Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: s : Finset G

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V

∃ x ∈ K₁.carrier, ∃ y, y⁻¹ ∈ V ∧ x * y = g₁⁻¹


Context: G : Type u_1

Context: inst✝² : Group G

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝ : TopologicalGroup G

Context: K₁ K₂ : Compacts G

Context: V : Set G

Context: hV : (interior V).Nonempty

Context: h : Disjoint (K₁.carrier * V⁻¹) (K₂.carrier * V⁻¹)

Context: s : Finset G

Context: h1s : K₁.carrier ∪ K₂.carrier ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V

Context: h2s : s.card = index (K₁.carrier ∪ K₂.carrier) V

Context: this : ∀ K ⊆ ⋃ g ∈ s, (fun h => g * h) ⁻¹' V, index K V ≤ (Finset.filter (fun g => ((fun h => g * h) ⁻¹' V ∩ K).Nonempty) s).card

Context: g₁ : G

Context: a✝ : g₁ ∈ s

Context: g₂ : G

Context: h2g₂ : g₂ ∈ K₁.carrier

Context: g₃ : G

Context: h2g₃ : g₃ ∈ K₂.carrier

Context: h1g₃ : g₁ * g₃ ∈ V

Context: h1g₂ : g₁ * g₂ ∈ V

∃ x ∈ K₂.carrier, ∃ y, y⁻¹ ∈ V ∧ x * y = g₁⁻¹


Context:
α : Type u
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : LinearOrder α
inst✝ : LinearOrder β
f : α → β
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h : b₁ ≤ b₂

Ioo a₁ b₁ ∩ Ioc a₂ b₂ = Ioo (max a₁ a₂) b₁


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: inst✝⁷ : _root_.RCLike 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁵ : InnerProductSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : InnerProductSpace ℝ F

Context: ι : Type u_4

Context: inst✝² : DecidableEq ι

Context: α : ι → Type u_5

Context: inst✝¹ : (i : ι) → AddZeroClass (α i)

Context: inst✝ : (i : ι) → (x : α i) → Decidable (x ≠ 0)

Context: f : (i : ι) → α i → E

Context: l : Π₀ (i : ι), α i

Context: x : E

⟪l.sum f, x⟫_𝕜 = l.sum fun i a => ⟪f i a, x⟫_𝕜


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
M : Type u_5
M' : Type u_6
N : Type u_7
P : Type u_8
G : Type u_9
H : Type u_10
R : Type u_11
S : Type u_12
inst✝¹ : AddZeroClass M
f : α →₀ M
p : α → Prop
inst✝ : DecidablePred p

(fun f => ⇑f) (filter p f + filter (fun a => ¬p a) f) = (fun f => ⇑f) f


{x | p x}.indicator ⇑f + {a | ¬p a}.indicator ⇑f = ⇑f


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
inst✝³ : EMetricSpace X
inst✝² : EMetricSpace Y
inst✝¹ : MeasurableSpace X
inst✝ : BorelSpace X
m₁ m₂ : ℝ≥0∞ → ℝ≥0∞
hle : m₁ ≤ᶠ[𝓝[≥] 0] m₂


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
M' : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup M'
inst✝ : Module R M'
W : Submodule R M
φ : Dual R M

φ ∈ LinearMap.range W.mkQ.dualMap ↔ φ ∈ W.dualAnnihilator


(∃ y, W.mkQ.dualMap y = φ) ↔ φ ∈ W.dualAnnihilator


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: inst✝¹ : Presheaf.IsLocallyInjective J φ

Context: inst✝ : Presheaf.IsLocallySurjective J φ

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: S : Sieve (Opposite.unop X) := Presheaf.imageSieve α r ⊓ Presheaf.imageSieve α r' ⊓ Presheaf.imageSieve φ m

smul α φ (r * r') m = smul α φ r (smul α φ r' m)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

∀ (Y : C) (f : Y ⟶ Opposite.unop X), S.arrows f → (A.val.map f.op) (smul α φ (r * r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r (smul α φ r' m))


Context: C : Type u₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: M₀ : PresheafOfModules R₀

Context: A : Sheaf J AddCommGrp

Context: φ : M₀.presheaf ⟶ A.val

Context: X Y✝ : Cᵒᵖ

Context: π : X ⟶ Y✝

Context: r r' : ↑(R.val.obj X)

Context: m m' : ↑(A.val.obj X)

Context: hS : S ∈ J.sieves (Opposite.unop X)

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ Opposite.unop X

Context: r₀ : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀ : (α.app (Opposite.op Y)) r₀ = (R.val.map f.op) r

Context: r₀' : ↑(R₀.obj (Opposite.op Y))

Context: hr₀' : (α.app (Opposite.op Y)) r₀' = (R.val.map f.op) r'

Context: m₀ : ↑(M₀.presheaf.obj (Opposite.op Y))

Context: hm₀ : (φ.app (Opposite.op Y)) m₀ = (A.val.map f.op) m

(A.val.map f.op) (smul α φ (r * r') m) = (A.val.map f.op) (smul α φ r (smul α φ r' m))


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
a : α
x : β
ht : t ∈ 𝓝 x
u : Set β
ut : u ⊆ t
u_open : IsOpen u
hu : x ∈ u


Context:
ι : Type u_1
c : ComplexShape ι
hc : ∀ (j : ι), ∃ i, c.Rel i j
C : Type u_2
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} C
inst✝² : Preadditive C
inst✝¹ : HasBinaryBiproducts C
inst✝ : CategoryWithHomology C
K L : HomologicalComplex C c
f g : K ⟶ L
h : Homotopy f g
this : DecidableRel c.Rel

AreEqualizedByLocalization (HomologicalComplex.quasiIso C c) f g


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: α : ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯ ⟶ ShortComplex.mk f (d f) ⋯ := { τ₁ := 𝟙 (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₁, τ₂ := 𝟙 (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₂, τ₃ := ι (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }

Context: this✝¹ : Epi α.τ₁

Context: this✝ : IsIso α.τ₂

Context: this : Mono α.τ₃


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: this✝¹ : Epi α.τ₁

Context: this✝ : IsIso α.τ₂

Context: this : Mono α.τ₃

(ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).Exact


Context: C : Type u

Context: inst✝² : Category.{v, u} C

Context: inst✝¹ : Abelian C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: this✝¹ : Epi α.τ₁

Context: this✝ : IsIso α.τ₂

Context: this : Mono α.τ₃

IsColimit (CokernelCofork.ofπ (ShortComplex.mk f (cokernel.π f) ⋯).g ⋯)


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: R : ℝ≥0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

Context: hbdd : ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |f (i + 1) ω - f i ω| ≤ ↑R

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |predictablePart f ℱ μ (i + 1) ω - predictablePart f ℱ μ i ω| ≤ ↑R


Context: Ω : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: m0 : MeasurableSpace Ω

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: f✝ : ℕ → Ω → E

Context: ℱ✝ : Filtration ℕ m0

Context: n : ℕ

Context: R : ℝ≥0

Context: f : ℕ → Ω → ℝ

Context: ℱ : Filtration ℕ m0

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ (i : ℕ), |(μ[f (i + 1) - f i|↑ℱ i]) ω| ≤ ↑R


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝¹ : LinearOrderedField α
l : Filter β
f : β → α
r : α
inst✝ : l.NeBot

Tendsto (fun x => f x * r) l atBot ↔ 0 < r ∧ Tendsto f l atBot ∨ r < 0 ∧ Tendsto f l atTop


Context:
X Y B : CompHaus
f : X ⟶ B
g : Y ⟶ B

pullback.fst f g = ((pullback.isLimit f g).conePointUniqueUpToIso (limit.isLimit (cospan f g))).hom ≫ Limits.pullback.fst f g


Context:
E : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁵ : NormedSpace ℂ E
V : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : FiniteDimensional ℝ V
inst✝¹ : MeasurableSpace V
inst✝ : BorelSpace V
f : V → E
hf : Integrable f volume
h'f : Differentiable ℝ f
hf' : Integrable (fderiv ℝ f) volume

𝓕 (fderiv ℝ f) = fourierSMulRight (-innerSL ℝ) (𝓕 f)


𝓕 (fderiv ℝ f) = fourierSMulRight (-(innerSL ℝ).flip) (𝓕 f)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)

Context: al : ∀ ⦃n : ℕ⦄ ⦃a : α⦄, f n = some a → f (n + 1) = some a


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: f : Stream' (Option α)


Context:
n a b : ℕ
H : unpair n = (a, b)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
s : Sphere P
p₁ p₂ p₃ : P
hp₁ : p₁ ∈ s
hp₂ : p₂ ∈ s
hp₃ : p₃ ∈ s
hp₁p₂ : p₁ ≠ p₂
hp₁p₃ : p₁ ≠ p₃
hp₂p₃ : p₂ ≠ p₃

dist p₁ p₃ / |(∡ p₁ p₂ p₃).sin| / 2 = s.radius


|(∡ p₁ p₂ p₃).sin| = (∡ p₃ p₁ s.center).cos


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: inst✝ : (b : β) → PseudoMetricSpace (π b)

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

nndist f g = r ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

((∃ x, ¬nndist (f x) (g x) < r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r) ↔ (∃ i, nndist (f i) (g i) = r) ∧ ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

(∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r) → ((∃ x, r ≤ nndist (f x) (g x)) ↔ ∃ i, nndist (f i) (g i) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f i) (g i))


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: h : ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r

(∃ x, r ≤ nndist (f x) (g x)) ↔ ∃ i, nndist (f i) (g i) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f i) (g i)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝² : PseudoMetricSpace α

Context: π : β → Type u_3

Context: inst✝¹ : Fintype β

Context: f g : (b : β) → π b

Context: r : ℝ≥0

Context: hr : 0 < r

Context: h : ∀ (b : β), nndist (f b) (g b) ≤ r

Context: b : β

r ≤ nndist (f b) (g b) ↔ nndist (f b) (g b) ≤ r ∧ r ≤ nndist (f b) (g b)


Context:
α✝ : Type u_1
R : α✝ → α✝ → Prop
l : List α✝

Pairwise R l ↔ ∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]


