affineCover.obj i.snd

(pullbackRightPullbackFstIso (𝒰.map i.fst) f ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd)).hom ≫ pullback.fst (𝒰.affineRefinement.map i) f = pullback.fst ((𝒰.obj i.fst).affineCover.map i.snd) (pullback.fst (𝒰.map i.fst) f)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝³ : Fintype α
inst✝² : Fintype β
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : DecidableEq β
G : SimpleGraph α
a b : α
p : G.Walk a b
hp : p.IsHamiltonian
c : α


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
K L M : CochainComplex C ℤ
n : ℤ
γ γ₁ γ₂ : Cochain K L n
a n' : ℤ
hn' : n + a = n'
m t t' : ℤ
γ' : Cochain L M m
h : n + m = t
ht' : t + a = t'
p q : ℤ
hpq : p + t' = q
h' : n' + m = t'

((γ.comp γ' h).leftShift a t' ht').v p q hpq = (a * m).negOnePow • ((γ.leftShift a n' hn').comp γ' ⋯).v p q hpq


((a * (n' + m)).negOnePow * (a * (a - 1) / 2).negOnePow) • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (p + n') ⋯ ≫ γ'.v (p + n') q ⋯ = ((a * m).negOnePow * (a * n').negOnePow * (a * (a - 1) / 2).negOnePow) • (K.shiftFunctorObjXIso a p (p + a) ⋯).hom ≫ γ.v (p + a) (p + n') ⋯ ≫ γ'.v (p + n') q ⋯


(a * (n' + m)).negOnePow = (a * m).negOnePow * (a * n').negOnePow


Context:
R : Type u_1
inst✝⁸ : CommRing R
M : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
M' : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M'
inst✝⁴ : Module R M'
ι : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq ι
inst✝² : Fintype ι
e : Basis ι R M
𝕜 : Type u_5
inst✝¹ : Field 𝕜
inst✝ : Module 𝕜 M
f : M ≃ₗ[𝕜] M

LinearMap.det ↑f.symm = (LinearMap.det ↑f)⁻¹


Context:
G : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n✝ : ℕ
a : M
n : ℕ


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
M : Type u_3
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : CommSemiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module A M
inst✝¹ : Module R M
inst✝ : IsScalarTower R A M
d : Derivation R A M
a : A

∀ (a_1 b : R[X]), { toFun := fun f => (AEval.of R M a) (d ((aeval a) f)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } (a_1 * b) = a_1 • { toFun := fun f => (AEval.of R M a) (d ((aeval a) f)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } b + b • { toFun := fun f => (AEval.of R M a) (d ((aeval a) f)), map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ } a_1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n : ℕ
P : Ideal R
q : R[X]
c : (R ⧸ P)[X]
hq : map (mk P) q = c * X ^ n
hn0 : n ≠ 0


Context:
G : Type u
M : Type v
α : Type w
s✝ : Set α
m : MeasurableSpace α
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MulAction G α
μ : Measure α
inst✝ : SMulInvariantMeasure G α μ
c : G
s : Set α

EventuallyConst (c • s) (ae μ) ↔ EventuallyConst s (ae μ)


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
X Y : C
f : X ⟶ Y
inst✝ : IsIso f


Context:
α : Type u
β : Type v
X : Type u_1
ι : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
x : α
s t : Set α
r : ℝ
c : α
f : β → α
l : Filter β

Tendsto (fun x => dist (f x) c) l atTop ↔ Tendsto f l (cobounded α)


Context:
α β : Type u
f : Type u → Type v
inst✝¹ : Functor f
inst✝ : LawfulFunctor f
x : f α

(mapEquiv f (Equiv.refl α)) x = (Equiv.refl (f α)) x


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

Context: As_mble : ∀ (i : ι), MeasurableSet (As i)

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B

Context: h_lim : ∀ (x : α), ∀ᶠ (i : ι) in L, x ∈ As i ↔ x ∈ A


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: A : Set α

Context: ι : Type u_2

Context: L : Filter ι

Context: inst✝¹ : L.IsCountablyGenerated

Context: As : ι → Set α

Context: inst✝ : L.NeBot

Context: μ : Measure α

Context: B : Set α

Context: B_mble : MeasurableSet B

Context: B_finmeas : μ B ≠ ⊤

Context: As_le_B : ∀ᶠ (i : ι) in L, As i ⊆ B


Context:
t : Type u → Type u
inst✝⁵ : Traversable t
inst✝⁴ : LawfulTraversable t
F G : Type u → Type u
inst✝³ : Applicative F
inst✝² : LawfulApplicative F
inst✝¹ : Applicative G
inst✝ : LawfulApplicative G
α β γ : Type u
g : α → F β
h : β → G γ
f : β → γ
x : t β
x✝ : t α


Context:
C : Type u_1
inst✝⁶ : Category.{?u.130934, u_1} C
inst✝⁵ : Preadditive C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
I₁₂ : Type u_4
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K L M : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
φ : K ⟶ L
e : K ≅ L
ψ : L ⟶ M
c₁₂ : ComplexShape I₁₂
inst✝⁴ : DecidableEq I₁₂
inst✝³ : TotalComplexShape c₁ c₂ c₁₂
inst✝² : K.HasTotal c₁₂
inst✝¹ : L.HasTotal c₁₂
inst✝ : M.HasTotal c₁₂

map e.hom c₁₂ ≫ map e.inv c₁₂ = 𝟙 (K.total c₁₂)


map e.inv c₁₂ ≫ map e.hom c₁₂ = 𝟙 (L.total c₁₂)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedSemifield R
inst✝ : FloorSemiring R
b : ℕ


Context:
C✝ : Type u
𝒞 : Category.{v, u} C✝
inst✝² : MonoidalCategory C✝
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : MonoidalCategory C
U V W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : Y ⟶ Z


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: β : Type u_2

Context: f : β → α

Context: h : (Monotone fun s => m ↑s) ∨ Surjective f

(comap f) (boundedBy m) = boundedBy fun s => m (f '' s)


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: β : Type u_2

Context: f : β → α

(Monotone fun s => ⨆ (_ : s.Nonempty), m s) ∨ Surjective f


Context: α : Type u_1

Context: m : Set α → ℝ≥0∞

Context: β : Type u_2

Context: f : β → α

OuterMeasure.ofFunction (fun s => ⨆ (_ : (f '' s).Nonempty), m (f '' s)) ⋯ = boundedBy fun s => m (f '' s)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
inst✝¹ : FunLike F (Set α) ℝ≥0∞
inst✝ : OuterMeasureClass F α
μ : F
s✝ t✝ s t : Set α


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e : homOfLe ⋯ ≫ l₁ = homOfLe ⋯ ≫ l₂
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U


∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop U⦄, (G.sieveOfSection s).arrows f → F'.map f.op (l₁.app U ⟨s, hs⟩) = F'.map f.op (l₂.app U ⟨s, hs⟩)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
J : GrothendieckTopology C
F F' F'' : Cᵒᵖ ⥤ Type w
G G' : Subpresheaf F
h : Presieve.IsSheaf J F'
l₁ l₂ : (sheafify J G).toPresheaf ⟶ F'
e : homOfLe ⋯ ≫ l₁ = homOfLe ⋯ ≫ l₂
U : Cᵒᵖ
s : F.obj U
hs : s ∈ (sheafify J G).obj U
V : C
i : V ⟶ unop U
hi : F.map i.op s ∈ G.obj (op V)

F'.map i.op (l₁.app U ⟨s, hs⟩) = F'.map i.op (l₂.app U ⟨s, hs⟩)


l₁.app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨s, hs⟩) = l₂.app (op V) ((sheafify J G).toPresheaf.map i.op ⟨s, hs⟩)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
l : Language α


Context:
k G : Type u
inst✝¹ : CommRing k
n : ℕ
inst✝ : Monoid G

((HomotopyEquiv.ofIso (compForgetAugmentedIso k G).symm).hom ≫ (extraDegeneracyCompForgetAugmentedToModule k G).homotopyEquiv.hom ≫ (HomotopyEquiv.ofIso ((ChainComplex.single₀ (ModuleCat k)).mapIso (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique k k (⊤_ Type u)).toModuleIso)).hom).f 0 = (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G)


(HomotopyEquiv.ofIso (compForgetAugmentedIso k G).symm).hom.f 0 ≫ (extraDegeneracyCompForgetAugmentedToModule k G).homotopyEquiv.hom.f 0 ≫ (HomotopyEquiv.ofIso ((ChainComplex.single₀ (ModuleCat k)).mapIso (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique k k (⊤_ Type u)).toModuleIso)).hom.f 0 = (forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G)


Context: k G : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing k

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Monoid G

Context: e_4✝ : (compForgetAugmented.toModule k G).left.obj (Opposite.op (SimplexCategory.mk 0)) = (forget₂ToModuleCat k G).X 0

(HomotopyEquiv.ofIso (compForgetAugmentedIso k G).symm).hom.f 0 = 𝟙 ((forget₂ToModuleCat k G).X 0)


