Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝⁴ : MeasurableSpace α
μ ν✝ : Measure α
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : TopologicalSpace γ
inst✝¹ : TopologicalSpace δ
inst✝ : MeasurableSpace β
ν : Measure β
f : α → β
g : β →ₘ[ν] γ
hf : QuasiMeasurePreserving f μ ν

↑(g.compQuasiMeasurePreserving f hf) =ᶠ[ae μ] ↑g ∘ f


Context:
ι : Type u_1
M : ι → Type u_2
inst✝² : (i : ι) → Monoid (M i)
N : Type u_3
inst✝¹ : Monoid N
inst✝ : DecidableEq ι
i : ι
x : M i

(lift (Pi.mulSingle i (MonoidHom.id (M i)))) (of x) = x


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : DecidableEq n


Context:
α : Type u
L L₁ L₂ L₃ L₄ : List (α × Bool)
inst✝ : DecidableEq α
x y : FreeGroup α

(x * y).norm = (mk (x.toWord ++ y.toWord)).norm


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousAt f x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝 x)

Context: hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝 x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u

Tendsto (fun n => F n (g n)) p (𝓝 (f x))


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f univ x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝 x)


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: γ : Type w

Context: ι : Type x

Context: inst✝¹ : UniformSpace β

Context: F : ι → α → β

Context: f : α → β

Context: s s' : Set α

Context: x : α

Context: p : Filter ι

Context: p' : Filter α

Context: g : ι → α

Context: inst✝ : TopologicalSpace α

Context: h : ContinuousWithinAt f univ x

Context: hg : Tendsto g p (𝓝[univ] x)

Context: hunif : ∀ u ∈ 𝓤 β, ∃ t ∈ 𝓝[univ] x, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ y ∈ t, (f y, F n y) ∈ u


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : ¬(s.Nonempty ∧ t.Nonempty)


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Mul α
s s₁ s₂ t t₁ t₂ : Finset α
h : 0 < Eₘ[s, t]
H : s = ∅ ∨ t = ∅


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M


x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i)) → ∃ i, x ∈ S i


Context:
M : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝ : MulOneClass M
ι : Sort u_4
hι : Nonempty ι
S : ι → Submonoid M
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : M
hx : x ∈ closure (⋃ i, ↑(S i))


∀ (x y : M), (∃ i, x ∈ S i) → (∃ i, y ∈ S i) → ∃ i, x * y ∈ S i


Context:
J : Type u
inst✝ : Category.{v, u} J
F G : J ⥤ Type w
φ : F ⟶ G
x : (fun F => ↑F.sections) F
j j' : J
f : j ⟶ j'

(F.map f ≫ φ.app j') (↑x j) = (fun j => φ.app j (↑x j)) j'


Context:
X Y : Scheme
U : X.Opens
hU : IsAffineOpen U
f : ↑Γ(X, U)
r : ↑Γ(X, ⊤)


IsAffineOpen ((X.basicOpen r).ι ''ᵁ (X.basicOpen r).ι ⁻¹ᵁ U)


IsAffineOpen (⋯.functor.obj ((X.basicOpen r).ι ⁻¹ᵁ U))


IsAffineOpen (X.basicOpen ((X.presheaf.map (homOfLE ⋯).op) r))


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
δ : Type u_1
ι : Sort x
f✝ g : Filter α
s✝ t : Set α
f : Filter α
s : Set α

f ⊓ 𝓟 s = ⊥ ↔ sᶜ ∈ f


Context:
a✝ b✝ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a b : ℝ

∫ (x : ℝ) in a..b, Complex.cos (z * ↑x) = Complex.sin (z * ↑b) / z - Complex.sin (z * ↑a) / z


∀ x ∈ [[a, b]], HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


IntervalIntegrable (fun y => Complex.cos (z * ↑y)) MeasureTheory.volume a b


Context:
a✝¹ b✝ : ℝ
n : ℕ
z : ℂ
hz : z ≠ 0
a b x : ℝ
a✝ : x ∈ [[a, b]]

