Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0

(aeval ((algebraMap A S) r)) (p.scaleRoots ↑s) = 0


⇑(aeval ((algebraMap A S) r)) = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s)


Context:
A : Type u_1
K : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁷ : CommRing A
inst✝⁶ : Field K
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : CommRing S
M : Submonoid A
inst✝³ : Algebra A S
inst✝² : IsLocalization M S
inst✝¹ : Algebra A K
inst✝ : IsFractionRing A K
p : A[X]
r : A
s : ↥M
hr : (aeval (mk' S r s)) p = 0
x✝ : A[X]

(aeval ((algebraMap A S) r)) x✝ = eval₂ (algebraMap A S) ((algebraMap A S) ↑s * mk' S r s) x✝


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: h'f : ∀ (k n : ℕ), ↑k ≤ K → ↑n ≤ N → Integrable (fun v => ‖v‖ ^ k * ‖iteratedFDeriv ℝ n f v‖) μ

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n = fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

fourierPowSMulRight (-L.flip) (iteratedFDeriv ℝ k (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ f)) w n = (fun w => fourierPowSMulRight (-L.flip) (fourierIntegral 𝐞 μ L.toLinearMap₂ fun v => fourierPowSMulRight L f v k) w n) w


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℂ E

Context: V : Type u_2

Context: W : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁷ : NormedSpace ℝ V

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup W

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ W

Context: L : V →L[ℝ] W →L[ℝ] ℝ

Context: f : V → E

Context: inst✝⁴ : SecondCountableTopology V

Context: inst✝³ : MeasurableSpace V

Context: inst✝² : BorelSpace V

Context: μ✝ : Measure V

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional ℝ V

Context: μ : Measure V

Context: inst✝ : μ.IsAddHaarMeasure

Context: K N : ℕ∞

Context: hf : ContDiff ℝ N f

Context: k n : ℕ

Context: hk : ↑k ≤ K

Context: hn : ↑n ≤ N

Context: w : W

∀ (n : ℕ), ↑n ≤ N → Integrable (iteratedFDeriv ℝ n fun v => fourierPowSMulRight L f v k) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s✝ t u : Set α
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
e : α ≃ᵐ β
s : Set α


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

Context: hr : ∀ a ∈ f.roots, a ∈ (algebraMap R K).range


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

(Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots).prod ∈ liftsRing (algebraMap R K)


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

Context: P : K[X]

Context: hP : P ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots


Context: R : Type u_1

Context: F : Type u

Context: K : Type v

Context: L : Type w

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : Field L

Context: inst✝¹ : Field F

Context: i : K →+* L

Context: inst✝ : Algebra R K

Context: f : K[X]

Context: hs : Splits (RingHom.id K) f

Context: hm : f.Monic

Context: b : K

Context: hb : b ∈ f.roots

Context: hP : X - C b ∈ Multiset.map (fun a => X - C a) f.roots


Context:
α : Type u_1
inst✝ : SeminormedCommGroup α
n : ℤ
a : α

‖a ^ n‖ ≤ ‖n‖ * ‖a‖


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : f.IsIdealMorphism
y : L'


Context: R : Type u

Context: L : Type v

Context: L' : Type w₂

Context: M : Type w

Context: M' : Type w₁

Context: inst✝¹² : CommRing R

Context: inst✝¹¹ : LieRing L

Context: inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L

Context: inst✝⁹ : LieRing L'

Context: inst✝⁸ : LieAlgebra R L'

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup M

Context: inst✝⁶ : Module R M

Context: inst✝⁵ : LieRingModule L M

Context: inst✝⁴ : LieModule R L M

Context: inst✝³ : AddCommGroup M'

Context: inst✝² : Module R M'

Context: inst✝¹ : LieRingModule L M'

Context: inst✝ : LieModule R L M'

Context: f : L →ₗ⁅R⁆ L'

Context: I : LieIdeal R L

Context: J : LieIdeal R L'

Context: h : lieIdealSubalgebra R L' f.idealRange = f.range

Context: y : L'


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : n ≤ ramificationIdx f p P


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
S : Type v
inst✝ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
n : ℕ
hn : ¬map f p ≤ P ^ n


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: inst✝⁸ : StarRing R

Context: inst✝⁷ : MetricSpace R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁵ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace A

Context: inst✝³ : Ring A

Context: inst✝² : StarRing A

Context: inst✝¹ : Algebra R A

Context: inst✝ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: a : A

Context: n : ℕ

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝


Context:
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
k : ℤ
f✝ : ℍ → ℂ
k1 k2 : ℤ
A : SL(2, ℤ)
f g : ℍ → ℂ

(f * g) ∣[k1 + k2] ↑A = (↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A


(↑↑↑A).det • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = 1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A


1 • f ∣[k1] A * g ∣[k2] A = f ∣[k1] A * g ∣[k2] A


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝³ : CancelCommMonoidWithZero α
inst✝² : NormalizedGCDMonoid α
s✝ s₁ s₂ : Finset β
f✝ : β → α
inst✝¹ : Div α
inst✝ : MulDivCancelClass α
f : ι → α
s : Finset ι
i : ι
his : i ∈ s
hfi : f i ≠ 0
g : ι → α
he : ∀ b ∈ s, f b = s.gcd f * g b
hg : s.gcd g = 1
a : ι
ha : a ∈ s


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : Module.Free R M'

Context: inst✝⁶ : Module.Finite R M✝

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M'

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

Context: inst✝ : ∀ (i : ι), Module.Finite R (M i)

finrank R (⨁ (i : ι), M i) = ∑ i : ι, finrank R (M i)


Context: R S : Type u

Context: M✝ : Type v

Context: M' : Type v'

Context: M₁ : Type v

Context: ι✝ : Type w

Context: ι' : Type w'

Context: η : Type u₁'

Context: φ : η → Type u_1

Context: inst✝¹⁷ : Ring R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : AddCommGroup M✝

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M'

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹² : Module R M✝

Context: inst✝¹¹ : Module R M'

Context: inst✝¹⁰ : Module R M₁

Context: inst✝⁹ : StrongRankCondition R

Context: inst✝⁸ : Module.Free R M✝

Context: inst✝⁷ : Module.Free R M'

Context: inst✝⁶ : Module.Finite R M✝

Context: inst✝⁵ : Module.Finite R M'

Context: ι : Type v

Context: inst✝⁴ : Fintype ι

Context: M : ι → Type w

Context: inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (M i)

Context: inst✝² : (i : ι) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : ι), Module.Free R (M i)

Context: this : Nontrivial R := nontrivial_of_invariantBasisNumber R


Context: a✝¹ a✝ : ℝ

↑a✝¹ * ↑a✝ = ↑a✝ * ↑a✝¹


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: T : Type u_3

Context: inst✝¹¹ : CommRing R

Context: inst✝¹⁰ : Ring S

Context: inst✝⁹ : Algebra R S

Context: K : Type u_4

Context: L : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: inst✝⁸ : Field K

Context: inst✝⁷ : Field L

Context: inst✝⁶ : Field F

Context: inst✝⁵ : Algebra K L

Context: inst✝⁴ : Algebra K F

Context: ι : Type w

Context: E : Type u_7

Context: inst✝³ : Field E

Context: inst✝² : Algebra K E

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝ : FiniteDimensional K L

Context: x : L

Context: hF : Splits (algebraMap K F) (minpoly K x)

(algebraMap K F) ((norm K) x) = ((minpoly K x).aroots F).prod ^ finrank (↥K⟮x⟯) L


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
A : Matrix m m α
B : Matrix m n α
C : Matrix n m α
D : Matrix n n α
inst✝ : Invertible A

(fromBlocks A B C D).det = A.det * (D - C * ⅟A * B).det


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w

Module.rank R (ι →₀ M) = lift.{v, w} #ι * lift.{w, v} (Module.rank R M)


