Context: C : Type u

Context: inst✝ : Category.{v, u} C

Context: G : Cᵒᵖ ⥤ Grp

Context: X : C

Context: I : Type w'

Context: U : I → C

Context: γ₁ γ₂✝ γ₂ : OneCocycle G U

Context: α : ZeroCochain G U

Context: h : OneCohomologyRelation γ₁.toOneCochain γ₂✝.toOneCochain α

Context: β : ZeroCochain G U

Context: h' : OneCohomologyRelation γ₂✝.toOneCochain γ₂.toOneCochain β


Context:
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K


Context:
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

range ofReal' ⊆ closure (range (ofReal' ∘ Rat.cast))


Context:
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

range ofReal' ⊆ closure (ofReal' '' range Rat.cast)


Context:
K : Subfield ℂ
hc : IsClosed ↑K

range ofReal' ⊆ ofReal' '' closure (range Rat.cast)


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: xs ys : List α

Context: ls : List (List α)

Context: f : List α → List α

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hd : α

Context: tl hd' : List α

Context: tl' : List (List α)

Context: ih : (intersperse [x] (hd' :: tl')).join = tl

Context: h' : splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl = hd' :: tl'

(intersperse [x] (splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) (hd :: tl))).join = hd :: tl


Context: ι : Type u_1

Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: l₁ l₂ : List α

Context: p : α → Bool

Context: xs ys : List α

Context: ls : List (List α)

Context: f : List α → List α

Context: x : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: hd : α

Context: tl hd' : List α

Context: tl' : List (List α)

(intersperse [x] (if (hd == x) = true then [] :: splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl else modifyHead (cons hd) (splitOnP (fun x_1 => x_1 == x) tl))).join = hd :: tl


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α


𝓤 α = comap (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α)


map (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α) ≤ 𝓤 α


comap (Prod.mk 1 ∘ fun x => x.2 / x.1) (𝓤 α) ≤ 𝓤 α


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
X : Type u_4
Y : Type u_5
f : ι → Filter α


(⨅ i, f i).lift' (Iic ∘ 𝓟) = ⨅ i, (f i).lift' (Iic ∘ 𝓟)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort y
s t u : Set α
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℝ≥0
μ : Measure α
h : AEMeasurable (fun x => ↑(f x)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
σ : α → Type u_3
head✝ : α
l : List α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝¹ : PseudoMetricSpace α
inst✝ : PseudoMetricSpace β
h✝ h : α ≃ᵢ β
x : α
r : ℝ

⇑h '' Metric.closedBall x r = Metric.closedBall (h x) r


Context:
A : Type u_1
inst✝⁸ : NormedRing A
inst✝⁷ : StarRing A
inst✝⁶ : CstarRing A
inst✝⁵ : CompleteSpace A
inst✝⁴ : NormedAlgebra ℂ A
inst✝³ : StarModule ℂ A
inst✝² : PartialOrder A
inst✝¹ : StarOrderedRing A
inst✝ : Nontrivial A
a : A
ha : autoParam (0 ≤ a) _auto✝


Context: this : eulerMascheroniSeq 6 = 49 / 20 - log 7


7 < ∑ i ∈ Finset.range 7, (49 / 20 - 1 / 2) ^ i / ↑i.factorial


Context:
α : Type u
β : Type v
R✝ r : α → α → Prop
l l₁ l₂ : List α
a✝ b✝ : α
R : α → α → Prop
a b : α
t : List α

Chain R a (b :: t) ↔ (∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)


(R a b ∧ (∀ (h : 0 < t.length), R b (t.get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < t.length - 1), R (t.get ⟨i, ⋯⟩) (t.get ⟨i + 1, ⋯⟩)) ↔ (∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)) ∧ ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: R✝ r : α → α → Prop

Context: l l₁ l₂ : List α

Context: a✝ b✝ : α

Context: R : α → α → Prop

Context: a b : α

Context: t : List α

Context: h0 : ∀ (h : 0 < (b :: t).length), R a ((b :: t).get ⟨0, h⟩)

Context: h : ∀ (i : ℕ) (h : i < (b :: t).length - 1), R ((b :: t).get ⟨i, ⋯⟩) ((b :: t).get ⟨i + 1, ⋯⟩)

Context: i : ℕ

Context: w : i < t.length - 1


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G

𝟭 (W.Localization ⥤ D) = functor W D ⋙ inverse W D


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G✝ : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G✝
G : W.Localization ⥤ D