(∀ {a b : α✝}, [a, b] <+ l → R a b) ↔ ∀ (i j : Nat) (_hi : i < l.length) (_hj : j < l.length), i < j → R l[i] l[j]


Context:
V : Type u_1
E : Type u_2
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup V
inst✝⁶ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝⁵ : MeasurableSpace V
inst✝⁴ : BorelSpace V
inst✝³ : FiniteDimensional ℝ V
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
f : V → E
inst✝ : CompleteSpace E
h : Continuous f
hf : Integrable f volume
h'f : Integrable (𝓕 f) volume
v : V


Context:
X : Type u
Y : Type v
ι : Sort w
α : Type u_1
β : Type u_2
x : X
s s₁ s₂ t : Set X
p p₁ p₂ : X → Prop
inst✝ : TopologicalSpace X


Context:
α : Type ua
β : Type ub
γ : Type uc
δ : Type ud
ι : Sort u_1
s : Set (UniformSpace α)

toTopologicalSpace = ⨅ i ∈ s, toTopologicalSpace


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Sort u_4
ι' : Sort u_5
ι₂ : Sort u_6
κ : ι → Sort u_7
κ₁ : ι → Sort u_8
κ₂ : ι → Sort u_9
κ' : ι' → Sort u_10
s : ι → Set β


Context:
C : Type u
inst✝ : Category.{v, u} C
X✝ Y✝ X Y : C
h : IsTerminal X
c : BinaryFan X Y


Nonempty (IsLimit c) ↔ Nonempty (IsLimit (mk c.snd c.fst))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
Ω : Type u_3
F : Type u_4
inst✝⁵ : MeasurableSpace Ω
inst✝⁴ : StandardBorelSpace Ω
inst✝³ : Nonempty Ω
inst✝² : NormedAddCommGroup F
mα : MeasurableSpace α
μ : Measure α
inst✝¹ : IsFiniteMeasure μ
X : α → β
Y : α → Ω
mβ : MeasurableSpace β
s✝ : Set Ω
t : Set β
f : β × Ω → F
inst✝ : MeasurableSingletonClass β
hY : Measurable Y
x : β
hX : (Measure.map X μ) {x} ≠ 0
s : Set Ω

((condDistrib Y X μ) x) s = ((Measure.map X μ) {x})⁻¹ * (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ) ({x} ×ˢ s)


((Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst {x})⁻¹ * (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ) ({x} ×ˢ s) = ((Measure.map X μ) {x})⁻¹ * (Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ) ({x} ×ˢ s)


(Measure.map (fun a => (X a, Y a)) μ).fst {x} ≠ 0


Context:
ι : Type u_1
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
l₁ l₂ : List α
f : Option α → β → γ
a : α
as : List α
b : β
bs : List β

map₂Right f as bs = (map₂Right' f as bs).1


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F'

Context: b : Basis (↑(Basis.ofVectorSpaceIndex 𝕜 E)) 𝕜 E := Basis.ofVectorSpace 𝕜 E


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F'

Context: A : Continuous ⇑b.equivFun


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F'

Context: A : Continuous ⇑b.equivFun

Context: B : Continuous ⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm)


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F'

Context: A : Continuous ⇑b.equivFun

Context: B : Continuous ⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm)

Context: this : Continuous (⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm) ∘ ⇑b.equivFun)


Context: 𝕜 : Type u

Context: hnorm : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E : Type v

Context: inst✝¹⁷ : AddCommGroup E

Context: inst✝¹⁶ : Module 𝕜 E

Context: inst✝¹⁵ : TopologicalSpace E

Context: inst✝¹⁴ : TopologicalAddGroup E

Context: inst✝¹³ : ContinuousSMul 𝕜 E

Context: F : Type w

Context: inst✝¹² : AddCommGroup F

Context: inst✝¹¹ : Module 𝕜 F

Context: inst✝¹⁰ : TopologicalSpace F

Context: inst✝⁹ : TopologicalAddGroup F

Context: inst✝⁸ : ContinuousSMul 𝕜 F

Context: F' : Type x

Context: inst✝⁷ : AddCommGroup F'

Context: inst✝⁶ : Module 𝕜 F'

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F'

Context: inst✝⁴ : TopologicalAddGroup F'

Context: inst✝³ : ContinuousSMul 𝕜 F'

Context: inst✝² : CompleteSpace 𝕜

Context: inst✝¹ : T2Space E

Context: inst✝ : FiniteDimensional 𝕜 E

Context: f : E →ₗ[𝕜] F'

Context: A : Continuous ⇑b.equivFun

Context: B : Continuous ⇑(f ∘ₗ ↑b.equivFun.symm)

Context: x : E


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: K : ℝ

Context: h : ∀ (y : α), dist y x < r → dist (f y) (f x) ≤ K * dist y x


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: K : ℝ

Tendsto (fun a => K * dist a x) (𝓝 x) (𝓝 0)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : PseudoMetricSpace α

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace β

Context: f : α → β

Context: x : α

Context: r : ℝ

Context: hr : 0 < r

Context: K : ℝ


Context:
a x y : ℂ
hx : x ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ι : Type u_5
R : Type u_6
R' : Type u_7
m0 : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
μ μ₁ μ₂ μ₃ ν ν' ν₁ ν₂ : Measure α
s s' t : Set α


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : ContravariantClass α α (fun x x_1 => x + x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

a * b ≤ 0 ↔ (0 < a → b ≤ 0) ∧ (b < 0 → 0 ≤ a)


Context: α : Type u

Context: β : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Ring α

Context: inst✝⁴ : LinearOrder α

Context: a b : α

Context: inst✝³ : PosMulStrictMono α

Context: inst✝² : MulPosStrictMono α


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : LinearOrderedSemifield α
a b c d e : α
m n : ℤ
hb : 0 < b


Context:
ι : Type u_1
X : Type u_2
Y : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
inst✝⁴ : TopologicalSpace X
inst✝³ : UniformSpace α
inst✝² : UniformSpace β
F : ι → X → α
G : ι → β → α
inst✝¹ : TopologicalSpace ι
inst✝ : CompactSpace X
F_eqcont : Equicontinuous F

Inducing (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) ↔ Inducing F


inst✝¹ = TopologicalSpace.induced (⇑UniformFun.ofFun ∘ F) (UniformFun.topologicalSpace X α) ↔ inst✝¹ = TopologicalSpace.induced F Pi.topologicalSpace


inst✝¹ = UniformSpace.toTopologicalSpace ↔ inst✝¹ = UniformSpace.toTopologicalSpace


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
w : W


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: hω : ω.length = cs.length (cs.wordProd ω)

∃ ω_1, cs.IsReduced ω_1 ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω_1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

cs.IsReduced ω ∧ cs.wordProd ω = cs.wordProd ω


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

Context: h₂ : ∀ ⦃p q : R⦄, Irreducible p → Irreducible q → Associated p q


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

IsPrincipalIdealRing R ∧ ∃! P, P ≠ ⊥ ∧ P.IsPrime


Context: R✝ : Type u_1

Context: R : Type u

Context: inst✝² : CommRing R

Context: inst✝¹ : IsDomain R

Context: inst✝ : UniqueFactorizationMonoid R

Context: h₁ : ∃ p, Irreducible p

Context: PID : IsPrincipalIdealRing R


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝¹ : ∀ (n : ℤ), (shiftFunctor C n).Additive

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

∃ Z g h, Triangle.mk f g h ∈ distinguishedTriangles C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Opposite.unop Y

Context: h : Opposite.unop X ⟶ (shiftFunctor C 1).obj Z

Context: H : Triangle.mk g f.unop h ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Opposite.unop Y

Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op) ∈ distinguishedTriangles C


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Opposite.unop Y

Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj (Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op))) ∈ Pretriangulated.distinguishedTriangles


Context: C : Type u_1

Context: inst✝⁵ : Category.{u_2, u_1} C

Context: inst✝⁴ : HasShift C ℤ

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: inst✝ : Pretriangulated C

Context: X Y : Cᵒᵖ

Context: f : X ⟶ Y

Context: Z : C

Context: g : Z ⟶ Opposite.unop Y

Opposite.unop ((triangleOpEquivalence C).inverse.obj (Triangle.mk f g.op ((opShiftFunctorEquivalence C 1).counitIso.inv.app (Opposite.op Z) ≫ (shiftFunctor Cᵒᵖ 1).map h.op))) ≅ Triangle.mk g f.unop h


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length

∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.accepts


Context:
α : Type u
σ σ' : Type v
M : NFA α σ
inst✝ : Fintype σ
x : List α
hx : x ∈ M.toDFA.accepts
hlen : Fintype.card (Set σ) ≤ x.length

∃ a b c, x = a ++ b ++ c ∧ a.length + b.length ≤ Fintype.card (Set σ) ∧ b ≠ [] ∧ {a} * {b}∗ * {c} ≤ M.toDFA.accepts


Context:
J : Type u₁
inst✝³ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝² : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u₃
inst✝¹ : Category.{v₃, u₃} C
D : Type u₄
inst✝ : Category.{v₄, u₄} D
F : J ⥤ C
e : K ≌ J
s : Cone (e.functor ⋙ F)
k : K

(((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).π.app k = (Iso.refl (((whiskering e.inverse ⋙ postcompose (e.invFunIdAssoc F).hom) ⋙ whiskering e.functor).obj s).pt).hom ≫ ((𝟭 (Cone (e.functor ⋙ F))).obj s).π.app k


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: inst✝¹ : CovariantClass α α (fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : CovariantClass α α (swap fun x x_1 => x * x_1) fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s✝ t s : Set α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : CompleteLattice α

Context: inst✝² : Group α

Context: s✝ t s : Set α


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
hs : x ∉ s

HasDerivWithinAt f f' s x ↔ Tendsto (slope f x) (𝓝[s] x) (𝓝 f')