Context:
R S : Type u
M : Type v
M' : Type v'
M₁ : Type v
ι✝ : Type w
ι' : Type w'
η : Type u₁'
φ : η → Type u_1
inst✝¹⁰ : Ring R
inst✝⁹ : CommRing S
inst✝⁸ : AddCommGroup M
inst✝⁷ : AddCommGroup M'
inst✝⁶ : AddCommGroup M₁
inst✝⁵ : Module R M
inst✝⁴ : Module R M'
inst✝³ : Module R M₁
inst✝² : StrongRankCondition R
inst✝¹ : Module.Free R M
inst✝ : Module.Free R M'
ι : Type w
fst✝ : Type v
bs : Basis fst✝ R M


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g✝ : α✝ → β
inst✝¹ : CommMonoid β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
t : Finset κ
f : ι → α
g : κ → α
e : ι → κ
he : Set.InjOn e ↑s
hest : Set.MapsTo e ↑s ↑t
h' : ∀ i ∈ t, i ∉ e '' ↑s → g i = 1
h : ∀ i ∈ s, f i = g (e i)


Context:
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj α


Context:
α β : NonemptyFinLinOrd
e : ↑α ≃o ↑β
x : (forget NonemptyFinLinOrd).obj β


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
P : Type u_6
G : Type u_7
inst✝² : Monoid M
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : Monoid P
l✝ l₁ l₂ : List M
a : M
l : List M
m : M
h : ∀ x ∈ l, x = m


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝² : ConditionallyCompleteLattice α
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : Nonempty ι
f : ι → α


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x ≠ 0

angle x (x + y) = Real.arctan (‖y‖ / ‖x‖)


Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (‖x‖ * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))


Real.arcsin (‖y‖ / √(‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖)) = Real.arcsin (‖y‖ / (√(‖x‖ ^ 2) * √(1 + (‖y‖ / ‖x‖) ^ 2)))


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
s : Finset (Option α)

∏ x ∈ eraseNone s, f x = ∏ x ∈ s, Option.elim' 1 f x


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G


μ.innerContent ⊥ ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑⊥

(fun s => ↑(μ.toFun s)) K ≤ (fun s => ↑(μ.toFun s)) ⊥


Context:
G : Type w
inst✝ : TopologicalSpace G
μ : Content G
K : Compacts G
hK : ↑K ⊆ ↑⊥
this : K = ⊥


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: hf : ∀ (i : ℕ), μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i] =ᶠ[ae μ] 0


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Preorder ι

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : CompleteSpace E

Context: f✝ g : ι → Ω → E

Context: ℱ : Filtration ι m0

Context: 𝒢 : Filtration ℕ m0

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: hadp : Adapted 𝒢 f

Context: hint : ∀ (i : ℕ), Integrable (f i) μ

Context: i : ℕ

Context: x : Ω

Context: hx : (μ[f (i + 1) - f i|↑𝒢 i]) x = 0 x


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), (Presheaf.imageSieve φ m).arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ 0 m) = (A.val.map f.op) 0


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: m₀ : (forget AddCommGrp).obj (M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m

(A.val.map f.op) (smul α φ 0 m) = (A.val.map f.op) 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ

↑N * rexp (-4 * √(log ↑N)) ≤ ↑(rothNumberNat N)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k : ℕ
x : Fin n → ℕ

↑0 * rexp (-4 * √(log ↑0)) ≤ ↑(rothNumberNat 0)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0
h₁ : 4096 ≤ N


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
n d k N : ℕ
x : Fin n → ℕ
hN : N > 0
h₁ : N < 4096


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
h : ¬a ∈ l₁
b : α
h' : b ∈ l₁
h'' : (a == b) = true


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : BEq α
inst✝ : LawfulBEq α
a : α
l₁ l₂ : List α
b : α
h : ¬b ∈ l₁
h' : b ∈ l₁
h'' : (a == b) = true


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : Group G'
inst✝³ : Group G''
A : Type u_4
inst✝² : AddGroup A
H K✝ : Subgroup G
k : Set G
N : Type u_5
inst✝¹ : Group N
P : Type u_6
inst✝ : Group P
K : Subgroup N
x✝ : N


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α

(fun l => (do let a ← (listDecode l).head? pure (some a)).join) t.listEncode = some t


Context: L : Language

Context: M : Type w

Context: N : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝² : L.Structure M

Context: inst✝¹ : L.Structure N

Context: inst✝ : L.Structure P

Context: α : Type u'

Context: β : Type v'

Context: t : L.Term α

Context: h : listDecode ([t].bind listEncode) = [t]


Context:
L : Language
M : Type w
N : Type u_1
P : Type u_2
inst✝² : L.Structure M
inst✝¹ : L.Structure N
inst✝ : L.Structure P
α : Type u'
β : Type v'
t : L.Term α
h : listDecode t.listEncode = [t]


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
R : Type u_3
R₂ : Type u_4
K : Type u_5
M : Type u_6
M' : Type u_7
M'' : Type u_8
V : Type u
V' : Type u_9
inst✝⁹ : Semiring R
inst✝⁸ : AddCommMonoid M
inst✝⁷ : Module R M
inst✝⁶ : AddCommMonoid M'
inst✝⁵ : Module R M'
b b₁ : Basis ι R M
i : ι
c : R
x✝ : M
R₁ : Type u_10
inst✝⁴ : Semiring R₁
σ : R →+* R₁
σ' : R₁ →+* R
inst✝³ : RingHomInvPair σ σ'
inst✝² : RingHomInvPair σ' σ
M₁ : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M₁
inst✝ : Module R₁ M₁
x y : M

x = y ↔ ∀ (i : ι), (b.repr x) i = (b.repr y) i


Context:
α : Type u
inst✝ : DivisionRing α
x : α
hx : x ≠ 1
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

∑ i ∈ Ico m n, x ^ i = (x ^ n - x ^ m) / (x - 1)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
A : Cᵒᵖ ⥤ Type v
Y : C
η : yoneda.obj Y ⟶ A
X : C
s : yoneda.obj X ⟶ A
f : X ⟶ Y
hf : yoneda.map f ≫ η = s


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : LinearOrder ι
i j k : ι
hij_lt : i < j
h : IsGLB (Set.Ioi i) k


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

Context: h : (∀ x ∈ Set.Ioi i, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioi i, x ≤ x_1) → x ≤ k

(∀ x ∈ Set.Ioc i j, k ≤ x) ∧ ∀ (x : ι), (∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1) → x ≤ k


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

Context: x : ι

Context: hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

Context: x : ι

Context: hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1

Context: y : ι

Context: hy : y ∈ Set.Ioi i


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

Context: x : ι

Context: hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1

Context: y : ι

Context: hy : y ∈ Set.Ioi i

Context: h_le : y ≤ j


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrder ι

Context: i j k : ι

Context: hij_lt : i < j

Context: x : ι

Context: hx : ∀ x_1 ∈ Set.Ioc i j, x ≤ x_1

Context: y : ι

Context: hy : y ∈ Set.Ioi i

Context: h_lt : j < y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝³ : TopologicalSpace α
inst✝² : LinearOrder α
inst✝¹ : OrderTopology α
inst✝ : DenselyOrdered α
a b : α
s : Set α
l : Filter β
f : α → β
h : a < b

Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto f (𝓝[<] b) l


Tendsto (fun x => f ↑x) atTop l ↔ Tendsto (f ∘ Subtype.val) atTop l


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: this✝ : Nonempty (PartialRefinement u s)

Context: this : ∀ (c : Set (PartialRefinement u s)), IsChain (fun x x_1 => x ≤ x_1) c → c.Nonempty → ∃ ub, ∀ v ∈ c, v ≤ ub

∃ v, s ⊆ iUnion v ∧ (∀ (i : ι), IsOpen (v i)) ∧ ∀ (i : ι), closure (v i) ⊆ u i


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

Context: hv : ∀ (a : PartialRefinement u s), v ≤ a → a = v


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

Context: hv : ∃ i, i ∉ v.carrier


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : NormalSpace X

Context: u : ι → Set X

Context: s : Set X

Context: hs : IsClosed s

Context: uo : ∀ (i : ι), IsOpen (u i)