(𝟭 (W.Localization ⥤ D)).obj G = (functor W D ⋙ inverse W D).obj G


Context:
C : Type uC
inst✝¹ : Category.{uC', uC} C
W : MorphismProperty C
D : Type uD
inst✝ : Category.{uD', uD} D
G : C ⥤ D
hG : W.IsInvertedBy G
G₁ G₂ : W.Localization ⥤ D
τ : G₁ ⟶ G₂

(𝟭 (W.Localization ⥤ D)).map τ = eqToHom ⋯ ≫ (functor W D ⋙ inverse W D).map τ ≫ eqToHom ⋯


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b

min (multiplicity p a) (multiplicity p b) ≤ multiplicity p (a + b)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p a ≤ multiplicity p b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : Semiring α

Context: p a b : α

Context: h : multiplicity p b ≤ multiplicity p a


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
hr : r < 0

Tendsto (fun x => f x / r) l atTop ↔ Tendsto f l atBot


Context:
C : Type u_1
inst✝² : Category.{u_2, u_1} C
inst✝¹ : HasZeroMorphisms C
S S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
h : S.RightHomologyData
inst✝ : S.HasRightHomology

h.p ≫ opcyclesMap' (𝟙 S) h S.rightHomologyData = S.rightHomologyData.p


Context: R : Type u

Context: inst✝⁷ : Ring R

Context: Q : Type v

Context: inst✝⁶ : AddCommGroup Q

Context: inst✝⁵ : Module R Q

Context: M : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁴ : AddCommGroup M

Context: inst✝³ : AddCommGroup N

Context: inst✝² : Module R M

Context: inst✝¹ : Module R N

Context: i : M →ₗ[R] N

Context: f : M →ₗ[R] Q

Context: inst✝ : Fact (Function.Injective ⇑i)

Context: h : Baer R Q

Context: y : N

Context: r : R

Context: hr : r • y ∈ (extensionOfMax i f).domain

(extendIdealTo i f h y) r = ↑(extensionOfMax i f).toLinearPMap ⟨r • y, hr⟩


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : LocallyFiniteOrder α
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ c✝ x✝ a b c : α
inst✝ : DecidablePred fun x => c ≤ x
hac : a ≤ c
x : α

x ∈ filter (fun x => c ≤ x) (Ico a b) ↔ x ∈ Ico c b


Context:
n : ℕ
hn : Odd n

Nat.card (ConjClasses (DihedralGroup n)) = (n + 3) / 2


Context:
n : ℕ
c : Composition n
i : ℕ
h : c.length ≤ i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
G : Type u_3
M : Type u_4
inst✝ : Semigroup α
x y z : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Sort u_5
inst✝ : MeasurableSpace α
μ✝ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
μ : Measure α
s : Set α

∃ t, s ⊆ t ∧ MeasurableSet t ∧ μ t = μ s


Context:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
A : Type u_5
inst✝ : NormedAddCommGroup E
f : ℝ → E
a✝ b c d : ℝ
μ ν : Measure ℝ
a : ℕ → ℝ
m n : ℕ
hmn : m ≤ n

(∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)


(∀ k ∈ Ico m m, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a m)


∀ (n : ℕ), m ≤ n → ((∀ k ∈ Ico m n, IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a n)) → (∀ k ∈ Ico m (n + 1), IntervalIntegrable f μ (a k) (a (k + 1))) → IntervalIntegrable f μ (a m) (a (n + 1))


Context:
α : Type u_1
m n : ZNum
x✝ : ↑m ∣ ↑n
k : ℤ
e : ↑n = ↑m * k


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: b' : β

Context: hf : Monotone f

Context: gc : ∀ (a : α), ∀ b ≥ b', f a ≤ b ↔ a ≤ g b

Context: hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: b' : β

Context: hf : Monotone f

Context: hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: b' : β

Context: hf : Monotone f

Context: hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : b ∈ Ici (f a ⊔ b')


Context: ι : Type u_1

Context: ι' : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: inst✝¹ : SemilatticeSup α

Context: inst✝ : SemilatticeSup β

Context: f : α → β

Context: g : β → α

Context: b' : β

Context: hf : Monotone f

Context: hgi : ∀ b ≥ b', b ≤ f (g b)

Context: a : α

Context: b : β

Context: hb : f a ≤ b ∧ b' ≤ b


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
inst✝¹ : AddGroupWithOne α
inst✝ : CharZero α
m n : ℤ


