Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_meas : ∀ᶠ (x : 𝕜) in 𝓝 x₀, AEStronglyMeasurable (F x) (μ.restrict (Ι a b))

Context: hF_int : IntervalIntegrable (F x₀) μ a b

Context: hF'_meas : AEStronglyMeasurable F' (μ.restrict (Ι a b))

Context: h_lipsch : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound t)) (fun x => F x t) (ball x₀ ε)

Context: bound_integrable : IntervalIntegrable bound μ a b

Context: h_diff : ∀ᵐ (t : ℝ) ∂μ, t ∈ Ι a b → HasDerivAt (fun x => F x t) (F' t) x₀

IntervalIntegrable F' μ a b ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: h_lipsch : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), LipschitzOnWith (Real.nnabs (bound x)) (fun x_1 => F x_1 x) (ball x₀ ε)

Context: h_diff : ∀ᵐ (x : ℝ) ∂μ.restrict (Ι a b), HasDerivAt (fun x_1 => F x_1 x) (F' x) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: bound_integrable : IntegrableOn bound (Ι a b) μ

IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (t : ℝ) in a..b, F x t ∂μ) (∫ (t : ℝ) in a..b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

IntegrableOn F' (Ι a b) μ ∧ HasDerivAt (fun x => (if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F x t ∂μ) ((if a ≤ b then 1 else -1) • ∫ (t : ℝ) in Ι a b, F' t ∂μ) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁶ : RCLike 𝕜

Context: μ : Measure ℝ

Context: E : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: H : Type u_3

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: a b ε : ℝ

Context: bound : ℝ → ℝ

Context: F : 𝕜 → ℝ → E

Context: F' : ℝ → E

Context: x₀ : 𝕜

Context: ε_pos : 0 < ε

Context: hF_int : IntegrableOn (F x₀) (Ι a b) μ

Context: this : Integrable F' (μ.restrict (Ι a b)) ∧ HasDerivAt (fun x => ∫ (a : ℝ) in Ι a b, F x a ∂μ) (∫ (a : ℝ) in Ι a b, F' a ∂μ) x₀


Context:
ι : Sort uι
R : Type u
inst✝² : CommSemiring R
A : Type v
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Algebra R A
S T : Set A
M N P✝ Q✝ : Submodule R A
m n : A
P Q : Submodule R A
x : A
hx : x ∈ P * Q


Context:
M : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : MulAction M α
inst✝¹ : MulAction G α
inst✝ : ContinuousConstSMul M α

(∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ) → IsMinimal M α


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: H : ∀ (s : Set α), IsClosed s → (∀ (c : M), c • s ⊆ s) → s = ∅ ∨ s = univ

Context: x✝ : α


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α

∀ (c : M), c • closure (orbit M x✝) ⊆ closure (orbit M x✝)


Context: M : Type u_1

Context: G : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: inst✝⁵ : Monoid M

Context: inst✝⁴ : Group G

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : MulAction M α

Context: inst✝¹ : MulAction G α

Context: inst✝ : ContinuousConstSMul M α

Context: x✝ : α


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
P X Y Z : C
fst : P ⟶ X
snd : P ⟶ Y
f : X ⟶ Z
g : Y ⟶ Z
P' : C
fst' : P' ⟶ X
snd' : P' ⟶ Y
h : IsPullback fst snd f g
h' : IsPullback fst' snd' f g

(isoIsPullback X Y h h').inv ≫ snd = snd'


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CommMonoidWithZero α
p : α
hp : Prime p
s : Multiset β
f : β → α
h : p ∣ (Multiset.map f s).prod


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝⁹ : UniformSpace α
inst✝⁸ : Group α
inst✝⁷ : UniformGroup α
inst✝⁶ : Group β
γ : Type u_3
inst✝⁵ : Group γ
inst✝⁴ : UniformSpace γ
inst✝³ : UniformGroup γ
inst✝² : UniformSpace β
F : Type u_4
inst✝¹ : FunLike F β γ
inst✝ : MonoidHomClass F β γ
f : F
hf : UniformInducing ⇑f


UniformContinuous fun x => f x.1 / f x.2


Context:
J : Type v'
inst✝¹ : Category.{u', v'} J
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
H : IsPushout f g h i
H' : H.IsVanKampen
W' X' Y' Z' : C
f' : W' ⟶ X'
g' : W' ⟶ Y'
h' : X' ⟶ Z'
i' : Y' ⟶ Z'
αW : W' ⟶ W
αX : X' ⟶ Y
αY : Y' ⟶ X
αZ : Z' ⟶ Z
hf : IsPullback f' αW αX g
hg : IsPullback g' αW αY f
hh : CommSq h' αX αZ i
hi : CommSq i' αY αZ h
w : CommSq f' g' h' i'

IsPushout f' g' h' i' ↔ IsPullback h' αX αZ i ∧ IsPullback i' αY αZ h


Context:
K : Type u
A : Type v
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra K A

Algebra.IsAlgebraic K A ↔ Algebra.IsIntegral K A


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁷ : Monoid M
inst✝⁶ : MulAction M α
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : MulAction G α
g✝ : G
a✝ b✝ : α
inst✝³ : Mul H
inst✝² : MulAction G H
inst✝¹ : SMulCommClass G H H
inst✝ : IsScalarTower G H H
g : G
a b : H


Context: a b : ℕ


Context:
G✝ : Type u_1
H : Type u_2
inst✝¹ : Monoid G✝
G : Type u_3
inst✝ : CommGroup G

IsTorsionFree G ↔ CommGroup.torsion G = ⊥


(∀ (g : G), g ≠ 1 → ¬IsOfFinOrder g) ↔ ∀ ⦃x : G⦄, x ∈ CommGroup.torsion G → x ∈ ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
n ν : ℕ
h : ν ≤ n

(bernsteinPolynomial R n ν).comp (1 - X) = bernsteinPolynomial R n (n - ν)


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M
hf : f.IsSemisimple
μ : R
k : ℕ
hk : 0 < k
m : M
hm : m ∈ (f.genEigenspace μ) k


Context:
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y

e.hom.val.base ≫ e.inv.val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace


Context:
X✝ X Y : LocallyRingedSpace
e : X ≅ Y

(e.hom ≫ e.inv).val.base = 𝟙 ↑X.toPresheafedSpace


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: f : R[X] →+* MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R := eval₂RingHom C (X PUnit.unit)

Context: g : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R →+* R[X] := eval₂Hom Polynomial.C fun x => Polynomial.X

∀ (p : MvPolynomial PUnit.{?u.2149 + 1} R), (f.comp g) p = p


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R


Context:
R : Type u
S₁ : Type v
S₂ : Type w
S₃ : Type x
σ : Type u_1
a✝ a' a₁ a₂ : R
e : ℕ
s : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p : R[X]
a : R

eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C a)) = Polynomial.C a


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p✝ p q : R[X]

Context: hp : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) p) = p

Context: hq : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) q) = q

eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (p + q)) = p + q


Context: R : Type u

Context: S₁ : Type v

Context: S₂ : Type w

Context: S₃ : Type x

Context: σ : Type u_1

Context: a a' a₁ a₂ : R

Context: e : ℕ

Context: s : σ →₀ ℕ

Context: inst✝ : CommSemiring R

Context: p✝ : R[X]

Context: p : ℕ

Context: n : R

Context: x✝ : eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p)) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ p

eval₂ Polynomial.C (fun x => Polynomial.X) (Polynomial.eval₂ C (X PUnit.unit) (Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1))) = Polynomial.C n * Polynomial.X ^ (p + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : AddCommMonoid M
f : α → β
hf : Injective f
l : β →₀ M
hl : ↑l.support ⊆ Set.range f


mapDomain f (comapDomain f l ⋯) = mapDomain (⇑{ toFun := f, inj' := hf }) (comapDomain (⇑{ toFun := f, inj' := hf }) l ⋯)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A✝ B✝ C✝ A B C : Finset α

(A * C).card * B.card ≤ (A * B).card * (B / C).card


(A / C⁻¹).card * B.card ≤ (A * B).card * (B * C⁻¹).card


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h : a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n n' m✝ : ℕ
s✝ : Sym α n
a✝ b : α
s : Sym α (n + 1)
a : α
h✝ : a ∈ s
m : Multiset α
h : ↑s = a ::ₘ m
this : Multiset.card m = n


Context:
α✝ : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
a b : α✝
s✝ s₁ s₂ t t₁ t₂ u : Set α✝
α : Type u_1
s : Set α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝ : NormedDivisionRing α
a✝ a : α
ha : a ≠ 0
x y : α

edist ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun x) ((Equiv.mulLeft₀ a ha).toFun y) = ↑‖a‖₊ * edist x y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
f : α → β
x : Part α