(forget₂ (Rep k G) (ModuleCat k)).map (ε k G) = (extraDegeneracyCompForgetAugmentedToModule k G).homotopyEquiv.hom.f 0 ≫ (HomotopyEquiv.ofIso ((ChainComplex.single₀ (ModuleCat k)).mapIso (Finsupp.LinearEquiv.finsuppUnique k k (⊤_ Type u)).toModuleIso)).hom.f 0


Context:
d : ℤ
a b : Solution₁ d


Context:
α : Sort u_1
inst✝ : DecidableEq α
a b x : α
hab : ¬a = b
hax : ¬x = a
hbx : ¬x = b

(swap a b) x ≠ x ↔ a ≠ b ∧ (x = a ∨ x = b)


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
I₁ I₂ : LieIdeal R L
h : I₁ ≤ I₂
x y : ↥↑I₁

(inclusion h) x = (inclusion h) y → x = y


Context: n✝ b n : ℕ

(b.digits n).length ≤ (b.digits (n + 1)).length


Context: n b : ℕ

(b.digits 0).length ≤ (b.digits (0 + 1)).length


Context:
n✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context:
n✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : b ≤ 1


Context:
n✝ b n : ℕ
hn : n ≠ 0
hb : 1 < b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
hp : p.Monic
r : R
q : R[X]
h : p = C r * q


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι✝ : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
ι : Type u_3
x : X
F : Filter ι
u : ι → X

MapClusterPt x F u ↔ ∃ U, ↑U ≤ F ∧ Tendsto u (↑U) (𝓝 x)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z a b : α
c : ↑(Ioo (a ⊓ b) a)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Lattice α
inst✝ : IsModularLattice α
x y z a b : α
c : ↑(Ioo b (a ⊔ b))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: f : LocallyConstant ↑C ℤ

Context: a✝ : f ∈ ⊤

f ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: K : Finset I

Context: f' : LocallyConstant ↑(π C fun x => x ∈ K) ℤ

Context: a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

(πJ C K) f' ∈ Submodule.span ℤ (Set.range (Products.eval C))


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: K : Finset I

Context: a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

⇑(πJ C K) '' Set.range (eval (π C fun x => x ∈ K)) ⊆ Set.range (Products.eval C)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: hC : IsClosed C

Context: K : Finset I

Context: a✝ : (πJ C K) f' ∈ ⊤

Context: m : { l // Products.isGood (π C fun x => x ∈ K) l }

(πJ C K) (eval (π C fun x => x ∈ K) m) ∈ Set.range (Products.eval C)


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Semiring R
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝¹ : Semiring S
inst✝ : Semiring T
f : R →+* S
g : S →+* T
n✝ : ℕ

(coeff S n✝) ((map f) X) = (coeff S n✝) X


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁴ : Semiring R
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i✝ : ι
c : R
x : M
b' : Basis ι' R M'
i j : ι

(b.repr ((b.prod b') (Sum.inl i)).1) j = (b.repr (b i)) j


(Finsupp.single (Sum.inl i) 1) (Sum.inl j) = (Finsupp.single i 1) j


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
M : Type u_6
inst✝ : CommGroup M
f : ℕ → M
n : ℕ

f n = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


f 0 * ∏ i ∈ range n, f (i + 1) / f i = ∏ i ∈ range (n + 1), if i = 0 then f 0 else f i / f (i - 1)


Context:
𝕜 : Type u_1
R : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
W₂ : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
Q₂ : Type u_8
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup V
inst✝¹⁵ : MetricSpace P
inst✝¹⁴ : NormedAddTorsor V P
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : MetricSpace Q
inst✝¹¹ : NormedAddTorsor W Q
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup W₂
inst✝⁹ : MetricSpace Q₂
inst✝⁸ : NormedAddTorsor W₂ Q₂
inst✝⁷ : NormedField R
inst✝⁶ : NormedSpace R V
inst✝⁵ : NormedSpace R W
inst✝⁴ : NormedSpace R W₂
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝² : NormedSpace 𝕜 V
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 W
inst✝ : NormedSpace 𝕜 W₂
f : V →ᴬ[𝕜] W
h : f 0 = 0


max ‖f 0‖ ‖f.contLinear‖ = max 0 ‖f.contLinear‖


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x✝ : X
s s₁ s₂ t✝ : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X
x : X
t : Set X

(∃ x_1, (x ∈ x_1ᶜ ∧ IsOpen x_1ᶜ) ∧ x_1ᶜ ⊆ t) ↔ ∃ i, (x ∉ i ∧ IsClosed i) ∧ iᶜ ⊆ t


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
N : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : LieRingModule L N
inst✝ : LieModule R L N
f : M →ₗ⁅R,L⁆ N
m : M
hm : m ∈ ↑f.ker


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Z
X' : Type u_4
Y' : Type u_5
inst✝¹ : TopologicalSpace X'
inst✝ : TopologicalSpace Y'
h : X ≃ₜ Y
s : Set X


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
c : R


Context:
x y : ℝ
h : 0 ≤ x


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivAt f f' x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasDerivAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) x


Context:
f g : ℝ → ℝ
f' g' x y p : ℝ
s : Set ℝ
hf : HasDerivWithinAt f f' Set.univ x
hx : f x ≠ 0 ∨ 1 ≤ p

HasDerivWithinAt (fun y => f y ^ p) (f' * p * f x ^ (p - 1)) Set.univ x


Context:
k : Type u
inst✝ : Field k
z : AdjoinMonic k


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: z : AdjoinMonic k

Context: p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k

Context: hp : (Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p = z


Context: k : Type u

Context: inst✝ : Field k

Context: z : AdjoinMonic k

Context: p : MvPolynomial (MonicIrreducible k) k

IsIntegral k ((Ideal.Quotient.mk (maxIdeal k)) p)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R
inst✝⁸ : Algebra R S
A : Type u
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Algebra R A
inst✝⁵ : Algebra S A
inst✝⁴ : IsScalarTower R S A
B : Type v
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Algebra S B
inst✝ : IsScalarTower R S B
f : A →ₐ[S] B
n : ℤ

(W.baseChange B).preΨ n = Polynomial.map (↑f) ((W.baseChange A).preΨ n)


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{u₂, u₁} C
inst✝² : GaloisCategory C
F : C ⥤ FintypeCat
inst✝¹ : FiberFunctor F
x : AutGalois F
A : C
inst✝ : IsGalois A
a : ↑(F.obj A)

((autMulEquivAutGalois F).symm { unop' := x }).hom.app A a = F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) x).hom a


F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) (MulOpposite.unop { unop' := x })).hom a = F.map ((AutGalois.π F { obj := A, pt := a, isGalois := ⋯ }) x).hom a


Context: z w : ℂ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: hg_proj : ∀ (x : ↥(eqLocus f 1)), g ↑x = x

Context: hg_ker : ↑(ker g) ⊆ closure ↑(range (f - 1))

Context: x : E

Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 ↑(g x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Tendsto (fun x => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x (y + z)) atTop (𝓝 ↑(g (y + z)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Context: this : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}

Tendsto (fun x => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x y) atTop (𝓝 0)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Context: x : E

(f - 1) x ∈ {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Context: this✝ : IsClosed {x | Tendsto (fun x_1 => birkhoffAverage 𝕜 (⇑f) _root_.id x_1 x) atTop (𝓝 0)}

Context: x : E

Context: this : Bornology.IsBounded (Set.range fun x_1 => _root_.id ((⇑f)^[x_1] x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] E

Context: hf : LipschitzWith 1 ⇑f

Context: g : E →L[𝕜] ↥(eqLocus f 1)

Context: y : E

Context: hy : g y = 0

Context: z : E

Context: hz : IsFixedPt (⇑f) z

Context: x : E

Context: H : ∀ (n : ℕ) (x y : E), (⇑f)^[n] (x - y) = (⇑f)^[n] x - (⇑f)^[n] y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Finite α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q
e : { x // p x } ≃ { x // q x }
x : α
hx : p x

(e.subtypeCongr e.toCompl) x = ↑(e ⟨x, hx⟩)


(sumCompl q) (Sum.map (⇑e) (⇑e.toCompl) ((sumCompl p).symm x)) = ↑(e ⟨x, hx⟩)


Context:
M : Type u_1
inst✝² : CommMonoid M
S : Submonoid M
N : Type u_2
inst✝¹ : CommMonoid N
P : Type u_3
inst✝ : CommMonoid P
f : S.LocalizationMap N
g : M →* P
hg : ∀ (y : ↥S), IsUnit (g ↑y)
j : N →* P
x✝ : N


(j.comp f.toMap) (f.sec x✝).1 = (j.comp f.toMap) ↑(f.sec x✝).2 * j x✝


j (f.toMap (f.sec x✝).1) = j (f.toMap ↑(f.sec x✝).2) * j x✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : CommMonoid β
n : ℕ
f : Fin n → β


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : MeasurableNeg G
inst✝² : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝¹ : MeasurableAdd G
inst✝ : μ.IsNegInvariant