Context: C : Type u_4

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁵ : Category.{u_5, u_4} C

Context: inst✝⁴ : Category.{u_1, u_2} D

Context: F : C ⥤ D

Context: A : Type u_3

Context: inst✝³ : AddMonoid A

Context: inst✝² : HasShift C A

Context: s : A → D ⥤ D

Context: i : (a : A) → F ⋙ s a ≅ shiftFunctor C a ⋙ F

Context: inst✝¹ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Full

Context: inst✝ : ((whiskeringLeft C D D).obj F).Faithful

Context: a b : A

Context: X : C

Context: this : HasShift D A := HasShift.induced F A s i

(shiftFunctorAdd D a b).inv.app (F.obj X) = (s b).map ((i a).hom.app X) ≫ (i b).hom.app ((shiftFunctor C a).obj X) ≫ F.map ((shiftFunctorAdd C a b).inv.app X) ≫ (i (a + b)).inv.app X


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
H : Type u_5
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝³ : NormedAddCommGroup G
inst✝² : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹ : NormedAddCommGroup H
inst✝ : NormedSpace 𝕜 H
g : F → G
f : E → F
q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G
p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
x : E
rg : ℝ≥0∞
Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg
rf : ℝ≥0∞
Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: hr : Summable fun i => ‖q.compAlongComposition p i.snd‖₊ * r ^ i.fst


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ {z : E}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

HasFPowerSeriesOnBall (g ∘ f) (q.comp p) x (min rf' ↑r)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) ((g ∘ f) (x + y))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

Context: fy_mem : f (x + y) ∈ EMetric.ball (f x) rg


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

Context: A : Tendsto (fun n => ∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y) atTop (𝓝 (f (x + y) - f x))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

Context: B : Tendsto (fun n => q.partialSum n (∑ a ∈ Finset.Ico 1 n, (p a) fun _b => y)) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

Context: C : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ compPartialSumTarget 0 n n, (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) atTop (𝓝 (g (f (x + y))))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E F

Context: x : E

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

Context: D : HasSum (fun i => (q.compAlongComposition p i.snd) fun _j => y) (g (f (x + y)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E✝ → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E✝ F

Context: x : E✝

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: hδ : ∀ {z : E✝}, z ∈ EMetric.ball x δ → f z ∈ EMetric.ball (f x) rg

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E✝

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

Context: E : HasSum (fun n => (q.comp p n) fun _j => y) (g (f (x + y)))


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E✝ : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: G : Type u_4

Context: H : Type u_5

Context: inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace 𝕜 G

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup H

Context: inst✝ : NormedSpace 𝕜 H

Context: g : F → G

Context: f : E✝ → F

Context: q : FormalMultilinearSeries 𝕜 F G

Context: p : FormalMultilinearSeries 𝕜 E✝ F

Context: x : E✝

Context: rg : ℝ≥0∞

Context: Hg : HasFPowerSeriesOnBall g q (f x) rg

Context: rf : ℝ≥0∞

Context: Hf : HasFPowerSeriesOnBall f p x rf

Context: r : ℝ≥0

Context: r_pos : 0 < r

Context: δ : ℝ≥0∞

Context: δpos : 0 < δ

Context: rf' : ℝ≥0∞ := min rf δ

Context: min_pos : 0 < min rf' ↑r

Context: y : E✝

Context: hy : y ∈ EMetric.ball 0 (min rf' ↑r)

Context: y_mem : y ∈ EMetric.ball 0 rf

HasSum (fun n => (q.comp p n) fun x => y) (g (f (x + y)))


Context:
n : ℕ
P : MvPFunctor.{u} (n + 1)
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : β → ↑P (α ::: β)
x : β
a : P.A
f : P.B a ⟹ α ::: β

⟨a, splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f)⟩ = (TypeVec.id ::: corec P g) <$$> ⟨a, f⟩


⟨a, splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f)⟩ = ⟨a, (TypeVec.id ::: corec P g) ⊚ f⟩


splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f) = (TypeVec.id ::: corec P g) ⊚ f


splitFun (dropFun f) ((corec' P (fun b => (g b).fst) (fun b => dropFun (g b).snd) fun b => lastFun (g b).snd) ∘ lastFun f) = splitFun (TypeVec.id ⊚ dropFun f) (corec P g ∘ lastFun f)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hfc : LocallyIntegrableOn f (Ioi 0) volume

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: a b : ℝ

Context: f : ℝ → E

Context: s : ℂ

Context: hf_top : f =O[atTop] fun x => x ^ (-a)

Context: hs_top : s.re < a

Context: hf_bot : f =O[𝓝[>] 0] fun x => x ^ (-b)