HasDerivAt (fun b => Complex.sin (z * ↑b) / z) (Complex.cos (z * ↑x)) x


Context: a✝² b✝ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b]]

Context: a : HasDerivAt Complex.sin (Complex.cos (↑x * z)) (↑x * z)


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

Context: c : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (y * z)) (Complex.cos (↑x * z) * z) ↑x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

Context: d : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (↑y * z) / z) (Complex.cos (↑x * z) * z / z) x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

Context: d : HasDerivAt (fun y => Complex.sin (z * ↑y) / z) (z * Complex.cos (z * ↑x) / z) x


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

Complex.cos (z * ↑x) = z * Complex.cos (z * ↑x) / z


Context: a✝² b✝¹ : ℝ

Context: n : ℕ

Context: z : ℂ

Context: hz : z ≠ 0

Context: a✝¹ b✝ x : ℝ

Context: a✝ : x ∈ [[a✝¹, b✝]]

Context: b : HasDerivAt (fun y => y * z) z ↑x

Complex.cos (z * ↑x) = Complex.cos (z * ↑x) * z / z


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
inst✝¹ : SemilatticeInf α
inst✝ : SemilatticeInf β
s✝ t✝ : Set α
a b : α
s : Set α
t : Set β
u : Finset α
hu : u.Nonempty
hus : ↑u ⊆ s
v : Finset β
hv : v.Nonempty
hvt : ↑v ⊆ t

(u.inf' hu id, v.inf' hv id) ∈ infClosure (s ×ˢ t)


↑(u ×ˢ v) ⊆ s ×ˢ t


(u ×ˢ v).inf' ⋯ id = (u.inf' hu id, v.inf' hv id)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝ : DecidableEq α
s t u v : Finset α
a b : α
hts : t ⊆ s
ha : a ∈ t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : PartialOrder α
a b c : α
h : a ⩿ b
h2✝ : a ≤ c
h3✝ : c ≤ b
h2 : a < c
h3 : c < b


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: inst✝ : LinearOrderedCommGroupWithZero Γ₀

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ

∃ k, v.ltAddSubgroup k ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ

v.ltAddSubgroup (min γ₀ γ₁) ≤ v.ltAddSubgroup γ₀ ⊓ v.ltAddSubgroup γ₁


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ₀ γ₁ : Γ₀ˣ

∀ (a : R), v a < ↑γ₀ → v a < ↑γ₁ → v a < ↑γ₀


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ : Γ₀ˣ

∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) * ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ γ₀ : Γ₀ˣ

Context: h : γ₀ * γ₀ ≤ γ


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ γ₀ : Γ₀ˣ

Context: h : γ₀ * γ₀ ≤ γ

↑(v.ltAddSubgroup γ₀) * ↑(v.ltAddSubgroup γ₀) ⊆ ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: γ γ₀ : Γ₀ˣ

Context: h : γ₀ * γ₀ ≤ γ

Context: r : R

Context: r_in : r ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)

Context: s : R

Context: s_in : s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ₀)

(fun x x_1 => x * x_1) r s ∈ ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x : R

Context: γ : Γ₀ˣ

∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x * x_1) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x : R

Context: γ : Γ₀ˣ

Context: Hx : v x = 0


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x : R

Context: γ γx : Γ₀ˣ

Context: Hx : v x = ↑γx


Context: R : Type u

Context: inst✝¹ : Ring R

Context: Γ₀ : Type v

Context: v : Valuation R Γ₀

Context: x : R

Context: γ : Γ₀ˣ

∃ j, ↑(v.ltAddSubgroup j) ⊆ (fun x_1 => x_1 * x) ⁻¹' ↑(v.ltAddSubgroup γ)


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
G : SimpleGraph V
a b c u v w : V
e : Sym2 V
h : G.Adj a b