∀ (a : β), a ∈ x.bind (some ∘ f) ↔ a ∈ map f x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁶ : Fintype l
inst✝⁵ : Fintype m
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : DecidableEq l
inst✝² : DecidableEq m
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A : Matrix m n α
B : Matrix n m α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s✝ s₁ s₂ t✝ t₁ t₂ s t : Finset α

∀ (i : (α × α) × α × α), i ∈ filter (fun x => x.1.1 * x.2.1 = x.1.2 * x.2.2) ((s ×ˢ s) ×ˢ t ×ˢ t) ↔ (Equiv.prodProdProdComm α α α α) i ∈ filter (fun x => match x with | ((a, b), c, d) => a * b = c * d) ((s ×ˢ t) ×ˢ s ×ˢ t)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s✝ s' : Set α
x : α
p✝ : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
p : ι → Prop
s : ι → Set (β × β)
hb : (𝓤 β).HasBasis p s
S : Set α

(𝓤 (α →ᵤ[𝔖] β)).HasBasis p fun i => UniformOnFun.gen 𝔖 S (s i)


(comap (Prod.map S.restrict S.restrict) (𝓤 (↑S → β))).HasBasis p fun i => Prod.map (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) (S.restrict ∘ ⇑UniformFun.toFun) ⁻¹' UniformFun.gen (↑S) β (s i)


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
m' : o → Type u_5
n' : o → Type u_6
R : Type u_7
S : Type u_8
α : Type v
β : Type w
γ : Type u_9
inst✝² : Fintype m
inst✝¹ : Fintype n
inst✝ : NonUnitalNonAssocSemiring α
u v w : m → α
x y : n → α


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ


∀ b ∈ antidiagonal (d + n), b ≠ (d, n) → p.coeff b.1 * (X ^ n).coeff b.2 = 0


(d, n) ∉ antidiagonal (d + n) → p.coeff (d, n).1 * (X ^ n).coeff (d, n).2 = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: inst✝ : IsWellOrder I fun x x_1 => x < x_1

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: ho : o < Ordinal.type fun x x_1 => x < x_1

Context: h₁ : ⊤ ≤ Submodule.span ℤ (Set.range (eval (π C fun x => ord I x < o)))

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h : MaxToGood C hC hsC ho h₁ m = MaxToGood C hC hsC ho h₁ n


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h : ↑(MaxToGood C hC hsC ho h₁ m) = ↑(MaxToGood C hC hsC ho h₁ n)


Context: I : Type u

Context: inst✝¹ : LinearOrder I

Context: C : Set (I → Bool)

Context: o : Ordinal.{u}

Context: hC : IsClosed C

Context: hsC : contained C (Order.succ o)

Context: m n : ↑(MaxProducts C ho)

Context: h : (↑m).Tail = (↑n).Tail


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Denumerable α
inst✝ : Denumerable β


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : a ≤ b

(max a b).toReal = max a.toReal b.toReal


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
hr : a ≠ ⊤
hp : b ≠ ⊤
h : b ≤ a


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
n : ℤ


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


{x | EMetric.infEdist x s < ENNReal.ofReal δ}⁻¹ = {x | EMetric.infEdist x⁻¹ s < ENNReal.ofReal δ}


(1 + A * B).det = (fromBlocks 1 (-A) B 1).det


(fromBlocks 1 (-A) B 1).det = (1 + B * A).det


Context:
α : Type u_1
β✝ : Type u_2
inst✝⁴ : LinearOrderedField α
inst✝³ : Ring β✝
abv✝ : β✝ → α
inst✝² : IsAbsoluteValue abv✝
β : Type u_3
inst✝¹ : DivisionRing β
abv : β → α
inst✝ : IsAbsoluteValue abv
ε K : α
ε0 : 0 < ε
K0 : 0 < K
a b : β
ha : K ≤ abv a
hb : K ≤ abv b
h : abv (a - b) < K * ε * K
a0 : 0 < abv a
b0 : 0 < abv b


abv a * ((abv a)⁻¹ * abv (a - b) * (abv b)⁻¹) * abv b < abv a * ε * abv b


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type u_4
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
G' : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G'
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G'
f f₀ f₁ g : E → F
f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F
x : E
s t : Set E
L L₁ L₂ : Filter E
h₀ : f₀ =ᶠ[L] f₁
hx : f₀ x = f₁ x
h₁ : ∀ (x : E), f₀' x = f₁' x

HasFDerivAtFilter f₀ f₀' x L ↔ HasFDerivAtFilter f₁ f₁' x L


((fun x' => f₀ x' - f₀ x - f₀' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x) ↔ (fun x' => f₁ x' - f₁ x - f₁' (x' - x)) =o[L] fun x' => x' - x


Context:
N : ℕ
hN : ¬Prime N


Context: C : Type u₁

Context: inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: D : Type u_1

Context: inst✝¹ : Category.{v₁, u_1} D

Context: inst✝ : Preadditive D

Context: ι✝¹ : Type

Context: fintype✝¹ : Fintype ι✝¹

Context: X✝¹ : ι✝¹ → C

Context: i✝ : ((𝟭 C).mapMat_.obj (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).ι

Context: ι✝ : Type

Context: fintype✝ : Fintype ι✝

Context: X✝ : ι✝ → C

Context: j✝ : ((𝟭 (Mat_ C)).obj (Mat_.mk ι✝ X✝)).ι

Context: f : Mat_.mk ι✝¹ X✝¹ ⟶ Mat_.mk ι✝ X✝

((𝟭 C).mapMat_.map f ≫ ((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝ X✝)).hom) i✝ j✝ = (((fun M => eqToIso ⋯) (Mat_.mk ι✝¹ X✝¹)).hom ≫ (𝟭 (Mat_ C)).map f) i✝ j✝


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: κ : Type u

Context: w✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

Context: h₁ : ∀ (i : ι), n i = ∑ j : κ, a i j • y j

Context: h₂ : ∀ (j : κ), ∑ i : ι, a i j • m i = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: κ : Type u

Context: w✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

∑ x : ι, ∑ x_1 : κ, a x x_1 • m x ⊗ₜ[R] y x_1 = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: M : Type u

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : Module R M

Context: N : Type u

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: ι : Type u

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: m : ι → M

Context: n : ι → N

Context: κ : Type u

Context: w✝ : Fintype κ

Context: a : ι → κ → R

Context: y : κ → N

∑ y_1 : κ, ∑ x : ι, a x y_1 • m x ⊗ₜ[R] y y_1 = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝⁷ : TopologicalSpace α
inst✝⁶ : Preorder α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Preorder β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : Preorder γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : Preorder δ
g : EsakiaHom β γ
f₁ f₂ : EsakiaHom α β
hg : Injective ⇑g
h : g.comp f₁ = g.comp f₂
a : α


Context:
m n : ℕ
x y : ZMod n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : EMetricSpace α
x y z : α
s t : Set α
C : ℝ≥0∞
sC : Set ℝ≥0∞
inst✝ : Finite ↑s
val✝ : Fintype ↑s


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : LinearOrderedCommMonoidWithZero α

Context: a b c d x y z : α

Context: n : ℕ

Context: inst✝ : NoZeroDivisors α

Context: hn : n ≠ 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasPullbacks C

Context: W X Y Z : C

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : Epi g

Context: s : PullbackCone f g

Context: hs : IsLimit s

Context: this : Epi ((limit.cone (cospan f g)).π.app WalkingCospan.left)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : DecidableEq β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
s✝ t : Finset β
a✝¹ : α
b : β
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α
a✝ : α

a✝ ∈ (a • s)⁻¹ ↔ a✝ ∈ op a⁻¹ • s⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hsu : VectorMeasure.restrict 0 u ≤ VectorMeasure.restrict s u

Context: hsv : VectorMeasure.restrict 0 v ≤ VectorMeasure.restrict s v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hsu : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ u → ↑0 j ≤ ↑s j

Context: hsv : ∀ ⦃j : Set α⦄, MeasurableSet j → j ⊆ v → ↑0 j ≤ ↑s j

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hs : ↑s (u ∆ v) = 0


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : MeasurableSpace α

Context: s : SignedMeasure α

Context: μ ν : Measure α

Context: inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure ν

Context: u v w : Set α

Context: hu : MeasurableSet u

Context: hv : MeasurableSet v

Context: hs : ↑s (u \ v) + ↑s (v \ u) = 0

Context: a : 0 ≤ ↑s (u \ v)

Context: b : 0 ≤ ↑s (v \ u)


Context:
R : Type r
S : Type s
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
W : WeierstrassCurve R


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w₁ w₂ : W

cs.length w₂ - cs.length w₁ ≤ cs.length (w₁ * w₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq β
f g : α → β
s : Finset α
t : Finset β
a : α
b c : β