Context: uf : ∀ x ∈ s, {i | x ∈ u i}.Finite

Context: us : s ⊆ ⋃ i, u i

Context: v : PartialRefinement u s

Context: i : ι

Context: hi : i ∉ v.carrier

Context: v' : PartialRefinement u s

Context: hlt : v < v'


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
π : ι → Type u_4
inst✝ : GeneralizedCoheytingAlgebra α
a b c d : α


a \ b ⊔ b \ c ⊔ (c \ b ⊔ b \ a) = a ∆ b ⊔ b ∆ c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁸ : CompleteSpace F'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁴ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
s t : Set α
inst✝³ : NormedSpace ℝ G
hm : m ≤ m0
inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F
hs : MeasurableSet s
hμs : μ s ≠ ⊤
c : 𝕜
x : F

↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] ↑↑(c • condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs (c • x)) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


↑↑(c • condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) =ᶠ[ae μ] c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁴ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁸ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: s t : Set α

Context: inst✝³ : NormedSpace ℝ G

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝² : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : SMulCommClass ℝ 𝕜 F

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hμs : μ s ≠ ⊤

Context: c : 𝕜

Context: x : F

Context: y : α

Context: hy : ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x) y = ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x) y

(c • ↑↑(condexpIndSMul hm hs hμs x)) y = (c • ↑↑(condexpIndL1Fin hm hs hμs x)) y


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.80223

Context: D : Type u_5

Context: D' : Type ?u.80229

Context: H : Type u_2

Context: H' : Type ?u.80235

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.80243, ?u.80223} C'

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D

Context: inst✝³ : Category.{?u.80251, ?u.80229} D'

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} H

Context: inst✝¹ : Category.{?u.80259, ?u.80235} H'

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

F.HasRightDerivedFunctor W ↔ L.HasLeftKanExtension F


Context: C : Type u_1

Context: C' : Type ?u.80223

Context: D : Type u_5

Context: D' : Type ?u.80229

Context: H : Type u_2

Context: H' : Type ?u.80235

Context: inst✝⁶ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_6, u_5} D

Context: inst✝² : Category.{u_4, u_2} H

Context: RF RF' RF'' : D ⥤ H

Context: F F' F'' : C ⥤ H

Context: e : F ≅ F'

Context: L : C ⥤ D

Context: α : F ⟶ L ⋙ RF

Context: α' : F' ⟶ L ⋙ RF'

Context: α'' : F'' ⟶ L ⋙ RF''

Context: α'₂ : F ⟶ L ⋙ RF'

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝ : L.IsLocalization W

Context: this : F.HasRightDerivedFunctor W ↔ W.Q.HasLeftKanExtension F


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
inst✝ : LocallyFiniteOrderTop α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝² : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
x✝ : 𝕜
s : Set 𝕜
m : ℤ
k : ℕ
x : 𝕜

deriv^[k] Inv.inv x = (∏ i ∈ Finset.range k, (-1 - ↑i)) * x ^ (-1 - ↑k)


Context: f : Natβ Natα.succ → WType Natβ

ofNat (mk Natα.succ f).toNat = mk Natα.succ f


Context: f : Natβ Natα.succ → WType Natβ


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
Z : Type u_3
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
g : Y → Z
f✝ : X → Y
s : Set X
t : Set Y
f : X → Y

IsLocalHomeomorph f ↔ ∀ (x : X), ∃ U ∈ 𝓝 x, OpenEmbedding (U.restrict f)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F
r : 𝕜


(starRingEnd 𝕜) ((starRingEnd 𝕜) r * ⟪y, x⟫_𝕜) = r * ⟪x, y⟫_𝕜


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LE α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: a✝ b✝ c d a b : α


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W' : Jacobian R
F : Type v
inst✝ : Field F
W : Jacobian F
Q : Fin 3 → R
u : Rˣ

W'.Equation ((fun m => m • Q) u) ↔ W'.Equation Q


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : ¬G.Adj a b
hn : a ≠ b


∀ x ∈ G.incidenceSet a, x ∉ G.incidenceSet b


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u✝ v w : V
e : Sym2 V
h : ¬G.Adj a b
hn : a ≠ b
u : Sym2 V
ha : u ∈ G.incidenceSet a
hb : u ∈ G.incidenceSet b


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝¹ : Type u_3
β✝ : Type u_4
γ : Type u_5
s s₁ s₂ : Finset α✝¹
a : α✝¹
f✝ g : α✝¹ → β✝
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α✝ : Type u_8
inst✝⁵ : Fintype ι
inst✝⁴ : Fintype κ
inst✝³ : CommMonoid α✝
α : Type u_9
β : Type u_10
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : Unique α
inst✝ : Fintype α
f : α → β


Context:
J : Type u
inst✝² : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i j✝ k : J
s : Set (F.obj i)
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
h : F.IsMittagLeffler
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j : J


Context:
J : Type u
inst✝² : Category.{u_1, u} J
F : J ⥤ Type v
i✝ j✝ k : J
s : Set (F.obj i✝)
inst✝¹ : IsCofilteredOrEmpty J
h✝ : F.IsMittagLeffler
inst✝ : ∀ (j : J), Nonempty (F.obj j)
j i : J
f : i ⟶ j
h : F.eventualRange j = range (F.map f)


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: PU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄, (∀ (i : ℕ), P (f i)) → P (⋃ i, f i)

Context: mU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), Pairwise (Disjoint on f) → m (⋃ i, f i) ⋯ = ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: msU : ∀ ⦃f : ℕ → Set α⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), P (f i)), m (⋃ i, f i) ⋯ ≤ ∑' (i : ℕ), m (f i) ⋯

Context: m_mono : ∀ ⦃s₁ s₂ : Set α⦄ (hs₁ : P s₁) (hs₂ : P s₂), s₁ ⊆ s₂ → m s₁ hs₁ ≤ m s₂ hs₂

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : P s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : P s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂


Context: α : Type u_1

Context: P : Set α → Prop

Context: m : (s : Set α) → P s → ℝ≥0∞

Context: P0 : P ∅

Context: m0 : m ∅ P0 = 0

Context: s₁ s₂ : Set α

Context: h₁ : P s₁

Context: hs : s₁ ⊆ s₂

Context: h₂ : P s₂


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type uX
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s


Context: 𝕜 : Type u

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type uE

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type uF

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type uG

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: X : Type uX

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup X

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 X

Context: s s₁ t u : Set E

Context: f f₁ : E → F

Context: g : F → G

Context: x x₀ : E

Context: c : F

Context: m n : ℕ∞

Context: p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: h : HasFTaylorSeriesUpToOn n f p s

Context: this : ContinuousOn (fun x => (continuousMultilinearCurryFin0 𝕜 E F).symm (f x)) s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
x : α
hx : x ∈ l


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l l' : List α
hl : l.Nodup
k : Fin l.length
hx : l.get k ∈ l

l.formPerm (l.get k) = l.next (l.get k) hx


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M

(Multiset.map f s).prod = ∏ m ∈ s.toFinset, f m ^ Multiset.count m s


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g : α → β
inst✝² : CommMonoid β
inst✝¹ : DecidableEq α
s : Multiset α
M : Type u_6
inst✝ : CommMonoid M
f : α → M
l : List α

(Multiset.map f (Quot.mk Setoid.r l)).prod = ∏ m ∈ Multiset.toFinset (Quot.mk Setoid.r l), f m ^ Multiset.count m (Quot.mk Setoid.r l)


Context:
C : Type u
A : Type u_1
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : AddMonoid A
inst✝ : HasShift C A
a₁ a₂ a₃ : A
X : C

(shiftFunctor C a₃).map ((shiftFunctorAdd C a₁ a₂).inv.app X) ≫ (shiftFunctorAdd C (a₁ + a₂) a₃).inv.app X = (shiftFunctorAdd C a₂ a₃).inv.app ((shiftFunctor C a₁).obj X) ≫ (shiftFunctorAdd' C a₁ (a₂ + a₃) (a₁ + a₂ + a₃) ⋯).inv.app X


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : InjOn f s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
s : Set α
f : α → α
hs : s.Finite
hm : MapsTo f s s
h : InjOn f s
this : Finite ↑s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)

EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) (e.target ∩ t)


EqOn (↑e.symm) (↑e'.symm) (↑e '' (e.source ∩ s))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
e : PartialEquiv α β
e'✝ : PartialEquiv β γ
s : Set α
t : Set β
x✝ : α
y : β
e' : PartialEquiv α β
h : e.IsImage s t
hs : e.source ∩ s = e'.source ∩ s
heq : EqOn (↑e) (↑e') (e.source ∩ s)
x : α
hx : x ∈ e.source ∩ s
hx' : x ∈ e'.source ∩ s


Context: U : Type u_1

Context: inst✝² : Quiver U

Context: V : Type u_2

Context: inst✝¹ : Quiver V

Context: φ : U ⥤q V

Context: W : Type ?u.1952

Context: inst✝ : Quiver W

Context: ψ : V ⥤q W

Context: hφ : φ.IsCovering

Context: u v : U

Context: f g : u ⟶ v

Context: he : (fun f => φ.map f) f = (fun f => φ.map f) g

Context: this : φ.star u (Star.mk f) = φ.star u (Star.mk g)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: hcomm : Pairwise fun i j => ∀ (x : H i) (y : H j), Commute ((ϕ i) x) ((ϕ j) y)

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: hcoprime : Pairwise fun i j => (Fintype.card (H i)).Coprime (Fintype.card (H j))

CompleteLattice.Independent fun i => (ϕ i).range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: this : DecidableEq ι := Classical.decEq ι

Context: i : ι

Disjoint ((fun i => (ϕ i).range) i) (⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

(fun i => (ϕ i).range) i ⊓ ⨆ j, ⨆ (_ : j ≠ i), (fun i => (ϕ i).range) j ≤ ⊥


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)

Context: hxp : f ∈ ↑(⨆ j, ⨆ (_ : ¬j = i), (ϕ j).range)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: hxp : f ∈ ↑(noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ?intro.intro.hcomm).range


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxi : f ∈ Set.range ⇑(ϕ i)

Context: hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Pairwise fun i_1 j => ∀ (x : H ↑i_1) (y : H ↑j), Commute ((ϕ ↑i_1) x) ((ϕ ↑j) y)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: hgf : (noncommPiCoprod (fun x => ϕ ↑x) ⋯) g = f

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: hxp : orderOf f ∣ ∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: c : ℕ

Context: hc : (∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = orderOf f * c


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: c : ℕ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: c : ℕ

(∏ j : { j // j ≠ i }, Fintype.card (H ↑j)).gcd (Fintype.card (H i)) = 1


Context: G : Type u_1

Context: inst✝³ : Group G

Context: ι : Type u_2

Context: hdec : DecidableEq ι

Context: hfin : Fintype ι

Context: H : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → Group (H i)

Context: ϕ : (i : ι) → H i →* G

Context: f✝ g✝ : (i : ι) → H i

Context: inst✝¹ : Finite ι

Context: inst✝ : (i : ι) → Fintype (H i)

Context: val✝ : Fintype ι

Context: i : ι

Context: f : G

Context: hxp✝ : f ∈ ↑(⨆ x, (ϕ ↑x).range)

Context: g : (i_1 : { j // ¬j = i }) → H ↑i_1

Context: g' : H i

Context: hg'f : (ϕ i) g' = f

Context: hxi : orderOf f ∣ Fintype.card (H i)

Context: c : ℕ

∀ (a : ι) (b : a ≠ i), (Fintype.card (H ↑⟨a, b⟩)).Coprime (Fintype.card (H i))


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop
h : m % k = n % k


Context:
R : Type u_1
inst✝ : NonUnitalNonAssocRing R
ι : Type u_2
I : ι → TwoSidedIdeal R


sInf (ringCon '' Set.range fun i => I i) = sInf (Set.range fun i => (I i).ringCon)


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: g : Set (α × α) → Filter β

Context: f : Filter β

Context: hg : Monotone g

Context: h : ((𝓤 α).lift fun s => g (Prod.swap ⁻¹' s)) ≤ f


Context: α : Type ua

Context: β : Type ub

Context: γ : Type uc

Context: δ : Type ud

Context: ι : Sort u_1

Context: inst✝ : UniformSpace α

Context: g : Set (α × α) → Filter β

Context: f : Filter β

Context: hg : Monotone g


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f : α → M
s : Set α

∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f), f i = ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i


Context:
α : Type u_1
l : Ordnode α
x : α
r : Ordnode α

(l.rotateR x r).dual = r.dual.rotateL x l.dual


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : Rel α β

∀ (x : α), x ∈ r.core Set.univ ↔ x ∈ Set.univ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ

∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ↑‖f x‖₊ ∂μ


∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal (f x) ∂μ ≤ ∫⁻ (x : α), ENNReal.ofReal ‖f x‖ ∂μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ ν : Measure α
f : α → ℝ
x : α


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric

HasEigenvalue T ↑(⨅ x, RCLike.re ⟪T ↑x, ↑x⟫_𝕜 / ‖↑x‖ ^ 2)


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝³ : RCLike 𝕜
E : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E
_i : Nontrivial E
T : E →ₗ[𝕜] E
hT : T.IsSymmetric
this : ProperSpace E


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: T' : ↥(selfAdjoint (E →L[𝕜] E)) := hT.toSelfAdjoint


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hTx₀ : IsMinOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x‖) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖

Context: this : IsMinOn (↑T').reApplyInnerSelf (sphere 0 ‖x₀‖) x₀


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝³ : RCLike 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: _i : Nontrivial E

Context: T : E →ₗ[𝕜] E

Context: hT : T.IsSymmetric

Context: this✝ : ProperSpace E

Context: x : E

Context: hx : x ≠ 0

Context: H₁ : IsCompact (sphere 0 ‖x‖)

Context: H₂ : (sphere 0 ‖x‖).Nonempty

Context: x₀ : E

Context: hx₀' : x₀ ∈ sphere 0 ‖x‖

Context: hx₀ : ‖x₀‖ = ‖x‖

Context: hx₀_ne : x₀ ≠ 0


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R
A : Matrix (l ⊕ l) (l ⊕ l) R
hA : Aᵀ ∈ symplecticGroup l R


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite
hs' : s.Nonempty


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε

∃ g, HasCompactSupport g ∧ ∫ (x : α), ‖f x - g x‖ ^ p ∂μ ≤ ε ∧ Continuous g ∧ Memℒp g (ENNReal.ofReal p) μ


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0


Context:
α : Type u_1
inst✝⁸ : TopologicalSpace α
inst✝⁷ : NormalSpace α
inst✝⁶ : R1Space α
inst✝⁵ : MeasurableSpace α
inst✝⁴ : BorelSpace α
E : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
μ : Measure α
p✝ : ℝ≥0∞
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α
inst✝ : μ.Regular
p : ℝ
hp : 0 < p
f : α → E
hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ
ε : ℝ
hε : 0 < ε
I : 0 < ε ^ (1 / p)
A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0
B : ENNReal.ofReal p ≠ 0


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α → E

Context: g_support : HasCompactSupport g

Context: hg : eLpNorm (f - g) (↑p.toNNReal) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α → E

Context: g_support : HasCompactSupport g

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ

Context: hg : eLpNorm (f - g) (ENNReal.ofReal p) μ ≤ ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝⁸ : TopologicalSpace α

Context: inst✝⁷ : NormalSpace α

Context: inst✝⁶ : R1Space α

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace α

Context: inst✝⁴ : BorelSpace α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: μ : Measure α

Context: p✝ : ℝ≥0∞

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : WeaklyLocallyCompactSpace α

Context: inst✝ : μ.Regular

Context: p : ℝ

Context: hp : 0 < p

Context: f : α → E

Context: hf : Memℒp f (ENNReal.ofReal p) μ

Context: ε : ℝ

Context: hε : 0 < ε

Context: I : 0 < ε ^ (1 / p)