ConvolutionExistsAt g f x L.flip μ ↔ ConvolutionExistsAt f g x L μ


Context:
α : Type u
a : α
inst✝¹ : Group α
G : Type u_1
inst✝ : Group G
x✝ : Fintype G
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
h : Fintype.card G = p
g g' : G
hg : g ≠ 1


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
inst✝² : NormedSpace ℝ E
G : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace ℝ G
f g : G → E
f' g' : G →L[ℝ] E
s : Set G
x✝ : G
n : ℕ∞
x : E
hx : x ≠ 0
this : ‖id x‖ ^ 2 ≠ 0


Context:
X : Type u
Y : Type v
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : CompactSpace X
inst✝³ : Nonempty X
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : CompactSpace Y
inst✝ : Nonempty Y

GromovHausdorff.optimalGHDist X Y ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: inst✝⁵ : MetricSpace X

Context: inst✝⁴ : CompactSpace X

Context: inst✝³ : Nonempty X

Context: inst✝² : MetricSpace Y

Context: inst✝¹ : CompactSpace Y

Context: inst✝ : Nonempty Y

Context: left✝ : Classical.choose ⋯ ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y

Context: right✝ : ∀ g ∈ GromovHausdorff.candidatesB X Y, HD (Classical.choose ⋯) ≤ HD g


Context:
V : Type u_1
inst✝² : Fintype V
inst✝¹ : DecidableEq V
G : SimpleGraph V
inst✝ : DecidableRel G.Adj
n r : ℕ
s t u : V
h : G.IsTuranMaximal r


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜

(IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|) ↔ P.degree ≤ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜

Context: P Q : 𝕜[X]

Context: inst✝ : OrderTopology 𝕜

Context: h : IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜
h : 0 < P.degree

¬IsBoundedUnder (fun x x_1 => x ≤ x_1) atTop fun x => |eval x P|


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: h_ae_disjoint : ∀ (g : G), g ≠ 1 → AEDisjoint μ (g • s) s

Context: h_qmp : ∀ (g : G), QuasiMeasurePreserving (fun x => g • x) μ μ

Context: g₁ g₂ : G

Context: hg : g₁ ≠ g₂

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: g₁ g₂ : G

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁

Context: hg : g ≠ 1


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m0 : MeasurableSpace α✝

Context: inst✝⁴ : MeasurableSpace β

Context: inst✝³ : MeasurableSpace γ

Context: μ✝ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α✝

Context: s✝ s' t : Set α✝

Context: f : α✝ → β

Context: G : Type u_8

Context: α : Type u_9

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s : Set α

Context: g₁ g₂ : G

Context: g : G := g₂⁻¹ * g₁

Context: hg : g ≠ 1

Context: this : (fun x => g₂⁻¹ • x) ⁻¹' (g • s ∩ s) = g₁ • s ∩ g₂ • s


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α

(μ.withDensity f) s = ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


(μ.withDensity f) s ≤ ∫⁻ (a : α) in s, f a ∂μ


Context:
α : Type u_1
m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : SFinite μ
f : α → ℝ≥0∞
s : Set α
t : Set α := toMeasurable μ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f g : α → ℝ≥0∞
hg : AEMeasurable g μ
hg_fin : ∫⁻ (a : α), g a ∂μ ≠ ⊤
h_le : g ≤ᶠ[ae μ] f

∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ - ∫⁻ (a : α), g a ∂μ


∫⁻ (a : α), f a - g a ∂μ + ∫⁻ (a : α), g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


∫⁻ (a : α), f a - g a + g a ∂μ = ∫⁻ (a : α), f a ∂μ


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J

integralSum f vol (π.biUnionTagged πi) = ∑ J ∈ π.boxes, integralSum f vol (πi J)


Context:
ι : Type u
E : Type v
F : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
I J✝ : Box ι
π✝ : TaggedPrepartition I
f : (ι → ℝ) → E
vol : ι →ᵇᵃ[⊤] E →L[ℝ] F
π : Prepartition I
πi : (J : Box ι) → TaggedPrepartition J
J : Box ι
hJ : J ∈ π.boxes
J' : Box ι
hJ' : J' ∈ (πi J).boxes

(vol J') (f ((π.biUnionTagged πi).tag J')) = (vol J') (f ((πi J).tag J'))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f✝ g : α → M
a b : α
s✝ t : Set α
s : Finset (α × β)
f : α × β → M

∏ᶠ (ab : α × β) (_ : ab ∈ s), f ab = ∏ᶠ (a : α) (b : β) (_ : (a, b) ∈ s), f (a, b)


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
hb : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
hb✝ : 0 < b
h : ∀ d < b, a + d < c
H : a + (c - a) = c
hb : c - a < b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j

(Disjoint on fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i j


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
i j : ℕ
ij : i ≠ j
x : α

x ∈ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) i → x ∉ (fun i => ⋃ b ∈ decode₂ β i, f b) j


∀ (a : β), encode a = i → x ∈ f a → ∀ (b : β), encode b = j → x ∉ f b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : Encodable β
f : β → Set α
hd : Pairwise (Disjoint on f)
x : α
a : β
ha : x ∈ f a
b : β
ij : encode a ≠ encode b
hb : x ∈ f b


Context:
α✝ : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝¹ : MeasurableSpace α✝
α : Type u_5
f : α →ₛ β
inst✝ : Nonempty β


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: f : α →ₛ β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: hf_meas : ∀ (x : β), MeasurableSet (↑f ⁻¹' {x})


Context: α✝ : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α✝

Context: α : Type u_5

Context: f : α →ₛ β

Context: inst✝ : Nonempty β

Context: hf_meas : ∀ (x : β), ↑f ⁻¹' {x} = ∅ ∨ ↑f ⁻¹' {x} = univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : CommGroup G
a✝ b✝ c✝ d a b c : G
h : a = b * c


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s : WSeq α


Seq.IsBisimulation fun s1 s2 => flatten (Computation.pure s2) = s1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
s✝ : WSeq α
s' s : Seq (Option α)
h : flatten (Computation.pure s) = s'

Seq.BisimO (fun s1 s2 => flatten (Computation.pure s2) = s1) (Seq.destruct (flatten (Computation.pure s))) s.destruct


match match match s.destruct with | none => none | some (a, b) => some (a, Computation.pure b) with | none => none | some (a, b) => some (a, Seq.corec (fun c => match c.destruct with | Sum.inl s => match Seq.destruct s with | none => none | some (a, b) => some (a, Computation.pure b) | Sum.inr c' => some (none, c')) b), s.destruct with | none, none => True | some (a, s), some (a', s') => a = a' ∧ Seq.corec (fun c => match c.destruct with | Sum.inl s => match Seq.destruct s with | none => none | some (a, b) => some (a, Computation.pure b) | Sum.inr c' => some (none, c')) (Computation.pure s') = s | x, x_1 => False


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a

update (update f a v) b w = update (update f b w) a v


Context:
α✝ : Sort u
β✝ : α✝ → Sort v
α' : Sort w
inst✝² : DecidableEq α✝
inst✝¹ : DecidableEq α'
f✝ g : (a : α✝) → β✝ a
a✝ : α✝
b✝ : β✝ a✝
α : Sort u_2
inst✝ : DecidableEq α
β : α → Sort u_1
a b : α
h : a ≠ b
v : β a
w : β b
f : (a : α) → β a
c : α

update (update f a v) b w c = update (update f b w) a v c


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: h : HasFiniteFPowerSeriesOnBall f p x n r

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: f g✝ : E → F

Context: p pf pg : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: r r' : ℝ≥0∞

Context: n m✝ : ℕ

Context: g : F →L[𝕜] G

Context: m : ℕ

Context: hm : n ≤ m

Context: x✝ : Fin m → E

(g.compContinuousMultilinearMap 0) x✝ = 0 x✝


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)

piPremeasure m (univ.pi s) = ∏ i : ι, (m i) (s i)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : IsEmpty ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι
h : univ.pi s = ∅


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : ι → Type u_3
inst✝ : Fintype ι
m : (i : ι) → OuterMeasure (α i)
s : (i : ι) → Set (α i)
h✝ : Nonempty ι
h : (univ.pi s).Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f✝ f₀ f₁ g : E → F
f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x✝ : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
iso : E ≃L[𝕜] F
f : G → E
x : G
f' : G →L[𝕜] E

HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x ↔ HasStrictFDerivAt f f' x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: iso : E ≃L[𝕜] F

Context: f : G → E

Context: x : G

Context: f' : G →L[𝕜] E

Context: H : HasStrictFDerivAt (⇑iso ∘ f) ((↑iso).comp f') x


Context:
α : Type u₁
β : Type u₂
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : UniformSpace β
K : Set α
V : Set (β × β)
f : C(α, β)
ι : Type u_1
pi : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
h : (𝓤 β).HasBasis pi s

(𝓤 C(α, β)).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}


(Filter.comap (fun x => (x.1.toUniformOnFunIsCompact, x.2.toUniformOnFunIsCompact)) (𝓤 (α →ᵤ[{K | IsCompact K}] β))).HasBasis (fun p => IsCompact p.1 ∧ pi p.2) fun p => {fg | ∀ x ∈ p.1, (fg.1 x, fg.2 x) ∈ s p.2}