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁸ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_1
inst✝³ : NontriviallyNormedField 𝕜'
inst✝² : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜' F
inst✝ : IsScalarTower 𝕜 𝕜' F
s' t' : Set 𝕜'
h : 𝕜 → 𝕜'
h₁ : 𝕜 → 𝕜
h₂ : 𝕜' → 𝕜'
h' h₂' : 𝕜'
h₁' : 𝕜
g₁ : 𝕜' → F
g₁' : F
L' : Filter 𝕜'
y : 𝕜'
hg : HasDerivAt g₁ g₁' (h x)
hh : HasDerivWithinAt h h' s x
hy : y = h x

HasDerivWithinAt (g₁ ∘ h) (h' • g₁') s x


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0


(↑x)⁻¹ = (-p.coeff 0)⁻¹ • ↑((aeval x) p.divX)


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : IsDomain R
inst✝³ : CommRing S
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
A : Subalgebra K L
x : ↥A
p : K[X]
aeval_eq : (aeval x) p = 0
coeff_zero_ne : p.coeff 0 ≠ 0
this : (aeval ↑x) p = 0


-(((algebraMap K L) (p.coeff 0))⁻¹ * (aeval ↑x) p.divX) = (algebraMap K L) (-p.coeff 0)⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)


-(((algebraMap K L) (p.coeff 0))⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)) = (algebraMap K L) (-p.coeff 0)⁻¹ * ↑((aeval x) p.divX)


Context:
G : Type w
inst✝¹ : TopologicalSpace G
μ : Content G
inst✝ : R1Space G
A : Set G

MeasurableSet A ↔ ∀ (U : Opens G), μ.outerMeasure (↑U ∩ A) + μ.outerMeasure (↑U \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑U


MeasurableSet A ↔ ∀ (U : Set G) (hU : IsOpen U), μ.outerMeasure (↑{ carrier := U, is_open' := hU } ∩ A) + μ.outerMeasure (↑{ carrier := U, is_open' := hU } \ A) ≤ μ.outerMeasure ↑{ carrier := U, is_open' := hU }


∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄ (hm : ∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)), μ.innerContent { carrier := ⋃ i, f i, is_open' := ⋯ } ≤ ∑' (i : ℕ), μ.innerContent { carrier := f i, is_open' := ⋯ }


∀ ⦃s₁ s₂ : Set G⦄ (hs₁ : IsOpen s₁) (hs₂ : IsOpen s₂), s₁ ⊆ s₂ → μ.innerContent { carrier := s₁, is_open' := hs₁ } ≤ μ.innerContent { carrier := s₂, is_open' := hs₂ }


∀ ⦃f : ℕ → Set G⦄, (∀ (i : ℕ), IsOpen (f i)) → IsOpen (⋃ i, f i)


Context:
α : Type u_2
p✝ q : α → Bool
β : Type u_1
p : β → Bool
f : α → β
a : α
l : List α

countP p (map f (a :: l)) = countP (p ∘ f) (a :: l)


(countP (p ∘ f) l + if p (f a) = true then 1 else 0) = countP (p ∘ f) l + if (p ∘ f) a = true then 1 else 0


Context: α : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : Zero N

Context: r : α → α → Prop

Context: s : N → N → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0

Context: hs : WellFounded s

Context: x : α →₀ N

Context: h : ∀ a ∈ x.support, Acc (rᶜ ⊓ fun x x_1 => x ≠ x_1) a


Context: α : Type u_1

Context: N : Type u_2

Context: inst✝ : Zero N

Context: r : α → α → Prop

Context: s : N → N → Prop

Context: hbot : ∀ ⦃n : N⦄, ¬s n 0

Context: hs : WellFounded s

Context: x : α →₀ N

Acc (InvImage (DFinsupp.Lex r fun x => s) toDFinsupp) x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PseudoMetricSpace α
f✝ : ℕ → α
a : α
f : ℕ → ℝ
c : ℝ
hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n
h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f✝ : ℕ → α

Context: a : α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: c : ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c

Context: H : Tendsto (fun n => ∑ i ∈ range n, f i) atTop atTop


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝ : PseudoMetricSpace α

Context: f✝ : ℕ → α

Context: a : α

Context: f : ℕ → ℝ

Context: c : ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), 0 ≤ f n

Context: h : ∀ (n : ℕ), ∑ i ∈ range n, f i ≤ c

Context: n : ℕ

Context: hn : c < ∑ i ∈ range n, f i


Context:
o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω


Context:
o : Ordinal.{u_1}
h : o < ω
n : ℕ
e : o = ↑n


Context:
α : Type u_1
inst✝ : OrderedAddCommGroup α
a b c : α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), ((fun x => a + x) ∘ fun x => -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : OrderedAddCommGroup α

Context: a b c : α

Context: this : ∀ (a_1 : Set α), (fun x => a + -x) '' a_1 = (fun x => a + x) '' ((fun x => -x) '' a_1)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: hF : ∀ᶠ (n : ι) in φ, DifferentiableOn ℂ (F n) U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : cthickening δ K ⊆ U

TendstoUniformlyOn (deriv ∘ F) (cderiv δ f) φ K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : cthickening δ K ⊆ U

Context: h1 : ∀ᶠ (n : ι) in φ, ContinuousOn (F n) (cthickening δ K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : IsCompact (cthickening δ K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : IsCompact (cthickening δ K)

Context: h3 : TendstoUniformlyOn F f φ (cthickening δ K)


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : IsCompact (cthickening δ K)

∀ᶠ (n : ι) in φ, EqOn ((cderiv δ ∘ F) n) ((deriv ∘ F) n) K


Context: E : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: inst✝² : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℂ E

Context: inst✝ : CompleteSpace E

Context: U K : Set ℂ

Context: z✝ : ℂ

Context: M r δ✝ : ℝ

Context: φ : Filter ι

Context: F : ι → ℂ → E

Context: f g : ℂ → E

Context: hf : TendstoLocallyUniformlyOn F f φ U

Context: δ : ℝ

Context: hδ : 0 < δ

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hKU : cthickening δ K ⊆ U

Context: h2 : IsCompact (cthickening δ K)

Context: n : ι

Context: h : DifferentiableOn ℂ (F n) U

Context: z : ℂ

Context: hz : z ∈ K


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: inst✝ : ∀ (n : ℤ), (CategoryTheory.shiftFunctor C n).Additive

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₁ : IsZero T.obj₁

Context: h₂ : IsZero T.obj₂

IsZero ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁)


Context: C : Type u

Context: inst✝⁴ : Category.{v, u} C

Context: inst✝³ : HasZeroObject C

Context: inst✝² : HasShift C ℤ

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: hC : Pretriangulated C

Context: T : Triangle C

Context: hT : T ∈ distinguishedTriangles

Context: h₂ : IsZero T.obj₂

Context: h₁ : 𝟙 T.obj₁ = 0

𝟙 ((CategoryTheory.shiftFunctor C 1).obj T.obj₁) = 0


Context:
F : Type u_1
G : Type u_2
H : Type u_3
inst✝³ : FunLike F G H
a : G
b : H
inst✝² : AddMonoidWithOne G
inst✝¹ : AddMonoid H
inst✝ : AddConstMapClass F G H 1 b
f : F
n : ℕ


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁ : x✝.Valid

Context: h₂ : { str := x✝.toString, startPos := b, stopPos := e }.Valid

(x✝.extract b e).toString = x✝.toString.extract b e


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m : List Char

Context: h₂ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid

Context: r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m : List Char

Context: h₂✝ : { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }.Valid

Context: r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝

Context: ml mm mr : List Char

Context: h₂ : ValidFor ml mm mr { str := { data := m }, startPos := b, stopPos := e }


Context: b e : Pos

Context: x✝ : Substring

Context: h₁✝ : x✝.Valid

Context: l m : List Char

Context: r : List Char

Context: h₁ : ValidFor l m r x✝

Context: ml mm mr : List Char

Context: l' r' : List Char

Context: h₃ : ValidFor l' mm r' (x✝.extract b e)


Context: R : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: p : A → Prop

Context: inst✝¹⁰ : CommSemiring R

Context: inst✝⁹ : StarRing R

Context: inst✝⁸ : MetricSpace R

Context: inst✝⁷ : TopologicalSemiring R

Context: inst✝⁶ : ContinuousStar R

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace A

Context: inst✝⁴ : Ring A

Context: inst✝³ : StarRing A

Context: inst✝² : Algebra R A

Context: inst✝¹ : ContinuousFunctionalCalculus R p

Context: f✝ g : R → R

Context: a✝ : A

Context: ha✝ : autoParam (p a✝) _auto✝

Context: hf✝ : autoParam (ContinuousOn f✝ (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: hg : autoParam (ContinuousOn g (spectrum R a✝)) _auto✝

Context: inst✝ : UniqueContinuousFunctionalCalculus R A

Context: f : R → R

Context: a : A

Context: hf : autoParam (ContinuousOn f (star '' spectrum R a)) _auto✝

Context: ha : autoParam (p a) _auto✝

cfc (fun x => f (star x)) a = cfc f (star a)


Context:
k : Type u_1
inst✝³ : Field k
K : Type u_2
inst✝² : Field K
F : Type u_3
inst✝¹ : Field F
inst✝ : NumberField K

NrRealPlaces K + 2 * NrComplexPlaces K = finrank ℚ K


card { φ // ComplexEmbedding.IsReal φ } ≤ card (K →+* ℂ)


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{?u.111346, u_1} C
inst✝ : Preadditive C
S₁ S₂ S₃ : ShortComplex C
φ₁ φ₂ φ₃ φ₄ : S₁ ⟶ S₂
h₁₂ : Homotopy φ₁ φ₂
h₂₃ : Homotopy φ₂ φ₃

φ₁.τ₁ = S₁.f ≫ (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁


S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + h₁₂.h₀ + (S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + h₂₃.h₀ + φ₃.τ₁) = S₁.f ≫ h₁₂.h₁ + S₁.f ≫ h₂₃.h₁ + (h₁₂.h₀ + h₂₃.h₀) + φ₃.τ₁


φ₁.τ₂ = S₁.g ≫ (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) + (h₁₂.h₁ + h₂₃.h₁) ≫ S₂.f + φ₃.τ₂


S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + (S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f + φ₃.τ₂) = S₁.g ≫ h₁₂.h₂ + S₁.g ≫ h₂₃.h₂ + (h₁₂.h₁ ≫ S₂.f + h₂₃.h₁ ≫ S₂.f) + φ₃.τ₂