∀ (x : β), x ∈ ↑(image f s) ↔ x ∈ f '' ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Monoid M
a✝ b c : M
m n : ℕ
hn : n ≠ 0
a : M


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_inv : LinearMap.BilinForm.lieInvariant L Φ

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: hL : ∀ (I : LieIdeal K L), IsAtom I → ¬IsLieAbelian ↥↑I

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I

(Φ.restrict (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule).Nondegenerate


Context: K : Type u_1

Context: L : Type u_2

Context: M : Type u_3

Context: inst✝⁶ : Field K

Context: inst✝⁵ : LieRing L

Context: inst✝⁴ : LieAlgebra K L

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : Module K M

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M

Context: inst✝ : Module.Finite K L

Context: Φ : LinearMap.BilinForm K L

Context: hΦ_nondeg : Φ.Nondegenerate

Context: hΦ_refl : Φ.IsRefl

Context: I : LieIdeal K L

Context: hI : IsAtom I

IsCompl (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule (Φ.orthogonal (lieIdealSubalgebra K L I).toSubmodule)


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
H1 : (B (y + x)) (y + x) = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
H1 : (B x) y + (B y) x = 0


Context:
R : Type u_1
R₁ : Type u_2
R₂ : Type u_3
R₃ : Type u_4
M : Type u_5
M₁ : Type u_6
M₂ : Type u_7
M₃ : Type u_8
Mₗ₁ : Type u_9
Mₗ₁' : Type u_10
Mₗ₂ : Type u_11
Mₗ₂' : Type u_12
K : Type u_13
K₁ : Type u_14
K₂ : Type u_15
V : Type u_16
V₁ : Type u_17
V₂ : Type u_18
n : Type u_19
inst✝⁵ : CommSemiring R
inst✝⁴ : AddCommGroup M
inst✝³ : Module R M
inst✝² : CommSemiring R₁
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
I₁ I₂ I : R₁ →+* R
B : M₁ →ₛₗ[I₁] M₁ →ₛₗ[I₂] M
H : B.IsAlt
x y : M₁
H1 : -(B x) y = (B y) x


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: o : Ordinal.{u}

Context: f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → Ordinal.{u} → Ordinal.{u}

Context: c : Cardinal.{u}

Context: hc : c.IsRegular

Context: ho : o.card < c

Context: hc' : c ≠ ℵ₀

Context: hf : ∀ (i : Ordinal.{u}) (hi : i < o), ∀ b < c.ord, f i hi b < c.ord

Context: a : Ordinal.{u}


Context:
C : Type u_1
inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝⁴ : Preadditive C
inst✝³ : MonoidalCategory C
inst✝² : MonoidalPreadditive C
inst✝¹ : HasFiniteBiproducts C
J : Type
inst✝ : Fintype J
X Y : C
f : J → C
j✝ : J

((asIso (𝟙 X) ⊗ leftDistributor Y f) ≪≫ leftDistributor X fun j => Y ⊗ f j).hom ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ Y ⊗ f j) j✝ = ((α_ X Y (⨁ f)).symm ≪≫ leftDistributor (X ⊗ Y) f ≪≫ biproduct.mapIso fun j => α_ X Y (f j)).hom ≫ biproduct.π (fun j => X ⊗ Y ⊗ f j) j✝


(if j✝ ∈ Finset.univ then ∑ x : J, (𝟙 X ⊗ Y ◁ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.ι (fun j => Y ⊗ f j) x) ≫ X ◁ biproduct.π (fun j => Y ⊗ f j) j✝ else 0) = if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (X ⊗ Y) ◁ biproduct.π f j✝ ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0


(if j✝ ∈ Finset.univ then ∑ x : J, (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.ι (fun j => Y ⊗ f j) x) ≫ (𝟙 X ⊗ biproduct.π (fun j => Y ⊗ f j) j✝) else 0) = if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ biproduct.π f j✝) ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0


(if j✝ ∈ Finset.univ then ∑ x : J, 𝟙 X ⊗ (𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ if h : x = j✝ then eqToHom ⋯ else 0 else 0) = if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ biproduct.π f j✝) ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0


(if j✝ ∈ Finset.univ then ∑ x : J, if h : x = j✝ then (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ eqToHom ⋯) else (𝟙 X ⊗ 𝟙 Y ⊗ biproduct.π f x) ≫ (𝟙 X ⊗ 0) else 0) = if j✝ ∈ Finset.univ then (α_ X Y (⨁ f)).inv ≫ (𝟙 (X ⊗ Y) ⊗ biproduct.π f j✝) ≫ (α_ X Y (f j✝)).hom else 0


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Fintype α
inst✝ : DecidableEq α
h3 : 3 ≤ card α
this : Nontrivial α


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
hy : y < 0


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
y : ℝ
hy : 0 < y


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
hx : x < 0


Context:
P : EReal → EReal → Prop
top_top : P ⊤ ⊤
top_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊤ ↑x
top_zero : P ⊤ 0
top_neg : ∀ x < 0, P ⊤ ↑x
top_bot : P ⊤ ⊥
pos_top : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊤
pos_bot : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ↑x ⊥
zero_top : P 0 ⊤
coe_coe : ∀ (x y : ℝ), P ↑x ↑y
zero_bot : P 0 ⊥
neg_top : ∀ x < 0, P ↑x ⊤
neg_bot : ∀ x < 0, P ↑x ⊥
bot_top : P ⊥ ⊤
bot_pos : ∀ (x : ℝ), 0 < x → P ⊥ ↑x
bot_zero : P ⊥ 0
bot_neg : ∀ x < 0, P ⊥ ↑x
bot_bot : P ⊥ ⊥
x : ℝ
hx : 0 < x


Context:
q : ℚ
x y : ℝ
m : ℤ
h : Irrational (↑m * x)


Context: p : ℝ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
R : Type u_4
inst✝³ : TopologicalSpace R
inst✝² : LinearOrderedField R
inst✝¹ : OrderTopology R
inst✝ : FloorRing R
n : ℕ
hn : n ≠ 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: m : ℕ

Context: x : M

Context: v : Fin m → M

Context: hli : LinearIndependent R v

Context: x_ortho : ∀ (c : R) (y : ↥(span R (range v))), c • x + ↑y = 0 → c = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: m : ℕ

Context: x : M

Context: v : Fin m → M

Context: hli : ∀ (g : Fin m → R), ∑ i : Fin m, g i • v i = 0 → ∀ (i : Fin m), g i = 0

∀ (g : Fin (m + 1) → R), ∑ i : Fin (m + 1), g i • Fin.cons x v i = 0 → ∀ (i : Fin (m + 1)), g i = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: m : ℕ

Context: x : M

Context: v : Fin m → M

Context: g : Fin (m + 1) → R

Context: total_eq : ∑ i : Fin (m + 1), g i • Fin.cons x v i = 0

Context: j : Fin (m + 1)


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: m : ℕ

Context: x : M

Context: v : Fin m → M

Context: g : Fin (m + 1) → R

Context: j : Fin (m + 1)

Context: total_eq : g 0 • x + ∑ x : Fin m, g x.succ • v x = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: m : ℕ

Context: x : M

Context: v : Fin m → M

Context: g : Fin (m + 1) → R

Context: j : Fin (m + 1)

Context: this : g 0 = 0


Context: ι : Type u'

Context: ι' : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: M' : Type u_5

Context: M'' : Type u_6

Context: V : Type u

Context: V' : Type u_7

Context: v✝ : ι → M

Context: inst✝⁶ : Semiring R

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid M

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M''

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M''

Context: a b : R

Context: x✝ y : M

Context: m : ℕ

Context: x : M

Context: v : Fin m → M

Context: g : Fin (m + 1) → R

Context: j : Fin (m + 1)

Context: total_eq : ∑ x : Fin m, g x.succ • v x = 0

Context: this : g 0 = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : DivisionRing k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
n : ℕ
s : Simplex k P n
fs : Finset (Fin (n + 1))
m : ℕ
h : fs.card = m + 1

centroid k univ (s.face h).points = centroid k fs s.points


fs = map (fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding univ


↑fs = Set.range ⇑(fs.orderEmbOfFin h).toEmbedding


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
r : ℝ
z : K


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeSup α


Tendsto (fun a => (a, a)) atTop (atTop ×ˢ atTop)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x y z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoEMetricSpace (π b)

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), diam (s b) ≤ c


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), diam (s b) ≤ c

Context: x : (i : β) → π i

Context: hx : x ∈ univ.pi s

Context: y : (i : β) → π i

Context: hy : y ∈ univ.pi s


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: X : Type u_1

Context: inst✝² : PseudoEMetricSpace α

Context: x✝ y✝ z : α

Context: ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞

Context: s✝ t : Set α

Context: π : β → Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: s : (b : β) → Set (π b)