Context:
num : Int
den g : Nat
den_nz : den ≠ 0
e : g = num.natAbs.gcd den


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
hx : ¬IsIntegral K x


¬∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝⁷ : CommRing R

Context: inst✝⁶ : Ring S

Context: inst✝⁵ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁴ : Field K

Context: inst✝³ : Field L

Context: inst✝² : Field F

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: inst✝ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: x : L

Context: hx : ∃ s, Nonempty (Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Ring S
inst✝⁵ : Algebra R S
K : Type u_4
L : Type u_5
F : Type u_6
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
inst✝¹ : Algebra K L
inst✝ : Algebra K F
ι : Type w
x : L
s : Finset ↥K⟮x⟯
b : Basis { x_1 // x_1 ∈ s } K ↥K⟮x⟯


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n : ℕ
a a' : α
b : β
v : Vector α (n + 1)
f : α → β

b ∈ (map f v).toList ↔ f v.head = b ∨ ∃ a ∈ v.tail.toList, f a = b


Context:
R : Type uR
A : Type uA
M₁ : Type uM₁
M₂ : Type uM₂
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : CommRing A
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : AddCommGroup M₂
inst✝⁸ : Algebra R A
inst✝⁷ : Module R M₁
inst✝⁶ : Module A M₁
inst✝⁵ : SMulCommClass R A M₁
inst✝⁴ : SMulCommClass A R M₁
inst✝³ : IsScalarTower R A M₁
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : Invertible 2
inst✝ : Invertible 2
Q : QuadraticForm R M₂

associated (QuadraticForm.tmul QuadraticMap.sq Q) = BilinMap.baseChange A (associated Q)


BilinMap.tmul (LinearMap.mul A A) (associated Q) = BilinMap.baseChange A (associated Q)


Context: R : Type u_1

Context: A✝ : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: inst✝⁴ : CommSemiring R

Context: inst✝³ : Semiring A

Context: inst✝² : Semiring B

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: fe : { fe // fe.2 * fe.2 = 0 ∧ ∀ (a : A), Commute fe.2 (fe.1 a) }


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: A : Cᵒᵖ

Context: T : Triangle C

Context: n₀ n₁ : ℤ

Context: h : n₀ + 1 = n₁

Context: x : Opposite.unop A ⟶ (shiftFunctor C n₀).obj T.obj₃

((preadditiveCoyoneda.obj A).homologySequenceδ T n₀ n₁ h) x = x ≫ (shiftFunctor C n₀).map T.mor₃ ≫ (shiftFunctorAdd' C 1 n₀ n₁ ⋯).inv.app T.obj₁


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Finite (𝓞 K ⧸ Ideal.span {hζ.toInteger - 1})


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K

Context: h : Ideal.span {hζ.toInteger - 1} = ⊥


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑(p ^ (k + 1))

Context: this : NumberField K

Context: h : hζ.toInteger = 1


Context:
α : Type u_1
s t : Set α
x y : α

((x, y) ∈ range fun x => (x, x)) ↔ (x, y) ∈ diagonal α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝² : MeasurableSpace δ
inst✝¹ : NormedAddCommGroup β
inst✝ : NormedAddCommGroup γ
f : α → β

∫⁻ (a : α), ↑‖f a‖₊ ∂μ = ∫⁻ (a : α), edist (f a) 0 ∂μ


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
ha : a ∣ x
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
eq : d * d = a * b
ha : Squarefree a
c : R
hc : d = a * c


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CancelCommMonoidWithZero R
x y p d : R
inst✝ : DecompositionMonoid R
hx : Squarefree x
h : d * d ∣ x * y
a✝ : Nontrivial R
a b : R
hb : b ∣ y
ha : Squarefree a
c : R
eq : c * (a * c) = b
hc : d = a * c


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
H : Type u_8
F : Type u_9
inst✝⁶ : MulOneClass M
inst✝⁵ : MulOneClass N
inst✝⁴ : FunLike F M N
inst✝³ : FunLike F G H
inst✝² : DivInvMonoid G
inst✝¹ : DivInvMonoid H
inst✝ : MonoidHomClass F G H
f : F
hf : ∀ (a : G), f a⁻¹ = (f a)⁻¹
g h : ι → G
x✝ : ι

(⇑f ∘ (g / h)) x✝ = (⇑f ∘ g / ⇑f ∘ h) x✝


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DivisionRing α
K : Type u_2
inst✝ : DivisionRing K
m : ℕ
s : Bool
e : ℕ

↑(OfScientific.ofScientific m s e) = OfScientific.ofScientific m s e


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : AffineSpace V P
inst✝⁵ : Ring k
inst✝⁴ : Module k V
b : AffineBasis ι k P
ι' : Type u_1
inst✝³ : Finite ι
inst✝² : Fintype ι'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Nontrivial k
p : ι' → P
A : Matrix ι ι' k
hA : A * b.toMatrix p = 1
val✝ : Fintype ι
i : ι
hAi : ∑ j : ι', A i j = 1


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V P

Context: inst✝⁵ : Ring k

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι' → P

Context: A : Matrix ι ι' k

Context: hA : A * b.toMatrix p = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: hAi : ∑ j : ι', A i j = 1

Context: hbi : b i = (Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i)


Context: ι : Type u₁

Context: k : Type u₂

Context: V : Type u₃

Context: P : Type u₄

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁶ : AffineSpace V P

Context: inst✝⁵ : Ring k

Context: inst✝⁴ : Module k V

Context: b : AffineBasis ι k P

Context: ι' : Type u_1

Context: inst✝³ : Finite ι

Context: inst✝² : Fintype ι'

Context: inst✝¹ : DecidableEq ι

Context: inst✝ : Nontrivial k

Context: p : ι' → P

Context: A : Matrix ι ι' k

Context: hA : A * b.toMatrix p = 1

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: hAi : ∑ j : ι', A i j = 1

(Finset.affineCombination k Finset.univ p) (A i) ∈ affineSpan k (range p)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

Context: h : ∀ i ∈ u, HasFDerivAt (fun x => g i x) (g' i) x

HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) u).prod) (Multiset.map (fun i => (Multiset.map (fun x_1 => g x_1 x) (u.erase i)).prod • g' i) u).sum x


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹³ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f✝ f₀ f₁ g✝ : E → F

Context: f'✝ f₀' f₁' g'✝ e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: ι : Type u_6

Context: 𝔸 : Type u_7

Context: 𝔸' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : NormedRing 𝔸

Context: inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'

Context: inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'

Context: u✝ : Finset ι

Context: f : ι → E → 𝔸

Context: f' : ι → E →L[𝕜] 𝔸

Context: g : ι → E → 𝔸'

Context: g' : ι → E →L[𝕜] 𝔸'

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: u : Multiset ι

Context: x : E

HasFDerivAt (fun x => (Multiset.map ((fun x_1 => g x_1 x) ∘ Subtype.val) u.attach).prod) (Multiset.map ((fun x_1 => (Multiset.map (fun x_2 => g x_2 x) ((Multiset.map Subtype.val u.attach).erase x_1)).prod • g' x_1) ∘ Subtype.val) u.attach).sum x


Context: p : ℕ+

Context: k : ℕ

Context: K : Type u

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : CharZero K

Context: ζ : K

Context: hp : Fact (Nat.Prime ↑p)

Context: hcycl : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K

Context: hζ✝ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p

Context: hodd : p ≠ 2

Context: this : IsCyclotomicExtension {p ^ (0 + 1)} ℚ K

Context: hζ : IsPrimitiveRoot ζ (↑p ^ (0 + 1))

Prime ((Algebra.norm ℤ) (hζ✝.toInteger - 1))


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl : (a :: l).Nodup

(a :: l).toFinset.prod f = (map f (a :: l)).prod


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α
a✝ : α
f✝ g : α → β
M : Type u_6
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
a : α
l : List α
hl✝ : (a :: l).Nodup
not_mem : a ∉ l
hl : l.Nodup


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
_hv : v ∈ ⊤


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Ring k
inst✝¹ : AddCommGroup V
inst✝ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ p : P
v : V
_hv : v ∈ ⊤
hpv : v +ᵥ p -ᵥ p ∈ ⊤.direction


Context:
R : Type u_1
L : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing R
inst✝⁸ : LieRing L
inst✝⁷ : LieAlgebra R L
H : LieSubalgebra R L
inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H
M : Type u_3
inst✝⁵ : AddCommGroup M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : LieRingModule L M
inst✝² : LieModule R L M
inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra
inst✝ : IsNoetherian R L
α : ↥H → R
x : ↥H

x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ rootSpace H α, ∃ z ∈ rootSpace H (-α), ⁅y, z⁆ = x}


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

Context: this : x ∈ corootSpace α ↔ ↑x ∈ LieSubmodule.map H.toLieSubmodule.incl (corootSpace α)


Context: R : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: inst✝⁹ : CommRing R