φ₁.τ₃ = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ + h₂₃.h₂) ≫ S₂.g + φ₃.τ₃


h₁₂.h₃ + h₁₂.h₂ ≫ S₂.g + (h₂₃.h₃ + h₂₃.h₂ ≫ S₂.g + φ₃.τ₃) = h₁₂.h₃ + h₂₃.h₃ + (h₁₂.h₂ ≫ S₂.g + h₂₃.h₂ ≫ S₂.g) + φ₃.τ₃


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R✝

Context: S✝ : Submonoid R✝

Context: M✝ : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝²⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝²⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝²⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝²⁶ : Algebra R✝ A

Context: inst✝²⁵ : Module A M'

Context: inst✝²⁴ : IsLocalization S✝ A

Context: inst✝²³ : Module R✝ M✝

Context: inst✝²² : Module R✝ M'

Context: inst✝²¹ : Module R✝ M''

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower R✝ A M'

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R✝] M'

Context: g : M✝ →ₗ[R✝] M''

Context: M₀ : Type ?u.1244734

Context: M₀' : Type ?u.1244737

Context: inst✝¹⁹ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup M₀'

Context: inst✝¹⁷ : Module R✝ M₀

Context: inst✝¹⁶ : Module R✝ M₀'

Context: f₀ : M₀ →ₗ[R✝] M₀'

Context: inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₀

Context: M₁ : Type ?u.1246805

Context: M₁' : Type ?u.1246808

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝¹² : Module R✝ M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ M₁'

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R✝] M₁'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S✝ f₁

Context: M₂ : Type ?u.1248876

Context: M₂' : Type ?u.1248879

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂'

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M₂

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M₂'

Context: f₂ : M₂ →ₗ[R✝] M₂'

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₂

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: S' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R S'

Context: M : Submonoid R

Context: f : S →ₐ[R] S'

Context: h₁ : ∀ x ∈ M, IsUnit ((algebraMap R S') x)

Context: h₂ : ∀ (y : S'), ∃ x, x.2 • y = f x.1

Context: h₃ : ∀ (x : S), f x = 0 → ∃ m, m • x = 0


Context: R✝ : Type u_1

Context: inst✝³¹ : CommSemiring R✝

Context: S✝ : Submonoid R✝

Context: M✝ : Type u_2

Context: M' : Type u_3

Context: M'' : Type u_4

Context: inst✝³⁰ : AddCommMonoid M✝

Context: inst✝²⁹ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝²⁸ : AddCommMonoid M''

Context: A : Type u_5

Context: inst✝²⁷ : CommSemiring A

Context: inst✝²⁶ : Algebra R✝ A

Context: inst✝²⁵ : Module A M'

Context: inst✝²⁴ : IsLocalization S✝ A

Context: inst✝²³ : Module R✝ M✝

Context: inst✝²² : Module R✝ M'

Context: inst✝²¹ : Module R✝ M''

Context: inst✝²⁰ : IsScalarTower R✝ A M'

Context: f✝ : M✝ →ₗ[R✝] M'

Context: g : M✝ →ₗ[R✝] M''

Context: M₀ : Type ?u.1244734

Context: M₀' : Type ?u.1244737

Context: inst✝¹⁹ : AddCommGroup M₀

Context: inst✝¹⁸ : AddCommGroup M₀'

Context: inst✝¹⁷ : Module R✝ M₀

Context: inst✝¹⁶ : Module R✝ M₀'

Context: f₀ : M₀ →ₗ[R✝] M₀'

Context: inst✝¹⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₀

Context: M₁ : Type ?u.1246805

Context: M₁' : Type ?u.1246808

Context: inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁

Context: inst✝¹³ : AddCommGroup M₁'

Context: inst✝¹² : Module R✝ M₁

Context: inst✝¹¹ : Module R✝ M₁'

Context: f₁ : M₁ →ₗ[R✝] M₁'

Context: inst✝¹⁰ : IsLocalizedModule S✝ f₁

Context: M₂ : Type ?u.1248876

Context: M₂' : Type ?u.1248879

Context: inst✝⁹ : AddCommGroup M₂

Context: inst✝⁸ : AddCommGroup M₂'

Context: inst✝⁷ : Module R✝ M₂

Context: inst✝⁶ : Module R✝ M₂'

Context: f₂ : M₂ →ₗ[R✝] M₂'

Context: inst✝⁵ : IsLocalizedModule S✝ f₂

Context: R : Type u_6

Context: S : Type u_7

Context: S' : Type u_8

Context: inst✝⁴ : CommRing R

Context: inst✝³ : CommRing S

Context: inst✝² : CommRing S'

Context: inst✝¹ : Algebra R S

Context: inst✝ : Algebra R S'

Context: M : Submonoid R

Context: f : S →ₐ[R] S'

Context: h₂ : ∀ (y : S'), ∃ x, x.2 • y = f x.1

Context: h₃ : ∀ (x : S), f x = 0 ↔ ∃ m, m • x = 0


Context: C : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι✝

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι✝

Context: hij : c.Rel i j

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: S : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.opcyclesToCycles i j) ⋯

Context: S' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.homologyι i) (K.fromOpcycles i j) ⋯

Context: ι : S ⟶ S' := { τ₁ := 𝟙 S.X₁, τ₂ := 𝟙 S.X₂, τ₃ := K.iCycles j, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }


Context: C : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι✝

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι✝

Context: hij : c.Rel i j

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: hS : S.Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι✝

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι✝

Context: hij : c.Rel i j

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: hS : S.Exact

Context: T : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.opcyclesToCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯

Context: T' : ShortComplex C := ShortComplex.mk (K.toCycles i j) (K.homologyπ j) ⋯

Context: π : T' ⟶ T := { τ₁ := K.pOpcycles i, τ₂ := 𝟙 T'.X₂, τ₃ := 𝟙 T'.X₃, comm₁₂ := ⋯, comm₂₃ := ⋯ }


Context: C : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι✝

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι✝

Context: hij : c.Rel i j

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: hS : S.Exact

Context: hT : T.Exact


Context: C : Type u_1

Context: ι✝ : Type u_2

Context: inst✝² : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹ : Preadditive C

Context: c : ComplexShape ι✝

Context: K : HomologicalComplex C c

Context: i j : ι✝

Context: hij : c.Rel i j

Context: inst✝ : CategoryWithHomology C

Context: hS : S.Exact

Context: hT : T.Exact

(ComposableArrows.mk₂ ((composableArrows₃ K i j).map' 0 1 ⋯ ⋯) ((composableArrows₃ K i j).map' 1 2 ⋯ ⋯)).Exact


Context:
V : Type u
V' : Type v
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph V'
u v w : V
p : G.Walk u v


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: β : Type

Context: i : ℕ

Context: hid : i < d

Context: s : Finset β

Context: f : β → Holor α (d :: ds)

Context: this : DecidableEq β := Classical.decEq β

∑ x ∈ s, (f x).slice i hid = (∑ x ∈ s, f x).slice i hid


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: β : Type

Context: i : ℕ

Context: hid : i < d

Context: s : Finset β

Context: f : β → Holor α (d :: ds)

∑ x ∈ ∅, (f x).slice i hid = (∑ x ∈ ∅, f x).slice i hid


Context: α : Type

Context: d : ℕ

Context: ds ds₁ ds₂ ds₃ : List ℕ

Context: inst✝ : AddCommMonoid α

Context: β : Type

Context: i : ℕ

Context: hid : i < d

Context: s : Finset β

Context: f : β → Holor α (d :: ds)

∀ ⦃a : β⦄ {s : Finset β}, a ∉ s → ∑ x ∈ s, (f x).slice i hid = (∑ x ∈ s, f x).slice i hid → ∑ x ∈ insert a s, (f x).slice i hid = (∑ x ∈ insert a s, f x).slice i hid


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
J : Type u_4
inst✝² : Category.{u_5, u_1} C
inst✝¹ : Category.{u_7, u_2} D
inst✝ : Category.{u_6, u_3} E
X Y✝ : GradedObject J C
e : X ≅ Y✝
F : C ⥤ D ⥤ E
j : J
Y : D

(F.map (e.hom j)).app Y ≫ (F.map (e.inv j)).app Y = 𝟙 ((F.obj (X j)).obj Y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁵ : (i : Fin n✝.succ) → AddCommMonoid (M i)

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝² : (i : Fin n✝.succ) → Module R (M i)

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂

Context: x y : M'

((((curryFinFinset R M₂ M' hk hl) f) fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context: R : Type uR

Context: S : Type uS

Context: ι : Type uι

Context: n✝ : ℕ

Context: M : Fin n✝.succ → Type v

Context: M₁ : ι → Type v₁

Context: M₂ : Type v₂

Context: M₃ : Type v₃

Context: M' : Type v'

Context: inst✝⁶ : CommSemiring R

Context: inst✝⁴ : AddCommMonoid M'

Context: inst✝³ : AddCommMonoid M₂

Context: inst✝¹ : Module R M'

Context: inst✝ : Module R M₂

Context: ι' : Type u_1

Context: k l n : ℕ

Context: s : Finset (Fin n)

Context: hk : s.card = k

Context: hl : sᶜ.card = l

Context: f : MultilinearMap R (fun x => M') M₂

Context: x y : M'

((curryFinFinset R M₂ M' hk hl).symm ((curryFinFinset R M₂ M' hk hl) f)) (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y) = f (s.piecewise (fun x_1 => x) fun x => y)


Context:
R : Type u_1
A : Type u_2
inst✝¹ : Semigroup R
inst✝ : StarMul R
x : R
hx : IsSelfAdjoint x
z : R


Context:
α : Type u_1
ι : Type u_2
π : ι → Set (Set α)
hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)
S : Set ι
t1 : Set α
p1 : Finset ι
hp1S : ↑p1 ⊆ S
f1 : ι → Set α
hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x
ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x
t2 : Set α
p2 : Finset ι
hp2S : ↑p2 ⊆ S
f2 : ι → Set α
hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x
ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x
h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty


∃ t, ∃ (_ : ↑t ⊆ S), ∃ f, ∃ (_ : ∀ x ∈ t, f x ∈ π x), t1 ∩ t2 = ⋂ x ∈ t, f x


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: π : ι → Set (Set α)

Context: hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)

Context: S : Set ι

Context: t1 : Set α

Context: p1 : Finset ι

Context: hp1S : ↑p1 ⊆ S

Context: f1 : ι → Set α

Context: hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x

Context: ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x

Context: t2 : Set α

Context: p2 : Finset ι

Context: hp2S : ↑p2 ⊆ S

Context: f2 : ι → Set α

Context: hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x

Context: ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x

Context: h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty

Context: g : ι → Set α := fun n => (if n ∈ p1 then f1 n else univ) ∩ if n ∈ p2 then f2 n else univ


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: π : ι → Set (Set α)

Context: hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)

Context: S : Set ι

Context: t1 : Set α

Context: p1 : Finset ι

Context: hp1S : ↑p1 ⊆ S

Context: f1 : ι → Set α

Context: hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x

Context: ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x

Context: t2 : Set α

Context: p2 : Finset ι

Context: hp2S : ↑p2 ⊆ S

Context: f2 : ι → Set α

Context: hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x

Context: ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x

Context: h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty

Context: hp_union_ss : ↑(p1 ∪ p2) ⊆ S


Context: α : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: π : ι → Set (Set α)

Context: hpi : ∀ (x : ι), IsPiSystem (π x)

Context: S : Set ι

Context: t1 : Set α

Context: p1 : Finset ι

Context: hp1S : ↑p1 ⊆ S

Context: f1 : ι → Set α

Context: hf1m : ∀ x ∈ p1, f1 x ∈ π x

Context: ht1_eq : t1 = ⋂ x ∈ p1, f1 x

Context: t2 : Set α

Context: p2 : Finset ι

Context: hp2S : ↑p2 ⊆ S

Context: f2 : ι → Set α

Context: hf2m : ∀ x ∈ p2, f2 x ∈ π x

Context: ht2_eq : t2 = ⋂ x ∈ p2, f2 x

Context: h_nonempty : (t1 ∩ t2).Nonempty

Context: hp_union_ss : ↑(p1 ∪ p2) ⊆ S

∃ (_ : ∀ x ∈ p1 ∪ p2, g x ∈ π x), t1 ∩ t2 = ⋂ x ∈ p1 ∪ p2, g x


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Sort x
κ : ι → Sort u_1
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝¹ : CompleteLattice α
inst✝ : CompleteLattice β
l : α → β
u : β → α
gc : GaloisConnection l u
f : ι → α


IsLUB (l '' range f) (l (sSup (range f)))


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
t : Set X
ht : t ∈ inst✝⁵.1

IsOpen t ∧ IsOpen univ ∧ Prod.fst ⁻¹' t = t ×ˢ univ


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝⁵ : TopologicalSpace X
inst✝⁴ : TopologicalSpace Y
inst✝³ : TopologicalSpace Z
inst✝² : TopologicalSpace W
inst✝¹ : TopologicalSpace ε
inst✝ : TopologicalSpace ζ
t : Set Y
ht : t ∈ inst✝⁴.1

IsOpen univ ∧ IsOpen t ∧ Prod.snd ⁻¹' t = univ ×ˢ t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: ι : Type u_3

Context: r : ℝ

Context: h₁ : 0 ≤ r

Context: h₂ : r < 1

Context: this✝ : r ≠ 1

Context: this : Tendsto (fun n => (r ^ n - 1) * (r - 1)⁻¹) atTop (𝓝 ((0 - 1) * (r - 1)⁻¹))

Tendsto (fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, r ^ i) atTop (𝓝 (1 - r)⁻¹)


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
n : ℕ
h : 2 * xn a1 n = xn a1 (n + 1)


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: h : xn a1 n * 2 = xn a1 n * a + Pell.d a1 * yn a1 n


Context: a : ℕ

Context: a1 : 1 < a

Context: n : ℕ

Context: this : n = 0


Context:
a : ℕ
a1 : 1 < a
h : 2 = a


Context:
a : ℝ
s : ℂ
hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => ↑(Real.cos (2 * π * a * ↑n)) / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑↑n) / ↑|↑n| ^ s / 2 + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑(-↑n)) / ↑|(-↑n)| ^ s / 2) (cosZeta (↑a) s + cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑0) / ↑|0| ^ s / 2)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

Context: this : HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * I * ↑a * ↑n) + cexp (-(2 * ↑π * I * ↑a * ↑n))) / 2 / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)


Context: a : ℝ

Context: s : ℂ

Context: hs : 1 < s.re

HasSum (fun n => (cexp (2 * ↑π * ↑a * ↑n * I) + cexp (-(2 * ↑π * ↑a * ↑n * I))) / 2 / ↑n ^ s) (cosZeta (↑a) s)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

(∀ (n : ℕ), ¬¬a ^ (n + 1) ∣ b) ↔ ∀ (n : ℕ), a ^ n ∣ b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α


Context: a b✝ c b x : ℕ


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x✝ : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
R : Type u_1
inst✝¹ : CommSemiring R
inst✝ : Algebra R 𝕜
p : 𝕜[X]
q : R[X]
x : 𝕜

HasStrictDerivAt (fun x => eval x p) (eval x (derivative p)) x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
α : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype l
inst✝⁶ : Fintype m
inst✝⁵ : Fintype n
inst✝⁴ : DecidableEq l
inst✝³ : DecidableEq m
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : CommRing α
ι : Type u_5
inst✝ : Unique ι
u v : m → α

(1 + col ι u * row ι v).det = 1 + v ⬝ᵥ u


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t u : Set Ω
hs : s.Finite


Context:
a : UnitAddCircle
x : ℝ
hx : x ≤ 0


Context:
x : ℝ
hx : x ≤ 0
a' : ℝ


Context:
k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ

(hn + 1).primeFactorsList <+ ((hn + 1) * k).primeFactorsList


Context:
k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ

(hn + 1).primeFactorsList <+~ ((hn + 1) * k).primeFactorsList


Context:
k : ℕ
h : k ≠ 0
hn : ℕ

(hn + 1).primeFactorsList <+~ hn.succ.primeFactorsList ++ k.primeFactorsList


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T

↑(-(n • x)).toCircle = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)


Context:
T : ℝ
n : ℤ
x : AddCircle T

(fourier (-n)) x = (starRingEnd ℂ) ((fourier n) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
δ' : Type u_5
ι : Sort uι
s t u : Set α
mα : MeasurableSpace α
inst✝¹ : MeasurableSpace β
inst✝ : MeasurableSpace γ
f : α → β
g✝ : β → γ
hf : MeasurableEmbedding f
g : α → γ
g' : β → γ
hg : Measurable g
hg' : Measurable g'


Measurable ((range f).restrict (extend f g g'))


Measurable ((range f)ᶜ.restrict (extend f g g'))


Context:
s : Finset ℕ
n✝ : ℕ
hsub : s ⊆ (n✝ + 1).properDivisors

∑ x ∈ s, x = ∑ x ∈ (n✝ + 1).properDivisors, x → s = (n✝ + 1).properDivisors


Context:
a b : ℝ
n : ℕ

(∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ (n + 2)) * (↑n + 2) = cos b ^ (n + 1) * sin b - cos a ^ (n + 1) * sin a + (↑n + 1) * ∫ (x : ℝ) in a..b, cos x ^ n


Context:
a b : ℝ
n : ℕ


Context:
F : Type u_1
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
Z' : Type x
ι : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
inst✝¹ : TopologicalSpace Z
inst✝ : TopologicalSpace Z'
S : Set X

∀ {x y : C(X, Y)}, x.HomotopicRel y S → y.HomotopicRel x S


∀ {x y z : C(X, Y)}, x.HomotopicRel y S → y.HomotopicRel z S → x.HomotopicRel z S


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty


Context:
𝕜 : Type u_1
inst✝² : NormedDivisionRing 𝕜
α : Type u_2
E : Type u_3
inst✝¹ : AddCommGroup E
inst✝ : Module 𝕜 E
c : 𝕜
s t : Set E
x y : E
r : ℝ≥0∞
hs : s.Nonempty
this : 0 ∈ 0 • s


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : {x}.Nontrivial


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : ∃ y ∈ {x}, y ≠ x


Context:
α : Type u
a : α
s t : Set α
x : α
H : ∃ y ∈ {x}, y ≠ x
y : α
hy : y ∈ {x}
hya : y ≠ x


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : AddCommGroup M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommGroup N
inst✝ : Module R N
p : PerfectPairing R M N
x : M

(↑p.toDualRight.symm.dualMap ∘ₗ ↑p.toDualLeft) x = (Dual.eval R M) x


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
κ : ι → Sort w'
inst✝ : Frame α
s t : Set α
a✝ b : α
f : (i : ι) → κ i → α
a : α

a ⊓ ⨆ i, ⨆ j, f i j = ⨆ i, ⨆ j, a ⊓ f i j


Context:
α : Type u_1
N : α → Type u_2
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : (a : α) → DecidableEq (N a)
inst✝ : (a : α) → Zero (N a)
f✝ g✝ f g : Π₀ (a : α), N a
a : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ : Kernel α (β × ℝ)
ν : Kernel α β
f : α × β → ℚ → ℝ
inst✝ : IsFiniteKernel κ
hf : IsRatCondKernelCDF f κ ν
a : α
x : ℝ
s : Set β
hs : MeasurableSet s

∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a = ((κ a) (s ×ˢ Iic x)).toReal


ENNReal.ofReal (∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a) = (κ a) (s ×ˢ Iic x)


0 ≤ ∫ (b : β) in s, ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x ∂ν a


Integrable (fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x) ((ν a).restrict s)


0 ≤ᶠ[ae ((ν a).restrict s)] fun b => ↑(stieltjesOfMeasurableRat f ⋯ (a, b)) x


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝ : HeytingAlgebra α
a b c : α


