Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1

Context: h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ (ω.eraseIdx j).length + 1

Context: h₈ : j' - 1 < (ω.eraseIdx j).length


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1

Context: h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1

Context: h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))

Context: h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length

Context: h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ ω.length

Context: h₈ : j' - 1 < (ω.eraseIdx j).length


Context:
n : ℕ
E : Type u_1
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f g : (Fin n → ℂ) → E
c : Fin n → ℂ
R : Fin n → ℝ
hf : TorusIntegrable f c R
hg : TorusIntegrable g c R

(∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x + g x) = (∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), f x) + ∯ (x : Fin n → ℂ) in T(c, R), g x


Context:
F✝ : Type u_1
inst✝⁴ : AddCommGroup F✝
inst✝³ : Module ℝ F✝
inst✝² : TopologicalSpace F✝
F : Type u_2
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
x : F
a✝ : x ∈ univ

(convexHull ℝ) (connectedComponentIn univ x) = univ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsReduced R
p k m : ℕ
inst✝ : ExpChar R p
x : R


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)

Context: y z : ↥S

Context: h : ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) y)⁻¹ = ((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹


Context: M : Type u_1

Context: inst✝² : CommMonoid M

Context: S : Submonoid M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: P : Type u_3

Context: inst✝ : CommMonoid P

Context: f : M →* N

Context: hf : ∀ (y : ↥S), IsUnit (f ↑y)

Context: y z : ↥S

f ↑z * ↑((IsUnit.liftRight (f.restrict S) hf) z)⁻¹ = 1


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: F : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: hF_meas : ∀ (n : ℕ), AEMeasurable (F n) μ

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: h_lim : ∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => F n a) atTop (𝓝 (f a))

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: F : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Context: this : ∀ (n : ℕ), ∫⁻ (a : α), F n a ∂μ = ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: F : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

Tendsto (fun n => ∫⁻ (a : α), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a ∂μ) atTop (𝓝 (∫⁻ (a : α), f a ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: F : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

∀ᵐ (a : α) ∂μ, Tendsto (fun n => AEMeasurable.mk (F n) ⋯ a) atTop (𝓝 (f a))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν : Measure α

Context: F : ℕ → α → ℝ≥0∞

Context: f bound : α → ℝ≥0∞

Context: h_bound : ∀ (n : ℕ), F n ≤ᶠ[ae μ] bound

Context: h_fin : ∫⁻ (a : α), bound a ∂μ ≠ ⊤

∀ (n : ℕ), AEMeasurable.mk (F n) ⋯ ≤ᶠ[ae μ] bound


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: ι : Type u_5

Context: I : Set ι

Context: hI : I.Finite

Context: s : ι → Set α

Context: a : α

Context: a✝ : ι

Context: s✝ : Set ι

Context: x✝¹ : a✝ ∉ s✝

Context: x✝ : s✝.Finite

Context: hT : 𝓝[⋃ i ∈ s✝, s i] a = ⨆ i ∈ s✝, 𝓝[s i] a

𝓝[⋃ i ∈ insert a✝ s✝, s i] a = ⨆ i ∈ insert a✝ s✝, 𝓝[s i] a


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

x ≤ 0 ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∀ (i : x.LeftMoves), (∃ i', x.moveLeft i ≤ moveLeft 0 i') ∨ ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0) ∧ ∀ (j : RightMoves 0), (∃ i, x ≤ (moveRight 0 j).moveLeft i) ∨ ∃ j', x.moveRight j' ≤ moveRight 0 j) ↔ ∀ (i : x.LeftMoves), ∃ j, (x.moveLeft i).moveRight j ≤ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : OrderedCommGroup α
inst✝ : OrderedCommGroup β
s : Set ι
f f₁ f₂ : ι → α
g g₁ g₂ : ι → β


Context:
G : Type u_1
G' : Type u_2
G'' : Type u_3
inst✝⁴ : Group G
inst✝³ : Group G'
inst✝² : Group G''
A : Type u_4
inst✝¹ : AddGroup A
N : Type u_5
inst✝ : Group N
f✝ f : G →* N
H : Subgroup N
h : H ≤ f.range


Context:
s : Set ℤ
h1 : s.Nonempty
h2 : BddBelow s


sInf s = ↑((Classical.choose h2).leastOfBdd ⋯ h1)


Context:
ι✝ : Type u_1
α : Type u_2
M : Matroid α
F X Y : Set α
e : α
ι : Sort u_3
I J B : Set α
f x y : α
h : M.Basis' I X


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
o : Ordinal.{u_3}
α β : Type u_3
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s


Context:
α✝ : Type u
β✝ : Type u_1
γ : Type u_2
r✝ : α✝ → α✝ → Prop
s✝ : β✝ → β✝ → Prop
t : γ → γ → Prop
c : Cardinal.{u_3}
o : Ordinal.{u_3}
α β : Type u_3
s : β → β → Prop
x✝ : IsWellOrder β s
r : α → α → Prop
w✝ : IsWellOrder α r
e : (#α).ord = type r


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f

(map f s).WOppSide (f x) (f y) ↔ s.WOppSide x y


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
h : (map f s).WOppSide (f x) (f y)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : fp₁ ∈ map f s
fp₂ : P'
hfp₂ : fp₂ ∈ map f s
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (fp₂ -ᵥ f y)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
fp₁ : P'
hfp₁ : ∃ y ∈ s, f y = fp₁
fp₂ : P'
hfp₂ : ∃ y ∈ s, f y = fp₂
h : SameRay R (f x -ᵥ fp₁) (fp₂ -ᵥ f y)


Context: R : Type u_1

Context: V : Type u_2

Context: V' : Type u_3

Context: P : Type u_4

Context: P' : Type u_5

Context: inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R

Context: inst✝⁵ : AddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : Module R V

Context: inst✝³ : AddTorsor V P

Context: inst✝² : AddCommGroup V'

Context: inst✝¹ : Module R V'

Context: inst✝ : AddTorsor V' P'

Context: s : AffineSubspace R P

Context: x y : P

Context: f : P →ᵃ[R] P'

Context: hf : Function.Injective ⇑f

Context: p₁ : P

Context: hp₁ : p₁ ∈ s

Context: p₂ : P

Context: hp₂ : p₂ ∈ s

Context: h : SameRay R (f x -ᵥ f p₁) (f p₂ -ᵥ f y)


Context:
R : Type u_1
V : Type u_2
V' : Type u_3
P : Type u_4
P' : Type u_5
inst✝⁶ : StrictOrderedCommRing R
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : Module R V
inst✝³ : AddTorsor V P
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module R V'
inst✝ : AddTorsor V' P'
s : AffineSubspace R P
x y : P
f : P →ᵃ[R] P'
hf : Function.Injective ⇑f
p₁ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
p₂ : P
hp₂ : p₂ ∈ s
h : SameRay R (x -ᵥ p₁) (p₂ -ᵥ y)


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X Y Z✝ : C
f : X ⟶ Y
I : IsIso f
Z : C
g : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b✝ : M
f : α →₀ M
a : α
b : M

f = single a b ↔ f.support ⊆ {a} ∧ f a = b


f.support ⊆ {a} ∧ f a = b → f = single a b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
f : α →₀ M
a : α
h : f.support ⊆ {a}
x : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝ : Zero M
a✝ a' : α
b : M
f : α →₀ M
a : α
h : f.support ⊆ {a}
x : α
hx : ¬a = x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
x : β
hx : IsGenericPoint x (f '' S✝)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : ClosedEmbedding f
inst✝ : QuasiSober β
S✝ : Set α
hS : IsIrreducible S✝
hS' : IsClosed S✝
hS'' : IsIrreducible (f '' S✝)
y : α
hx : IsGenericPoint (f y) (f '' S✝)


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: A : Type u_4

Context: B : Type u_5

Context: C : Type u_6

Context: inst✝⁶ : AddCommMonoid A

Context: inst✝⁵ : AddCommMonoid B

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid C

Context: t : ι → A → C

Context: h0 : ∀ (i : ι), t i 0 = 0

Context: h1 : ∀ (i : ι) (x y : A), t i (x + y) = t i x + t i y

Context: s : Finset α

Context: f✝ : α → ι →₀ A

Context: i : ι

Context: g : ι →₀ A

Context: k : ι → A → γ → B

Context: x : γ

Context: β : Type u_7

Context: M : Type u_8

Context: M' : Type u_9

Context: N : Type u_10

Context: P : Type u_11

Context: G : Type u_12

Context: H : Type u_13

Context: R : Type u_14

Context: S : Type u_15

Context: inst✝³ : Zero M

Context: inst✝² : Zero M'

Context: inst✝¹ : CommMonoid N

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: f : α →₀ M

Context: a : α

Context: b : α → M → N

(∏ a_1 ∈ f.support, if a_1 = a then b a_1 (f a_1) else 1) = if a ∈ f.support then b a (f a) else 1