Context: inst✝⁸ : LieRing L

Context: inst✝⁷ : LieAlgebra R L

Context: H : LieSubalgebra R L

Context: inst✝⁶ : IsNilpotent R ↥H

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁴ : Module R M

Context: inst✝³ : LieRingModule L M

Context: inst✝² : LieModule R L M

Context: inst✝¹ : H.IsCartanSubalgebra

Context: inst✝ : IsNoetherian R L

Context: α : ↥H → R

Context: x : ↥H

↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ a b, ↑H.toLieSubmodule.incl (↑(LieModuleHom.codRestrict H.toLieSubmodule ((rootSpace H 0).incl.comp (rootSpaceProduct R L H α (-α) 0 ⋯)) ⋯) (a ⊗ₜ[R] b)) = x} ↔ ↑x ∈ Submodule.span R {x | ∃ y ∈ ↑(rootSpace H α), ∃ z ∈ ↑(rootSpace H (-α)), ⁅y, z⁆ = x}


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
K : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing K
ξ : K
h : ‖ξ‖ < 1
xi_ne_one : ξ ≠ 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝ : NormedDivisionRing K

Context: ξ : K

Context: h : ‖ξ‖ < 1

Context: xi_ne_one : ξ ≠ 1

Context: A : Tendsto (fun n => (ξ ^ n - 1) * (ξ - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (ξ - 1)⁻¹))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝ : NormedDivisionRing K

Context: ξ : K

Context: h : ‖ξ‖ < 1

Context: xi_ne_one : ξ ≠ 1

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, ξ ^ i) atTop (𝓝 (1 - ξ)⁻¹)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝ : NormedDivisionRing K

Context: ξ : K

Context: h : ‖ξ‖ < 1

Context: xi_ne_one : ξ ≠ 1


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
r₁ r₂ : List (List α)

sublists'Aux a r₁ r₂ = (Array.foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁) 0).toList


foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) r₂ r₁ = (foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) (toArray r₁).data).toList


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: a : α

Context: r₁ r₂ : List (List α)

Context: this : foldl (fun r l => r ++ [a :: l]) (toArray r₂).toList r₁ = (foldl (fun r l => r.push (a :: l)) (toArray r₂) r₁).toList


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f g : α → β
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
s : Finset α

(filter p s).card = ∑ a ∈ s, if p a then 1 else 0


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
hfp : NeZero e
i : ℕ

Function.Injective ⇑(powQuotSuccInclusion f p P i)


∀ (m : ↥(map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1)))), (powQuotSuccInclusion f p P i) m = 0 → m = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: i : ℕ

Context: x : S ⧸ P ^ e

Context: hx : x ∈ map (Quotient.mk (P ^ e)) (P ^ (i + 1))

Context: hx0 : (powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨x, hx⟩ = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: S : Type v

Context: inst✝ : CommRing S

Context: f : R →+* S

Context: p : Ideal R

Context: P : Ideal S

Context: hfp : NeZero e

Context: i : ℕ

Context: x : S ⧸ P ^ e

Context: hx0 : ↑((powQuotSuccInclusion f p P i) ⟨x, hx⟩) = ↑0


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E
hp_zero : p ≠ 0
hp_top : p ≠ ⊤

‖(Lp.const p μ) c‖ = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


(↑‖c‖₊ * μ Set.univ ^ (1 / p.toReal)).toReal = ‖c‖ * (μ Set.univ).toReal ^ (1 / p.toReal)


Context:
s : ℝ
hs : 0 < s


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

Context: H : {z | 1 - ε < z.re} ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε


Context: s : ℝ

Context: hs : 0 < s

Context: M ε : ℝ

Context: left✝ : 0 < M

Context: hε : 0 < ε

∃ u, IsOpen u ∧ 1 ∈ u ∧ u ∩ stolzCone s ⊆ stolzSet M


Context:
α : Type u_1
M₀ : Type u_2
G₀ : Type u_3
M₀' : Type u_4
G₀' : Type u_5
F : Type u_6
F' : Type u_7
inst✝¹ : MonoidWithZero M₀
inst✝ : GroupWithZero G₀
a b c d : G₀
m✝ n✝ : ℕ
ha : a ≠ 0
m n : ℤ


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹⁰ : Fintype ι
inst✝⁹ : Fintype ι'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : MeasurableSpace E
inst✝³ : BorelSpace E
inst✝² : SecondCountableTopology E
b : Basis ι ℝ E
μ : Measure E
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : μ.IsAddLeftInvariant


addHaarMeasure b.parallelepiped = μ ↔ μ ↑b.parallelepiped = 1


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
g : Module.End R M
m : M

((toEnd R (Module.End R M) M) g) m = (LieHom.id g) m


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : n < L.length


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
P : Type u_5
M₀ : Type u_6
G : Type u_7
R : Type u_8
inst✝ : CanonicallyOrderedCommMonoid M
l L : List M
n : ℕ
h : L.length ≤ n


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf P

Context: x y : P

Context: I : Ideal P

Context: inst✝ : I.IsProper

Context: hI : ∀ {x y : P}, x ⊓ y ∈ I → x ∈ I ∨ y ∈ I


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf P

Context: x y : P

Context: I : Ideal P

Context: inst✝ : I.IsProper


Context: P : Type u_1

Context: inst✝¹ : SemilatticeInf P

Context: x y : P

Context: I : Ideal P

Context: inst✝ : I.IsProper

∀ {x y : P}, x ≤ y → x ∈ (↑I)ᶜ → y ∈ (↑I)ᶜ


Context:
R : Type u_1
inst✝⁵ : CommRing R
I : Ideal R
M : Type u_2
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
N : Type u_3
inst✝² : AddCommGroup N
inst✝¹ : Module R N
ι : Type u_4
inst✝ : Finite ι

Function.Bijective ⇑(ofTensorProduct I (ι → R))


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
W : Affine R
x y : R

W.Equation x (W.negY x y) ↔ W.Equation x y


Context:
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}


Context:
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
hp3 : p < 3


Context:
p q r : ℕ+
hpq : p ≤ q
hqr : q ≤ r
H : 1 < sumInv {p, q, r}
hp3 : p ∈ Finset.Iio 3


Context:
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}


Context:
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}
hq4 : q < 4


Context:
q r : ℕ+
hqr : q ≤ r
hpq : 2 ≤ q
H : 1 < sumInv {2, q, r}
hq4 : q ∈ Finset.Ico 2 4


Context:
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}


Context:
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
hr6 : r < 6


Context:
r : ℕ+
hqr : 3 ≤ r
H : 1 < sumInv {2, 3, r}
hr6 : r ∈ Finset.Ico 3 6


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
R : Type u_4
S : Type u_5
F : Type u_6
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : CommMonoid N
inst✝ : DivisionCommMonoid G
k l : ℕ
ζ : M
f : F
h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k
h0 : 0 < k
i : ℕ
hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ i) k
a : ℕ
ha : i = i.gcd k * a
b : ℕ
hb : k = i.gcd k * b


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ : M

Context: f : F

Context: h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: h0 : 0 < k

Context: i a : ℕ

Context: hi : IsPrimitiveRoot (ζ ^ (i.gcd k * a)) k

Context: ha : i = i.gcd k * a

Context: b : ℕ

Context: hb : k = i.gcd k * b


Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: G : Type u_3

Context: R : Type u_4

Context: S : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DivisionCommMonoid G

Context: k l : ℕ

Context: ζ : M

Context: f : F

Context: h✝ h : IsPrimitiveRoot ζ k

Context: h0 : 0 < k

Context: i a : ℕ

Context: ha : i = i.gcd k * a

Context: b : ℕ

Context: hb : k = b * i.gcd k


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s

∃ t ⊆ s, t.Countable ∧ Dense t ∧ (∀ (x : α), IsBot x → x ∉ t) ∧ ∀ (x : α), IsTop x → x ∉ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝⁵ : TopologicalSpace α
inst✝⁴ : LinearOrder α
inst✝³ : OrderTopology α
inst✝² : DenselyOrdered α
a b : α
s✝ : Set α
l : Filter β
f : α → β
inst✝¹ : Nontrivial α
s : Set α
inst✝ : SeparableSpace ↑s
hs : Dense s
t : Set α
hts : t ⊆ s
htc : t.Countable
htd : Dense t


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
A : Type z
A' : Type u_1
B : Type u_2
a b : R
n : ℕ
inst✝ : Ring R
p : R[X]
r : R


((p * (X - C r)).sum fun e a => a * r ^ e) = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

Context: bound : (p * (X - C r)).natDegree < p.natDegree + 2


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

∑ a ∈ range (p.natDegree + 2), (p * (X - C r)).coeff a * r ^ a = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

∑ k ∈ range (p.natDegree + 1), (p * (X - C r)).coeff (k + 1) * r ^ (k + 1) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

∑ k ∈ range (p.natDegree + 1), (p.coeff k * r ^ (k + 1) - p.coeff (k + 1) * r ^ (k + 1 + 1)) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0


Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: A : Type z

Context: A' : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: a b : R

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : Ring R

Context: p : R[X]