G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b = {s(a, b)}


{s(a, b)} ⊆ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b


s(a, b) ∈ G.incidenceSet a ∩ G.incidenceSet b


Context:
n : ℕ
r : ℝ


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
φ ψ x y : R[X]
h : Coe.coe x = Coe.coe y
n✝ : ℕ


(PowerSeries.coeff R n✝) ↑x = (PowerSeries.coeff R n✝) ↑y


Context:
α : Type u_1
G : Type u_2
A : Type u_3
S : Type u_4
inst✝² : Group G
inst✝¹ : SetLike S G
inst✝ : SubgroupClass S G
s : S
a : G
ha : a ∈ s
x✝ : G


Context:
R : Type u_1
inst✝³ : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝² : OreSet S
X : Type u_2
inst✝¹ : AddMonoid X
inst✝ : DistribMulAction R X
s : ↥S


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
t : R[X]
ht : t ∈ Submonoid.closure {X}

IsUnit ((algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑⟨t, ht⟩)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
n : ℕ
ht : X ^ n ∈ Submonoid.closure {X}

IsUnit ((algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑⟨X ^ n, ht⟩)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[T;T⁻¹]

∃ x, f * (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑x.2 = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) x.1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ

∃ x, toLaurent f * T (-↑n) * (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑x.2 = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) x.1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f : R[X]
n : ℕ
this : X ^ n ∈ Submonoid.closure {X}


toLaurent f * T (-↑n) * (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) ↑(f, ⟨X ^ n, this⟩).2 = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) (f, ⟨X ^ n, this⟩).1


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommSemiring R
f g : R[X]

(algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) f = (algebraMap R[X] R[T;T⁻¹]) g → ∃ c, ↑c * f = ↑c * g


Context:
G : Type u_1
H : Type u_2
A : Type u_3
a✝ a₁ a₂ b✝ c : G
inst✝¹ : Group G
inst✝ : Group H
f : G → H
hf : IsGroupHom f
a b : G


Context:
J : Type v
inst✝¹ : Category.{w, v} J
F : J ⥤ Type u
inst✝ : HasColimit F
j j' : J
x : F.obj j
x' : F.obj j'
f : j ⟶ j'
w : F.map f x = x'


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝² : (i : ι) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: y : (i : ι) → E i

Context: x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤

(∑ i ∈ Finset.range (Fintype.card ι + 1), (f.toFormalMultilinearSeries i) fun x => y) = f (0 + y)


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: y : (i : ι) → E i

Context: x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤

((f.toFormalMultilinearSeries (Fintype.card ι)) fun x => y) = f y


Context: 𝕜 : Type u_1

Context: inst✝⁷ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: E✝ : Type u

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup E✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 E✝

Context: F : Type v

Context: inst✝⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: ι : Type u_2

Context: E : ι → Type u_3

Context: inst✝¹ : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (E i)

Context: inst✝ : Fintype ι

Context: f : ContinuousMultilinearMap 𝕜 E F

Context: y : (i : ι) → E i

Context: x✝ : y ∈ EMetric.ball 0 ⊤

∀ b ∈ Finset.range (Fintype.card ι + 1), b ≠ Fintype.card ι → ((f.toFormalMultilinearSeries b) fun x => y) = 0


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type u_1
f✝ g : Ultrafilter α
s t : Set α
p q : α → Prop
f : Ultrafilter α
h₀ : optParam (Injective id) ⋯


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β

Context: x : { x // x ∈ filter (fun x => ¬p x) s }


Context:
ι : Type u_1
κ : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α
a : α
f✝ g✝ : α → β
inst✝¹ : CommMonoid β
s : Finset α
p : α → Prop
hp : DecidablePred p
inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x
f : (x : α) → p x → γ
g : (x : α) → ¬p x → γ
h : γ → β
x : { x // x ∈ filter p s }
_hx : x ∈ (filter p s).attach