Context: hs_bot : b < s.re

IntegrableOn (fun t => t ^ (s.re - 1) * ‖f t‖) (Ioi 0) volume


Context:
ι : Sort u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
l : Filter α
inst✝ : CountableInterFilter l
g : Set (Set α)
s : Set α
S : Set (Set α)
Sg : S ⊆ g
Sct : S.Countable
hS : ⋂₀ S ⊆ s


Context:
K : Type u
V : Type v
inst✝³ : DivisionRing K
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module K V
inst✝ : FiniteDimensional K V
f : V →ₗ[K] V


Context:
α : Type u_1
σ : Type u_2
inst✝¹ : Primcodable α
inst✝ : Primcodable σ
p : α → Prop

ComputablePred p ↔ RePred p ∧ RePred fun a => ¬p a


Context:
l : Type u_1
m : Type u
n : Type u'
α : Type v
inst✝² : Fintype n
inst✝¹ : DecidableEq n
inst✝ : CommRing α
A✝ B A : Matrix n n α
b : n → α
h : IsUnit A.det


Context:
G : Type u_1
inst✝² : Group G
A : Type u_2
inst✝¹ : AddGroup A
H K : Subgroup G
inst✝ : Finite ↥H
h : H = ⊤


Context:
L : Language
T : L.Theory
α : Type w
n : ℕ
T' : L.Theory
h : ∀ φ ∈ T', T ⊨ᵇ φ
φ : L.Formula α
hφ : T' ⊨ᵇ φ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' : L.Theory

Context: φ : L.Formula α

Context: hφ : T' ⊨ᵇ φ

Context: h : ∀ φ ∈ T', ∀ (M : T.ModelType), ↑M ⊨ φ


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' : L.Theory

Context: φ : L.Formula α

Context: hφ : T' ⊨ᵇ φ

Context: M : T.ModelType

∀ (v : α → ↑M) (xs : Fin 0 → ↑M), BoundedFormula.Realize φ v xs


Context: L : Language

Context: T : L.Theory

Context: α : Type w

Context: n : ℕ

Context: T' : L.Theory

Context: φ : L.Formula α

Context: hφ : T' ⊨ᵇ φ

Context: M : T.ModelType

Context: hM : ↑M ⊨ T'


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
f g : ℂ → E
c : ℂ
R : ℝ
inst✝ : NormedSpace ℂ E
hf : CircleIntegrable f c R

IntervalIntegrable (fun θ => deriv (circleMap c R) θ • f (circleMap c R θ)) volume 0 (2 * π)


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

Context: hf : IntegrableOn (fun θ => f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume

IntegrableOn (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (Ι 0 (2 * π)) volume


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

AEStronglyMeasurable (fun θ => (circleMap 0 R θ * I) • f (circleMap c R θ)) (volume.restrict (Ι 0 (2 * π)))


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: f g : ℂ → E

Context: c : ℂ

Context: R : ℝ

Context: inst✝ : NormedSpace ℂ E

∀ᵐ (a : ℝ) ∂volume.restrict (Ι 0 (2 * π)), ‖(circleMap 0 R a * I) • f (circleMap c R a)‖ ≤ |R| * ‖f (circleMap c R a)‖


Context:
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X


∀ (x : ↑(range diracProba)), ContinuousAt (⇑diracProbaEquiv.symm) x


Context:
X : Type u_1
inst✝⁴ : MeasurableSpace X
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : OpensMeasurableSpace X
inst✝¹ : T0Space X
inst✝ : CompletelyRegularSpace X
μ : ↑(range diracProba)


Tendsto (⇑diracProbaEquiv.symm) (𝓝 μ) (𝓝 (diracProbaInverse μ))


Context:
n m : ℕ
inst✝ : NeZero n
i : Fin n
h : 0 < i


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α
h : b₁ < b₂


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Context: h_int_X : Integrable (fun ω => rexp (t * X ω)) μ

Context: h_int_Y : Integrable (fun ω => rexp (t * Y ω)) μ

Integrable (fun ω => rexp (t * (X + Y) ω)) μ


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace Ω

Context: X✝ : Ω → ℝ

Context: p : ℕ

Context: μ : Measure Ω

Context: t : ℝ

Context: X Y : Ω → ℝ

Context: h_indep : IndepFun X Y μ

Integrable (fun ω => rexp (t * X ω) * rexp (t * Y ω)) μ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s✝ s₁ s₂ t : Set α
inst✝ : Countable ι
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
val✝ : Encodable ι