Context: r : R

p.coeff 0 * r ^ (0 + 1) - p.coeff (p.natDegree + 1) * r ^ (p.natDegree + 1 + 1) + (p * (X - C r)).coeff 0 * r ^ 0 = 0


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P✝ Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
P : Cubic R

(fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) ((fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) P) = P


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }

(fun P => ⟨P.toPoly, ⋯⟩) ((fun f => { a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }) f) = f


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ

{ a := (↑f).coeff 3, b := (↑f).coeff 2, c := (↑f).coeff 1, d := (↑f).coeff 0 }.toPoly.coeff (4 + n) = (↑f).coeff (4 + n)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
f : { p // p.degree ≤ 3 }
n : ℕ
h3 : 3 < 4 + n


Context:
J : Type w
inst✝³ : SmallCategory J
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C
inst✝ : MonoidalCategory C
F : J ⥤ Mon_ C
s : Cone F
j✝ : J

(s.pt.mul ≫ limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝ = (MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ (limit F).mul) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j✝


MonoidalCategory.tensorHom (s.π.app j✝).hom (s.π.app j✝).hom ≫ (F.obj j✝).mul = MonoidalCategory.tensorHom (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) (limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s)) ≫ MonoidalCategory.tensorHom (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) (limit.π (F ⋙ forget C) j✝) ≫ (MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app j✝


MonoidalCategory.tensorHom (s.π.app j✝).hom (s.π.app j✝).hom ≫ (F.obj j✝).mul = MonoidalCategory.tensorHom (((forget C).mapCone s).π.app j✝) (((forget C).mapCone s).π.app j✝) ≫ (MonFunctorCategoryEquivalence.inverseObj F).mul.app j✝


Context: J : Type w

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: F : J ⥤ Mon_ C

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: w : ∀ (j : J), m ≫ (limitCone F).π.app j = s.π.app j

m.hom = ((fun s => { hom := limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s), one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) s).hom


Context: J : Type w

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: F : J ⥤ Mon_ C

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: j : J

m.hom ≫ limit.π ((monFunctorCategoryEquivalence J C).inverse.obj F).X j = ((fun s => { hom := limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s), one_hom := ⋯, mul_hom := ⋯ }) s).hom ≫ limit.π ((monFunctorCategoryEquivalence J C).inverse.obj F).X j


Context: J : Type w

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: F : J ⥤ Mon_ C

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: j : J

m.hom ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j = limit.lift (F ⋙ forget C) ((forget C).mapCone s) ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j


Context: J : Type w

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : HasLimitsOfShape J C

Context: inst✝ : MonoidalCategory C

Context: F : J ⥤ Mon_ C

Context: s : Cone F

Context: m : s.pt ⟶ (limitCone F).pt

Context: j : J

m.hom ≫ limit.π (F ⋙ forget C) j = (s.π.app j).hom


Context:
R : Type u
inst✝⁶ : CommRing R
L : Type v
M : Type w
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
x : L
m : M

(toModuleHom R L M) (x ⊗ₜ[R] m) = ⁅x, m⁆


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
n m✝ : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : CommSemiring S₁
p✝ q : MvPolynomial σ R
m s : σ →₀ ℕ
r : R
p : MvPolynomial σ R

coeff m ((monomial s) r * p) = if s ≤ m then r * coeff (m - s) p else 0


coeff m (p * (monomial s) r) = if s ≤ m then coeff (m - s) p * r else 0


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
H₁ H₂ : Subgroup G

H₁ ⊓ H₂ ≤ ⊥ ↔ ∀ {x : G}, x ∈ H₁ → x ∈ H₂ → x = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α

a₁ * b₁ ≤ a₂ * b₂ → a₁ ≤ a₂ ∨ b₁ < b₂


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : LinearOrder α

Context: inst✝² : Mul α

Context: a₁ a₂ b₁ b₂ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : Lattice β
e : α ↪o β
x y : α


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing A
inst✝³ : Ring B
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R A
inst✝ : Algebra R B
f : R →+* S
x y z : S
hx : f.IsIntegralElem x
hy : f.IsIntegralElem y
hz : z ∈ Subring.closure {x, y}
this : Algebra R S := f.toAlgebra


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: x y z : S

Context: hx : f.IsIntegralElem x

Context: hy : f.IsIntegralElem y

Context: hz : z ∈ Subring.closure {x, y}

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x}) * Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {y})).FG


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing A

Context: inst✝³ : Ring B

Context: inst✝² : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : Algebra R B

Context: f : R →+* S

Context: x y z : S

Context: hx : f.IsIntegralElem x

Context: hy : f.IsIntegralElem y

Context: hz : z ∈ Subring.closure {x, y}

Context: this✝ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this : (Subalgebra.toSubmodule (Algebra.adjoin R {x, y})).FG


Context:
R : Type u
S : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
x✝ : R[X]

x✝ ∈ LinearMap.ker (mapRingHom f).toSemilinearMap ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)


(↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝ = 0 ↔ x✝ ∈ map C (RingHom.ker f)


(∀ (n : ℕ), ((↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), x✝.coeff n ∈ RingHom.ker f


(∀ (n : ℕ), ((↑↑(mapRingHom f)).toFun x✝).coeff n = coeff 0 n) ↔ ∀ (n : ℕ), f (x✝.coeff n) = 0


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
ι : Type y
a b : R
m n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
x : R
S : Type u_1
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hx : x ≠ 0


Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 0)


Tendsto (fun p => (x * x)⁻¹ - (p.1 * p.2)⁻¹) (𝓝 (x, x)) (𝓝 ((x * x)⁻¹ - (x * x)⁻¹))


Context:
σ K : Type u
inst✝² : Fintype K
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Finite σ


Submodule.map (evalₗ K σ) (restrictDegree σ K (Fintype.card K - 1)) = ⊤


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C


(traceMatrix A b).det = discr A (⇑f ∘ b)


Context:
A : Type u
B : Type v
C : Type z
ι : Type w
inst✝⁶ : DecidableEq ι
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : Algebra A B
inst✝² : CommRing C
inst✝¹ : Algebra A C
inst✝ : Fintype ι
b : ι → B
f : B ≃ₐ[A] C
i✝ j✝ : ι

traceMatrix A b i✝ j✝ = traceMatrix A (⇑f ∘ b) i✝ j✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : Preorder α
inst✝² : Preorder β
t₁ t₂ : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Topology.IsUpperSet α
inst✝ : IsUpper α
s : Set α
hs : IsOpen s


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
x✝ : NormalWord d

unitsSMul φ (-1) (unitsSMul φ 1 x✝) = x✝


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : Group G
A B : Subgroup G
φ : ↥A ≃* ↥B
H : Type u_2
inst✝² : Group H
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
d : TransversalPair G A B
inst✝ : DecidableEq G
w : NormalWord d


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁵ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁴ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : AddCommMonoid N
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid Q
inst✝⁹ : AddCommMonoid S
inst✝⁸ : AddCommMonoid T
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : Module R N
inst✝⁵ : Module R P
inst✝⁴ : Module R Q
inst✝³ : Module R S
inst✝² : Module R T
inst✝¹ : DistribMulAction R' M
inst✝ : Module R'' M
g✝ : P →ₗ[R] Q
f✝ : N →ₗ[R] P
f' : P →ₗ[R] S
f : M →ₗ[R] P
g : N →ₗ[R] Q

rTensor Q f' ∘ₗ map f g = map (f' ∘ₗ f) g


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: I : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

Context: hi : i ∈ Option.casesOn (find fun i => p (i.castLT ⋯)) (if x : p (last n) then some (last n) else none) fun i => some (i.castLT ⋯)


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: I : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

Context: h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = none


Context: m n✝ n : ℕ

Context: p : Fin (n + 1) → Prop

Context: I : DecidablePred p

Context: i : Fin (n + 1)

Context: j : Fin n

Context: h : (find fun i => p (i.castLT ⋯)) = some j


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddCommMonoid A
inst✝ : HasShift C A
X Y : C
f : X ⟶ Y
n : A

(shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = (shiftFunctorComm C n 0).hom.app X ≫ (shiftFunctor C n).map ((shiftFunctorZero C A).hom.app X)


(shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = ((shiftFunctorAdd' C n 0 n ⋯).symm ≪≫ shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).hom.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).inv.app X


(shiftFunctorZero C A).hom.app ((shiftFunctor C n).obj X) = ((shiftFunctorAdd' C n 0 n ⋯).inv.app X ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).hom.app X) ≫ (shiftFunctorAdd' C 0 n n ⋯).inv.app X


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x

∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s y


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
n : ℕ
h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x
u : Set E
hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x
left✝ : u ⊆ insert x s
hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: left✝ : u ⊆ insert x s

Context: hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u

Context: this : ∀ᶠ (y : E) in 𝓝[insert x s] x, u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u✝ : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n✝ : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: n : ℕ