Context: c : ℝ≥0∞

Context: h : ∀ (b : β), diam (s b) ≤ c

Context: x : (i : β) → π i

Context: hx : ∀ (i : β), x i ∈ s i

Context: y : (i : β) → π i

Context: hy : ∀ (i : β), y i ∈ s i


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
c : ℝ≥0∞
hc : c ≠ ⊤
h0 : c ≠ 0
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] c • m₂
s : Set X


(OuterMeasure.mkMetric m₁) s ≤ (c • ⇑(OuterMeasure.mkMetric m₂)) s


Context: o : Ordinal.{u_1}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X : PartialFun

Context: a : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj X

(fun a => ⟨some a, ⋯⟩) ((fun a => Option.get ↑a ⋯) a) = a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

Context: b : (partialFunToPointed ⋙ pointedToPartialFun).obj Y✝

(b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (Part.some ⟨some a, ⋯⟩).bind (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

(b ∈ (f a).bind fun x => Part.some ⟨some x, ⋯⟩) ↔ b ∈ (PFun.toSubtype (fun x => ¬x = none) (Option.elim' none fun a => (f a).toOption) ∘ Subtype.val) ⟨some a, ⋯⟩


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: X✝ Y✝ : PartialFun

Context: f : X✝ ⟶ Y✝

Context: a : (𝟭 PartialFun).obj X✝

(∃ a_1 ∈ f a, b ∈ Part.some ⟨some a_1, ⋯⟩) ↔ ↑b = Option.elim' none (fun a => (f a).toOption) ↑⟨some a, ⋯⟩


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
X Y : Pointed
f : X ⟶ Y
a : X.X
ha : a ≠ X.point

((pointedToPartialFun ⋙ partialFunToPointed).map f ≫ ((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) Y).hom).toFun (some ⟨a, ha⟩) = (((fun X => Pointed.Iso.mk (Equiv.optionSubtypeNe X.point) ⋯) X).hom ≫ (𝟭 Pointed).map f).toFun (some ⟨a, ha⟩)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_int_X : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

Context: h_int_Y : AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

AEStronglyMeasurable (fun ω => rexp (t * X ω) * rexp (t * Y ω)) μ


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝¹¹ : Category.{v, u} V
inst✝¹⁰ : Preadditive V
W : Type u_2
inst✝⁹ : Category.{?u.135432, u_2} W
inst✝⁸ : Preadditive W
W₁ : Type u_3
W₂ : Type u_4
inst✝⁷ : Category.{u_6, u_3} W₁
inst✝⁶ : Category.{u_5, u_4} W₂
inst✝⁵ : HasZeroMorphisms W₁
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms W₂
c✝ : ComplexShape ι
C D E : HomologicalComplex V c✝
f g : C ⟶ D
h k : D ⟶ E
i : ι
inst✝³ : HasZeroObject W₁
inst✝² : HasZeroObject W₂
F : W₁ ⥤ W₂
inst✝¹ : F.PreservesZeroMorphisms
c : ComplexShape ι
inst✝ : DecidableEq ι
j : ι
X : W₁

((singleMapHomologicalComplex F c j).hom.app X).f j = F.map (singleObjXSelf c j X).hom ≫ (singleObjXSelf c j (F.obj X)).inv


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α

∀ᵐ (t : β) ∂ν a, ∀ (q : ℚ), ⨅ r, f (a, t) ↑r = f (a, t) q


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
hf : IsRatCondKernelCDFAux f κ ν
inst✝¹ : IsFiniteKernel κ
inst✝ : IsFiniteKernel ν
a : α
q : ℚ

∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => ⨅ r, f (a, a_3) ↑r) s (ν a)


∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → IntegrableOn (fun a_3 => f (a, a_3) q) s (ν a)


∀ (s : Set β), MeasurableSet s → (ν a) s < ⊤ → ∫ (x : β) in s, ⨅ r, f (a, x) ↑r ∂ν a = ∫ (x : β) in s, f (a, x) q ∂ν a


Context:
S : Type u_1
M : Type u_2
G : Type u_3
inst✝ : Group G
a✝ x✝ y✝ a x y b : G

b * a * b⁻¹ * (b * x * b⁻¹) = b * y * b⁻¹ * (b * a * b⁻¹) ↔ a * x = y * a


b * a * x * b⁻¹ = b * y * a * b⁻¹ ↔ a * x = y * a


Context:
R : Type u
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
A : Type u
inst✝⁹ : CommSemiring A
inst✝⁸ : Algebra R A
B : Type u
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R B
inst✝⁵ : Algebra A B
inst✝⁴ : IsScalarTower R A B
inst✝³ : FormallySmooth R A
inst✝² : FormallySmooth A B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallySmooth R A

Context: inst✝² : FormallySmooth A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f : B →ₐ[R] C ⧸ I

Context: f' : A →ₐ[R] C

Context: e : (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp f' = f.comp (IsScalarTower.toAlgHom R A B)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallySmooth R A

Context: inst✝² : FormallySmooth A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f : B →ₐ[R] C ⧸ I

Context: f' : A →ₐ[R] C

Context: this : Algebra A C := f'.toAlgebra


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallySmooth R A

Context: inst✝² : FormallySmooth A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f : B →ₐ[R] C ⧸ I

Context: f' : A →ₐ[R] C

Context: this : Algebra A C := f'.toAlgebra

Context: f'' : B →ₐ[A] C

Context: e' : (Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f'' = let __src := f.toRingHom; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ }


Context: R : Type u

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: A : Type u

Context: inst✝⁹ : CommSemiring A

Context: inst✝⁸ : Algebra R A

Context: B : Type u

Context: inst✝⁷ : Semiring B

Context: inst✝⁶ : Algebra R B

Context: inst✝⁵ : Algebra A B

Context: inst✝⁴ : IsScalarTower R A B

Context: inst✝³ : FormallySmooth R A

Context: inst✝² : FormallySmooth A B

Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : CommRing C

Context: inst✝ : Algebra R C

Context: I : Ideal C

Context: hI : I ^ 2 = ⊥

Context: f : B →ₐ[R] C ⧸ I

Context: f' : A →ₐ[R] C

Context: this : Algebra A C := f'.toAlgebra

Context: f'' : B →ₐ[A] C

Context: e' : AlgHom.restrictScalars R ((Ideal.Quotient.mkₐ A I).comp f'') = AlgHom.restrictScalars R (let __src := f.toRingHom; { toRingHom := __src, commutes' := ⋯ })


Context:
w x✝ y✝ z y : ℝ
hy : 0 < y
x : ℝ≥0


Context:
E : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup E
ε δ : ℝ
s t : Set E
x y : E


Context:
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y


Context:
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < (y - 1 + 1) ^ m


Context:
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m


Context:
x y : ℝ≥0
hy : 1 < y
m : ℕ
hm : x < y ^ m
n : ℕ
hn : n ≥ m + 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w : M₁


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁴ : CommSemiring R
inst✝¹³ : AddCommMonoid M
inst✝¹² : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹¹ : CommRing R₁
inst✝¹⁰ : AddCommGroup M₁
inst✝⁹ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁸ : Field K
inst✝⁷ : AddCommGroup V
inst✝⁶ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M'' : Type u_8
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁴ : AddCommMonoid M''
inst✝³ : Module R M'✝
inst✝² : Module R M''
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M' : Type u_9
inst✝¹ : AddCommMonoid M'
inst✝ : Module R M'
B : BilinForm R₁ M₁
b : B.Nondegenerate
φ ψ : M₁ →ₗ[R₁] M₁
h : B.compLeft φ = B.compLeft ψ
w v : M₁


Context:
t : Type u → Type u → Type u
inst✝⁵ : Bitraversable t
β✝ : Type u
F G : Type u → Type u
inst✝⁴ : Applicative F
inst✝³ : Applicative G
inst✝² : LawfulBitraversable t
inst✝¹ : LawfulApplicative F
inst✝ : LawfulApplicative G
α α' β : Type u
f : α → α'
x : t α β


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (Function.swap HMul.hMul) LT.lt

Context: a b : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: this : ∀ (M : Type ?u.12705) (N : Type ?u.12704) (μ : M → N → N) [inst : PartialOrder N] [inst_1 : CovariantClass M N μ fun x x_1 => x < x_1], CovariantClass M N μ fun x x_1 => x ≤ x_1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : PartialOrder α

Context: a b : α

Context: y : α

Context: hya : y ∈ Ici a

Context: z : α

Context: hzb : z ∈ Ioi b

(fun x x_1 => x * x_1) y z ∈ Ioi (a * b)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h1 : TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : interior K ⊆ U


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : interior K ⊆ U

Context: h3 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) (interior K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : interior K ⊆ U

Context: h4 : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ (interior K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : interior K ⊆ U