Context:
G : Type u_1
inst✝¹ : Group G
X : Type u_2
inst✝ : MulAction G X
hGX : IsPretransitive G X
B : Set X
hB : IsBlock G B
hBe : B.Nonempty


∀ (a : X), ∃! b, (b ∈ Set.range fun g => g • B) ∧ a ∈ b


∀ b ∈ Set.range fun g => g • B, IsBlock G b


Context:
n✝ b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b


Context:
n✝ b n : ℕ
n0 : 0 < n
nb : n < b
b2 : 1 < b


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
s : Simplex ℝ P 1

s.circumcenter = centroid ℝ univ s.points


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Simplex ℝ P 1

Context: hr : Set.univ.Pairwise fun i j => dist (s.points i) (centroid ℝ univ s.points) = dist (s.points j) (centroid ℝ univ s.points)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Simplex ℝ P 1

Context: hr : ∃ z, ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (centroid ℝ univ s.points) = z


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝² : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝¹ : MetricSpace P

Context: inst✝ : NormedAddTorsor V P

Context: s : Simplex ℝ P 1

Context: r : ℝ

Context: hr : ∀ x ∈ Set.univ, dist (s.points x) (centroid ℝ univ s.points) = r


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)

rec g (mk x) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
β : Type u
g : F (α ::: β) → β
x : F (α ::: Fix F α)
this : recF g ∘ fixToW = rec g
a : (P F).A
f : (P F).B a ⟹ α ::: Fix F α
h : repr x = ⟨a, f⟩

recF g ((P F).wMk' ((TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)


g (abs ((TypeVec.id ::: recF g) <$$> (TypeVec.id ::: fixToW) <$$> ⟨a, f⟩)) = g ((TypeVec.id ::: rec g) <$$> x)


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: π : ι → Set (Set Ω)

Context: hπ : ∀ (i : ι), ∀ s ∈ π i, MeasurableSet s

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

(∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (a : Ω) ∂μ.trim hm', ((condexpKernel μ m') a) (⋂ i ∈ s, f i) = ∏ i ∈ s, ((condexpKernel μ m') a) (f i)) ↔ ∀ (s : Finset ι) {f : ι → Set Ω}, (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m'] =ᶠ[ae μ] ∏ i ∈ s, μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: π : ι → Set (Set Ω)

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_eq' : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ i ∈ s, (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: π : ι → Set (Set Ω)

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → ∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ∀ i ∈ s, (((condexpKernel μ m') ω) (f i)).toReal = (μ[(f i).indicator fun ω => 1|m']) ω


Context: Ω : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: m' mΩ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝² : StandardBorelSpace Ω

Context: inst✝¹ : Nonempty Ω

Context: hm' : m' ≤ mΩ

Context: π : ι → Set (Set Ω)

Context: μ : Measure Ω

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h_inter_eq : ∀ (s : Finset ι) (f : ι → Set Ω), (∀ i ∈ s, f i ∈ π i) → (fun ω => (((condexpKernel μ m') ω) (⋂ i ∈ s, f i)).toReal) =ᶠ[ae μ] μ[(⋂ i ∈ s, f i).indicator fun ω => 1|m']


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
l f : Filter α
m : α → β
m' : β → γ
s : Set α
t : Set β


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : CommRing K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
i : K →+* L
f : K[X]

Splits (RingHom.id L) (map i f) ↔ Splits i f


Context:
C : Type u
inst✝¹ : Category.{v, u} C
inst✝ : NonPreadditiveAbelian C
X Y : C
a : X ⟶ Y


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
a✝ b✝ c✝ a b c d : α

|min a b - min c d| ≤ max |a - c| |b - d|


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u ⊥ < a
hb : limsup v ⊥ < b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot


limsup (u + v) f ≤ limsup (fun x => a + b) f


∀ (x : α), u x < a ∧ v x < b → (u + v) x ≤ a + b


∀ (x : α), u x < a → v x < b → u x + v x ≤ a + b


Context:
α✝ : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace α✝
α : Type u_2
f : Filter α
u v : α → EReal
a b : EReal
ha : limsup u f < a
hb : limsup v f < b
h✝ : f.NeBot
x : α


Context: G : Type u

Context: H : Type v

Context: inst✝² : Mul G

Context: inst✝¹ : Mul H

Context: f : H →ₙ* G

Context: hf : ∀ ⦃a b c d : H⦄, a * b = c * d → f a = f c ∧ f b = f d → a = c ∧ b = d

Context: inst✝ : UniqueProds G

Context: A B : Finset H

Context: A0 : A.Nonempty

Context: B0 : B.Nonempty


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : TopologicalSpace α
β : Type u_2
inst✝ : Preorder β
f g : α → β
x : α
s t : Set α
y z : β

LowerSemicontinuousWithinAt f univ x ↔ LowerSemicontinuousAt f x


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P


Context:
R : Type u_1
inst✝¹ : CommRing R
inst✝ : IsJacobson R
P : Ideal R[X]
hP : P.IsMaximal
P' : Ideal R := comap C P
this : P'.IsPrime


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this : P'.IsPrime

Context: f : R[X] →+* (R ⧸ P')[X] := mapRingHom (Quotient.mk P')


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)

((quotientMap (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P) (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) ⋯).comp ((Quotient.mk P).comp C)).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)

(((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).comp (Quotient.mk (comap C P))).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)

((Quotient.mk (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P)).comp C).IsIntegral


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this✝ : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)

Context: this : (map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P).IsMaximal


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this✝ : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this✝ : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)

Context: x : R ⧸ P'

Context: hx : C x ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P


Context: R : Type u_1

Context: inst✝¹ : CommRing R

Context: inst✝ : IsJacobson R

Context: P : Ideal R[X]

Context: hP : P.IsMaximal

Context: P' : Ideal R := comap C P

Context: this✝ : P'.IsPrime

Context: hf : Function.Surjective ⇑f

Context: hPJ : P = comap f (map f P)

Context: z : R

Context: hx : C ((Quotient.mk P') z) ∈ map (mapRingHom (Quotient.mk (comap C P))) P


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν✝¹ μ ν✝ : Measure α
f : α → ℝ≥0∞
ν : Measure α
inst✝¹ : SigmaFinite μ
inst✝ : SigmaFinite ν
hμν : μ ≪ ν
hf : AEMeasurable f ν

(μ.withDensity f).rnDeriv ν =ᶠ[ae ν] fun x => f x * μ.rnDeriv ν x


AEMeasurable (fun x => f x * μ.rnDeriv ν x) ν


μ.withDensity f = 0 + ν.withDensity fun x => f x * μ.rnDeriv ν x


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
x : OreLocalization S X


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
M : Type u_3
X : Type u_4
inst✝¹² : Monoid M
S : Submonoid M
inst✝¹¹ : OreSet S
inst✝¹⁰ : MulAction M X
inst✝⁹ : SMul R X
inst✝⁸ : SMul R M
inst✝⁷ : IsScalarTower R M M
inst✝⁶ : IsScalarTower R M X
inst✝⁵ : SMul R' X
inst✝⁴ : SMul R' M
inst✝³ : IsScalarTower R' M M
inst✝² : IsScalarTower R' M X
inst✝¹ : SMul R R'
inst✝ : IsScalarTower R R' M
r : R
r' : X
s : ↥S


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
inst✝³ : Group G
inst✝² : MulAction G α
M : Type u_3
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : MulAction M α
a : α
g : G


Context:
α : Type u_1
β : ?m.5263
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : IsLower α
s : Set α
h : s.Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
op : α → α → α
hc : Std.Commutative op
ha : Std.Associative op
inst✝ : DecidableEq α
s₁ s₂ : Multiset α
b₁ b₂ : α

op (fold op b₁ (s₁ ∪ s₂)) (fold op b₂ (s₁ ∩ s₂)) = op (fold op b₁ s₁) (fold op b₂ s₂)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜


Context:
𝕜 : Type u
inst✝⁴ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace 𝕜 E
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L : Filter 𝕜
hne : x ≠ 0


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ affineSpan k ps

affineSpan k (insert p ps) = affineSpan k ps


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
inst✝ : AffineSpace V P
ι : Type u_4
p : P
ps : Set P
h : p ∈ ↑(affineSpan k ps)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p : P

(_root_.orthogonalProjection s.direction) (p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)) = 0


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p) ∈ s.directionᗮ


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p : P

Context: c : V

Context: hc : c ∈ s.direction

⟪c, p -ᵥ ↑((orthogonalProjection s) p)⟫_ℝ = 0


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

Context: comm : (↑s).Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)

{x | x ∈ Multiset.map f s.val}.Pairwise Commute


Context: F : Type u_1

Context: ι : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: f✝ : α → β → β

Context: op : α → α → α

Context: inst✝¹ : Monoid β

Context: inst✝ : Monoid γ

Context: s : Finset α

Context: f : α → β

{x | ∃ a ∈ s.val, f a = x}.Pairwise Commute


Context:
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p


Context:
s : Finset ℕ
m n p : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ


Context:
s : Finset ℕ
m n p✝ : ℕ
hs : ∀ p ∈ s, Prime p
hn : ∏ p ∈ s, p ≠ 0
p : ℕ
hp : Prime p
q : ℕ
hq : q ∈ s
hpq : p ∣ q


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : CommSemiring R
S : Submonoid R
M : Type u_2
M' : Type u_3
M'' : Type u_4
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : AddCommMonoid M'
inst✝¹³ : AddCommMonoid M''
A : Type u_5
inst✝¹² : CommSemiring A
inst✝¹¹ : Algebra R A
inst✝¹⁰ : Module A M'
inst✝⁹ : IsLocalization S A
inst✝⁸ : Module R M
inst✝⁷ : Module R M'
inst✝⁶ : Module R M''
inst✝⁵ : IsScalarTower R A M'
f : M →ₗ[R] M'
g : M →ₗ[R] M''
R' : Type u_6
inst✝⁴ : CommSemiring R'
inst✝³ : Algebra R R'
inst✝² : IsLocalization S R'
inst✝¹ : Module R' M
inst✝ : IsScalarTower R R' M
s : ↥S

IsUnit ((algebraMap R (Module.End R M)) ↑s)