Context: ι : Type u_1

Context: κ : Type u_2

Context: α : Type u_3

Context: β : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: s✝ s₁ s₂ : Finset α

Context: a : α

Context: f✝ g✝ : α → β

Context: inst✝¹ : CommMonoid β

Context: s : Finset α

Context: p : α → Prop

Context: hp : DecidablePred p

Context: inst✝ : DecidablePred fun x => ¬p x

Context: f : (x : α) → p x → γ

Context: g : (x : α) → ¬p x → γ

Context: h : γ → β

Context: _hx : x ∈ (filter (fun x => ¬p x) s).attach


Context:
K : Type u
L : Type v
M : Type w
inst✝² : DivisionRing K
inst✝¹ : DivisionRing L
inst✝ : DivisionRing M
f : K →+* L
s : Subfield L
h : s ≤ f.fieldRange


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
f : α → E
hf : Memℒp f p μ

edist (Memℒp.toLp f hf) 0 = eLpNorm f p μ


Context:
R : Type u
inst✝ : AddGroupWithOne R
m n : ℕ


Context: a b : Ordinal.{u_1}


Context:
ι✝ : Type u_1
κ✝ : Type u_2
α✝ : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
s✝ s₁ s₂ : Finset α✝
a : α✝
f✝ g : α✝ → β
ι : Type u_6
κ : Type u_7
α : Type u_8
inst✝² : Fintype ι
inst✝¹ : Fintype κ
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α
h : ∀ (i : ι), f i ≠ 1 → i ∈ s


Context:
C₁ : Type u₁
C₂ : Type u₂
C₃ : Type u₃
D₁ : Type u₄
D₂ : Type u₅
D₃ : Type u₆
inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁
inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂
inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃
inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁
inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂
inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃
W₁ : MorphismProperty C₁
W₂ : MorphismProperty C₂
W₃ : MorphismProperty C₃
Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂
L₁ : C₁ ⥤ D₁
inst✝² : L₁.IsLocalization W₁
L₂ : C₂ ⥤ D₂
inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂
G : D₁ ⥤ D₂
inst✝ : Φ.functor.IsEquivalence
h : W₂ ≤ W₁.map Φ.functor


Context: C₁ : Type u₁

Context: C₂ : Type u₂

Context: C₃ : Type u₃

Context: D₁ : Type u₄

Context: D₂ : Type u₅

Context: D₃ : Type u₆

Context: inst✝⁸ : Category.{v₁, u₁} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{v₂, u₂} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{v₃, u₃} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{v₄, u₄} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{v₅, u₅} D₂

Context: inst✝³ : Category.{v₆, u₆} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: inst✝ : Φ.functor.IsEquivalence

Context: h : W₂ ≤ W₁.map Φ.functor

Context: this : (Φ.functor ⋙ W₂.Q).IsLocalization W₁


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

Context: inst✝¹ : Algebra.IsSeparable (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: inst✝ : FiniteDimensional (FractionRing A) (FractionRing B)

Context: this : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

coeSubmodule (FractionRing B) (differentIdeal A B) = 1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) 1 ≤ LinearMap.range (Algebra.linearMap B (FractionRing B))


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

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Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

Context: this✝ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this : (FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1)⁻¹ ≤ 1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

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Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

Context: this✝¹ : IsIntegralClosure B A (FractionRing B)

Context: this✝ : (FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1)⁻¹ ≤ 1

Context: this : (fun a => ↑a) (FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1)⁻¹ ≤ ↑1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

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Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

Context: this : ↑(1 / FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1) ≤ ↑1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

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Context: inst✝¹⁹ : Field L

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Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

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Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

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Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

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Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

Context: this : ↑1 / Submodule.traceDual A (FractionRing A) ↑1 ≤ ↑1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B