Context: h : ContDiffWithinAt 𝕜 (↑n) f s x

Context: u : Set E

Context: hu : u ∈ 𝓝[insert x s] x

Context: left✝ : u ⊆ insert x s

Context: hd : ContDiffOn 𝕜 (↑n) f u

Context: y : E

Context: hy : u ∈ 𝓝[insert x s] y ∧ y ∈ u


Context:
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

IsAddFundamentalDomain (↥(zmultiples T).op) (Ioc t (t + T)) μ


Context:
T : ℝ
hT : 0 < T
t : ℝ
μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝
x : ℝ


Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

Context: x : ℝ

Context: this : Bijective (codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯)


Context: T : ℝ

Context: hT : 0 < T

Context: t : ℝ

Context: μ : autoParam (Measure ℝ) _auto✝

Context: x : ℝ

∃! x_1, (⇑(zmultiples T).equivOp ∘ codRestrict (fun n => n • T) ↑(zmultiples T) ⋯) x_1 +ᵥ x ∈ Ioc t (t + T)


Context: τ : ℂ


Context:
K : Type u
inst✝¹ : CommRing K
inst✝ : IsDomain K
r : K
x : RatFunc K


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝³ : SeminormedGroup E
inst✝² : SeminormedGroup F
inst✝¹ : SeminormedGroup G
s : Set E
a a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
inst✝ : FunLike 𝓕 E F


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
Q : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁹ : AddCommGroup M
inst✝⁸ : AddCommGroup N
inst✝⁷ : AddCommGroup P
inst✝⁶ : AddCommGroup Q
inst✝⁵ : AddCommGroup S
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R N
inst✝² : Module R P
inst✝¹ : Module R Q
inst✝ : Module R S
f : N →ₗ[R] P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
x : α
n : ℕ
x✝ : n + 2 ≠ 0


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s : σ →₀ ℕ
inst✝² : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
inst✝¹ : CommSemiring S
inst✝ : DecidableEq τ
f : σ → τ
φ : MvPolynomial σ R

((rename f) φ).vars ⊆ Finset.image f φ.vars


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝¹ : PartialOrder Γ
inst✝ : AddMonoid R
x : HahnSeries Γ Rᵃᵒᵖ
x✝ : Γ

x✝ ∈ (AddOpposite.unop (addOppositeEquiv x)).support ↔ x✝ ∈ x.support


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝³ : CommRing R
inst✝² : AddCommGroup M
inst✝¹ : Module R M
f g : End R M
inst✝ : IsSemisimpleModule R M


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Monoid R
b : R
a : Rˣ


Context:
ι : Type u
γ : Type w
β : ι → Type v
β₁ : ι → Type v₁
β₂ : ι → Type v₂
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : (i : ι) → AddGroup (β i)
s : Finset ι
x : (i : ↑↑s) → β ↑i
i : ι


(if H : i ∈ s then (-x) ⟨i, H⟩ else 0) = -if H : i ∈ s then x ⟨i, H⟩ else 0


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'


∀ (X₂ : D₁), ((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial


Context:
C₁ : Type u_1
C₂ : Type u_2
C₃ : Type u_3
D₁ : Type u_4
D₂ : Type u_5
D₃ : Type u_6
inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁
inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂
inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃
inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁
inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂
inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃
T : C₁ ⥤ D₁
L : C₁ ⥤ C₂
R : D₁ ⥤ D₂
B : C₂ ⥤ D₂
w : TwoSquare T L R B
L' : C₁ ⥤ C₂
R' : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : w.GuitartExact
α : L ≅ L'
β : R ≅ R'
X₂ : D₁

((w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂).Initial


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: D₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁

Context: inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃

Context: T : C₁ ⥤ D₁

Context: L : C₁ ⥤ C₂

Context: R : D₁ ⥤ D₂

Context: B : C₂ ⥤ D₂

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: L' : C₁ ⥤ C₂

Context: R' : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : w.GuitartExact

Context: α : L ≅ L'

Context: β : R ≅ R'

Context: X₂ : D₁

Context: e : (w.whiskerVertical α.hom β.inv).structuredArrowDownwards X₂ ≅ w.structuredArrowDownwards X₂ ⋙ (StructuredArrow.mapIso (β.app X₂)).functor := NatIso.ofComponents (fun f => StructuredArrow.isoMk (α.symm.app f.right) ⋯) ⋯


Context: C₁ : Type u_1

Context: C₂ : Type u_2

Context: C₃ : Type u_3

Context: D₁ : Type u_4

Context: D₂ : Type u_5

Context: D₃ : Type u_6

Context: inst✝⁶ : Category.{u_7, u_1} C₁

Context: inst✝⁵ : Category.{u_9, u_2} C₂

Context: inst✝⁴ : Category.{?u.3150, u_3} C₃

Context: inst✝³ : Category.{u_8, u_4} D₁

Context: inst✝² : Category.{u_10, u_5} D₂

Context: inst✝¹ : Category.{?u.3162, u_6} D₃

Context: T : C₁ ⥤ D₁

Context: L : C₁ ⥤ C₂

Context: R : D₁ ⥤ D₂

Context: B : C₂ ⥤ D₂

Context: w : TwoSquare T L R B

Context: L' : C₁ ⥤ C₂

Context: R' : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : w.GuitartExact

Context: α : L ≅ L'

Context: β : R ≅ R'

Context: X₂ : D₁

(w.structuredArrowDownwards X₂ ⋙ (StructuredArrow.mapIso (β.app X₂)).functor).Initial


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : AddCommMonoid G
inst✝ : AddCommMonoid H
A B : Set (G × G)
s : Set G
t : Set H
f : G → H
a b c x₁ y₁ x₂ y₂ : G
hf : IsAddFreimanHom 2 s t f
hAs : A ⊆ s ×ˢ s
hx₁y₁ : (x₁, y₁) ∈ A
hx₁y₂ : (x₁, y₂) ∈ A
hx₂y₁ : (x₂, y₁) ∈ A
hxy : x₁ + y₂ = x₂ + y₁

IsCorner (Prod.map f f '' A) (f x₁) (f y₁) (f x₂) (f y₂)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hF_zero : ¬∑ i ∈ s, f i ^ p = 0

Context: hG_zero : ¬∑ i ∈ s, g i ^ q = 0

Context: f' : ι → ℝ≥0 := fun i => f i / (∑ i ∈ s, f i ^ p) ^ (1 / p)

Context: g' : ι → ℝ≥0 := fun i => g i / (∑ i ∈ s, g i ^ q) ^ (1 / q)


Context: ι : Type u

Context: s : Finset ι

Context: f g : ι → ℝ≥0

Context: p q : ℝ

Context: hpq : p.IsConjExponent q

Context: hF_zero : ¬∑ i ∈ s, f i ^ p = 0

Context: hG_zero : ¬∑ i ∈ s, g i ^ q = 0


Context: z : ℍ


Context:
S : Type u_1
inst✝³ : AddMonoidWithOne S
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasShift C S
X : DifferentialObject S C


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
x : RatFunc K
h : x.num = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n : ℕ
χ : DirichletCharacter R n
hn : n ≠ 0
hχ : χ.conductor = 1
h' : χ.conductor ∣ n
χ₀ : DirichletCharacter R χ.conductor
h : χ = (changeLevel h') χ₀


Context: G : Type u_1

Context: inst✝ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Subgroup G

Context: f g : (i : ι) → ↥(H i)

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x y : G), x ∈ H i → y ∈ H j → Commute x y

Context: i : ι

Context: y : ↥(H i)

(noncommPiCoprod hcomm) (Pi.mulSingle i y) = ↑y


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime x (y + x * z)


Context:
R : Type u
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
h : IsCoprime (y + x * z) x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: L : IntermediateField F E := separableClosure F E

IsIntegral (↥L) x ∧ (IsSeparable (↥L) x → x ∈ (algebraMap (↥L) E).range)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

Context: this : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯

Context: this : Algebra.IsSeparable F ↥(restrictScalars F (↥L)⟮x⟯)


Context: F : Type u

Context: E : Type v

Context: inst✝⁵ : Field F

Context: inst✝⁴ : Field E

Context: inst✝³ : Algebra F E

Context: K : Type w

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ : Algebra F K

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic F E

Context: x : E

Context: h : IsSeparable (↥L) x

Context: this✝ : Algebra.IsSeparable ↥L ↥(↥L)⟮x⟯

Context: hx : x ∈ restrictScalars F (↥L)⟮x⟯


Context:
C : Type u
inst✝ : Groupoid C
S : Subgroupoid C
s : Set (Subgroupoid C)
sn : ∀ S ∈ s, S.IsNormal


∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, γ ∈ (sInf s).arrows c c → Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ (sInf s).arrows d d


∀ {c d : C} (p : c ⟶ d) {γ : c ⟶ c}, (∀ i ∈ s, γ ∈ i.arrows c c) → ∀ i ∈ s, Groupoid.inv p ≫ γ ≫ p ∈ i.arrows d d


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: u : ℕ → AddCircle T := fun j => ↑(1 / ↑(n.natAbs ^ j) * T)

s =ᶠ[ae volume] ∅ ∨ s =ᶠ[ae volume] univ


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hu₀ : ∀ (j : ℕ), addOrderOf (u j) = n.natAbs ^ j