IsUnit ((Algebra.lsmul R R M) ((algebraMap R R') ↑s))


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α

B ∈ {B | M✶.Base B} ↔ B ∈ (fun X => M.E \ X) '' {B | M.Base B}


M.Base (M.E \ B) ∧ B ⊆ M.E ↔ ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B


Context:
α : Type u_1
M : Matroid α
I B✝ X B : Set α
x✝ : ∃ x, M.Base x ∧ M.E \ x = B
B' : Set α
hB' : M.Base B'
h : M.E \ B' = B


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∈ (embDomain f x).support


Context:
Γ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝² : PartialOrder Γ
inst✝¹ : Zero R
a b : Γ
r : R
Γ' : Type u_3
inst✝ : PartialOrder Γ'
f : Γ ↪o Γ'
x : HahnSeries Γ R
g : Γ'
hg : g ∉ ⇑f '' x.support


Context:
α : Type u_1
inst✝ : DecidableEq α
𝒜 : Finset (Finset α)
u v a : Finset α
r : ℕ
huv : u.card = v.card
h𝒜 : Set.Sized r ↑𝒜


∀ ⦃x : Finset α⦄, (x ∈ 𝒜 ∧ compress u v x ∈ 𝒜 ∨ x ∉ 𝒜 ∧ ∃ b ∈ 𝒜, compress u v b = x) → x.card = r


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
K : Type u_3
L : Type u_4
inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R
inst✝¹⁶ : CommRing S
inst✝¹⁵ : IsDomain S
inst✝¹⁴ : Field K
inst✝¹³ : Field L
inst✝¹² : Algebra R K
inst✝¹¹ : IsFractionRing R K
inst✝¹⁰ : Algebra K L
inst✝⁹ : FiniteDimensional K L
inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L
algRL : Algebra R L
inst✝⁷ : IsScalarTower R K L
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra S L
ist : IsScalarTower R S L
iic : IsIntegralClosure S R L
abv : AbsoluteValue R ℤ
ι : Type u_5
inst✝⁴ : DecidableEq ι
inst✝³ : Fintype ι
bS : Basis ι R S
adm : abv.IsAdmissible
inst✝² : Infinite R
inst✝¹ : DecidableEq R
inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L
a b : S
hb : b ≠ 0

∃ q, ∃ r ∈ finsetApprox bS adm, abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: inj : Function.Injective ⇑(algebraMap R L)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

Context: hqr : abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b'))


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) < abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) b)


Context: R : Type u_1

Context: S : Type u_2

Context: K : Type u_3

Context: L : Type u_4

Context: inst✝¹⁷ : EuclideanDomain R

Context: inst✝¹⁶ : CommRing S

Context: inst✝¹⁵ : IsDomain S

Context: inst✝¹⁴ : Field K

Context: inst✝¹³ : Field L

Context: inst✝¹² : Algebra R K

Context: inst✝¹¹ : IsFractionRing R K

Context: inst✝¹⁰ : Algebra K L

Context: inst✝⁹ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁸ : Algebra.IsSeparable K L

Context: algRL : Algebra R L

Context: inst✝⁷ : IsScalarTower R K L

Context: inst✝⁶ : Algebra R S

Context: inst✝⁵ : Algebra S L

Context: ist : IsScalarTower R S L

Context: iic : IsIntegralClosure S R L

Context: abv : AbsoluteValue R ℤ

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝⁴ : DecidableEq ι

Context: inst✝³ : Fintype ι

Context: bS : Basis ι R S

Context: adm : abv.IsAdmissible

Context: inst✝² : Infinite R

Context: inst✝¹ : DecidableEq R

Context: inst✝ : Algebra.IsAlgebraic R L

Context: a b : S

Context: hb : b ≠ 0

Context: a' : S

Context: b' : R

Context: hb' : b' ≠ 0

Context: h : b' • a = b * a'

Context: q : S

Context: r : R

Context: hr : r ∈ finsetApprox bS adm

abv ((Algebra.norm R) ((algebraMap R S) b')) * abv ((Algebra.norm R) (r • a - q * b)) = abv ((Algebra.norm R) (r • a' - b' • q)) * abv ((Algebra.norm R) b)


Context:
R : Type u
L : Type v
M : Type w
M₂ : Type w₁
inst✝¹⁰ : CommRing R
inst✝⁹ : LieRing L
inst✝⁸ : LieAlgebra R L
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M₂
inst✝² : Module R M₂
inst✝¹ : LieRingModule L M₂
inst✝ : LieModule R L M₂
N N' : LieSubmodule R L M
I J : LieIdeal R L
N₂ : LieSubmodule R L M₂

⁅I, N⁆ ≤ N' ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ ∈ N'


{m | ∃ x n, ⁅↑x, ↑n⁆ = m} ⊆ ↑N' ↔ ∀ x ∈ I, ∀ m ∈ N, ⁅x, m⁆ ∈ N'


Context:
x y : ℂ
h : cexp x = 0


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
hdeg : natDegree 0 ≤ p.natDegree
hr : 0 = p * r


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
hdeg : q.natDegree ≤ p.natDegree
r : R[X]
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0
rzero : r ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: r : R[X]

Context: hdeg : p.natDegree + r.natDegree ≤ p.natDegree

Context: hr : q = p * r

Context: hq : q ≠ 0

Context: rzero : r ≠ 0


Context:
R✝ : Type u
S : Type v
T : Type w
a b : R✝
n : ℕ
inst✝² : CommRing R✝
inst✝¹ : IsDomain R✝
p✝ q✝ : R✝[X]
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hp : p.Monic
r : R[X]
hdeg : (p * r).natDegree ≤ p.natDegree
hr : q = p * r
hq : q ≠ 0
rzero : r ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: r : R[X]

Context: hr : q = C (r.coeff 0) * p

Context: hq : q ≠ 0

Context: rzero : r ≠ 0


Context: R✝ : Type u

Context: S : Type v

Context: T : Type w

Context: a b : R✝

Context: n : ℕ

Context: inst✝² : CommRing R✝

Context: inst✝¹ : IsDomain R✝

Context: p✝ q✝ : R✝[X]

Context: R : Type u_1

Context: inst✝ : CommRing R

Context: p q : R[X]

Context: hp : p.Monic

Context: r : R[X]

Context: hr : q = r * p

Context: hq : q ≠ 0

Context: rzero : r ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
s t : Set α


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a a₁ a₂ b c : G
inst✝ : Group G
s : Set G
hs : IsSubgroup s
h : a⁻¹ ∈ s


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝² : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: X : C

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ X

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hπ : IsIso (Sigma.desc π)

Context: this : IsColimit (Cofan.mk X π) := (coproductIsCoproduct Z).ofPointIso

IsColimit (Cofan.mk Y fun x => pullback.fst f (π x))


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝² : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: X : C

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ X

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hπ : IsIso (Sigma.desc π)

(Discrete.natTrans fun i => pullback.snd f (π i.as)) ≫ (Cofan.mk X π).ι = (Cofan.mk Y fun x => pullback.fst f (π x)).ι ≫ (Functor.const (Discrete α)).map f


Context: J : Type v'

Context: inst✝⁴ : Category.{u', v'} J

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u''

Context: inst✝² : Category.{v'', u''} D

Context: X✝ Y✝ : C

Context: inst✝¹ : FinitaryPreExtensive C

Context: α : Type

Context: inst✝ : Finite α

Context: X : C

Context: Z : α → C

Context: π : (a : α) → Z a ⟶ X

Context: Y : C

Context: f : Y ⟶ X

Context: hπ : IsIso (Sigma.desc π)

∀ (j : Discrete α), IsPullback ((Cofan.mk Y fun x => pullback.fst f (π x)).ι.app j) ((Discrete.natTrans fun i => pullback.snd f (π i.as)).app j) f ((Cofan.mk X π).ι.app j)


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure


Context:
G : Type u_1
inst✝⁹ : TopologicalSpace G
inst✝⁸ : Group G
inst✝⁷ : TopologicalGroup G
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
inst✝⁵ : BorelSpace G
inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ
inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
this : CompactSpace G


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: A : ∀ (s : Set G), μ' s = μ'.haarScalarFactor μ • μ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: Z : μ' univ = μ'.haarScalarFactor μ • μ univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝⁹ : TopologicalSpace G

Context: inst✝⁸ : Group G

Context: inst✝⁷ : TopologicalGroup G

Context: inst✝⁶ : MeasurableSpace G

Context: inst✝⁵ : BorelSpace G

Context: inst✝⁴ : LocallyCompactSpace G

Context: μ' μ : Measure G

Context: inst✝³ : IsProbabilityMeasure μ

Context: inst✝² : IsProbabilityMeasure μ'

Context: inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure

Context: inst✝ : μ'.IsHaarMeasure

Context: this : CompactSpace G

Context: Z : 1 = μ'.haarScalarFactor μ


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P

(b.toMatrix ⇑b₂).det • b₂.coords x = (b.toMatrix ⇑b₂)ᵀ.cramer (b.coords x)


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂)


Context:
ι : Type u₁
k : Type u₂
V : Type u₃
P : Type u₄
inst✝⁵ : AddCommGroup V
inst✝⁴ : AffineSpace V P
inst✝³ : CommRing k
inst✝² : Module k V
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
b b₂ : AffineBasis ι k P
x : P
hu : IsUnit (b.toMatrix ⇑b₂).det


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
α : Type u_4
β : Type u_5
ι : Type u_6
inst✝⁶ : OrderedSemiring 𝕜
inst✝⁵ : AddCommMonoid E
inst✝⁴ : AddCommMonoid F
inst✝³ : LinearOrderedAddCommMonoid β
inst✝² : SMul 𝕜 E
inst✝¹ : Module 𝕜 β
inst✝ : OrderedSMul 𝕜 β
s : Set E
f g : E → β
hf : ConvexOn 𝕜 s f
hg : ConvexOn 𝕜 s g
x : E
hx : x ∈ s
y : E
hy : y ∈ s
a b : 𝕜
ha : 0 ≤ a
hb : 0 ≤ b
hab : a + b = 1

f (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y


g (a • x + b • y) ≤ a • (f ⊔ g) x + b • (f ⊔ g) y


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : Monoid α
inst✝ : AddMonoid β
f : Multiplicative ℕ →* α
n : Multiplicative ℕ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁ : S.LeftHomologyData