Context: A : ENNReal.ofReal (ε ^ (1 / p)) ≠ 0

Context: B : ENNReal.ofReal p ≠ 0

Context: g : α → E

Context: g_support : HasCompactSupport g

Context: g_cont : Continuous g

Context: g_mem : Memℒp g (↑p.toNNReal) μ

Context: hg : (∫ (a : α), ‖(f - g) a‖ ^ p ∂μ) ^ p⁻¹ ≤ ε ^ p⁻¹


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n✝ : ℕ
inst✝³ : CommRing R✝
inst✝² : IsDomain R✝
p q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: l_ih✝ : ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ ll o₂ → Valid' o₁ r o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) r) ll → Valid' o₁ (ll.merge r) o₂ ∧ (ll.merge r).size = ll.size + r.size

Context: IHlr : ∀ {r : Ordnode α} {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ lr o₂ → Valid' o₁ r o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) r) lr → Valid' o₁ (lr.merge r) o₂ ∧ (lr.merge r).size = lr.size + r.size

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: IHrl : ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ → Valid' o₁ rl o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) rl) (Ordnode.node ls ll lx lr) → Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rl.size

Context: r_ih✝ : ∀ {o₁ : WithBot α} {o₂ : WithTop α}, Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂ → Valid' o₁ rr o₂ → All (fun x => All (fun y => x < y) rr) (Ordnode.node ls ll lx lr) → Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rr).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + rr.size

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Context: hl : Valid' o₁ (Ordnode.node ls ll lx lr) o₂

Context: hr : Valid' o₁ (Ordnode.node rs rl rx rr) o₂

Context: sep : All (fun x => All (fun y => x < y) (Ordnode.node rs rl rx rr)) (Ordnode.node ls ll lx lr)

Valid' o₁ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂ ∧ ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : Preorder α

Context: ls : ℕ

Context: ll : Ordnode α

Context: lx : α

Context: lr : Ordnode α

Context: rs : ℕ

Context: rl : Ordnode α

Context: rx : α

Context: rr : Ordnode α

Context: o₁ : WithBot α

Context: o₂ : WithTop α

Valid' o₁ (if delta * ls < rs then ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).balanceL rx rr else if delta * rs < ls then ll.balanceR lx (lr.merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) else (Ordnode.node ls ll lx lr).glue (Ordnode.node rs rl rx rr)) o₂ ∧ (if delta * ls < rs then ((Ordnode.node ls ll lx lr).merge rl).balanceL rx rr else if delta * rs < ls then ll.balanceR lx (lr.merge (Ordnode.node rs rl rx rr)) else (Ordnode.node ls ll lx lr).glue (Ordnode.node rs rl rx rr)).size = (Ordnode.node ls ll lx lr).size + (Ordnode.node rs rl rx rr).size


Context:
α✝ : Type u_1
β✝ : Type v
γ : Type u_2
inst✝¹ : DecidableEq α✝
s✝ : Multiset α✝
α : Type u_3
β : Type u_4
f : α → β
s : Multiset α
inst✝ : DecidableEq β
b : β

count b (map f s) = card (filter (fun a => b = f a) s)


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
f g : Perm α
p : α → Prop
x y z : α
inst✝ : Finite α

f.SameCycle x y → ∃ i < orderOf f, (f ^ i) x = y


Context:
α : Type u_1
p : α → Bool
l₁ l₂ : List α
s : l₁ <+ l₂


filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₁ <+ filterMap (Option.guard fun x => p x = true) l₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : Fintype α
s✝ t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
a : α
s : Finset α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : MonoidalCategory C
W X Y Z : C

(α_ W X (Y ⊗ Z)).hom ≫ (𝟙 W ⊗ (α_ X Y Z).inv) = (α_ (W ⊗ X) Y Z).inv ≫ ((α_ W X Y).hom ⊗ 𝟙 Z) ≫ (α_ W (X ⊗ Y) Z).hom


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (Cᵒᵖ ⥤ D)ᵒᵖ
η : F ⟶ G

η ≫ (unop G).rightOpLeftOpIso.hom.op = (unop F).rightOpLeftOpIso.hom.op ≫ (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop)).op


((unop G).rightOpLeftOpIso.hom ≫ η.unop).op = (NatTrans.leftOp (NatTrans.rightOp η.unop.op.unop) ≫ (unop F).rightOpLeftOpIso.hom).op


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
r : R
p : R[X]
h0 : ¬r = 0

(C r * p).support.gcd (C r * p).coeff = normalize r * p.support.gcd p.coeff


(C r * p).support.gcd (C r * p).coeff = p.support.gcd fun x => r * p.coeff x


Context:
g : SL(2, ℤ)
z : ℍ
h : 1 < normSq ↑z


Context:
R : Type u_2
K : Type ?u.30406
L : Type ?u.30409
S : Type u_1
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : Field L
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra K L
x : S
hx : IsIntegral R x
inst✝ : IsDomain S
y : S
hxy : y ≠ x
hy : (aeval y) (minpoly R x) = 0


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.30406

Context: L : Type ?u.30409

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: y : S

Context: hxy : y ≠ x

Context: hy : eval y (minpolyDiv R x * (X - C x)) = 0


Context: R : Type u_2

Context: K : Type ?u.30406

Context: L : Type ?u.30409

Context: S : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : Algebra R S

Context: inst✝¹ : Algebra K L

Context: x : S

Context: hx : IsIntegral R x

Context: inst✝ : IsDomain S

Context: y : S

Context: hxy : y ≠ x

Context: hy : eval y (minpolyDiv R x) = 0 ∨ y - x = 0


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝⁵ : LinearOrderedRing α
inst✝⁴ : LinearOrderedRing β
inst✝³ : FloorRing α
inst✝² : FloorRing β
inst✝¹ : FunLike F α β
inst✝ : RingHomClass F α β
a✝ : α
b : β
f : F
hf : StrictMono ⇑f
a : α
n : ℤ

↑n ≤ f a ↔ ↑n ≤ a


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
f g : End R M


Context:
F : Type u
E : Type v
inst✝⁴ : Field F
inst✝³ : Field E
inst✝² : Algebra F E
K : Type w
inst✝¹ : Field K
inst✝ : Algebra F K
q : ℕ
hF : ExpChar F q

IsPurelyInseparable F E ↔ ∀ (x : E), ∃ n, Polynomial.map (algebraMap F E) (minpoly F x) = (X - C x) ^ q ^ n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.12556, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
I₁ : Type u_2
I₂ : Type u_3
c₁ : ComplexShape I₁
c₂ : ComplexShape I₂
K : HomologicalComplex₂ C c₁ c₂
i i' : I₂
w : ¬c₂.Rel i i'
j : I₁

((fun i i' => { f := fun j => (K.X j).d i i', comm' := ⋯ }) i i').f j = Hom.f 0 j


Context:
m n : ℤ
h : m.gcd n = 1
hm : m % 2 = 0
hn : n % 2 = 1


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: H : ¬(m ^ 2 - n ^ 2).gcd (2 * m * n) = 1


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : p ∣ (m ^ 2 - n ^ 2).natAbs

Context: hp2 : p ∣ (2 * m * n).natAbs


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)

Context: hp2m : p ∣ (2 * m).natAbs


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(m.gcd n)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs


Context: m n : ℤ

Context: h : m.gcd n = 1

Context: hm : m % 2 = 0

Context: hn : n % 2 = 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Nat.Prime p

Context: hp1 : ↑p ∣ m ^ 2 - n ^ 2

Context: hp2 : ↑p ∣ 2 * m * n

Context: hnp : ¬↑p ∣ ↑(n.gcd m)

Context: hpn : p ∣ n.natAbs

↑p ∣ m ∨ ↑p ∣ m


Context:
R : Type u
inst✝⁷ : CommSemiring R
A B : Type u
inst✝⁶ : Semiring A
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Semiring B
inst✝³ : Algebra R B
inst✝² : FormallySmooth R A
e : A ≃ₐ[R] B
C : Type u
inst✝¹ : CommRing C
inst✝ : Algebra R C
I : Ideal C
hI : I ^ 2 = ⊥
f : B →ₐ[R] C ⧸ I