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v₁, u₁} C
X X' Y : C
p : X = X'
f : X ⟶ Y
g : X' ⟶ Y
h : g = eqToHom ⋯ ≫ f


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 G

Context: G' : Type u_5

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G'

Context: f f₀ f₁ g : E → F

Context: f' f₀' f₁' g' e : E →L[𝕜] F

Context: x✝ : E

Context: s t : Set E

Context: L L₁ L₂ : Filter E

Context: R : Type u_6

Context: inst✝² : NormedRing R

Context: inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 R

Context: inst✝ : CompleteSpace R

Context: x : Rˣ

Context: this : (fun t => Ring.inverse (↑x + t) - ↑x⁻¹ + ↑x⁻¹ * t * ↑x⁻¹) =o[𝓝 0] _root_.id

HasFDerivAt Ring.inverse (-((mulLeftRight 𝕜 R) ↑x⁻¹) ↑x⁻¹) ↑x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
π : α → Type u_5
s s₁✝ s₂✝ : Set α
t t₁ t₂ : Set β
p : Set γ
f f₁ f₂ f₃ : α → β
g g₁ g₂ : β → γ
f' f₁' f₂' : β → α
g' : γ → β
a : α
b : β
h : InjOn f s
s₁ : Set α
hs₁ : s₁ ∈ 𝒫 s
s₂ : Set α
hs₂ : s₂ ∈ 𝒫 s
h' : f '' s₁ = f '' s₂


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: σ : (n : ℤ) → (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) n)).Splitting

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) p).hom ≫ ((CategoryTheory.shiftFunctor (HomologicalComplex C (ComplexShape.up ℤ)) 1).obj S.X₂).d p (p + 1) = (mappingCone (homOfDegreewiseSplit S σ)).d p (p + 1) ≫ ((fun p => mappingConeHomOfDegreewiseSplitXIso S σ p (p + { as := 1 }.as) ⋯) (p + 1)).hom


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

Context: r_f : (σ (p + 1 + 1)).r ≫ (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).f = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).X₂ - (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1 + 1))).g ≫ (σ (p + 1 + 1)).s


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

Context: s_g : (σ (p + 1)).s ≫ (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1))).g = 𝟙 (S.map (eval C (ComplexShape.up ℤ) (p + 1))).X₃


Context: C : Type u_1

Context: inst✝² : Category.{?u.76625, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: S : ShortComplex (CochainComplex C ℤ)

Context: inst✝ : HasBinaryBiproducts C

Context: p : ℤ

Context: r_f : (σ (p + 1 + 1)).r ≫ S.f.f (p + 1 + 1) = 𝟙 (S.X₂.X (p + 1 + 1)) - S.g.f (p + 1 + 1) ≫ (σ (p + 1 + 1)).s

Context: s_g : (σ (p + 1)).s ≫ S.g.f (p + 1) = 𝟙 (S.X₃.X (p + 1))


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
f✝ : β → α
t : Finset β
f g : β → α
H : t.Nonempty
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝ : SemilatticeSup α
f✝ : β → α
t : Finset β
f g : β → α
H : t.Nonempty
h₂ : ∀ x ∈ t, f x = g x
c : α


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set α
p : Set β → Prop

(∃ t ⊆ f '' s, t.Finite ∧ p t) ↔ ∃ t ⊆ s, t.Finite ∧ p (f '' t)


Context:
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv


Context:
M : Type u_1
m₁ m₂ : DivInvMonoid M
h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul
h_inv : Inv.inv = Inv.inv
h_mon : toMonoid = toMonoid


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: f : M →* M := { toFun := id, map_one' := h₁, map_mul' := ⋯ }

Context: this : Monoid.npow = Monoid.npow


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: this✝ : Monoid.npow = Monoid.npow

Context: this : DivInvMonoid.zpow = DivInvMonoid.zpow


Context: M : Type u_1

Context: m₁ m₂ : DivInvMonoid M

Context: h_mul : HMul.hMul = HMul.hMul

Context: h_inv : Inv.inv = Inv.inv

Context: h_mon : toMonoid = toMonoid

Context: h₁ : One.one = One.one

Context: this✝¹ : Monoid.npow = Monoid.npow

Context: this✝ : DivInvMonoid.zpow = DivInvMonoid.zpow

Context: this : Div.div = Div.div


Context:
R : Type u
M : Type v
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : AddCommMonoid M
inst✝ : Module R M
W : Submodule R M
φ : Module.Dual R M

φ ∈ W.dualAnnihilator ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0


(∀ (x : ↥W), φ ↑x = 0 x) ↔ ∀ w ∈ W, φ w = 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
s : AffineSubspace k P
p1 p2 : P
hp1 : p1 ∈ s

(affineSpan k (insert p2 ↑s)).direction = Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} ⊔ s.direction


(affineSpan k (↑s ∪ ↑(affineSpan k {p2}))).direction = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}


(s ⊔ affineSpan k {p2}).direction = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}


s.direction ⊔ vectorSpan k {p2} ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1} = s.direction ⊔ Submodule.span k {p2 -ᵥ p1}


Context:
C : Type u_2
inst✝⁵ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝⁴ : HasZeroMorphisms C
S₁ S₂ S₃ S₄ : ShortComplex C
inst✝³ : S₁.HasHomology
inst✝² : S₂.HasHomology
inst✝¹ : S₃.HasHomology
inst✝ : S₄.HasHomology
φ : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.LeftHomologyData
h₂ : S₂.LeftHomologyData
γ : LeftHomologyMapData φ h₁ h₂

QuasiIso φ ↔ IsIso (leftHomologyMap' φ h₁ h₂)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α
hst : s ⊆ t
ht : autoParam t.Finite _auto✝


Context: P : {α β : Type u} → [inst : TopologicalSpace α] → [inst : TopologicalSpace β] → (α → β) → Prop

Context: hP : ∀ {α β γ : Type u} [inst : TopologicalSpace α] [inst_1 : TopologicalSpace β] [inst_2 : TopologicalSpace γ] (f : α → β) (g : β → γ), P f → P g → P (g ∘ f)

Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z

Context: hf : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) f

Context: hg : topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) g

topologically (fun {α β} [TopologicalSpace α] [TopologicalSpace β] => P) (f ≫ g)


Context: X Y Z : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: g : Y ⟶ Z


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t

eVariationOn (f ∘ φ) t = eVariationOn f (φ '' t)


eVariationOn f (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : IsEmpty β


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t


Context:
α : Type u_1
inst✝² : LinearOrder α
E : Type u_2
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrder β
f : α → E
t : Set β
φ : β → α
hφ : AntitoneOn φ t
h✝ : Nonempty β
ψ : α → β := Function.invFunOn φ t
ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → E

Context: t : Set β

Context: φ : β → α

Context: hφ : AntitoneOn φ t

Context: h✝ : Nonempty β

Context: ψ : α → β := Function.invFunOn φ t

Context: ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)

Context: ψts : MapsTo (Function.invFunOn φ t) (φ '' t) t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → E

Context: t : Set β

Context: φ : β → α

Context: hφ : AntitoneOn φ t

Context: h✝ : Nonempty β

Context: ψ : α → β := Function.invFunOn φ t

Context: ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)

Context: hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → E

Context: t : Set β

Context: φ : β → α

Context: hφ : AntitoneOn φ t

Context: h✝ : Nonempty β

Context: ψ : α → β := Function.invFunOn φ t

Context: ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)

Context: hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)

eVariationOn (f ∘ id) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : LinearOrder α

Context: E : Type u_2

Context: inst✝¹ : PseudoEMetricSpace E

Context: β : Type u_3

Context: inst✝ : LinearOrder β

Context: f : α → E

Context: t : Set β

Context: φ : β → α

Context: hφ : AntitoneOn φ t

Context: h✝ : Nonempty β

Context: ψ : α → β := Function.invFunOn φ t

Context: ψφs : EqOn (φ ∘ ψ) id (φ '' t)

Context: hψ : AntitoneOn ψ (φ '' t)

eVariationOn (f ∘ φ ∘ ψ) (φ '' t) ≤ eVariationOn (f ∘ φ) t


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
ι : Type u_5
κ : Type u_6
inst✝¹ : LinearOrder α
s✝ : Finset α
H : s✝.Nonempty
x : α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
hf : Monotone f
s : Finset α
h : (image f s).Nonempty


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type w
a b : R
n : ℕ
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
p✝ q : R[X]
inst✝³ : CommRing T
p : T[X]
S : Type u_1
inst✝² : CommRing S
inst✝¹ : IsDomain S
inst✝ : Algebra T S


Context:
f : ℕ → ℝ≥0
h_ant : Antitone f


Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: h_ant : Antitone f

Context: h_bdd_0 : 0 ∈ lowerBounds (range fun n => ↑(f n))


Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: h_ant : Antitone f

Context: L : ℝ

Context: hL : Tendsto (fun n => ↑(f n)) atTop (𝓝 L)