Context: this : ↑1 / ↑(FractionalIdeal.dual A (FractionRing A) 1) ≤ ↑1


Context: A : Type u_1

Context: K : Type u_2

Context: L : Type u

Context: B : Type u_3

Context: inst✝²² : CommRing A

Context: inst✝²¹ : Field K

Context: inst✝²⁰ : CommRing B

Context: inst✝¹⁹ : Field L

Context: inst✝¹⁸ : Algebra A K

Context: inst✝¹⁷ : Algebra B L

Context: inst✝¹⁶ : Algebra A B

Context: inst✝¹⁵ : Algebra K L

Context: inst✝¹⁴ : Algebra A L

Context: inst✝¹³ : IsScalarTower A K L

Context: inst✝¹² : IsScalarTower A B L

Context: inst✝¹¹ : IsDomain A

Context: inst✝¹⁰ : IsFractionRing A K

Context: inst✝⁹ : IsIntegralClosure B A L

Context: inst✝⁸ : IsFractionRing B L

Context: inst✝⁷ : FiniteDimensional K L

Context: inst✝⁶ : Algebra.IsSeparable K L

Context: inst✝⁵ : IsIntegrallyClosed A

Context: inst✝⁴ : IsDedekindDomain B

Context: inst✝³ : NoZeroSMulDivisors A B

Context: inst✝² : Algebra.IsIntegral A B


Context:
y : ℝ
h : 0 < y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: hf : ∀ (q : ℝ), Measurable fun a => ↑(f a) q

Context: hf_bot : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atBot (𝓝 0)

Context: hf_top : ∀ (a : α), Tendsto (↑(f a)) atTop (𝓝 1)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

Context: this : ∀ (a : α), IsProbabilityMeasure (f a).measure


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

(fun s => Measurable fun b => (f b).measure s) ∅


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

∀ t ∈ range Iic, (fun s => Measurable fun b => (f b).measure s) t


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (t : Set ℝ), MeasurableSet t → (fun s => Measurable fun b => (f b).measure s) t → (fun s => Measurable fun b => (f b).measure s) tᶜ


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: mα : MeasurableSpace α

Context: mβ : MeasurableSpace β

Context: κ✝ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν✝ : Kernel α β

Context: x✝ : MeasurableSpace β

Context: f✝ : α × β → StieltjesFunction

Context: κ : Kernel α (β × ℝ)

Context: ν : Kernel α β

Context: f : α → StieltjesFunction

Context: s : Set ℝ

Context: hs : MeasurableSet s

∀ (f_1 : ℕ → Set ℝ), Pairwise (Disjoint on f_1) → (∀ (i : ℕ), MeasurableSet (f_1 i)) → (∀ (i : ℕ), (fun s => Measurable fun b => (f b).measure s) (f_1 i)) → (fun s => Measurable fun b => (f b).measure s) (⋃ i, f_1 i)


Context:
R : Type u
inst✝¹ : AddGroupWithOne R
n : ℕ
inst✝ : n.AtLeastTwo


Context:
α : Type u_1
le : α → α → Bool
r : Nat
a : α
c : HeapNode α
s : Heap α

(cons r a c s).realSize = (merge le (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next)).realSize + 1


Context: α : Type u_1

Context: le : α → α → Bool

Context: r : Nat

Context: a : α

Context: c : HeapNode α

Context: s : Heap α

Context: this : Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }) (c.realSize + s.realSize + 1)


Batteries.BinomialHeap.Imp.FindMin.HasSize (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }) (c.realSize + s.realSize + 1) → (cons r a c s).realSize = (merge le (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).node.toHeap ((findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).before (findMin le (cons r a c) s { before := id, val := a, node := c, next := s }).next)).realSize + 1


Context:
l : Type u_1
m : Type u_2
n : Type u_3
o : Type u_4
R : Type u_5
inst✝⁴ : Fintype n
inst✝³ : Fintype o
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : StrongRankCondition R
inst✝ : Fintype m
f : n → m
e : n ≃ m
A : Matrix m m R


finrank R ↥(Submodule.map (LinearMap.funLeft R R f) (LinearMap.range A.mulVecLin)) ≤ finrank R ↥(LinearMap.range A.mulVecLin)