∃ a, (Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp a = f


(Ideal.Quotient.mkₐ R I).comp ((lift I ⋯ (f.comp ↑e)).comp ↑e.symm) = f


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
a : K
H : Irreducible (X ^ n - C a)
hn : 0 < n


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
H : Irreducible (X ^ n - C 0)


Context:
K : Type u
inst✝ : Field K
n : ℕ
hn : 0 < n
H : Irreducible (X ^ n - C 0)
this : n = 1


Context:
R✝ : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid R
inst✝⁵ : StarMul R
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : StarMul S
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : StarHomClass F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
f : F
r : R
hr : r ∈ unitary R


Context:
R✝ : Type u_1
F : Type u_2
R : Type u_3
S : Type u_4
inst✝⁶ : Monoid R
inst✝⁵ : StarMul R
inst✝⁴ : Monoid S
inst✝³ : StarMul S
inst✝² : FunLike F R S
inst✝¹ : StarHomClass F R S
inst✝ : MonoidHomClass F R S
f : F
r : R
hr : star r * r = 1 ∧ r * star r = 1


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
δ : Type u_3
ι : Type u_4
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
μ ν ν₁ ν₂ : Measure α
s t : Set α
inst✝ : IsProbabilityMeasure μ
p✝ : α → Prop
f : β → α
p : ℝ≥0∞
hμs : p ≤ μ s
s_mble : MeasurableSet s


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x y : V
h : ⟪x, y⟫_ℝ = 0
h0 : x = 0 ∨ y ≠ 0
hx : ¬x = 0


‖x‖ * ‖x‖ < ‖x‖ * ‖x‖ + ‖y‖ * ‖y‖


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : IsDomain S
Rₘ : Type u_3
Sₘ : Type u_4
inst✝¹ : CommRing Rₘ
inst✝ : CommRing Sₘ
H : IsJacobson R[X]


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V


finrank K ↥(B.orthogonal (B.orthogonal W)) ≤ finrank K ↥W


finrank K V - (finrank K V - finrank K ↥W) ≤ finrank K ↥W


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹¹ : CommSemiring R
inst✝¹⁰ : AddCommMonoid M
inst✝⁹ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝⁸ : CommRing R₁
inst✝⁷ : AddCommGroup M₁
inst✝⁶ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝⁵ : Field K
inst✝⁴ : AddCommGroup V
inst✝³ : Module K V
B✝ : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
M₂' : Type u_7
inst✝² : AddCommMonoid M₂'
inst✝¹ : Module R M₂'
inst✝ : FiniteDimensional K V
B : BilinForm K V
hB : B.Nondegenerate
hB₀ : B.IsRefl
W : Submodule K V
this : finrank K ↥W ≤ finrank K V


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
M₁ : Type u_3
M₂ : Type u_4
N₁ : Type u_5
N₂ : Type u_6
P : Type u_7
Mᵢ : ι → Type u_8
Nᵢ : ι → Type u_9
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁
inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁
inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂
inst✝⁵ : AddCommMonoid P
inst✝⁴ : Module R M₁
inst✝³ : Module R M₂
inst✝² : Module R N₁
inst✝¹ : Module R N₂
inst✝ : Module R P
Q₁ : QuadraticMap R M₁ P
Q₂ : QuadraticMap R M₂ P
h : (Q₁.prod Q₂).Anisotropic


Context: ι : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: M₁ : Type u_3

Context: M₂ : Type u_4

Context: N₁ : Type u_5

Context: N₂ : Type u_6

Context: P : Type u_7

Context: Mᵢ : ι → Type u_8

Context: Nᵢ : ι → Type u_9

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : AddCommMonoid M₁

Context: inst✝⁸ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝⁷ : AddCommMonoid N₁

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid N₂

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid P

Context: inst✝⁴ : Module R M₁

Context: inst✝³ : Module R M₂

Context: inst✝² : Module R N₁

Context: inst✝¹ : Module R N₂

Context: inst✝ : Module R P

Context: Q₁ : QuadraticMap R M₁ P

Context: Q₂ : QuadraticMap R M₂ P

Context: h : ∀ (a : M₁) (b : M₂), Q₁ a + Q₂ b = 0 → a = 0 ∧ b = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
a : α
z : Sym2 α
h : a ∈ z


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CanonicallyLinearOrderedAddCommMonoid α

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ι →₀ α

Context: a✝ : ι

a✝ ∈ (f ⊔ g).support ↔ a✝ ∈ f.support ∪ g.support


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: f g : ι →₀ α

Context: a✝ : ι

¬f a✝ ⊔ g a✝ = ⊥ ↔ ¬f a✝ = ⊥ ∨ ¬g a✝ = ⊥


Context:
R : Type u_1
inst✝ : Semiring R
f : R[X]
c : ℕ
fc : f.support.card = c + 1


Context:
ι : Type u_1
ι₂ : Type u_2
ι₃ : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : CommSemiring R
R₁ : Type u_5
R₂ : Type u_6
s : ι → Type u_7
inst✝⁶ : (i : ι) → AddCommMonoid (s i)
inst✝⁵ : (i : ι) → Module R (s i)
M : Type u_8
inst✝⁴ : AddCommMonoid M
inst✝³ : Module R M
E : Type u_9
inst✝² : AddCommMonoid E
inst✝¹ : Module R E
F : Type u_10
inst✝ : AddCommMonoid F
x : ⨂[R] (i : ι), s i


Quot.mk (⇑(addConGen (Eqv R s))) (Quotient.out x) = x


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntervalIntegrable f volume a b
h : a ≤ b

IntervalIntegrable (fun x => f (x + c)) volume (a - c) (b - c)


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
h : a ≤ b

IntegrableOn (fun x => f (x + c)) [[a - c, b - c]] volume


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A✝ : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedRing A✝
f g : ℝ → E
a✝ b✝ : ℝ
μ : Measure ℝ
c a b : ℝ
hf : IntegrableOn f [[a, b]] volume
h : a ≤ b
A : MeasurableEmbedding fun x => x + c


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A✝

Context: f g : ℝ → E

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: c a b : ℝ

Context: hf : IntegrableOn f [[a, b]] (Measure.map (fun x => x + c) volume)

Context: h : a ≤ b

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => x + c


Context: ι : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedRing A✝

Context: f g : ℝ → E

Context: a✝ b✝ : ℝ

Context: μ : Measure ℝ

Context: c a b : ℝ

Context: h : a ≤ b

Context: A : MeasurableEmbedding fun x => x + c


Context: x : ℂ


Context:
m : ℕ
hm : NeZero m
f : ℕ → ℝ
hf : Antitone f
n : ℕ
hn : f n < 0
k : ZMod m


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: inst✝³ : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: inst✝² : TopologicalSpace β

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace γ

Context: inst✝ : TopologicalSpace δ

Context: f : α → β

Context: s : Set α

Context: x : α

Context: h : s ∈ 𝓝 x

ContinuousWithinAt f s x ↔ ContinuousAt f x


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : Field K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
W✝ : Subspace K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
W : Subspace K V

(dualAnnihilator W).dualAnnihilator = (Module.mapEvalEquiv K V) W


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W✝ : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: W : Subspace K V

Context: this : (dualAnnihilator W).dualCoannihilator = W


Context: K : Type u

Context: V : Type v

Context: inst✝³ : Field K

Context: inst✝² : AddCommGroup V

Context: inst✝¹ : Module K V

Context: W✝ : Subspace K V

Context: inst✝ : FiniteDimensional K V

Context: W : Subspace K V

Context: this : (Module.mapEvalEquiv K V).symm (dualAnnihilator W).dualAnnihilator = W


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree


Context:
R : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝¹ : Semiring R
inst✝ : NoZeroDivisors R
p✝ q✝ p q : R[X]
h₁ : p ∣ q
h₂ : q.degree < p.degree
hc : ¬q = 0


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
B : E →L[𝕜] F →L[𝕜] G
u : 𝕜 → E
v : 𝕜 → F
u' : E
v' : F
hu : HasStrictDerivAt u u' x
hv : HasStrictDerivAt v v' x