Context: h5 : TendstoLocallyUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ (interior K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : interior K ⊆ U

Context: h6 : ∀ x ∈ interior K, HasDerivAt f (cderiv δ f x) x


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: U K✝ : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: inst✝ : φ.NeBot

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hU : IsOpen U

Context: x : ℂ

Context: hx : x ∈ U

Context: K : Set ℂ

Context: hKU : K ⊆ U

Context: hKx : K ∈ 𝓝 x

Context: hK : IsCompact K

Context: δ : ℝ

Context: left✝¹ : δ > 0

Context: left✝ : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : interior K ⊆ U

Context: h7 : DifferentiableOn ℂ f (interior K)


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
c : E

indicatorConstLp p ⋯ ⋯ c = (Lp.const p μ) c


Memℒp.toLp (Set.univ.indicator fun x => c) ⋯ = Memℒp.toLp (fun x => c) ⋯


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
A : ValuationSubring K
a : K

a ∈ Subtype.val '' ↑(LocalRing.maximalIdeal ↥A) ↔ a ∈ ↑A.nonunits


(∃ x ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A, ↑x = a) ↔ ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A


(∃ a_1, ∃ (b : a_1 ∈ ↑A), ⟨a_1, b⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A ∧ ↑⟨a_1, b⟩ = a) ↔ ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A


(∃ (x : a ∈ ↑A), ⟨a, ⋯⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A) ↔ ∃ (ha : a ∈ A), ⟨a, ha⟩ ∈ LocalRing.maximalIdeal ↥A


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
p : α →₀ M


Context: x y : ℝ

↑x ≤ ↑y ↔ x ≤ y


Context:
i j k : ℤ
hi : i ∣ k
hj : j ∣ k


Context:
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n

multiplicity 2 (x ^ n - y ^ n) + 1 = multiplicity 2 (x + y) + multiplicity 2 (x - y) + multiplicity 2 n


Context:
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n
hyx : y ≤ x


Context:
R : Type u_1
n✝ x y : ℕ
hxy : 2 ∣ x - y
hx : ¬2 ∣ x
n : ℕ
hn : Even n
hyx : x ≤ y


Context:
R : Type u
M M₁ : Type v
M' : Type v'
ι : Type w
inst✝⁸ : Ring R
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : AddCommGroup M'
inst✝⁵ : AddCommGroup M₁
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : Module R M'
inst✝² : Module R M₁
inst✝¹ : Nontrivial R
inst✝ : NoZeroSMulDivisors R M
n : ℕ
hn : finrank R M = n.succ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField 𝕜
P Q : 𝕜[X]
inst✝ : OrderTopology 𝕜

Tendsto (fun x => eval x P) atTop atBot ↔ 0 < P.degree ∧ P.leadingCoeff ≤ 0


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

Context: w : X.toΓSpec.val.base ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base = β.val.base

Context: h : ∀ (r : ↑R), f ≫ X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op = toOpen (↑R) (basicOpen r) ≫ β.val.c.app (op (basicOpen r))

(X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val = β.val


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

∀ (r : ↑R), let U := basicOpen r; (toOpen (↑R) U ≫ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

Context: r : ↑R

Context: U : Opens (PrimeSpectrum ↑R) := basicOpen r

(toOpen (↑R) U ≫ (X.toΓSpec ≫ Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U)) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

Context: r : ↑R

(toOpen (↑R) U ≫ (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.c.app (op U) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

Context: r : ↑R

(CommRingCat.ofHom f ≫ toOpen (↑(Γ.obj (op X))) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

Context: r : ↑R

CommRingCat.ofHom f ≫ (toOpen (↑(Γ.obj (op X))) ((Opens.comap (PrimeSpectrum.comap f)) U) ≫ X.toΓSpec.val.c.app (op ((Opens.map (Spec.locallyRingedSpaceMap f).val.base).obj (unop (op U))))) ≫ X.presheaf.map (eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)


Context: X✝ : LocallyRingedSpace

Context: r✝ : ↑(Γ.obj (op X✝))

Context: X : LocallyRingedSpace

Context: R : CommRingCat

Context: f : R ⟶ Γ.obj (op X)

Context: β : X ⟶ Spec.locallyRingedSpaceObj R

Context: r : ↑R

CommRingCat.ofHom f ≫ X.presheaf.map ((X.toΓSpecMapBasicOpen (f r)).leTop.op ≫ eqToHom ⋯) = toOpen (↑R) U ≫ β.val.c.app (op U)


Context: X : Scheme

Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤ = (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).hom


Context: X : Scheme

Context: this : Scheme.Γ.rightOp.map (adjunction.unit.app X) ≫ adjunction.counit.app (Scheme.Γ.rightOp.obj X) = 𝟙 (Scheme.Γ.rightOp.obj X)


Context: X : Scheme

Context: this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op ≫ (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op = 𝟙 (op Γ(X, ⊤))


Context: X : Scheme

Context: this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op = 𝟙 (op Γ(X, ⊤)) ≫ inv (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op


Context: X : Scheme

Context: this : (Scheme.Hom.app (adjunction.unit.app X) ⊤).op = inv (Scheme.ΓSpecIso Γ(X, ⊤)).inv.op


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α β
f : β → ℝ≥0∞
μ : Measure β
a : α
s : Set β

∫⁻ (x : β) in s, f x ∂(const α μ) a = ∫⁻ (x : β) in s, f x ∂μ


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ


(equiv K) (mk I) = (equiv K) 1 ↔ (↑↑I).IsPrincipal


(∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I) ↔ (↑↑I).IsPrincipal


(↑↑I).IsPrincipal → ∃ x, spanSingleton R⁰ ↑x = ↑I


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
L : Type u_3
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : Field K
inst✝⁸ : Field L
inst✝⁷ : DecidableEq L
inst✝⁶ : Algebra R K
inst✝⁵ : IsFractionRing R K
inst✝⁴ : Algebra K L
inst✝³ : FiniteDimensional K L
inst✝² : Algebra R L
inst✝¹ : IsScalarTower R K L
inst✝ : IsDomain R
I : (FractionalIdeal R⁰ K)ˣ
hI : (↑↑I).IsPrincipal
x : K
hx : ↑↑I = Submodule.span R {x}
hx' : ↑I = spanSingleton R⁰ x


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : Group α
inst✝ : Group β
f : α → β
hf✝ hf : IsGroupHom f
a : α


Context:
ι : Type u_1
I J : Box ι
x y : ι → ℝ
a✝¹ a✝ : Box ι

↑(mk' (a✝¹.lower ⊔ a✝.lower) (a✝¹.upper ⊓ a✝.upper)) = ↑↑a✝¹ ∩ ↑↑a✝


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace α

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: i✝ : α → β

Context: di : DenseInducing i✝

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace δ

Context: f : γ → α

Context: g : γ → δ

Context: h : δ → β

Context: inst✝ : TopologicalSpace γ

Context: i : α → β

Context: c : Continuous i

Context: dense : ∀ (x : β), x ∈ closure (range i)

Context: H : ∀ (a : α), ∀ s ∈ 𝓝 a, ∃ t ∈ 𝓝 (i a), ∀ (b : α), i b ∈ t → b ∈ s

Context: a : α


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{?u.5761, u_2} D
inst✝ : Category.{?u.5765, u_3} E
X Y : GradedObject J C
e : X ≅ Y
j : J


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a b : α
l : List α
x✝ : b ≠ a
h : b ≠ a := x✝


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : HasColimits C
X Y : PresheafedSpace C
α : X ⟶ Y
U : Opens ↑↑Y
x : ↥((Opens.map α.base).obj U)

Y.presheaf.germ ⟨α.base ↑x, ⋯⟩ ≫ Hom.stalkMap α ↑x = α.c.app (op U) ≫ X.presheaf.germ x


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

(fun x => (ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : oddKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : (fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

(fun x => ‖(ofReal' ∘ oddKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

(fun x => ‖oddKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
r : ℝ

(fun x => (ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : sinKernel a =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

Context: hv' : (fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => rexp (-v * x)

(fun x => ‖(ofReal' ∘ sinKernel a) x - 0‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context: a : UnitAddCircle

Context: r v : ℝ

Context: hv : 0 < v

(fun x => ‖sinKernel a x‖) =O[atTop] fun x => x ^ r


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0

(ofReal' ∘ oddKernel a) (1 / x) = (1 * ↑(x ^ (3 / 2))) • (ofReal' ∘ sinKernel a) x


Context:
m n : ℤ
hn : n ≠ 0


Context:
m n : ℤ
hn : ↑n ≠ 0


Context:
d m n : Nat
dgt1 : 1 < d
Hm : d ∣ m
Hn : d ∣ n
co : m.Coprime n


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : DecidableEq R
S : Type u_2
inst✝ : CommRing S