Context:
J : Type u₁
inst✝⁴ : Category.{v₁, u₁} J
K : Type u₂
inst✝³ : Category.{v₂, u₂} K
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
F✝ : J ⥤ C
J' : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} J'
e : J ≌ J'
inst✝ : HasLimitsOfShape J C
F : J' ⥤ C


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

(s ⊼ t).truncatedSup a = s.truncatedSup a ⊓ t.truncatedSup a


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

((filter (fun x => a ≤ x) s ⊼ filter (fun x => a ≤ x) t).sup' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun b => a ≤ b) s ×ˢ filter (fun b => a ≤ b) t).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

((image (Function.uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) (filter (fun x => a ≤ x) s ×ˢ filter (fun x => a ≤ x) t)).sup' ⋯ fun x => id x) = (filter (fun b => a ≤ b) s ×ˢ filter (fun b => a ≤ b) t).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : DistribLattice α

Context: inst✝² : BoundedOrder α

Context: inst✝¹ : DecidableEq α

Context: s t : Finset α

Context: a : α

Context: hs : a ∈ lowerClosure ↑s

Context: ht : a ∈ lowerClosure ↑t

(filter (fun x => a ≤ x) s ×ˢ filter (fun x => a ≤ x) t).sup' ⋯ ((fun x => id x) ∘ Function.uncurry fun x x_1 => x ⊓ x_1) = (filter (fun b => a ≤ b) s ×ˢ filter (fun b => a ≤ b) t).sup' ⋯ fun i => id i.1 ⊓ id i.2


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: hs : ∀ x ∈ s, ∀ (y : N) (z : α), (x • y) • z = x • y • z


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: x : M

∀ (y : N) (z : α), (1 • y) • z = 1 • y • z


Context: M : Type u_1

Context: A : Type u_2

Context: B : Type u_3

Context: N : Type u_4

Context: α : Type u_5

Context: inst✝³ : Monoid M

Context: inst✝² : MulAction M N

Context: inst✝¹ : SMul N α

Context: inst✝ : MulAction M α

Context: s : Set M

Context: htop : Submonoid.closure s = ⊤

Context: x : M


Context:
R : Type uR
S : Type uS
A : Type uA
B : Type uB
M : Type uM
N : Type uN
inst✝¹⁰ : CommSemiring R
inst✝⁹ : CommSemiring S
inst✝⁸ : Semiring A
inst✝⁷ : Semiring B
inst✝⁶ : Algebra R S
inst✝⁵ : Algebra R A
inst✝⁴ : Algebra R B
inst✝³ : AddCommMonoid M
inst✝² : Module R M
inst✝¹ : AddCommMonoid N
inst✝ : Module R N


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
s : S
n : ℕ
h : s ∈ Set.range ⇑f


Context:
R : Type u
inst✝¹ : Semiring R
S : Type v
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
n : ℕ
r : R
h : f r ∈ Set.range ⇑f


(mapRingHom f) ((monomial n) r) = (monomial n) (f r)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝ : DistribLattice α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
L : Language
L' : Language
M : Type w
N : Type w'
inst✝³ : L.Structure M
inst✝² : L.Structure N
P : Type u_1
inst✝¹ : L.Structure P
Q : Type u_2
inst✝ : L.Structure Q
f : M ≃[L] N


Context: n : ℕ


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
c0 : 0 < c
ha : a < ω ^ c
hb : b < ω


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
hb : b < ω
c0 : 0 < 0
ha : a < ω ^ 0


Context:
a b : Ordinal.{u_1}
hb : b < ω
c : Ordinal.{u_1}
c0 : 0 < succ c
ha : a < ω ^ succ c