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0

Context: hu₁ : ∀ (j : ℕ), u j +ᵥ s =ᶠ[ae volume] s


Context: T : ℝ

Context: hT : Fact (0 < T)

Context: n : ℤ

Context: hn✝ : 1 < |n|

Context: s : Set (AddCircle T)

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hs' : (fun y => n • y) ⁻¹' s = s

Context: hn : 1 < n.natAbs

Context: hnu : ∀ (j : ℕ), n ^ j • u j = 0

Context: hu₂ : Tendsto (fun j => addOrderOf (u j)) atTop atTop


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P : Fin 3 → F
hP : W.Nonsingular P
hPz : P z = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedRing 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommGroup E
inst✝² : AddCommGroup F
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : Module 𝕜 F
s✝ t : Set E
x✝ y✝ : E
s : Set F
hs : StrictConvex 𝕜 s
f : E →ᵃ[𝕜] F
hf : Continuous ⇑f
hfinj : Injective ⇑f
x : E
hx : x ∈ ⇑f ⁻¹' s
y : E
hy : y ∈ ⇑f ⁻¹' s
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (x : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map x ≫ f) g

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: this : ∃ t, ⋃ x ∈ t, (fun x => Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f x)).val.base) x = ⊤


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: t : Finset ↑↑X.toPresheafedSpace := this.choose


Context: X✝ Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X✝.OpenCover

Context: f : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: X : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: H : CompactSpace ↑↑X.toPresheafedSpace

Context: h : ∀ (x : ↑↑X.toPresheafedSpace), ∃ y, x ∈ Set.range ⇑(𝒰.map (𝒰.f ↑y)).val.base


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
a✝ b✝ : ℝ
f✝ g : ℝ → E
μ : Measure ℝ
a b C : ℝ
f : ℝ → E
h : ∀ᵐ (x : ℝ), x ∈ Ι a b → ‖f x‖ ≤ C


‖∫ (x : ℝ) in Ι a b, f x ∂volume‖ ≤ C * |b - a|


C * |b - a| = C * (volume (Ioc (min a b) (max a b))).toReal


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
s t : Set X
inst✝ : LocallyCompactSpace Y
f : X → Y
hf : ClosedEmbedding f
x : X

(𝓝 x).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x


(comap f (𝓝 (f x))).HasBasis (fun s => s ∈ 𝓝 (f x) ∧ IsCompact s) fun x => f ⁻¹' x


Context:
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s


Context:
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : ¬s.Nonempty


Context:
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅


Context:
s : Set ℕ
h : 0 < sInf s
contra : s = ∅
h' : sInf s ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Archimedean α
inst✝ : OrderClosedTopology α
b : α
hb : 0 < b
hf : Summable fun x => b


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Archimedean α

Context: inst✝ : OrderClosedTopology α

Context: b : α

Context: hb : 0 < b

Context: hf : Summable fun x => b

Context: H : ∀ (s : Finset ι), s.card • b ≤ ∑' (x : ι), b


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Archimedean α

Context: inst✝ : OrderClosedTopology α

Context: b : α

Context: hb : 0 < b

Context: hf : Summable fun x => b

Context: n : ℕ

Context: hn : ∑' (x : ι), b ≤ n • b


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup α

Context: inst✝² : TopologicalSpace α

Context: inst✝¹ : Archimedean α

Context: inst✝ : OrderClosedTopology α

Context: b : α

Context: hb : 0 < b

Context: hf : Summable fun x => b

Context: n : ℕ

Context: hn : ∑' (x : ι), b ≤ n • b

Context: this : ∀ (s : Finset ι), s.card ≤ n


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : ↥A
h : A.valuation ↑a = 1
ha : ↑a ≠ 0
ha' : (↑a)⁻¹ ∈ A


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : γ →. δ
g : β →. γ
h : α →. β
x✝¹ : α
x✝ : δ

x✝ ∈ (f.comp g).comp h x✝¹ ↔ x✝ ∈ f.comp (g.comp h) x✝¹


Context:
m n : ℕ
α : Fin (n + 1) → Type u
x : α (last n)
q : (i : Fin (n + 1)) → α i
p : (i : Fin n) → α i.castSucc
i✝ : Fin n
y : α i✝.castSucc
z : α (last n)
i : Fin n


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
ι : Type y
A : Type z
a b : R
n : ℕ
inst✝ : CommRing R
p : R[X]

derivative (p.comp (1 - X)) = -(derivative p).comp (1 - X)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
l✝ m : Language α
a b x : List α
g : β → γ
f : α → β
l : Language α


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace X
inst✝ : TopologicalSpace Y
f : Filter X
s✝ t s₁ s₂ t₁ t₂ : Set X
x : X
ι : Sort u_3
p : ι → Prop
s : ι → Set X
P : X → Prop

(∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (⋃ i, ⋃ (_ : p i), s i), P x) ↔ ∀ (i : ι), p i → ∀ᶠ (x : X) in 𝓝ˢ (s i), P x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Abelian C
S S₁ S₂ S₃ : SnakeInput C
f : S₁ ⟶ S₂


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f : Filter α
p q : α → Prop

(∃ᶠ (x : α) in f, p x ∨ q x) ↔ (∃ᶠ (x : α) in f, p x) ∨ ∃ᶠ (x : α) in f, q x


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α

(lift f).range = Subgroup.closure (Set.range f)


Subgroup.closure (Set.range f) ≤ (lift f).range


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
β : Type v
inst✝ : Group β
f : α → β
x y : FreeGroup α
a : α


Context: q✝ q : ℕ+


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : SemilatticeSup α
inst✝¹ : OrderBot α
inst✝ : DecidableRel Disjoint
s s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Finset α
a b c : α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A / B).card * (B * C).card


(A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A / B).card * (B / C⁻¹).card


Context:
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : y ≠ 0
x : ℝ≥0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
σ g : Perm α
ht : g.IsThreeCycle


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝³ : Category.{?u.59011, u_1} C
inst✝² : Category.{?u.59015, u_2} D
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
inst✝ : HasZeroMorphisms D
φ : S₁ ⟶ S₂


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝³ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝² : SeminormedAddCommGroup E
inst✝¹ : Module 𝕜 E
inst✝ : BoundedSMul 𝕜 E
c : 𝕜
hc : c ≠ 0
s : Set E
x : E

infDist (c • x) (c • s) = ‖c‖ * infDist x s


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁴ : AddCommGroup G
inst✝³ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝² : μ.IsNegInvariant
inst✝¹ : MeasurableNeg G
inst✝ : MeasurableAdd G
h1 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, f (-x) = f x
h2 : ∀ᵐ (x : G) ∂μ, g (-x) = g x
t : G
ht : f (-t) = f t
h't : g (-(x + t)) = g (x + t)


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
R : Type u_3
inst✝ : OrderedCommGroup α
m✝ n✝ : ℤ
a b : α
ha : 1 < a
m n : ℤ
h : m < n


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝ : DivisionSemiring α
q r : ℚ≥0
hq : ↑q.den ≠ 0
hr : ↑r.den ≠ 0


↑(q.num * r.num) / ↑(q.den * r.den) = ↑q.num * ↑r.num / (↑q.den * ↑r.den)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
n : ℤ
a : α


Context:
R : Type u_1
inst✝²⁰ : CommSemiring R
R' : Type u_2
inst✝¹⁹ : Monoid R'
R'' : Type u_3
inst✝¹⁸ : Semiring R''
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
Q : Type u_7
S : Type u_8
T : Type u_9
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : AddCommMonoid N
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid Q
inst✝¹³ : AddCommMonoid S
inst✝¹² : AddCommMonoid T
inst✝¹¹ : Module R M
inst✝¹⁰ : Module R N
inst✝⁹ : Module R P
inst✝⁸ : Module R Q
inst✝⁷ : Module R S
inst✝⁶ : Module R T
inst✝⁵ : DistribMulAction R' M
inst✝⁴ : Module R'' M
P' : Type u_10
Q' : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid P'
inst✝² : Module R P'
inst✝¹ : AddCommMonoid Q'
inst✝ : Module R Q'
x✝¹ : M
x✝ : N

(((mk R M N).compr₂ (map LinearMap.id LinearMap.id)) x✝¹) x✝ = (((mk R M N).compr₂ LinearMap.id) x✝¹) x✝


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty C
D : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} D
L : C ⥤ D
R : D ⥤ C
h : L ⊣ R
X Y : D
f g : X ⟶ Y

(h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ f = (h.homEquiv (eq (R.map f) (R.map g)) X).symm (eqHom (R.map f) (R.map g)) ≫ g


Context: x✝ y x : ℝ


Context: x✝ y x : ℝ

π / 2 - arcsin x ≤ π / 4 ↔ π / 4 ≤ arcsin x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
f : α → β
s : Set β


Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: G : Cᵒᵖ ⥤ Grp

Context: X : C

Context: I : Type w'

Context: U : I → C

Context: γ₁ γ₂ : OneCocycle G U

Context: α : ZeroCochain G U

Context: h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂.toOneCochain α