Context: C : Type u

Context: inst✝⁷ : Category.{v, u} C

Context: X Y : C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝⁶ : Category.{w, u₂} D

Context: F✝ : C ⥤ D

Context: A✝ A' B B' : C

Context: inst✝⁵ : HasBinaryCoproduct A✝ B

Context: inst✝⁴ : HasBinaryCoproduct A' B'

Context: inst✝³ : HasBinaryCoproduct (F✝.obj A✝) (F✝.obj B)

Context: inst✝² : HasBinaryCoproduct (F✝.obj A') (F✝.obj B')

Context: inst✝¹ : HasBinaryCoproducts C

Context: inst✝ : HasBinaryCoproducts D

Context: F : C ⥤ D

Context: A f : C

∀ ⦃Y : C⦄ (f_1 : f ⟶ Y), (F ⋙ coprod.functor.obj (F.obj A)).map f_1 ≫ (fun B => coprodComparison F A B) Y = (fun B => coprodComparison F A B) f ≫ (coprod.functor.obj A ⋙ F).map f_1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
inst✝⁴ : TopologicalSpace β
inst✝³ : TopologicalSpace γ
inst✝² : TopologicalSpace δ
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : ContinuousInf β
f g : α →ₘ[μ] β
a✝ : α
ha : ↑(f ⊓ g) a✝ = ↑f a✝ ⊓ ↑g a✝


↑f a✝ ⊓ ↑g a✝ ≤ ↑f a✝


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : MapsTo (⇑e) Φ Φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
hk : IsPeriodicPt (fun x => e' * x) k 1
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ


↑((MapsTo.restrict (⇑e) Φ Φ ⋯)^[k] ⟨x, hx⟩) = x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : e' ^ k = 1


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
Φ : Set M
hΦ₁ : Φ.Finite
hΦ₂ : span R Φ = ⊤
e : M ≃ₗ[R] M
he : BijOn (⇑e) Φ Φ
e' : ↑Φ ≃ ↑Φ := BijOn.equiv (⇑e) he
this : Finite ↑Φ
k : ℕ
hk₀ : k > 0
m : M
hm : m ∈ span R Φ
x : M
hx : x ∈ Φ
hk : (e' ^ k) ⟨x, hx⟩ = 1 ⟨x, hx⟩


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁸ : CommRing R
inst✝⁷ : Ring S
inst✝⁶ : Algebra R S
A : Type u_4
B : Type u_5
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : CommRing B
inst✝³ : IsDomain B
inst✝² : Algebra A B
K : Type u_6
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra A S
pb : PowerBasis A S


pb.gen ^ pb.dim - ∑ x : Fin pb.dim, (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) x • pb.gen ^ ↑x = 0


(Finsupp.total (Fin pb.dim) S A ⇑pb.basis) (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) = ∑ x : Fin pb.dim, (pb.basis.repr (pb.gen ^ pb.dim)) x • pb.gen ^ ↑x


Context:
p : Char → Bool
s : String

s.revFind p = Option.map (fun x => { byteIdx := utf8Len x }) (List.dropWhile (fun x => !p x) s.data.reverse).tail?


Context:
α✝ : Type u_1
l₁ : List α✝
a : α✝
l₂ : List α✝

(a :: l₂).Disjoint l₁ ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂


¬a ∈ l₁ ∧ l₂.Disjoint l₁ ↔ ¬a ∈ l₁ ∧ l₁.Disjoint l₂


Context:
k : Type u_1
V1 : Type u_2
P1 : Type u_3
V2 : Type u_4
P2 : Type u_5
V3 : Type u_6
P3 : Type u_7
V4 : Type u_8
P4 : Type u_9
inst✝¹² : Ring k
inst✝¹¹ : AddCommGroup V1
inst✝¹⁰ : Module k V1
inst✝⁹ : AffineSpace V1 P1
inst✝⁸ : AddCommGroup V2
inst✝⁷ : Module k V2
inst✝⁶ : AffineSpace V2 P2
inst✝⁵ : AddCommGroup V3
inst✝⁴ : Module k V3
inst✝³ : AffineSpace V3 P3
inst✝² : AddCommGroup V4
inst✝¹ : Module k V4
inst✝ : AffineSpace V4 P4
p₀ p₁ : P1

lineMap p₀ p₁ = (lineMap p₁ p₀).comp (lineMap 1 0)


lineMap p₀ p₁ = lineMap ((lineMap p₁ p₀) 1) ((lineMap p₁ p₀) 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : LE α
S : Set (LowerSet α)
s t : LowerSet α
a : α
f : (i : ι) → κ i → LowerSet α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
x y z ε ε₁ ε₂ : ℝ≥0∞
s : Set ℝ≥0∞
f✝ g✝ : α → ℝ≥0∞
f g : ℕ → ℝ≥0∞
h₁ : ∑' (i : ℕ), g i ≠ ⊤
h₂ : g ≤ f
this : ∀ (i : ℕ), f i - g i + g i = f i


Context:
p : ℕ
inst✝ : Fact (Nat.Prime p)
z : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t u v : Finset α
a✝¹ b a : α
s : Finset α
a✝ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLawson α


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

Context: lawsonBasis_image2 : lawsonBasis α = image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U}


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

IsTopologicalBasis (image2 (fun x x_1 => ⇑WithLower.toLower ⁻¹' x ∩ ⇑WithScott.toScott ⁻¹' x_1) (IsLower.lowerBasis (WithLower α)) {U | IsOpen U})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

inst✝¹ = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓ induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

lawson α = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓ induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

lower α ⊓ scott α = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace ⊓ induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

lower α = induced (⇑WithLower.toLower) WithLower.instTopologicalSpace


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

scott α = induced (⇑WithScott.toScott) WithScott.instTopologicalSpace


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : Preorder α

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace α

Context: inst✝ : IsLawson α

Context: x✝ : TopologicalSpace α := scott α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.133780, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h : Homotopy φ₁ φ₂
h' : Homotopy φ₃ φ₄

(φ₁ - φ₃).τ₁ = S₁.f ≫ (h.h₁ - h'.h₁) + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂ - φ₄).τ₁


S₁.f ≫ h.h₁ + h.h₀ + φ₂.τ₁ - (S₁.f ≫ h'.h₁ + h'.h₀ + φ₄.τ₁) = S₁.f ≫ h.h₁ - S₁.f ≫ h'.h₁ + (h.h₀ - h'.h₀) + (φ₂.τ₁ - φ₄.τ₁)


(φ₁ - φ₃).τ₂ = S₁.g ≫ (h.h₂ - h'.h₂) + (h.h₁ - h'.h₁) ≫ S₂.f + (φ₂ - φ₄).τ₂


S₁.g ≫ h.h₂ + h.h₁ ≫ S₂.f + φ₂.τ₂ - (S₁.g ≫ h'.h₂ + h'.h₁ ≫ S₂.f + φ₄.τ₂) = S₁.g ≫ h.h₂ - S₁.g ≫ h'.h₂ + (h.h₁ ≫ S₂.f - h'.h₁ ≫ S₂.f) + (φ₂.τ₂ - φ₄.τ₂)


(φ₁ - φ₃).τ₃ = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ - h'.h₂) ≫ S₂.g + (φ₂ - φ₄).τ₃


h.h₃ + h.h₂ ≫ S₂.g + φ₂.τ₃ - (h'.h₃ + h'.h₂ ≫ S₂.g + φ₄.τ₃) = h.h₃ - h'.h₃ + (h.h₂ ≫ S₂.g - h'.h₂ ≫ S₂.g) + (φ₂.τ₃ - φ₄.τ₃)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_ne_zero : f ≠ 0

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: h1 : f 1 = 0

Context: f_mul : ∀ (y : R), f (1 * y) ≤ c * f 1 * f y


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f y ≤ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
f : R → ℝ
c : ℝ
f_ne_zero : f ≠ 0
f_nonneg : 0 ≤ f
h1 : f 1 = 0
f_mul : ∀ (y : R), f y ≤ 0
z : R
hz : f z ≠ 0 z


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁷ : TopologicalSpace H
inst✝⁶ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝³ : TopologicalSpace H'
inst✝² : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝¹ : ChartedSpace H M
inst✝ : ChartedSpace H' M'
x : M


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n b : ℕ
hn : IsPrimePow n
hab : Coprime 0 b


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a : ℕ
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hab : a.Coprime 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n✝ p : R
k n a b : ℕ
hab : a.Coprime b
hn : IsPrimePow n
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommMonoidWithZero R
n p✝ : R
k✝ a b : ℕ
hab : a.Coprime b
ha : a ≠ 0
hb : b ≠ 0
p k : ℕ
hp : Prime p
left✝ : 0 < k
hn : IsPrimePow (p ^ k)


k ≤ a.factorization p + b.factorization p → k ≤ a.factorization p ∨ k ≤ b.factorization p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommMonoidWithZero R