Context: f : ℕ → ℝ≥0

Context: h_ant : Antitone f

Context: L : ℝ

Context: hL0 : 0 ≤ L


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : Preorder α
L S : TopologicalSpace α
inst✝¹ : IsLawson α
inst✝ : IsScott α


Context:
C : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} C
W X Y Z : C
f : W ⟶ X
g : W ⟶ Y
h : X ⟶ Z
i : Y ⟶ Z
inst✝² : HasZeroObject C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
inst✝ : HasBinaryBiproduct X Y


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
F✝ : C ⥤ Type w
F : Cᵒᵖ ⥤ Type v

(fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F = 𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)


∀ (X : CostructuredArrow yoneda F), ((fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F).obj X = (𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)).obj X


∀ (X Y : CostructuredArrow yoneda F) (f : X ⟶ Y), ((fromCostructuredArrow F).rightOp ⋙ toCostructuredArrow F).map f = eqToHom ⋯ ≫ (𝟭 (CostructuredArrow yoneda F)).map f ≫ eqToHom ⋯


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F E)

Context: inst✝¹ : (x : B) → TopologicalSpace (E x)

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j

Context: v : F

(Trivialization.coordChangeL R (Z.localTriv i) (Z.localTriv j) b) v = (Z.coordChange i j b) v


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j

Context: v : F

{ proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet (Z.indexAt { proj := (b, v).1, snd := (Z.coordChange i (Z.indexAt (b, v).1) (b, v).1) (b, v).2 }.proj) ∩ Z.baseSet j


Context: R : Type u_1

Context: B : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: E : B → Type u_4

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField R

Context: inst✝⁷ : (x : B) → AddCommMonoid (E x)

Context: inst✝⁶ : (x : B) → Module R (E x)

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace R F

Context: inst✝³ : TopologicalSpace B

Context: inst✝ : FiberBundle F E

Context: ι : Type u_5

Context: Z : VectorBundleCore R B F ι

Context: b✝ : B

Context: a : F

Context: i j : ι

Context: b : B

Context: hb : b ∈ Z.baseSet i ∩ Z.baseSet j

Context: v : F

b ∈ (Z.localTriv i).baseSet ∩ (Z.localTriv j).baseSet


Context:
l : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : DecidableEq l
inst✝¹ : Fintype l
inst✝ : CommRing R


Context:
ι : Type u_1
V : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} V
inst✝² : HasZeroMorphisms V
c : ComplexShape ι
C : HomologicalComplex V c
inst✝¹ : HasImages V
inst✝ : HasEqualizers V
i j : ι
r : c.Rel i j

imageSubobject (C.dTo j) = imageSubobject (C.d i j)


imageSubobject ((C.xPrevIso r).hom ≫ C.d i j) = imageSubobject (C.d i j)


Context: h : Nat.Primrec fun n => ack n n


Context:
h : Nat.Primrec fun n => ack n n
m : ℕ
hm : ∀ (n : ℕ), ack n n < ack m n


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsDomain R
n : ℕ
μ : R
hμ : IsPrimitiveRoot μ (n + 1)
this : (-1) ^ n = ∏ k ∈ range n, -1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l✝ l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
l : List α


Context:
M : Type u_1
S✝ T : Set M
inst✝ : Mul M
S : Set M


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M

Context: hx : x ∈ S.centralizer.centralizer.centralizer


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M

Context: y : M

Context: hy : y ∈ S


Context: M : Type u_1

Context: S✝ T : Set M

Context: inst✝ : Mul M

Context: S : Set M

Context: x : M

Context: hx : ∀ m ∈ S.centralizer.centralizer, m * x = x * m

Context: y : M

Context: hy : y ∈ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
κ : ι → Sort u_5
inst✝ : Preorder α
s : UpperSet α
t : Set α
a : α
hts : t ⊆ ↑s
hst : ∀ b ∈ s, ∀ c ∈ t, b ≤ c → b ∈ t


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝¹ : (i : ι) → TopologicalSpace (Y i)

Context: inst✝ : DecidablePred p

Continuous (Equiv.piEquivPiSubtypeProd p Y).toFun


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : ι

Context: h✝ : p j


Context: X : Type u_1

Context: Y✝ : Type u_2

Context: Z : Type u_3

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace X

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace Y✝

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace Z

Context: X' : Type u_4

Context: Y' : Type u_5

Context: inst✝³ : TopologicalSpace X'

Context: inst✝² : TopologicalSpace Y'

Context: ι : Type u_6

Context: p : ι → Prop

Context: Y : ι → Type u_7

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: j : ι

Context: h✝ : ¬p j


Context:
α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y


Context:
α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y
this : {x} ∈ pure x


Context:
α : Type u
x y : α
h : pure x = pure y
this : {x} ∈ pure y


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
inst✝¹ : TopologicalSpace G
inst✝ : TopologicalGroup G
K₀ : PositiveCompacts G
U : Set G
hU : (interior U).Nonempty
K : Set G
h1K : IsCompact K
h2K : (interior K).Nonempty

0 < prehaar (↑K₀) U { carrier := K, isCompact' := h1K }


0 < index (↑{ carrier := K, isCompact' := h1K }) U


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g


Context:
𝕜 : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : SeminormedRing β
l : Filter α
f g : α → β
hf : l.BoundedAtFilter f
hg : l.BoundedAtFilter g
x✝ : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
x : α
h : some x = none


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Preadditive C
R : Type u_1
inst✝¹ : Ring R
inst✝ : Linear R C
F G K L : CochainComplex C ℤ
n m n₂ : ℤ
z₁ : Cochain F G 0
z₂ : Cochain G K n₂
m₂ : ℤ
h₂ : n₂ + 1 = m₂


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type v
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type w
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 F
F' : Type x
inst✝⁶ : AddCommGroup F'
inst✝⁵ : Module 𝕜 F'
inst✝⁴ : TopologicalSpace F'
inst✝³ : TopologicalAddGroup F'
inst✝² : ContinuousSMul 𝕜 F'
inst✝¹ : CompleteSpace 𝕜
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
v : Basis ι 𝕜 E
u : E →L[𝕜] F
M : ℝ≥0
hu : ∀ (i : ι), ‖u (v i)‖₊ ≤ M
e : E
φ : E →L[𝕜] ι → 𝕜 := ↑v.equivFunL

‖u e‖₊ ≤ Fintype.card ι • ‖φ‖₊ * M * ‖e‖₊


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
A : Type u_1
inst✝ : Category.{?u.31588, u_1} A
J : GrothendieckTopology C
X : C
S : J.Cover X
f₁ f₂ : S.Arrow
W : C
p₁ : W ⟶ f₁.Y
p₂ : W ⟶ f₂.Y
w : p₁ ≫ f₁.f = p₂ ≫ f₂.f
Y : C
f : Y ⟶ W

(S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows f ↔ ⊤.arrows f


(S.preOneHypercover.sieve₁ p₁ p₂).arrows f


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ⟨ϕ ↑g, ⋯⟩ ^ p ^ j = 1


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1
k : ℕ
hk : ⟨↑g ^ p ^ j, hj⟩ ^ p ^ k = 1


Context:
p : ℕ
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
H : Subgroup G
hH : IsPGroup p ↥H
K : Type u_2
inst✝ : Group K
ϕ : K →* G
hϕ : IsPGroup p ↥ϕ.ker
g : ↥(Subgroup.comap ϕ H)
j : ℕ
hj : ϕ (↑g ^ p ^ j) = ↑1
k : ℕ
hk : ↑g ^ p ^ (j + k) = ↑1


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁶ : CommRing R

Context: inst✝⁵ : IsDedekindDomain R

Context: inst✝⁴ : Module.Free ℤ R

Context: inst✝³ : Module.Finite ℤ R

Context: K : Type u_2

Context: inst✝² : CommRing K

Context: inst✝¹ : Algebra R K

Context: inst✝ : IsFractionRing R K

Context: I : FractionalIdeal R⁰ K

Context: a : ↥R⁰

Context: I₀ : Ideal R

Context: h : a • ↑I = Submodule.map (Algebra.linearMap R K) I₀

absNorm I = ↑(Ideal.absNorm I₀) / ↑|(Algebra.norm ℤ) ↑a|


Context:
α : Sort u_1
β : Sort u_2
γ : Sort u_3
f : α → β
g : α → γ
hf : FactorsThrough g f
e' : β → γ
a : α


Context:
R : Type u_1
C : Type u_2
inst✝³ : Semiring R
inst✝² : Category.{u_3, u_2} C
inst✝¹ : Preadditive C
inst✝ : Linear R C
S₁ S₂ : ShortComplex C
φ φ' : S₁ ⟶ S₂
h₁ : S₁.RightHomologyData
h₂ : S₂.RightHomologyData
a : R
γ : RightHomologyMapData φ h₁ h₂

rightHomologyMap' (a • φ) h₁ h₂ = a • rightHomologyMap' φ h₁ h₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
M : Type u_3
E : Type u_4
inst✝ : One β
l : Filter α
f : α → β
s : Set α
hf : f =ᶠ[l] 1