HasStrictDerivAt (fun x => (B (u x)) (v x)) ((B (u x)) v' + (B u') (v x)) x


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : LinearOrderedField K
inst✝ : FloorRing K
v : K
q : ℚ
v_eq_q : v = ↑q
n : ℕ

↑(match (IntFractPair.of q, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h = (match (IntFractPair.of v, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h


↑(match (IntFractPair.of q, Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream q, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h = (match (IntFractPair.mapFr Rat.cast (IntFractPair.of q), Stream'.Seq.tail ⟨IntFractPair.stream v, ⋯⟩) with | (h, s) => { h := ↑h.b, s := Stream'.Seq.map (fun p => { a := 1, b := ↑p.b }) s }).h


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: S : Sieve (unop X) := imageSieve f₁ x₁ ⊓ imageSieve f₁ x₂

equalizerSieve x₁ x₂ ∈ J.sieves (unop X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: hS : S ∈ J.sieves (unop X)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: hS : S ∈ J.sieves (unop X)

Context: T : ⦃Y : C⦄ → (f : Y ⟶ unop X) → S.arrows f → Sieve Y := fun Y f hf => equalizerSieve (localPreimage f₁ x₁ f ⋯) (localPreimage f₁ x₂ f ⋯)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: hS : S ∈ J.sieves (unop X)

Sieve.bind S.arrows T ≤ equalizerSieve x₁ x₂


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: A : Type u'

Context: inst✝³ : Category.{v', u'} A

Context: inst✝² : ConcreteCategory A

Context: F₁ F₂ F₃ : Cᵒᵖ ⥤ A

Context: f₁ : F₁ ⟶ F₂

Context: f₂ : F₂ ⟶ F₃

Context: inst✝¹ : IsLocallyInjective J (f₁ ≫ f₂)

Context: inst✝ : IsLocallySurjective J f₁

Context: X : Cᵒᵖ

Context: x₁ x₂ : (forget A).obj (F₂.obj X)

Context: h : (f₂.app X) x₁ = (f₂.app X) x₂

Context: hS : S ∈ J.sieves (unop X)

∀ ⦃Y : C⦄ ⦃f : Y ⟶ unop X⦄, S.arrows f → Sieve.pullback f (Sieve.bind S.arrows T) ∈ J.sieves Y


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0


Context:
x : ℝ
hx : x ∈ Ioi 0
m : ℕ


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁷ : Semiring R

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace B

Context: e✝ : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: x : TotalSpace F E

Context: b✝ : B

Context: y : E b✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid F

Context: inst✝³ : Module R F

Context: inst✝² : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝¹ : (x : B) → Module R (E x)

Context: e : Pretrivialization F TotalSpace.proj

Context: inst✝ : Pretrivialization.IsLinear R e

Context: b : B

Context: hb : b ∈ e.baseSet

Context: v : F

{ toFun := fun y => (↑e { proj := b, snd := y }).2, map_add' := ⋯, map_smul' := ⋯ }.toFun (e.symm b v) = v


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
h : s.encard ≠ 0


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ

𝟙 (X.obj Δ) = ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A


∀ (A : IndexSet Δ), (s.cofan Δ).inj A ≫ 𝟙 (X.obj Δ) = (s.cofan Δ).inj A ≫ ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
X : SimplicialObject C
s : Splitting X
inst✝ : Preadditive C
Δ : SimplexCategoryᵒᵖ
A : IndexSet Δ

(s.cofan Δ).inj A ≫ 𝟙 (X.obj Δ) = (s.cofan Δ).inj A ≫ ∑ A : IndexSet Δ, s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A


∀ b ∈ Finset.univ, b ≠ A → (s.cofan Δ).inj A ≫ s.πSummand b ≫ (s.cofan Δ).inj b = 0


A ∉ Finset.univ → (s.cofan Δ).inj A ≫ s.πSummand A ≫ (s.cofan Δ).inj A = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
δ : Type u_2
p : α → Prop
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : OrderTop α
inst✝ : OrderTop (Subtype p)
htop : p ⊤
x : { x // p x }

↑x = ⊤ ↔ x = ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁴ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

‖∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)‖ ^ p.toReal = ∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

HasSum (fun i => ‖↑(∑ i ∈ s, lp.single p i (f i)) i‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

HasSum (fun i => ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal) (∑ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal)


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

Context: h : ∀ i ∉ s, ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal = 0


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_3

Context: inst✝³ : NormedRing 𝕜

Context: inst✝² : (i : α) → Module 𝕜 (E i)

Context: inst✝¹ : ∀ (i : α), BoundedSMul 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hp : 0 < p.toReal

Context: f : (i : α) → E i

Context: s : Finset α

Context: h' : ∀ i ∈ s, ‖f i‖ ^ p.toReal = ‖if i ∈ s then f i else 0‖ ^ p.toReal


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : Zero α

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x < x_1

Context: a : α

Context: ha : 0 < a


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : CommGroup α
inst✝ : DecidableEq α
A B✝ C : Finset α
hA : A.Nonempty
B : Finset α
m n : ℕ

↑(B ^ m / B ^ n).card ≤ (↑(A / B).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


↑(B⁻¹ ^ m / B⁻¹ ^ n).card ≤ (↑(A * B⁻¹).card / ↑A.card) ^ (m + n) * ↑A.card


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
a✝ a b : α
n : ℕ
a' : α
as : List α
h : n + 1 ≤ (a' :: as).length

a ∈ insertNth (n + 1) b (a' :: as) ↔ a = b ∨ a ∈ a' :: as


Context:
α : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
m m0 : MeasurableSpace α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : CompleteSpace E
μ : Measure α
f : α → E
s : Set α
hf_int : Integrable f μ
hs : MeasurableSet s
hm : m ≤ m0
hμm this : SigmaFinite (μ.trim hm)

μ[s.indicator f|m] =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[f|m])


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: this : s.indicator (μ[f|m]) =ᶠ[ae μ] s.indicator (μ[s.indicator f + sᶜ.indicator f|m])


Context: α : Type u_1

Context: 𝕜 : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: μ : Measure α

Context: f : α → E

Context: s : Set α

Context: hf_int : Integrable f μ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: hm : m ≤ m0

Context: hμm this✝ : SigmaFinite (μ.trim hm)

s.indicator (μ[s.indicator f + sᶜ.indicator f|m]) =ᶠ[ae μ] μ[s.indicator f|m]


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
p p₀ p₁✝ p₂✝ p₁ p₂ p₃ : P

Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃} ↔ p₁ = p₂ ∨ p₃ = p₂ ∨ sin (∠ p₁ p₂ p₃) = 0


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: f : Option α → β → γ

Context: a : α

Context: as : List α

Context: b : β

Context: bs : List β

Context: h : bs.length ≤ as.length

Context: this : (fun a b => flip f a (some b)) = flip fun a b => f (some a) b

map₂Right f as bs = zipWith (fun a b => f (some a) b) as bs


Context:
R✝ S✝ : Type u
inst✝⁷ : CommRing R✝
inst✝⁶ : CommRing S✝
M✝ : Submonoid R✝
N : Submonoid S✝
R' S' : Type u
inst✝⁵ : CommRing R'
inst✝⁴ : CommRing S'
f : R✝ →+* S✝
inst✝³ : Algebra R✝ R'
inst✝² : Algebra S✝ S'
R : Type u_1
hR : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_1
hS : CommRing S
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
a✝ : IsReduced R
x : S
n : ℕ
e : x ^ (n + 1) = 0


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: hx : x * (algebraMap R S) ↑(y, m).2 = (algebraMap R S) (y, m).1


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: hx : x * (algebraMap R S) ↑m = (algebraMap R S) y

Context: hx' : (fun x => x ^ n.succ) (x * (algebraMap R S) ↑m) = (fun x => x ^ n.succ) ((algebraMap R S) y) := congr_arg (fun x => x ^ n.succ) hx


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: hx' : 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: hx' : (algebraMap R S) 0 = (algebraMap R S) (y ^ n.succ)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : ↑m' * 0 = ↑m' * y ^ n.succ