Context: n p✝ : R

Context: k✝ a b : ℕ

Context: hab : a.Coprime b

Context: ha : a ≠ 0

Context: hb : b ≠ 0

Context: p k : ℕ

Context: hp : Prime p

Context: left✝ : 0 < k

Context: hn : IsPrimePow (p ^ k)

Context: this : a.factorization p = 0 ∨ b.factorization p = 0


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
m : ℕ


Context:
s : ℂ
m : ℕ
hs : s = -↑m


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁶ : TopologicalSpace H
inst✝⁵ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup E'
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝² : TopologicalSpace H'
inst✝¹ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
inst✝ : ChartedSpace H M
hf : f ∈ maximalAtlas I M
hf' : f' ∈ maximalAtlas I M
x : M
hxf : x ∈ f.source
hxf' : x ∈ f'.source

ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(f.extend I) ∘ ↑(f'.extend I).symm) (range ↑I) (↑(f'.extend I) x)


↑(f'.extend I) x ∈ ((f'.extend I).symm ≫ f.extend I).source


↑(f'.extend I) x ∈ ↑(f'.extend I) '' (f'.source ∩ f.source)


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : LinearOrderedRing α
inst✝ : FloorRing α
z : ℤ
a x : α


Context: R : Type u

Context: A : Type v

Context: B : Type w

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : NonUnitalNonAssocSemiring A

Context: inst✝⁷ : Module R A

Context: inst✝⁶ : IsScalarTower R A A

Context: inst✝⁵ : SMulCommClass R A A

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocSemiring B

Context: inst✝³ : Module R B

Context: inst✝² : IsScalarTower R B B

Context: inst✝¹ : SMulCommClass R B B

Context: S : NonUnitalSubalgebra R A

Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : Nonempty ι

Context: K : ι → NonUnitalSubalgebra R A

Context: dir : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) K

Context: f : (i : ι) → ↥(K i) →ₙₐ[R] B

Context: hf : ∀ (i j : ι) (h : K i ≤ K j), f i = (f j).comp (inclusion h)

Context: i : ι

Context: x : ↥(K i)

Context: hx : ↑x ∈ iSup K

Set.iUnionLift (fun i => ↑(K i)) (fun i x => (f i) x) ⋯ ↑(iSup K) ⋯ ⟨↑x, hx⟩ = (f i) x


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝

(colim ⋙ G).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).hom = ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).hom ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f


((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv


∀ (j : J), colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) X✝).inv ≫ (colim ⋙ G).map f = colimit.ι (((whiskeringRight J C D).obj G).obj X✝) j ≫ ((whiskeringRight J C D).obj G ⋙ colim).map f ≫ ((fun F => preservesColimitIso G F) Y✝).inv


Context:
C : Type u₁
inst✝⁷ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝⁶ : Category.{v₂, u₂} D
G : C ⥤ D
J : Type w
inst✝⁵ : Category.{w', w} J
F : J ⥤ C
inst✝⁴ : PreservesColimit F G
inst✝³ : HasColimit F
inst✝² : PreservesColimitsOfShape J G
inst✝¹ : HasColimitsOfShape J D
inst✝ : HasColimitsOfShape J C
X✝ Y✝ : J ⥤ C
f : X✝ ⟶ Y✝
j : J

colimit.ι (X✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G X✝).inv ≫ G.map (colimMap f) = (whiskerRight f G).app j ≫ colimit.ι (Y✝ ⋙ G) j ≫ (preservesColimitIso G Y✝).inv


G.map (colimit.ι X✝ j ≫ colimMap f) = G.map (f.app j ≫ colimit.ι Y✝ j)


Context:
x✝ : Game
x : PGame
y✝ : Game
y : PGame

¬Quot.mk Setoid.r x ⧏ Quot.mk Setoid.r y ↔ Quot.mk Setoid.r y ≤ Quot.mk Setoid.r x


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p1 p2 p3 : P

dist p1 p3 * dist p1 p3 = dist p1 p2 * dist p1 p2 + dist p3 p2 * dist p3 p2 ↔ ∠ p1 p2 p3 = π / 2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: h : a * b ≤ c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : a * b ≤ c * d


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Mul α

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: a b c d : α

Context: h : (c < a ∧ d < a) ∧ c < b ∧ d < b


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
l : List α
h : a ∈ l


Context:
k : Type u_1
G : Type u_2
V : Type u_3
W : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring k
inst✝⁴ : Monoid G
inst✝³ : AddCommMonoid V
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : AddCommMonoid W
inst✝ : Module k W
ρV : Representation k G V
ρW : Representation k G W
r : MonoidAlgebra k G
x : V
y : W

((1 ⊗ ρW).asAlgebraHom r) (x ⊗ₜ[k] y) = x ⊗ₜ[k] (ρW.asAlgebraHom r) y


(Finsupp.sum r fun i d => d • x ⊗ₜ[k] (ρW i) y) = x ⊗ₜ[k] Finsupp.sum r fun i d => d • (ρW i) y


Context:
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f


Context:
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
this : Nontrivial R


∀ (a b : R), a ∈ nonunits R → b ∈ nonunits R → a + b ∈ nonunits R


Context:
R✝ : Type u_1
S✝ : Type u_2
T : Type u_3
inst✝⁵ : Semiring R✝
inst✝⁴ : Semiring S✝
inst✝³ : Semiring T
R : Type u_4
S : Type u_5
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : CommSemiring S
H : LocalRing S
f : R →+* S
inst✝ : IsLocalRingHom f
this : Nontrivial R
a b : R

a ∈ nonunits R → b ∈ nonunits R → a + b ∈ nonunits R


f a ∈ nonunits S → f b ∈ nonunits S → f a + f b ∈ nonunits S


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
𝕜 : Type u_3
inst✝⁹ : _root_.RCLike 𝕜
E : Type u_4
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : InnerProductSpace 𝕜 E
E' : Type u_5
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E'
F : Type u_6
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F
F' : Type u_7
inst✝² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹ : InnerProductSpace ℝ F'
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
a : 𝕜
j : ι


Context: a : UnitAddCircle

Tendsto (fun s => (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s) (𝓝[≠] 1) (𝓝 1)


Context: a : UnitAddCircle

Context: h1 : Tendsto (fun s => (s - ↑(1 / 2)) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] ↑(1 / 2)) (𝓝 (1 * 1))


Context: a : UnitAddCircle

Context: h1 : Tendsto (fun s => (s - 1 / 2) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) (𝓝[≠] (1 / 2)) (𝓝 1)


Context: a : UnitAddCircle

Context: s : ℂ

((fun s => (s - 1 / 2) * (hurwitzEvenFEPair a).Λ s) ∘ fun s => s / 2) s = (s - 1) * completedHurwitzZetaEven a s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
f : α → β
g : α → γ
g' : β → γ

range (extend f g g') ⊆ range g ∪ g' '' (range f)ᶜ


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁷ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝³ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E' i)

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → SeminormedAddCommGroup (E'' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

(mapL fun i => ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)) = ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i)


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

↑(mapL fun i => ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i)) = ↑(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i))


Context: ι : Type uι

Context: inst✝⁹ : Fintype ι

Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : ι → Type uE

Context: inst✝⁶ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : SeminormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: E' : ι → Type u_1

Context: E'' : ι → Type u_2

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E' i)

Context: inst✝ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E'' i)

Context: g : (i : ι) → E' i →L[𝕜] E'' i

Context: f : (i : ι) → E i →L[𝕜] E' i

Context: x✝ : (i : ι) → E i

((↑(mapL fun i => ContinuousLinearMap.id 𝕜 (E i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝ = ((↑(ContinuousLinearMap.id 𝕜 (⨂[𝕜] (i : ι), E i))).compMultilinearMap (tprod 𝕜)) x✝


Context: a k x y : ℕ

Context: x✝ : ∃ (a1 : 1 < a), xn a1 k = x ∧ yn a1 k = y

Context: a1 : 1 < a

Context: hx : xn a1 k = x

Context: hy : yn a1 k = y

1 < a ∧ k ≤ yn a1 k ∧ (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨ ∃ u v s t b, xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧ u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: hx : xn a1 k = x

Context: hy : yn a1 k = y

Context: kpos : k > 0

k ≤ yn a1 k ∧ (xn a1 k = 1 ∧ yn a1 k = 0 ∨ ∃ u v s t b, xn a1 k * xn a1 k - (a * a - 1) * yn a1 k * yn a1 k = 1 ∧ u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 k] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 k * yn a1 k ∣ v ∧ s ≡ xn a1 k [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 k])