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x : (P F).W α


∀ (a : (P F).A) (f' : (P F).drop.B a ⟹ α) (f : (P F).last.B a → (P F).W α), (∀ (i : (P F).last.B a), WEquiv (wrepr (f i)) (f i)) → WEquiv (wrepr ((P F).wMk a f' f)) ((P F).wMk a f' f)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

Context: ih : ∀ (i : (P F).last.B a), WEquiv (wrepr (f i)) (f i)

WEquiv ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: wrepr) <$$> ⟨a, (P F).appendContents f' f⟩)) ((P F).wMk a f' f)


Context: n : ℕ

Context: F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u

Context: q : MvQPF F

Context: α : TypeVec.{u} n

Context: x : (P F).W α

Context: a : (P F).A

Context: f' : (P F).drop.B a ⟹ α

Context: f : (P F).last.B a → (P F).W α

WEquiv (match ⟨a, splitFun f' (wrepr ∘ f)⟩ with | ⟨a, f⟩ => (P F).wMk a (dropFun f) (lastFun f)) ((P F).wMk a f' f)


Context:
G : Type u
α : Type v
β : Type w
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Finite G
p n : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G
H : Subgroup G
hH : Nat.card ↥H = p ^ n
s : ℕ
hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Nat.card (G ⧸ H) * Nat.card ↥H = s * p * Nat.card ↥H


Context: G : Type u

Context: α : Type v

Context: β : Type w

Context: inst✝¹ : Group G

Context: inst✝ : Finite G

Context: p n : ℕ

Context: hp : Fact (Nat.Prime p)

Context: hdvd : p ^ (n + 1) ∣ Nat.card G

Context: H : Subgroup G

Context: hH : Nat.card ↥H = p ^ n

Context: s : ℕ

Context: hs : Nat.card G = s * p ^ (n + 1)

Context: hcard : Nat.card (G ⧸ H) = s * p

Context: hm : s * p % p = Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) % p

Nat.card (↥H.normalizer ⧸ comap H.normalizer.subtype H) % p = 0


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommMonoid R
R' : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R'
R'' : Type u_3
inst✝ : CommRing R''
χ : MulChar R R'
f : R' →+* R''
n : ℕ

χ.ringHomComp f ^ n = (χ ^ n).ringHomComp f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
f✝ f : α → β
hf : LocallyLipschitz f
x : α
K : ℝ≥0
t : Set α
ht : t ∈ 𝓝 x
hK : LipschitzOnWith K f t


Context:
R : Type u
S : Type v
σ : Type u_1
τ : Type u_2
r : R
e : ℕ
n m : σ
s✝ : σ →₀ ℕ
inst✝ : CommSemiring R
p q : MvPolynomial σ R
ι : Type u_3
s : Finset ι
f : ι → MvPolynomial σ R

(∏ i ∈ s, f i).degrees ≤ ∑ i ∈ s, (f i).degrees


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : DivisionMonoid α
a b c d : α
h : 1 / a = 1 / b


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α

range (familyOfBFamily' r ho f) = o.brange f


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r✝ : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
ι : Type u
r : ι → ι → Prop
inst✝ : IsWellOrder ι r
o : Ordinal.{u}
ho : type r = o
f : (a : Ordinal.{u}) → a < o → α
a : α

a ∈ range (familyOfBFamily' r ho f) → a ∈ o.brange f


a ∈ o.brange f → a ∈ range (familyOfBFamily' r ho f)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j

¬(c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i)) ∧ ∀ (k : ι), ¬c'.Rel (e.f i) (e.f k))


c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i)) → ∃ x, c'.Rel (e.f i) (e.f x)


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
c : ComplexShape ι
c' : ComplexShape ι'
e : c.Embedding c'
inst✝ : e.IsRelIff
i j : ι
hi : c.Rel i j
a✝ : c'.Rel (e.f i) (c'.next (e.f i))


Context:
α : Type u_1
inst✝ : Group α
s : Subgroup α
x y : α


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
X : SimplicialObject C
n : ℕ


Context:
R : Type u
inst✝ : CommRing R
x : ↑(PrimeSpectrum.Top R)
f : ↥x.asIdeal.primeCompl


IsUnit (((structureSheaf R).presheaf.germ ⟨x, ⋯⟩) ((toOpen R (PrimeSpectrum.basicOpen ↑f)) ↑f))


Context:
n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin (n + 1)
hi : i ∈ (cons y s).support


∀ (a : Fin n), i = a.succ → ¬s a = 0 ∧ a.succ = i


Context:
n : ℕ
i✝ : Fin n
M : Type u_1
inst✝ : Zero M
y : M
t : Fin (n + 1) →₀ M
s : Fin n →₀ M
i : Fin n
hi : i.succ ∈ (cons y s).support


Context:
X : Type u_1
X' : Type u_2
Y : Type u_3
Y' : Type u_4
Z : Type u_5
Z' : Type u_6
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace X'
inst✝³ : TopologicalSpace Y
inst✝² : TopologicalSpace Y'
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
e : PartialHomeomorph X Y
s : Set X
hs : IsOpen s


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: h_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → f (a * b) ≤ f a * f b

Context: hp_mul : ∀ (a b : α), p a → p b → p (a * b)

∀ (s : Multiset α), s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

0 ≠ ∅ → (∀ a ∈ 0, p a) → f (prod 0) ≤ (map f 0).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

∀ (a : α) (s : Multiset α), (s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod) → a ::ₘ s ≠ ∅ → (∀ a_2 ∈ a ::ₘ s, p a_2) → f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hs : s ≠ ∅ → (∀ a ∈ s, p a) → f s.prod ≤ (map f s).prod

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

f (a ::ₘ s).prod ≤ (map f (a ::ₘ s)).prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x

Context: hp_sup : p s.prod


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: inst✝¹ : CommMonoid α

Context: inst✝ : OrderedCommMonoid β

Context: f : α → β

Context: p : α → Prop

Context: a : α

Context: s : Multiset α

Context: hsa_prop : ∀ a_1 ∈ a ::ₘ s, p a_1

Context: hs_empty : ¬s = ∅

Context: hsa_restrict : ∀ x ∈ s, p x

Context: hp_sup : p s.prod

Context: hp_a : p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁶ : Monoid α
inst✝⁵ : Zero α
inst✝⁴ : Zero β
inst✝³ : MulAction α β
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : Preorder β
inst✝ : SMulPosMono α β
hb : 0 ≤ b
h : a ≤ 1


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: IH : ∀ (Q : Ideal S), Q.IsMaximal → (algebraMap R (S ⧸ Q)).IsIntegral

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: Q : Ideal S[X] := comap (↑v).toRingHom P


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal

Context: w : (S[X] ⧸ Q) ≃ₐ[R] T ⧸ P := Q.quotientEquivAlg P v ⋯


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal

Context: Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal

Context: Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q

Context: w' : S ⧸ Q' →ₐ[R] S[X] ⧸ Q := quotientMapₐ Q (Ideal.MvPolynomial.Cₐ R S) ⋯


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal

Context: Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q

Context: h_eq : algebraMap R (T ⧸ P) = w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal

Context: Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q

(w.toRingEquiv.toRingHom.comp (w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q')))).IsIntegral


Context: n : ℕ

Context: R : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: inst✝⁵ : CommRing R

Context: inst✝⁴ : CommRing S

Context: inst✝³ : CommRing T

Context: inst✝² : IsJacobson S

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R T

Context: v : S[X] ≃ₐ[R] T

Context: P : Ideal T

Context: hP : P.IsMaximal

Context: hw : map v Q = P

Context: hQ : Q.IsMaximal

Context: Q' : Ideal S := comap Polynomial.C Q

(w'.comp (algebraMap R (S ⧸ Q'))).IsIntegral


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
inst✝¹ : HasFiniteProducts C
inst✝ : HasPullbacks C
X Y : Dial C

(X.tensorObj Y).rel = (Subobject.pullback (prod.map (prod.braiding X.src Y.src).hom (prod.braiding X.tgt Y.tgt).hom)).obj (Y.tensorObj X).rel


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
R : Type x
inst✝ : CommSemiring α
a✝ b✝ c a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
o : Ordinal.{u_4}
h : ∃ a, succ o = succ a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (a : ι) → κ a → α

Context: x✝ : CompleteLattice α := minAx.toCompleteLattice

let x := minAx.toCompleteLattice; ⨅ i, ⨆ j, f i j = ⨆ g, ⨅ i, f i (g i)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: ι : Sort w

Context: κ : ι → Sort w'

Context: minAx : MinimalAxioms α

Context: f : (a : ι) → κ a → α


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : MonoidalCategory C
inst✝ : BraidedCategory C
M N P : Mon_ C

(tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))


tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))


tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ ((tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ⊗ 𝟙 (P.X ⊗ P.X)) ≫ ((M.mul ⊗ N.mul) ⊗ P.mul)) ≫ (α_ M.X N.X P.X).hom = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))


tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ⊗ 𝟙 (P.X ⊗ P.X)) ≫ (α_ (M.X ⊗ M.X) (N.X ⊗ N.X) (P.X ⊗ P.X)).hom ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.mul ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (N.mul ⊗ P.mul))


tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ (tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ⊗ 𝟙 (P.X ⊗ P.X)) ≫ (α_ (M.X ⊗ M.X) (N.X ⊗ N.X) (P.X ⊗ P.X)).hom ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (𝟙 (M.X ⊗ M.X) ⊗ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul)


tensor_μ C (M.X ⊗ N.X, P.X) (M.X ⊗ N.X, P.X) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X) (M.X, N.X) ▷ (P.X ⊗ P.X) ≫ (α_ (M.X ⊗ M.X) (N.X ⊗ N.X) (P.X ⊗ P.X)).hom ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul)


(((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X)) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul) = ((α_ M.X N.X P.X).hom ⊗ (α_ M.X N.X P.X).hom) ≫ tensor_μ C (M.X, N.X ⊗ P.X) (M.X, N.X ⊗ P.X) ≫ (M.X ⊗ M.X) ◁ tensor_μ C (N.X, P.X) (N.X, P.X) ≫ (M.mul ⊗ N.mul ⊗ P.mul)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: P : C

Context: hP : Projective (F.obj P)

Context: E✝ X✝ : C

Context: f : P ⟶ X✝

Context: g : E✝ ⟶ X✝

Context: x✝ : Epi g

Context: this : PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v, v', u, u'} F


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: P : C

Context: hP : Projective (F.obj P)

Context: E✝ X✝ : C

Context: f : P ⟶ X✝

Context: g : E✝ ⟶ X✝

Context: x✝ : Epi g

Context: f' : F.obj P ⟶ F.obj E✝

Context: hf' : f' ≫ F.map g = F.map f


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u'

Context: inst✝² : Category.{v', u'} D

Context: F : C ⥤ D

Context: G : D ⥤ C

Context: adj : F ⊣ G

Context: inst✝¹ : F.Full

Context: inst✝ : F.Faithful

Context: P : C

Context: hP : Projective (F.obj P)

Context: E✝ X✝ : C

Context: f : P ⟶ X✝

Context: g : E✝ ⟶ X✝

Context: x✝ : Epi g

Context: f' : F.obj P ⟶ F.obj E✝

Context: hf' : f' ≫ F.map g = F.map f

(adj.unit.app P ≫ G.map f' ≫ inv (adj.unit.app E✝)) ≫ g = f


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ
toFinsupp✝ : R[ℕ]

(erase n { toFinsupp := toFinsupp✝ }).support = { toFinsupp := toFinsupp✝ }.support.erase n


Context:
V : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℝ V
x✝ y✝ x y : V

angle x y = 0 ↔ x ≠ 0 ∧ ∃ r, 0 < r ∧ y = r • x


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
A : C
hf : S.f = 0


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
ha : a ∈ n • s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h : n ≠ 0 ∧ a ∈ s


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
a : α
s : Multiset α
n : ℕ
h : n.succ ≠ 0 ∧ a ∈ s


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : Fin c.length
j : Fin (c.blocksFun i)


(c.embedding i) j ∈ Set.range ⇑(c.embedding i)


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: inst✝¹ : ∀ (x : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map x ≫ f✝) g

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace

x ∈ Set.range ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace

Function.Surjective ⇑((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base


Context: X✝ Y✝ Z : Scheme

Context: 𝒰 : X✝.OpenCover

Context: f✝ : X✝ ⟶ Z

Context: g : Y✝ ⟶ Z

Context: X Y : Scheme

Context: f : X ⟶ Y

Context: inst✝ : IsIso f

Context: x : ↑↑Y.toPresheafedSpace

Epi ((fun x => f) ((fun x => PUnit.unit) x)).val.base


Context: E : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : MeasurableSpace E

Context: inst✝⁴ : BorelSpace E

Context: inst✝³ : FiniteDimensional ℝ E

Context: μ : Measure E

Context: inst✝² : μ.IsAddHaarMeasure

Context: F : Type u_2

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s✝ : Set E

Context: f : E → F

Context: R : ℝ

Context: s : Set E

Context: hR : R ≠ 0

Context: e : E ≃ᵐ E := (Homeomorph.smul (Units.mk0 R hR)).toMeasurableEquiv

∫ (x : E) in s, f (R • x) ∂μ = |(R ^ finrank ℝ E)⁻¹| • ∫ (x : E) in R • s, f x ∂μ


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B


Context:
R : Type w₁
A : Type w₂
B : Type w₃
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : CommRing A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : CommRing B
inst✝² : Algebra R B
f : A →ₐ[R] B
hf : Surjective ⇑f
inst✝¹ : FinitePresentation R A
inst✝ : FinitePresentation R B
n : ℕ
g : MvPolynomial (Fin n) R →ₐ[R] A
hg : Surjective ⇑g
right✝ : (RingHom.ker g.toRingHom).FG


RingHom.ker f.toRingHom = Ideal.map g.toRingHom (RingHom.ker (f.comp g).toRingHom)


Ideal.comap ↑f ⊥ = Ideal.map (↑g) (Ideal.comap ((↑f).comp ↑g) ⊥)


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u
β : Type v
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
s t u : Set α
x y : α
Φ : α → β
hx : x ∈ closure s


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

Context: inst✝¹ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorLeft X)

Context: inst✝ : (X : C) → PreservesColimitsOfSize.{0, 0, v₁, v₁, u₁, u₁} (tensorRight X)

actLeft P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q = (α_ R.X (X P Q) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(tensorLeft R.X ⋙ tensorRight T.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q = (tensorLeft R.X ⋙ tensorRight T.X).map (coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ (α_ R.X (X P Q) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ actLeft P Q ▷ T.X ≫ actRight P Q = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

((α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ T.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ actRight P Q = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ P.actLeft ▷ Q.X ▷ T.X ≫ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actRight ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ▷ T.X ≫ (α_ R.X (coequalizer (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) T.X).hom ≫ R.X ◁ actRight P Q ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (((α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) ▷ T.X) ≫ R.X ◁ actRight P Q) ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ (R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ Q.actRight ≫ R.X ◁ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)) ≫ actLeft P Q


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ R.X ◁ P.X ◁ Q.actRight ≫ (α_ R.X P.X Q.X).inv ≫ P.actLeft ▷ Q.X ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ (((α_ R.X P.X (Q.X ⊗ T.X)).inv ≫ (R.X ⊗ P.X) ◁ Q.actRight) ≫ P.actLeft ▷ Q.X) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: inst✝³ : MonoidalCategory C

Context: A B : Mon_ C

Context: M : Bimod A B

Context: inst✝² : HasCoequalizers C

Context: R S T : Mon_ C

Context: P : Bimod R S

Context: Q : Bimod S T

(α_ R.X P.X Q.X).inv ▷ T.X ≫ (((α_ (R.X ⊗ P.X) Q.X T.X).hom ≫ P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X)) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft) = (α_ R.X (P.X ⊗ Q.X) T.X).hom ≫ R.X ◁ (α_ P.X Q.X T.X).hom ≫ (α_ R.X P.X (Q.X ⊗ T.X)).inv ≫ (P.actLeft ▷ (Q.X ⊗ T.X) ≫ P.X ◁ Q.actRight) ≫ coequalizer.π (P.actRight ▷ Q.X) ((α_ P.X S.X Q.X).hom ≫ P.X ◁ Q.actLeft)


Context:
α : Type u_1
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p
l : List α
a : α

(l.any fun a => decide (p a)) = true ↔ ∃ a, a ∈ l ∧ p a


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p✝ q✝ : α → Prop
inst✝⁴ : DecidablePred p✝
inst✝³ : DecidablePred q✝
s✝ t : Finset α
inst✝² : DecidableEq α
s : Finset α
p q : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred q

filter (fun a => p a ∧ ¬q a) s = filter p s \ filter q s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤

Context: hf : ∀ (i : ι), StronglyMeasurable (f i)

Context: h : ∀ (ε : ℝ), 0 < ε → ∃ C, ∀ (i : ι), eLpNorm ({x | C ≤ ‖f i x‖₊}.indicator (f i)) p μ ≤ ENNReal.ofReal ε


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup β

Context: p : ℝ≥0∞

Context: f : ι → α → β

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hp : 1 ≤ p

Context: hp' : p ≠ ⊤


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid N
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : AddGroup H
s : Set G
inst✝ : Finite ↑s
this : Fintype ↑s


Group.rank ↥(closure ↑s.toFinset) ≤ s.toFinset.card


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
l : List α
x : α
h : l.Nodup