Context: h₂ : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

Context: ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

Context: inst✝⁶ : S₁.HasHomology

Context: inst✝⁵ : S₂.HasHomology

Context: inst✝⁴ : (F.mapShortComplex.obj S₁).HasHomology

Context: inst✝³ : (F.mapShortComplex.obj S₂).HasHomology

Context: inst✝² : F.PreservesLeftHomologyOf S₁

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms

Context: γ : LeftHomologyMapData φ S₁.leftHomologyData S₂.leftHomologyData

QuasiIso (F.mapShortComplex.map φ) ↔ QuasiIso φ


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝¹¹ : Category.{u_3, u_1} C

Context: inst✝¹⁰ : Category.{u_4, u_2} D

Context: inst✝⁹ : HasZeroMorphisms C

Context: inst✝⁸ : HasZeroMorphisms D

Context: S : ShortComplex C

Context: h₁ : S.LeftHomologyData

Context: h₂ : S.RightHomologyData

Context: F : C ⥤ D

Context: inst✝⁷ : F.PreservesZeroMorphisms

Context: S₁ S₂ : ShortComplex C

Context: φ : S₁ ⟶ S₂

Context: hl₁ : S₁.LeftHomologyData

Context: hr₁ : S₁.RightHomologyData

Context: hl₂ : S₂.LeftHomologyData

Context: hr₂ : S₂.RightHomologyData

Context: ψl : LeftHomologyMapData φ hl₁ hl₂

Context: ψr : RightHomologyMapData φ hr₁ hr₂

Context: inst✝⁶ : S₁.HasHomology

Context: inst✝⁵ : S₂.HasHomology

Context: inst✝² : F.PreservesLeftHomologyOf S₁

Context: inst✝¹ : F.PreservesLeftHomologyOf S₂

Context: inst✝ : F.ReflectsIsomorphisms


Context:
R : Type u_1
R' : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
ι : Type u_5
ι' : Type u_6
α : Type u_7
inst✝⁸ : LinearOrderedField R
inst✝⁷ : LinearOrderedField R'
inst✝⁶ : AddCommGroup E
inst✝⁵ : AddCommGroup F
inst✝⁴ : LinearOrderedAddCommGroup α
inst✝³ : Module R E
inst✝² : Module R F
inst✝¹ : Module R α
inst✝ : OrderedSMul R α
s✝ : Set E
i j : ι
c : R
t : Finset ι
w : ι → R
z : ι → E
s : Finset E

(convexHull R) ↑s = {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}


↑s ⊆ {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}


Convex R {x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x}


{x | ∃ w, (∀ y ∈ s, 0 ≤ w y) ∧ ∑ y ∈ s, w y = 1 ∧ s.centerMass w id = x} ⊆ (convexHull R) ↑s


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)


Context:
ι : Type u_1
inst✝³ : LinearOrder ι
inst✝² : SuccOrder ι
inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι
inst✝ : PredOrder ι
i0 i : ι
n : ℕ
hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)
this : pred^[n.succ] i0 < i0


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: inst✝² : SuccOrder ι

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι

Context: inst✝ : PredOrder ι

Context: i0 i : ι

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)

Context: this : pred^[n.succ] i0 < i0

Context: m : ℕ := (-toZ i0 (pred^[n.succ] i0)).toNat


Context: ι : Type u_1

Context: inst✝³ : LinearOrder ι

Context: inst✝² : SuccOrder ι

Context: inst✝¹ : IsSuccArchimedean ι

Context: inst✝ : PredOrder ι

Context: i0 i : ι

Context: n : ℕ

Context: hn : ¬IsMin (pred^[n + 1] i0)

Context: this : pred^[n.succ] i0 < i0

Context: h_eq : pred^[m] i0 = pred^[n.succ] i0


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
E : Type u_3
inst✝⁷ : Category.{?u.284, u_1} C
inst✝⁶ : Category.{?u.288, u_2} D
inst✝⁵ : Category.{?u.292, u_3} E
inst✝⁴ : HasShift C ℤ
inst✝³ : HasShift D ℤ
inst✝² : HasShift E ℤ
F : C ⥤ D
inst✝¹ : F.CommShift ℤ
G : D ⥤ E
inst✝ : G.CommShift ℤ
X✝ Y✝ : Triangle C
f : X✝ ⟶ Y✝

F.map X✝.mor₁ ≫ F.map f.hom₂ = F.map f.hom₁ ≫ F.map Y✝.mor₁


F.map X✝.mor₂ ≫ F.map f.hom₃ = F.map f.hom₂ ≫ F.map Y✝.mor₂


(F.map X✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app X✝.obj₁) ≫ (shiftFunctor D 1).map (F.map f.hom₁) = F.map f.hom₃ ≫ F.map Y✝.mor₃ ≫ (F.commShiftIso 1).hom.app Y✝.obj₁


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : y < 1


Context:
α : Type u
inst✝¹ : LinearOrderedCommGroup α
a b c : α
inst✝ : Nontrivial α
y : α
hy : y ≠ 1
h : 1 < y


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x✝ x' : G
y y' : E
inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝² : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
inst✝¹ : NormedSpace ℝ F
inst✝ : AddGroup G
x : G
h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)
hx : x ∉ support g + support f


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: x : G

Context: h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)

Context: hx : ∀ (x_1 x_2 : G), g x_1 = 0 ∨ f x_2 = 0 ∨ ¬x_1 + x_2 = x


Context: 𝕜 : Type u𝕜

Context: G : Type uG

Context: E : Type uE

Context: E' : Type uE'

Context: E'' : Type uE''

Context: F : Type uF

Context: F' : Type uF'

Context: F'' : Type uF''

Context: P : Type uP

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F

Context: f f' : G → E

Context: g g' : G → E'

Context: x✝ x' : G

Context: y y' : E

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E'

Context: inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E''

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F

Context: inst✝² : MeasurableSpace G

Context: μ ν : Measure G

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ F

Context: inst✝ : AddGroup G

Context: x : G

Context: h2x : x ∈ support (f ⋆[L, μ] g)


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
i j : ι
hij : ¬c.symm.Rel i j


Context:
ι : Type u_1
V : Type u_2
inst✝¹ : Category.{?u.20862, u_2} V
c : ComplexShape ι
inst✝ : HasZeroMorphisms V
X : HomologicalComplex Vᵒᵖ c
x✝⁴ x✝³ x✝² : ι
x✝¹ : c.symm.Rel x✝⁴ x✝³
x✝ : c.symm.Rel x✝³ x✝²

(fun i j => (X.d j i).unop) x✝⁴ x✝³ ≫ (fun i j => (X.d j i).unop) x✝³ x✝² = 0


Context:
ι : Type u_1
ι' : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
inst✝ : SemilatticeInf α


Tendsto (fun a => (a, a)) atBot (atBot ×ˢ atBot)


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α

∃ b, b.Countable ∧ ∅ ∉ b ∧ IsTopologicalBasis b


Context:
α : Type u
t : TopologicalSpace α
inst✝ : SecondCountableTopology α
b : Set (Set α)
hb₁ : b.Countable
hb₂ : t = generateFrom b


((fun f => ⋂₀ f) '' {f | f.Finite ∧ f ⊆ b} \ {∅}).Countable


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : LinearOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c d : α
h₁ : c ≤ b
h₂ : a ≤ d
x : α

x ∈ Icc a b ∪ Icc c d ↔ x ∈ Icc (min a c) (max b d)


a ≤ x ∧ x ≤ b ∨ c ≤ x ∧ x ≤ d ↔ (a ≤ x ∨ c ≤ x) ∧ (x ≤ b ∨ x ≤ d)


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type w
inst✝¹ : MetricSpace X
inst✝ : MetricSpace Y
Φ✝ : Z → X
Ψ✝ : Z → Y
ε✝ : ℝ
Φ : Z → X
Ψ : Z → Y
ε : ℝ
x : Y
y : X

ε ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inr x) (Sum.inl y)


ε ≤ glueDist Φ Ψ ε (Sum.inl y) (Sum.inr x)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Finite α

Context: p q : α → Prop

Context: inst✝³ : Fintype { x // p x }

Context: inst✝² : Fintype { x // ¬p x }

Context: inst✝¹ : Fintype { x // q x }

Context: inst✝ : Fintype { x // ¬q x }

Context: h : card { x // p x } = card { x // q x }


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: inst✝⁴ : Finite α

Context: p q : α → Prop

Context: inst✝³ : Fintype { x // p x }

Context: inst✝² : Fintype { x // ¬p x }

Context: inst✝¹ : Fintype { x // q x }

Context: inst✝ : Fintype { x // ¬q x }

Context: val✝ : Fintype α


Context:
α : Type u
inst✝ : Monoid α
a✝ b c u : αˣ
a : α
h : ↑u * a = 1

↑u⁻¹ = ↑u⁻¹ * 1


Context:
α : Type u
β✝ : Type u_1
t✝ : TopologicalSpace α
B : Set (Set α)
s✝ : Set α
β : Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace β
s : Set α
t : Set β
cs : Set α
cs_count : cs.Countable
hcs : s ⊆ closure cs
ct : Set β
ct_count : ct.Countable
hct : t ⊆ closure ct


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
G : Type u_3
H : Type u_4
A : Type u_5
B : Type u_6
α : Type u_7
β : Type u_8
γ : Type u_9
δ : Type u_10
inst✝⁴ : Monoid M
inst✝³ : MulAction M α
inst✝² : Mul α
r s : M
x y : α
inst✝¹ : IsScalarTower M α α
inst✝ : SMulCommClass M α α


Context:
ι : Type v
β : ι → Type w
inst✝¹ : (i : ι) → AddCommMonoid (β i)
inst✝ : DecidableEq ι
s : Finset ι
f : (i : ↑↑s) → β ↑i
n : ι
hn : n ∉ s