Context: a k x y : ℕ

Context: x✝ : 1 < a ∧ k ≤ y ∧ (x = 1 ∧ y = 0 ∨ ∃ u v s t b, x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧ u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y])

Context: a1 : 1 < a

Context: ky : k ≤ 0

Context: o : x = 1 ∧ y = 0 ∨ ∃ u v s t b, x * x - (a * a - 1) * y * y = 1 ∧ u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * y] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ y * y ∣ v ∧ s ≡ x [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * y]

Context: x1 : x = 1

Context: y0 : y = 0


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky : k ≤ 0

Context: x1 : x = 1

Context: y0 : y = 0


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: x✝ : 1 < a ∧ k ≤ yn a1 i ∧ (xn a1 i = 1 ∧ yn a1 i = 0 ∨ ∃ u v s t b, xn a1 i * xn a1 i - (a * a - 1) * yn a1 i * yn a1 i = 1 ∧ u * u - (a * a - 1) * v * v = 1 ∧ s * s - (b * b - 1) * t * t = 1 ∧ 1 < b ∧ b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i] ∧ b ≡ a [MOD u] ∧ 0 < v ∧ yn a1 i * yn a1 i ∣ v ∧ s ≡ xn a1 i [MOD u] ∧ t ≡ k [MOD 4 * yn a1 i])

Context: ipos : i > 0


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: ipos : i > 0

Context: iln : i ≤ n


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: ipos : i > 0

Context: iln : i ≤ n

Context: yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: ipos : i > 0

Context: iln : i ≤ n

Context: yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n

Context: jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: ipos : i > 0

Context: iln : i ≤ n

Context: yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n

Context: jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ki : k + i < 4 * yn a1 i


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: ipos : i > 0

Context: iln : i ≤ n

Context: yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n

Context: jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ki : k + i < 4 * yn a1 i

Context: ji : j ≡ i [MOD 4 * n]


Context: a k x y : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: ky✝ : k ≤ y

Context: u v s t b : ℕ

Context: b1 : 1 < b

Context: i n j : ℕ

Context: bm1 : b ≡ 1 [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ba : b ≡ a [MOD xn a1 n]

Context: vp : 0 < yn a1 n

Context: yv : yn a1 i * yn a1 i ∣ yn a1 n

Context: sx : xn b1 j ≡ xn a1 i [MOD xn a1 n]

Context: tk : yn b1 j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ky : k ≤ yn a1 i

Context: ipos : i > 0

Context: iln : i ≤ n

Context: yd : 4 * yn a1 i ∣ 4 * n

Context: jk : j ≡ k [MOD 4 * yn a1 i]

Context: ki : k + i < 4 * yn a1 i

Context: ji : j ≡ i [MOD 4 * n]

Context: this : i % (4 * yn a1 i) = k % (4 * yn a1 i)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
P Q : Fin 3 → F
hP : W.Equation P
hQ : W.Equation Q
hPz : P z ≠ 0
hQz : Q z ≠ 0
hx : P x * Q z ^ 2 ≠ Q x * P z ^ 2

W.negAddY P Q / addZ P Q ^ 3 = W.toAffine.negAddY (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (W.toAffine.slope (P x / P z ^ 2) (Q x / Q z ^ 2) (P y / P z ^ 3) (Q y / Q z ^ 3))


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: f : (b : Ordinal.{u}) → b < o → Ordinal.{u}

(succ o).IsFundamentalSequence 1 fun x x => o


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}


Context: α : Type u_1

Context: r : α → α → Prop

Context: a o : Ordinal.{u}

Context: i j : Ordinal.{u}

Context: hi : i < 1

Context: hj : j < 1

Context: h : i < j

(fun x x => o) i hi < (fun x x => o) j hj


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv : v ∈ eigenspace T μ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T ν
hv' : ¬v = 0

⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw⟩⟫_𝕜 = 0


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv : v ∈ eigenspace T μ
w : E
hw : w ∈ eigenspace T ν
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace 𝕜 E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
μ ν : 𝕜
hμν : μ ≠ ν
v : E
hv✝ : v ∈ eigenspace T μ
hv : T v = μ • v
w : E
hw✝ : w ∈ eigenspace T ν
hw : T w = ν • w
hv' : ¬v = 0
H : (starRingEnd 𝕜) μ = μ

⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv✝⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw✝⟩⟫_𝕜 = 0


ν = μ ∨ ⟪((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) μ) ⟨v, hv✝⟩, ((fun μ => (eigenspace T μ).subtypeₗᵢ) ν) ⟨w, hw✝⟩⟫_𝕜 = 0


Context: I : Type u

Context: inst✝⁵ : AddMonoid I

Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: inst✝² : DecidableEq I

Context: inst✝¹ : HasInitial C

Context: inst✝ : (X₂ : C) → PreservesColimit (Functor.empty C) ((curriedTensor C).flip.obj X₂)

Context: X X' : GradedObject I C

Context: φ : X ⟶ X'

tensorHom (𝟙 tensorUnit) φ ≫ (leftUnitor X').hom = (leftUnitor X).hom ≫ φ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hST : IsComplement S T
hHT : IsComplement (↑H) T
hSK : IsComplement S ↑K
g₁ g₂ : G

(hHT.equiv g₁).2 = (hHT.equiv g₂).2 ↔ RightCosetEquivalence (↑H) g₁ g₂


(hHT.equiv g₁).2 = (hHT.equiv g₂).2 ↔ g₂ * g₁⁻¹ ∈ H


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_4, u_1} C
J : GrothendieckTopology C
A : Type u_2
inst✝ : Category.{u_3, u_2} A
G : (Cᵒᵖ ⥤ A) ⥤ Sheaf J A
adj : G ⊣ sheafToPresheaf J A
P : Cᵒᵖ ⥤ A


LeftBousfield.W (fun x => x ∈ Set.range (sheafToPresheaf J A).obj) (adj.unit.app P)


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
inst✝² : Group M
inst✝¹ : Group N
inst✝ : Group P
c : Con M
n : ℕ
w x : M
h : c w x


c (w ^ Int.negSucc n) (x ^ Int.negSucc n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Sort u_3
f : α → β
hf : Surjective f
s : Set β


Context: a : ℍ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
p : PMF α
s t : Set α
hs : MeasurableSet s

p.toMeasure s = 0 ↔ Disjoint p.support s


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}


Context:
R : Type u
inst✝² : Ring R
ι : Type v
dec_ι : DecidableEq ι
M : Type u_1
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
A : ι → Submodule R M
i j : ι
hij : i ≠ j
h : Set.univ = {i, j}
this : ∀ (k : ι), k = i ∨ k = j


Disjoint (A i) (A j) ∧ A i ⊔ A j = ⊤ ↔ IsCompl (A i) (A j)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace α
inst✝⁵ : TopologicalSpace β
inst✝⁴ : Group α
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : ContinuousInv α
inst✝¹ : ContinuousSMul α β
s : Set α
t✝ : Set β
inst✝ : CompactSpace α
t : Set β
ht : IsClosed t


⋃ x ∈ univ, (fun x_1 => x • x_1) '' t = ⋃ a ∈ univ, a • t


Context:
n : ℕ
α : Type u_1
inst✝ : CommMonoid α
p : ℕ
f : ℕ → α
h : Prime p


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: hderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt f (f' x) x

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: F : E →L[ℝ] Completion E := Completion.toComplL


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: Fderiv : ∀ x ∈ Iic a, HasDerivAt (⇑F ∘ f) (F (f' x)) x


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: Fint : IntegrableOn (⇑F ∘ f) (Iic a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: F'int : IntegrableOn (⇑F ∘ f') (Iic a) volume


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (limUnder atBot (⇑F ∘ f)))


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: B : limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0


Context: E : Type u_1

Context: f f' : ℝ → E

Context: g g' : ℝ → ℝ

Context: a b l : ℝ

Context: m : E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ E

Context: f'int : IntegrableOn f' (Iic a) volume

Context: fint : IntegrableOn f (Iic a) volume

Context: A : Tendsto (⇑F ∘ f) atBot (𝓝 (F 0))

Context: B : limUnder atBot (⇑F ∘ f) = F 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)

index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V = index K₁.carrier V + index K₂.carrier V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card

index K₁.carrier V + index K₂.carrier V ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

(Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s).card + (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s).card ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

(Finset.filter (fun x => ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty ∨ ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s).card ≤ s.card


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Disjoint (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty) s) (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty) s)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

∀ x ∈ s, ((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₁.carrier).Nonempty → ¬((fun h => x * h) ⁻¹' V ∩ K₂.carrier).Nonempty


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h1g₂ : g₂ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h1g₃ : g₃ ∈ (fun h => g₁ * h) ⁻¹' V

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V

g₁⁻¹ ∈ K₁.carrier * V⁻¹ ⊓ K₂.carrier * V⁻¹