(pmap l.next l ⋯).length = (l.rotate 1).length


∀ (n : ℕ) (h₁ : n < (pmap l.next l ⋯).length) (h₂ : n < (l.rotate 1).length), (pmap l.next l ⋯).nthLe n h₁ = (l.rotate 1).nthLe n h₂


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
X : Type u_3
X' : Type u_4
Y : Type u_5
Z : Type u_6
α : Type u_7
α' : Type u_8
β : Type u_9
β' : Type u_10
γ : Type u_11
𝓕 : Type u_12
tX : TopologicalSpace X
tY : TopologicalSpace Y
tZ : TopologicalSpace Z
uα : UniformSpace α
uβ : UniformSpace β
uγ : UniformSpace γ
p : κ → Prop
s : κ → Set (α × α)
F : ι → β → α
S : Set β
hα : (𝓤 α).HasBasis p s

UniformEquicontinuousOn F S ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k


(∀ (i : κ), p i → ∀ᶠ (x : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ((⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.1, (⇑UniformFun.ofFun ∘ swap F) x.2) ∈ (UniformFun.gen ι α ∘ s) i) ↔ ∀ (k : κ), p k → ∀ᶠ (xy : β × β) in 𝓤 β ⊓ 𝓟 (S ×ˢ S), ∀ (i : ι), (F i xy.1, F i xy.2) ∈ s k


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
ℱ : Filter ι
f : X → α

Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ℱ (𝓝 (UniformFun.ofFun f)) ↔ Tendsto F ℱ (𝓝 f)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
f : X → α

Tendsto (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ⊥ (𝓝 (UniformFun.ofFun f)) ↔ Tendsto F ⊥ (𝓝 f)


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F
ℱ : Filter ι
f : X → α
ℱ_ne : ℱ.NeBot


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
a : α
h : a ∈ l₁


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁✝ l₂✝ : List α
a✝ : α
inst✝ : DecidableEq α
l₁ l₂ : List α
p : l₁ ~ l₂
a : α
h : a ∉ l₁


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x : E

(k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) ((fun x => k • x +ᵥ c) x) = x


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
p : P

(fun x => k • x +ᵥ c) ((k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c) p) = p


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁵ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝⁴ : SeminormedAddCommGroup E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : BoundedSMul 𝕜 E
P : Type u_3
inst✝¹ : PseudoMetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor E P
c : P
k : 𝕜
hk : k ≠ 0
x y : E

edist ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun x) ({ toFun := fun x => k • x +ᵥ c, invFun := k⁻¹ • fun x => x -ᵥ c, left_inv := ⋯, right_inv := ⋯ }.toFun y) = ↑‖k‖₊ * edist x y


edist (k • x) (k • y) = ↑‖k‖₊ * edist x y


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0

Continuous fun f => Integrable.toL1 ↑↑f ⋯


∀ (b : ↥(Lp G 1 μ)), ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a b < δ → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑b ⋯) < ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0

∃ δ > 0, ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < δ → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε


ε / 2 / c'.toReal > 0 ∧ ∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < ε / 2 / c'.toReal → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε


∀ (a : ↥(Lp G 1 μ)), dist a f < ε / 2 / c'.toReal → dist (Integrable.toL1 ↑↑a ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
𝕜 : Type u_6
p : ℝ≥0∞
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F
inst✝³ : NormedAddCommGroup F'
inst✝² : NormedSpace ℝ F'
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
m : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝ : CompleteSpace F
T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F
C C' C'' : ℝ
f✝ g✝ : α → E
μ' : Measure α
c' : ℝ≥0∞
hc' : c' ≠ ⊤
hμ'_le : μ' ≤ c' • μ
hc'0 : ¬c' = 0
f : ↥(Lp G 1 μ)
ε : ℝ
hε_pos : ε > 0
g : ↥(Lp G 1 μ)
hfg : dist g f < ε / 2 / c'.toReal

dist (Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) (Integrable.toL1 ↑↑f ⋯) < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hc'0 : ¬c' = 0

Context: f : ↥(Lp G 1 μ)

Context: ε : ℝ

Context: hε_pos : ε > 0

Context: g : ↥(Lp G 1 μ)

Context: hfg : (eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ).toReal < ε / 2 / c'.toReal

(eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ').toReal < ε


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hc'0 : ¬c' = 0

Context: f : ↥(Lp G 1 μ)

Context: ε : ℝ

Context: hε_pos : ε > 0

Context: g : ↥(Lp G 1 μ)

Context: h_int : ∀ (f' : ↥(Lp G 1 μ)), Integrable (↑↑f') μ' := fun f' => Integrable.of_measure_le_smul c' hc' hμ'_le (L1.integrable_coeFn f')


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hc'0 : ¬c' = 0

Context: f : ↥(Lp G 1 μ)

Context: ε : ℝ

Context: hε_pos : ε > 0

Context: g : ↥(Lp G 1 μ)

Context: this : eLpNorm (↑↑(Integrable.toL1 ↑↑g ⋯) - ↑↑(Integrable.toL1 ↑↑f ⋯)) 1 μ' = eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ'


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hc'0 : ¬c' = 0

Context: f : ↥(Lp G 1 μ)

Context: ε : ℝ

Context: hε_pos : ε > 0

Context: g : ↥(Lp G 1 μ)


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hc'0 : ¬c' = 0

Context: f : ↥(Lp G 1 μ)

Context: ε : ℝ

Context: hε_pos : ε > 0

Context: g : ↥(Lp G 1 μ)

Context: h_eLpNorm_ne_top : eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ ≠ ⊤


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: 𝕜 : Type u_6

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: inst✝ : CompleteSpace F

Context: T T' T'' : Set α → E →L[ℝ] F

Context: C C' C'' : ℝ

Context: f✝ g✝ : α → E

Context: μ' : Measure α

Context: c' : ℝ≥0∞

Context: hc' : c' ≠ ⊤

Context: hμ'_le : μ' ≤ c' • μ

Context: hc'0 : ¬c' = 0

Context: f : ↥(Lp G 1 μ)

Context: ε : ℝ

Context: hε_pos : ε > 0

Context: g : ↥(Lp G 1 μ)

Context: h_eLpNorm_ne_top' : eLpNorm (↑↑g - ↑↑f) 1 μ' ≠ ⊤


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X : SimplicialObject C
n : ℕ
i : Fin (n + 2)

X.map (SimplexCategory.δ i.castSucc).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op = X.map (SimplexCategory.δ i.succ).op ≫ X.map (SimplexCategory.δ i).op


Context:
R : Type u
S : Type u_1
A : Type v
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : CommRing S
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Algebra R S
inst✝² : Algebra S A
inst✝¹ : IsScalarTower R S A
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ


Context:
α : Type u
a : α
G : Type u_1
H : Type u_2
inst✝ : AddGroup G
g : G
x✝ : ℤ

x✝ ∈ ((zmultiplesHom G) g).ker ↔ x✝ ∈ zmultiples ↑(addOrderOf g)


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝² : _root_.RCLike 𝕜
inst✝¹ : AddCommGroup F
inst✝ : Module 𝕜 F
c : Core 𝕜 F
x y : F


Context:
α : Type u_1
inst✝⁴ : DecidableEq α
inst✝³ : Fintype α
f✝ g✝ : Perm α
β : Type u_2
inst✝² : DecidableEq β
inst✝¹ : Fintype β
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p
f : α ≃ Subtype p
g : Perm α
b : β

b ∈ (g.extendDomain f).support ↔ b ∈ map f.asEmbedding g.support


¬(g.extendDomain f) b = b ↔ ∃ a, ¬g a = a ∧ f.asEmbedding a = b


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_ne_zero : f ≠ 0

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: f_mul : ∀ (x y : R), f (x * y) ≤ c * f x * f y


Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: f : R → ℝ

Context: c : ℝ

Context: f_ne_zero : f ≠ 0

Context: f_nonneg : 0 ≤ f

Context: x : R

Context: hx : f x ≠ 0 x


Context: a b : EReal


Context:
C : Type u₁
inst✝ : Category.{v, u₁} C
X : Scheme
U : X.Opens
r : ↑Γ(↑U, ⊤)

U.ι ''ᵁ (↑U).basicOpen r = X.basicOpen r


Context:
α : Type u_1
inst✝ : CommSemiring α
E : LinearRecurrence α
init : Fin E.order → α
n : Fin E.order

(if h : ↑n < E.order then init ⟨↑n, h⟩ else ∑ k : Fin E.order, let_fun x := ⋯; E.coeffs k * E.mkSol init (↑n - E.order + ↑k)) = init n


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
M : Type u_3
H : Type u_4
E' : Type u_5
M' : Type u_6
H' : Type u_7
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : TopologicalSpace H
inst✝⁴ : TopologicalSpace M
f f' : PartialHomeomorph M H
I : ModelWithCorners 𝕜 E H
inst✝³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹ : TopologicalSpace H'
inst✝ : TopologicalSpace M'
I' : ModelWithCorners 𝕜 E' H'
s t : Set M
y : M
hy : y ∈ f.source

map (↑(f.extend I)) (𝓝[s] y) = 𝓝[↑(f.extend I).symm ⁻¹' s ∩ range ↑I] ↑(f.extend I) y