Context:
a b c : Ordinal.{u_1}
c0 : 0 < c
ha : a < ω ^ c
hb : b < ω
l : c.IsLimit


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : α → δ → ε

Context: n : β → γ → δ

Context: m' : α → γ → δ'

Context: n' : β → δ' → ε

Context: h_left_comm : ∀ (a : α) (b : β) (c : γ), m a (n b c) = n' b (m' a c)

map₂ m f (map₂ n g h) = map₂ n' g (map₂ m' f h)


Context: α : Type u_1

Context: α' : Type u_2

Context: β : Type u_3

Context: β' : Type u_4

Context: γ : Type u_5

Context: γ' : Type u_6

Context: δ : Type u_7

Context: δ' : Type u_8

Context: ε : Type u_9

Context: ε' : Type u_10

Context: m✝ : α → β → γ

Context: f f₁ f₂ : Filter α

Context: g g₁ g₂ : Filter β

Context: h h₁ h₂ : Filter γ

Context: s s₁ s₂ : Set α

Context: t t₁ t₂ : Set β

Context: u : Set γ

Context: v : Set δ

Context: a : α

Context: b : β

Context: c : γ

Context: m : α → δ → ε

Context: n : β → γ → δ

Context: m' : α → γ → δ'

Context: n' : β → δ' → ε

map₂ (fun a b => m b a) (map₂ n g h) f = map₂ n' g (map₂ (fun a b => m' b a) h f)


Context:
G✝ : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝⁶ : TopologicalSpace G✝
inst✝⁵ : Inv G✝
inst✝⁴ : ContinuousInv G✝
G : Type u_1
inst✝³ : DivInvMonoid G
inst✝² : TopologicalSpace G
inst✝¹ : ContinuousMul G
inst✝ : ContinuousInv G
x y : G
h : x ⤳ y
n : ℕ


(x ^ Int.negSucc n) ⤳ (y ^ Int.negSucc n)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝ : PseudoEMetricSpace α
f g : α → ℝ
hf : LocallyLipschitz f
a : ℝ


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ : Set α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
Huv : ⋃₀ S ⊆ u ∪ v
a : α
hau : a ∈ u
s : Set α
hsS : s ∈ S
has : a ∈ s
b : α
hbv : b ∈ v
t : Set α
htS : t ∈ S
hbt : b ∈ t
r : Set α
hrS : r ∈ S
hsr : s ⊆ r
htr : t ⊆ r


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ : Set α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
Huv : ⋃₀ S ⊆ u ∪ v
a : α
hau : a ∈ u
s : Set α
hsS : s ∈ S
has : a ∈ s
b : α
hbv : b ∈ v
t : Set α
htS : t ∈ S
hbt : b ∈ t
r : Set α
hrS : r ∈ S
hsr : s ⊆ r
htr : t ⊆ r
Hnuv : (r ∩ (u ∩ v)).Nonempty


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝ : TopologicalSpace α
s✝ t✝ u✝ v✝ : Set α
S : Set (Set α)
K : DirectedOn (fun x x_1 => x ⊆ x_1) S
H : ∀ s ∈ S, IsPreconnected s
u v : Set α
hu : IsOpen u
hv : IsOpen v
Huv : ⋃₀ S ⊆ u ∪ v
a : α
hau : a ∈ u
s : Set α
hsS : s ∈ S
has : a ∈ s
b : α
hbv : b ∈ v
t : Set α
htS : t ∈ S
hbt : b ∈ t
r : Set α
hrS : r ∈ S
hsr : s ⊆ r
htr : t ⊆ r
Hnuv : (r ∩ (u ∩ v)).Nonempty
Kruv : r ∩ (u ∩ v) ⊆ ⋃₀ S ∩ (u ∩ v)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length

r ((p.toFun ∘ Fin.rev) i.succ) ((p.toFun ∘ Fin.rev) i.castSucc)


r (p.toFun i.succ.rev) (p.toFun i.castSucc.rev)