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : ↑m' * 0 * ↑m' ^ n = ↑m' * y ^ n.succ * ↑m' ^ n


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : 0 = ↑m' * (y ^ n.succ * ↑m' ^ n)


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : 0 = (y * ↑m') ^ n.succ


Context: R✝ S✝ : Type u

Context: inst✝⁷ : CommRing R✝

Context: inst✝⁶ : CommRing S✝

Context: M✝ : Submonoid R✝

Context: N : Submonoid S✝

Context: R' S' : Type u

Context: inst✝⁵ : CommRing R'

Context: inst✝⁴ : CommRing S'

Context: f : R✝ →+* S✝

Context: inst✝³ : Algebra R✝ R'

Context: inst✝² : Algebra S✝ S'

Context: R : Type u_1

Context: hR : CommRing R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_1

Context: hS : CommRing S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : IsLocalization M S

Context: a✝ : IsReduced R

Context: x : S

Context: n : ℕ

Context: e : x ^ (n + 1) = 0

Context: y : R

Context: m : ↥M

Context: m' : ↥M

Context: hm' : y * ↑m' = 0


Context:
G : Type u
inst✝ : Group G
x y : G
hx : orderOf x = 2
hy : orderOf y = 2
hxy : x ≠ y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : CosimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 1)


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : TopologicalGroup G
s✝ t : Set G
ht : IsOpen t
s : Set G


Context:
x : ℝ
hl : 0 ≤ x
hu : x ≤ π


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup X
inst✝ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
e : F ≃L[𝕜] G

ContDiffAt 𝕜 n (⇑e ∘ f) x ↔ ContDiffAt 𝕜 n f x


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁴ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c✝ : F
b : E × F → G
m n✝ : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
𝔸 : Type u_3
𝔸' : Type u_4
ι : Type u_5
𝕜' : Type u_6
inst✝⁵ : NormedRing 𝔸
inst✝⁴ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
inst✝³ : NormedCommRing 𝔸'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝔸'
inst✝¹ : NormedField 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
f : E → 𝕜'
n : ℕ∞
hf : ContDiffWithinAt 𝕜 n f s x
c : 𝕜'

ContDiffWithinAt 𝕜 n (fun x => f x / c) s x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s✝ t : Set M
s : Set E
hs : IsOpen s


IsOpen ((f.extend I).source ∩ ↑(f.extend I) ⁻¹' s)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜

HasDerivAtFilter f f' x L ↔ Tendsto (fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') L (𝓝 0)


(fun y => slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f') =ᶠ[L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ] fun y => slope f x y - f'


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L✝ L₁ L₂ : Filter 𝕜
x : 𝕜
L : Filter 𝕜
y : 𝕜
hy : y ∈ {x}ᶜ

slope f x y - (y - x)⁻¹ • (y - x) • f' = slope f x y - f'


Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto (slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 f')


Tendsto (fun y => slope f x y - f') (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0) ↔ Tendsto ((fun x => x - f') ∘ slope f x) (L ⊓ 𝓟 {x}ᶜ) (𝓝 0)


Context: R : Type u

Context: inst✝⁶ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁴ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝³ : AddCommGroup M

Context: inst✝² : AddCommGroup N

Context: inst✝¹ : Module R M

Context: inst✝ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: a : N →ₗ.[R] Q

Context: a_le : LinearMap.range i ≤ a.domain

Context: e1 : ∀ (m : M), f m = ↑a ⟨i m, ⋯⟩

Context: b : N →ₗ.[R] Q

Context: b_le : LinearMap.range i ≤ b.domain

Context: e2 : ∀ (m : M), f m = ↑b ⟨i m, ⋯⟩

Context: domain_eq : { toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain = { toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain

Context: to_fun_eq : ∀ ⦃x : ↥{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.domain⦄ ⦃y : ↥{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.domain⦄, ↑x = ↑y → ↑{ toLinearPMap := a, le := a_le, is_extension := e1 }.toLinearPMap x = ↑{ toLinearPMap := b, le := b_le, is_extension := e2 }.toLinearPMap y


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
n : ℤ


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
s t u : Finset α
P : Finpartition s
a : α


∑ i ∈ P.parts, i.card = (P.parts.biUnion id).card


∑ i ∈ P.parts, i.card = ∑ u ∈ P.parts, (id u).card


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

Context: h : e.toBasis.orientation ≠ f.toBasis.orientation


Context: E : Type u_1

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ E

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝¹ : Fintype ι

Context: inst✝ : DecidableEq ι

Context: ne : Nonempty ι

Context: e f : OrthonormalBasis ι ℝ E

Context: x : Orientation ℝ E ι

e.toBasis.det ⇑f.toBasis • f.toBasis.det = -f.toBasis.det


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝ : CancelCommMonoidWithZero α
p₁ p₂ : α
k₁ k₂ : ℕ
hp₁ : Prime p₁
hp₂ : Prime p₂
hk₁ : 0 < k₁
h : p₁ ^ k₁ ~ᵤ p₂ ^ k₂
this : p₁ ∣ p₂ ^ k₂


Context:
m n : ℕ
a : ZMod 2


Context: m n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α

(SimpleGraph.map f G).CliqueFree n ↔ G.CliqueFree n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α
hle : n ≤ 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G H : SimpleGraph α
m n : ℕ
s : Finset α
f : α ↪ β
inst✝ : Nonempty α
hlt : 1 < n


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
ha : a = 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
ha : 0 < a
c : Ordinal.{u_1}
hc : b = a ^ ω * c


Context:
α : Type u_1
inst✝² : PartialOrder α
inst✝¹ : SuccOrder α
inst✝ : IsSuccArchimedean α
r : α → α → Prop
n m : α
h : ∀ i ∈ Ico m n, r (succ i) i
hmn : m ≤ n


Context:
z : ℍ
k : ℝ
hk : 0 ≤ k
x : Fin 2 → ℤ
A B : ℝ
hB : 0 < B
hz : z ∈ verticalStrip A B

Complex.abs (↑(x 0) * ↑z + ↑(x 1)) ^ (-k) ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k) * ‖x‖ ^ (-k)


r z ^ (-k) ≤ r ⟨{ re := A, im := B }, hB⟩ ^ (-k)


Context: α : Type u

Context: inst✝³ : Group α

Context: inst✝² : LT α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x < x_1

Context: a b c d : α


Context:
G : Type u_1
inst✝³ : MeasurableSpace G
μ : Measure G
g✝ : G
inst✝² : Group G
inst✝¹ : MeasurableMul G
inst✝ : μ.IsMulLeftInvariant
f : G → ℝ≥0∞
g : G

∫⁻ (x : G), f (g * x) ∂μ = ∫⁻ (x : G), f x ∂μ


μ = map (⇑(MeasurableEquiv.mulLeft g)) μ


Context:
p : ℝ≥0∞
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
hp : Fact (1 ≤ p)
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α
inst✝ : PseudoEMetricSpace β


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: A : UniformInducing ⇑(WithLp.equiv p (α × β))


Context: p : ℝ≥0∞

Context: 𝕜 : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: hp : Fact (1 ≤ p)

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoEMetricSpace β

Context: this : (fun x => ((WithLp.equiv p (α × β)) x.1, (WithLp.equiv p (α × β)) x.2)) = id


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: p : Submodule R M := (f.genEigenspace μ) k

Context: hm : m ∈ p


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₂ : MapsTo ⇑(g - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hfg : Commute f g

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

Context: h₄ : MapsTo ⇑(f - (algebraMap R (End R M)) μ) ↑p ↑p


Context: R : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : AddCommGroup M

Context: inst✝ : Module R M

Context: f g : End R M

Context: μ : R

Context: k : ℕ

Context: m : M

Context: hss : g.IsSemisimple

Context: hnil : IsNilpotent (f - g)

Context: hm : m ∈ p

Context: h₁ : MapsTo ⇑g ↑p ↑p

Context: h₃ : MapsTo ⇑(f - g) ↑p ↑p

Context: hfg : Commute (f - (algebraMap R (End R M)) μ) (f - g)