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
R : Type u_6
R' : Type u_7
m : MeasurableSpace α
μ μ₁ μ₂ : Measure α
s s₁ s₂ t✝ : Set α
t : ℕ → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: t : ℕ → Set α

Context: hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t

Context: T : ℕ → Set α := fun n => toMeasurable μ (t n)

Context: Td : ℕ → Set α := disjointed T


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: R : Type u_6

Context: R' : Type u_7

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ μ₁ μ₂ : Measure α

Context: s s₁ s₂ t✝ : Set α

Context: t : ℕ → Set α

Context: hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) t

Context: Td : ℕ → Set α := disjointed T

Context: hm : ∀ (n : ℕ), MeasurableSet (Td n)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
inst✝ : MeasurableSpace α
f : α → ℚ → ℝ
a : α

(if IsRatStieltjesPoint (fun p => f p.2) ((), a) then (fun p => f p.2) ((), a) else defaultRatCDF) = if IsRatStieltjesPoint f a then f a else defaultRatCDF


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝⁶ : CommRing R
inst✝⁵ : LieRing L
inst✝⁴ : LieAlgebra R L
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : LieRingModule L M
inst✝ : LieModule R L M
N : LieSubmodule R L M
N' : LieSubmodule R L ↥↑N


Context:
K : Type u_1
E : Type u_2
inst✝ : RCLike K
z : K


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : ClosedIciTopology α
f : β → α
a b : α
s : Set α


Context:
Γ : Type u_1
Γ' : Type u_2
inst✝¹ : Inhabited Γ
inst✝ : Inhabited Γ'
f : PointedMap Γ Γ'
d : Dir
head✝ : Γ
left✝ right✝ : ListBlank Γ

map f (move d { head := head✝, left := left✝, right := right✝ }) = move d (map f { head := head✝, left := left✝, right := right✝ })


Context:
ι : Type u_1
α : ι → Type u_2
s₁ s₂ : Finset ι
S₁ : Set ((i : { x // x ∈ s₁ }) → α ↑i)
S₂ : Set ((i : { x // x ∈ s₂ }) → α ↑i)
inst✝ : DecidableEq ι
f : (i : ι) → α i

f ∈ cylinder s₁ S₁ ∪ cylinder s₂ S₂ ↔ f ∈ cylinder (s₁ ∪ s₂) ((fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∪ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂)


(fun i => f ↑i) ∈ S₁ ∨ (fun i => f ↑i) ∈ S₂ ↔ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₁ ∨ (fun i => f ↑i) ∈ (fun f j => f ⟨↑j, ⋯⟩) ⁻¹' S₂


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ ν ν' : Measure α
inst✝² : SigmaFinite μ
inst✝¹ : SigmaFinite ν
inst✝ : SigmaFinite ν'
hμν : μ ≪ ν
hνν' : ν ⟂ₘ ν'
t : Set α := hνν'.nullSet
ht : MeasurableSet t


∀ᵐ (x : α) ∂ν.restrict tᶜ, μ.rnDeriv (ν + ν') x = μ.rnDeriv ν x


μ.rnDeriv (ν + ν') =ᶠ[ae (ν.restrict tᶜ)] μ.rnDeriv ν


(ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv ν)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ ν ν' : Measure α

Context: inst✝² : SigmaFinite μ

Context: inst✝¹ : SigmaFinite ν

Context: inst✝ : SigmaFinite ν'

Context: hμν : μ ≪ ν

Context: hνν' : ν ⟂ₘ ν'

Context: t : Set α := hνν'.nullSet

Context: ht : MeasurableSet t

Context: this : (ν.restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν')) = ((ν + ν').restrict tᶜ).withDensity (μ.rnDeriv (ν + ν'))


Context:
α : Type u_1
n : ℕ
s t : Multiset α
l : List α

s ∈ powersetCard n ⟦l⟧ ↔ s ≤ ⟦l⟧ ∧ card s = n


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
M : Type u_3
R : Type u_4
A : Type u_5
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : AddMonoid A
s✝ t u : Set M
N : Type u_6
inst✝² : CommMonoid N
inst✝¹ : MulAction M N
inst✝ : IsScalarTower M N N
r : M
s : Set N
x : N
hx : x ∈ closure s


∀ x ∈ s, (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x


(fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) 1


∀ (x y : N), (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) x → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) y → (fun x => ∃ n, r ^ n • x ∈ closure (r • s)) (x * y)


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
a✝ b✝ c p q : ℚ
a : ℤ
ha : 0 ≤ a
b : ℕ