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I

(delayReflRight 0 γ) t = (γ.trans (refl y)) t


γ (qRight (t, 0)) = if h : ↑t ≤ 1 / 2 then γ ⟨2 * ↑t, ⋯⟩ else y


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ¬↑t ≤ 1 / 2


Context:
X : Type u
inst✝ : TopologicalSpace X
x y : X
γ : Path x y
t : ↑I
h : ↑t ≤ 1 / 2


(if ↑t ≤ 1 / 2 then 2 * ↑t else 1) = ↑⟨2 * ↑t, ⋯⟩


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
a : α
f : α → Seq1 β


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ⇑f ⁻¹' ball 0 ε ⊆ ball 0 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ
ε0 : 0 < ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ε → ‖x‖ < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E

‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ¬f x = 0

‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0

‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0

‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: 𝕜₂ : Type u_2

Context: 𝕜₃ : Type u_3

Context: E : Type u_4

Context: Eₗ : Type u_5

Context: F : Type u_6

Context: Fₗ : Type u_7

Context: G : Type u_8

Context: Gₗ : Type u_9

Context: 𝓕 : Type u_10

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂

Context: inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F

Context: inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ

Context: c✝ : 𝕜

Context: σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂

Context: σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃

Context: f✝ g : E →SL[σ₁₂] F

Context: x✝ y z : E

Context: h : RingHomIsometric σ₁₂

Context: f : E →ₛₗ[σ₁₂] F

Context: hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0

Context: ε : ℝ≥0

Context: ε0 : 0 < ↑ε

Context: hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1

Context: c : 𝕜

Context: hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖

Context: x : E

Context: hx : ¬f x = 0

Context: hc₀ : c ≠ 0

Context: n : ℤ

Context: hlt : ‖σ₁₂ c ^ n • f x‖ < ↑ε

Context: hle : ‖σ₁₂ c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖σ₁₂ c‖ * ‖f x‖

‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜₂ : Type u_2
𝕜₃ : Type u_3
E : Type u_4
Eₗ : Type u_5
F : Type u_6
Fₗ : Type u_7
G : Type u_8
Gₗ : Type u_9
𝓕 : Type u_10
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Fₗ
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NontriviallyNormedField 𝕜₂
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜₃
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝² : NormedSpace 𝕜₂ F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜₃ G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 Fₗ
c✝ : 𝕜
σ₁₂ : 𝕜 →+* 𝕜₂
σ₂₃ : 𝕜₂ →+* 𝕜₃
f✝ g : E →SL[σ₁₂] F
x✝ y z : E
h : RingHomIsometric σ₁₂
f : E →ₛₗ[σ₁₂] F
hf : comap (⇑f) (𝓝 0) ≤ 𝓝 0
ε : ℝ≥0
ε0 : 0 < ↑ε
hε : ∀ (x : E), ‖f x‖ < ↑ε → ‖x‖ < 1
c : 𝕜
hc : 1 < ‖σ₁₂ c‖
x : E
hx : ¬f x = 0
hc₀ : c ≠ 0
n : ℤ
hlt : ‖f (c ^ n • x)‖ < ↑ε
hle : ‖c ^ n‖⁻¹ ≤ (↑ε)⁻¹ * ‖c‖ * ‖f x‖

‖x‖ ≤ ↑(ε⁻¹ * ‖c‖₊) * ‖f x‖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
p q : α → Prop
inst✝² : DecidablePred p
inst✝¹ : DecidablePred q
s t : Finset α
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Finset α

s₁ \ s₂ = s₁ ↔ s₁ ∩ s₂ ⊆ ∅


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁷ : MeasurableSpace X
μ : Measure X
𝕜 : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
p : ℝ≥0∞
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : X → ℝ≥0
s : Set X
hf : AEMeasurable f (μ.restrict s)
g : X → E
hs : MeasurableSet s

(∫ (x : X) in s, g x ∂μ.withDensity fun x => ↑(f x)) = ∫ (x : X) in s, f x • g x ∂μ


Context: K : Type u

Context: inst✝⁵ : Field K

Context: n : ℕ

Context: hζ : (primitiveRoots n K).Nonempty

Context: hn : 0 < n

Context: a✝ : K

Context: H : Irreducible (X ^ n - C a✝)

Context: L : Type u_1

Context: inst✝⁴ : Field L

Context: inst✝³ : Algebra K L

Context: inst✝² : IsGalois K L

Context: inst✝¹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝ : IsCyclic (L ≃ₐ[K] L)

Context: hK : (primitiveRoots (finrank K L) K).Nonempty

Context: a : K

Context: α : L

Context: ha : α ^ finrank K L = (algebraMap K L) a

Context: hα : K⟮α⟯ = ⊤

Context: this : X ^ finrank K L - C a = minpoly K α


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : CommRing S
k : ℕ
a : R
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop

SuperpolynomialDecay l k f ↔ ∀ (z : ℤ), f =o[l] fun a => k a ^ z


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l : Filter α
k f g g' : α → β
inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β
inst✝ : OrderTopology β
hk : Tendsto k l atTop
h : SuperpolynomialDecay l k f
z : ℤ
hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0
this : (fun x => 1) =o[l] k


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: h : SuperpolynomialDecay l k f

Context: z : ℤ

Context: hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0

Context: this✝ : (fun x => 1) =o[l] k

Context: this : f =o[l] fun x => k x * k x ^ (z - 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: l : Filter α

Context: k f g g' : α → β

Context: inst✝¹ : NormedLinearOrderedField β

Context: inst✝ : OrderTopology β

Context: hk : Tendsto k l atTop

Context: h : SuperpolynomialDecay l k f

Context: z : ℤ

Context: hk0 : ∀ᶠ (x : α) in l, k x ≠ 0

Context: this✝ : (fun x => 1) =o[l] k

Context: x : α

Context: hkx : k x ≠ 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : CommRing A

Context: f : R →+* S

Context: g : S →+* A

Context: hf : (RingHom.ker f).FG

Context: hg : (RingHom.ker g).FG

Context: hsur : Surjective ⇑f

Context: this✝¹ : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra

Context: this : Algebra S A := g.toAlgebra


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : CommRing A

Context: f : R →+* S

Context: g : S →+* A

Context: hf : (RingHom.ker f).FG

Context: hg : (RingHom.ker g).FG

Context: hsur : Surjective ⇑f

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝¹ : Algebra R A := (g.comp f).toAlgebra

Context: this✝ : Algebra S A := g.toAlgebra

Context: this : IsScalarTower R S A := IsScalarTower.of_algebraMap_eq fun x => rfl


Context: R✝ : Type u_1

Context: M : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Semiring R✝

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M

Context: inst✝³ : Module R✝ M

Context: R : Type u_3

Context: S : Type u_4

Context: A : Type u_5

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : CommRing S

Context: inst✝ : CommRing A

Context: f : R →+* S

Context: g : S →+* A

Context: hf : (RingHom.ker f).FG

Context: hg : (RingHom.ker g).FG

Context: hsur : Surjective ⇑f

Context: this✝² : Algebra R S := f.toAlgebra

Context: this✝ : Algebra S A := g.toAlgebra

Context: f₁ : R →ₗ[R] S := Algebra.linearMap R S

Context: g₁ : S →ₗ[R] A := (IsScalarTower.toAlgHom R S A).toLinearMap


Context:
𝕜 : Type u
𝕜' : Type u'
E : Type v
F : Type w
G : Type x
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedAddCommGroup F
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ
x : Fin n → E

(constFormalMultilinearSeries 𝕜 E 0 n) x = (0 n) x


(match n with | 0 => ContinuousMultilinearMap.curry0 𝕜 E 0 | x => 0) x = 0


Context: R : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Field K✝

Context: inst✝¹⁶ : Field L✝

Context: inst✝¹⁵ : CommRing M

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K✝

Context: inst✝¹³ : Algebra R L✝

Context: inst✝¹² : Algebra R M

Context: x✝ : L✝

Context: int✝ : IsIntegral R x✝

Context: h : Splits (algebraMap R K✝) (minpoly R x✝)

Context: inst✝¹¹ : Algebra K✝ M

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R K✝ M

Context: x : M

Context: int : IsIntegral R x

Context: F : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: K : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommRing F

Context: inst✝⁸ : StrongRankCondition F

Context: inst✝⁷ : CommRing E

Context: inst✝⁶ : StrongRankCondition E

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: inst✝⁴ : SMul F E

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: L : Subalgebra F K

Context: inst✝ : Module.Free F ↥L

Module.rank E ↥(Algebra.adjoin E ↑L) ≤ Module.rank F ↥L


Context: R : Type u_1

Context: K✝ : Type u_2

Context: L✝ : Type u_3

Context: M : Type u_4

Context: inst✝¹⁸ : CommRing R

Context: inst✝¹⁷ : Field K✝

Context: inst✝¹⁶ : Field L✝

Context: inst✝¹⁵ : CommRing M

Context: inst✝¹⁴ : Algebra R K✝

Context: inst✝¹³ : Algebra R L✝

Context: inst✝¹² : Algebra R M

Context: x✝ : L✝

Context: int✝ : IsIntegral R x✝

Context: inst✝¹¹ : Algebra K✝ M

Context: inst✝¹⁰ : IsScalarTower R K✝ M

Context: x : M

Context: int : IsIntegral R x

Context: F : Type u_5

Context: E : Type u_6

Context: K : Type u_7

Context: inst✝⁹ : CommRing F

Context: inst✝⁸ : StrongRankCondition F

Context: inst✝⁷ : CommRing E

Context: inst✝⁶ : StrongRankCondition E

Context: inst✝⁵ : Ring K

Context: inst✝⁴ : SMul F E

Context: inst✝³ : Algebra E K

Context: inst✝² : Algebra F K

Context: inst✝¹ : IsScalarTower F E K

Context: L : Subalgebra F K

Context: inst✝ : Module.Free F ↥L

Module.rank E ↥(Submodule.span E (Set.range fun i => ↑((Module.Free.chooseBasis F ↥L) i))) ≤ Cardinal.mk (Module.Free.ChooseBasisIndex F ↥L)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C

N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor = karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ N₁ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙ (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P : Karoubi (SimplicialObject C)

(N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor).obj P = (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ N₁ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙ (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).obj P


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
P Q : Karoubi (SimplicialObject C)
f : P ⟶ Q

(N₂ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence C ℕ).functor).map f = eqToHom ⋯ ≫ (karoubiFunctorCategoryEmbedding SimplexCategoryᵒᵖ C ⋙ N₁ ⋙ (karoubiChainComplexEquivalence (Karoubi C) ℕ).functor ⋙ (KaroubiKaroubi.equivalence C).inverse.mapHomologicalComplex (ComplexShape.down ℕ)).map f ≫ eqToHom ⋯


Context: n a b : ℕ

Context: hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ a → p * a ∣ b


Context: n b : ℕ

Context: hdvd : ∀ (p : ℕ), Prime p → p ∣ 1 → p * 1 ∣ b


Context: n a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 1


Context: n a b : ℕ

Context: ha : a ≠ 1

Context: p : ℕ

Context: hp : Prime p ∧ p ∣ a


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Semiring R
r : R
p : R[X]
S : Type u_2
inst✝² : AddCommMonoid S
inst✝¹ : Pow S ℕ
inst✝ : MulActionWithZero R S
x : S
n : ℕ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
h : IsComplement S univ
a : G
ha : a ∈ S
b : G
hb : b ∈ S


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝³ : CommSemiring R
inst✝² : CommRing A
inst✝¹ : Algebra R A
𝒜 : ℕ → Submodule R A
inst✝ : GradedAlgebra 𝒜


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α

toIocDiv hp (-a) b = -(toIcoDiv hp a (-b) + 1)


Context:
ι : Type u'
ι' : Type u_1
R : Type u_2
K : Type u_3
M : Type u_4
M' : Type u_5
M'' : Type u_6
V : Type u
V' : Type u_7
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : AddCommGroup V'
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : Module K V'
v : ι → V
s t : Set V
x y z : V

LinearIndependent K v ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))


(∀ (i : ι) (a : K), a • v i ∈ span K (v '' (univ \ {i})) → a = 0) ↔ ∀ (i : ι), v i ∉ span K (v '' (univ \ {i}))


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
n✝ m : ℕ
inst✝ : Semiring R
p✝ q r p : R[X]
n d : ℕ


Context:
M : Type u_1
inst✝ : CommMonoid M
S : Submonoid M
hS : S ≤ IsUnit.submonoid M
x : ↥S.leftInv


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕝 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : TopologicalSpace E
inst✝⁴ : TopologicalSpace F
inst✝³ : AddCommMonoid E
inst✝² : AddCommMonoid F
inst✝¹ : SMul 𝕜 E
inst✝ : SMul 𝕜 F
s : Set E
x✝ y✝ : E
a✝ b✝ : 𝕜
t : Set E
hs : StrictConvex 𝕜 s
ht : StrictConvex 𝕜 t
x : E
hx : x ∈ s ∩ t
y : E
hy : y ∈ s ∩ t
hxy : x ≠ y
a b : 𝕜
ha : 0 < a
hb : 0 < b
hab : a + b = 1


Context:
s : ℂ
hs : 0 < s.re
n : ℕ

s.GammaSeq n = ↑n ^ s * s.betaIntegral (↑n + 1)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α

TransGen r a c ↔ ∃ b, r a b ∧ ReflTransGen r b c


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ζ : Type u_6
r : α → α → Prop
a b c d : α
h : TransGen r a c


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : R ⧸ I
r : R

(quotientMap I ↑f.symm ⋯) ((↑↑__src✝).toFun (Quot.mk Setoid.r r)) = Quot.mk Setoid.r r


Context:
R : Type u
S✝ : Type v
F : Type w
inst✝⁷ : CommRing R
inst✝⁶ : Semiring S✝
R₁ : Type u_1
R₂ : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁵ : CommSemiring R₁
inst✝⁴ : CommSemiring R₂
inst✝³ : CommRing A
inst✝² : Algebra R₁ A
inst✝¹ : Algebra R₂ A
S : Type v
inst✝ : CommRing S
I : Ideal R
J : Ideal S
f : R ≃+* S
hIJ : J = map (↑f) I
x✝ : S ⧸ J
s : S

(↑↑__src✝).toFun ((quotientMap I ↑f.symm ⋯) (Quot.mk Setoid.r s)) = Quot.mk Setoid.r s


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝⁴ : CommSemiring R
inst✝³ : AddCommMonoid A
inst✝² : Module R A
inst✝¹ : Module R[X] A
inst✝ : IsScalarTower R R[X] A
f : R[X]


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X✝
inst✝¹ : FirstCountableTopology X✝
inst✝ : R1Space X✝
x✝¹ y✝ : X✝
X : Type u_3
T : Set (TopologicalSpace X)
hT : ∀ t ∈ T, R1Space X
x✝ : TopologicalSpace X := sInf T
x y : X


⨅ t ∈ T, 𝓝 x ≤ ⨅ t ∈ T, 𝓝 y ∨ Disjoint (⨅ t ∈ T, 𝓝 x) (⨅ t ∈ T, 𝓝 y)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
R : Type u_12
R' : Type u_13
𝕜 : Type u_14
𝕜' : Type u_15
inst✝¹² : Norm E
inst✝¹¹ : Norm F
inst✝¹⁰ : Norm G
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁷ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G''
inst✝³ : SeminormedRing R
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedField 𝕜
inst✝ : NormedField 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
l l' : Filter α


Context:
K✝ : Type u
V✝ : Type v
inst✝⁹ : Ring K✝
inst✝⁸ : StrongRankCondition K✝
inst✝⁷ : AddCommGroup V✝
inst✝⁶ : Module K✝ V✝
K V : Type u
inst✝⁵ : Ring K
inst✝⁴ : StrongRankCondition K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Module.Free K V
inst✝ : Module.Finite K V


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
k l : ℕ
s : Finset (Fin (k + l))
hs : s.card = l

(fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ((fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩) = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


⟨k + l - s.card, ⟨s.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s, ⋯⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


∀ (k' l' : ℕ), k' = k → l' = l → ∀ (hkl : k + l = k' + l') (hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'), ⟨k', ⟨l', ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k, ⟨l, ⟨s, hs⟩⟩⟩


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x y : E

Context: r R : ℝ≥0

Context: k'✝ l'✝ : ℕ

Context: s : Finset (Fin (k'✝ + l'✝))

Context: hs : s.card = l'✝

Context: hkl : k'✝ + l'✝ = k'✝ + l'✝

Context: hs' : (Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s).card = l'✝

⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨Finset.map (finCongr hkl).toEmbedding s, hs'⟩⟩⟩ = ⟨k'✝, ⟨l'✝, ⟨s, hs⟩⟩⟩


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹ : NormedAddCommGroup G
inst✝ : NormedSpace 𝕜 G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x y : E
r R : ℝ≥0
n : ℕ
s : Finset (Fin n)

(fun s => ⟨s.fst + s.snd.fst, ↑s.snd.snd⟩) ((fun s => ⟨s.fst - s.snd.card, ⟨s.snd.card, ⟨Finset.map (finCongr ⋯).toEmbedding s.snd, ⋯⟩⟩⟩) ⟨n, s⟩) = ⟨n, s⟩


Context:
p : ℝ
hp_pos : 0 < p
hp_le_one : p ≤ 1


Context: p : ℝ

Context: hp_pos : 0 < p

Context: hp_le_one : p ≤ 1

Context: this : HasSum (fun n => (1 - p) ^ n) (1 - (1 - p))⁻¹