Context:
α : Type u_1
r : Rel α α
β : Type u_2
s : Rel β β
p : RelSeries r
i : Fin p.length
hi : ↑i + 1 ≤ p.length


i.succ.rev = ⟨p.length - (↑i + 1), ⋯⟩.castSucc


i.castSucc.rev = ⟨p.length - (↑i + 1), ⋯⟩.succ


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

0 ⧏ x ↔ ∃ i, ∀ (j : (x.moveLeft i).RightMoves), 0 ⧏ (x.moveLeft i).moveRight j


Context:
xl xr : Type u
x : PGame

((∃ i, (∀ (i' : LeftMoves 0), moveLeft 0 i' ⧏ x.moveLeft i) ∧ ∀ (j : (x.moveLeft i).RightMoves), 0 ⧏ (x.moveLeft i).moveRight j) ∨ ∃ j, (∀ (i : (moveRight 0 j).LeftMoves), (moveRight 0 j).moveLeft i ⧏ x) ∧ ∀ (j' : x.RightMoves), moveRight 0 j ⧏ x.moveRight j') ↔ ∃ i, ∀ (j : (x.moveLeft i).RightMoves), 0 ⧏ (x.moveLeft i).moveRight j


Context:
α : Type u
β : Type v
inst✝ : SemilatticeSup α
a✝ b✝ c✝ d a b c : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
Ω : Type u_4
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
mγ : MeasurableSpace γ
inst✝⁵ : CountablyGenerated γ
inst✝⁴ : MeasurableSpace Ω
inst✝³ : StandardBorelSpace Ω
inst✝² : Nonempty Ω
inst✝¹ : Countable α
κ : Kernel α (β × Ω)
inst✝ : IsFiniteKernel κ
x y : α
h : x ∈ measurableAtom y

(fun a => (κ a).condKernel) x = (fun a => (κ a).condKernel) y


Context: n : ℤ


Context:
t : ℝ
ht : 0 < t

‖F_nat 0 0 t - 1‖ ≤ rexp (-π * t) / (1 - rexp (-π * t))


Context:
t : ℝ
ht : 0 < t


Context:
a b c d : ℝ≥0∞
r p q : ℝ≥0
ha : a ≠ ⊤
hb : b ≠ 0


Context:
α : Type u_1
t : Ordnode α
ht : t.Sized


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u₁ u₂ : UniformSpace γ

uniformSpace α γ 𝔖 = uniformSpace α γ 𝔖 ⊓ uniformSpace α γ 𝔖


⨅ i, uniformSpace α γ 𝔖 = ⨅ b, bif b then uniformSpace α γ 𝔖 else uniformSpace α γ 𝔖


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
s s' : Set α
x : α
p : Filter ι
g : ι → α
inst✝ : UniformSpace β
𝔖 : Set (Set α)
u₁ u₂ : UniformSpace γ
i : Bool

uniformSpace α γ 𝔖 = bif i then uniformSpace α γ 𝔖 else uniformSpace α γ 𝔖


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ


{x | AEMeasurable.mk f hf x = AEMeasurable.mk g hg x} =ᶠ[ae μ] {x | f x = g x}


Context:
α✝ : Type u_1
G : Type u_2
α : Type u_3
inst✝⁵ : MeasurableSpace G
inst✝⁴ : Div G
m : MeasurableSpace α
f✝ g✝ : α → G
μ : Measure α
E : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace E
inst✝² : AddGroup E
inst✝¹ : MeasurableSingletonClass E
inst✝ : MeasurableSub₂ E
f g : α → E
hf : AEMeasurable f μ
hg : AEMeasurable g μ
x : α
hfx : f x = AEMeasurable.mk f hf x
hgx : g x = AEMeasurable.mk g hg x

{x | AEMeasurable.mk f hf x = AEMeasurable.mk g hg x} x = {x | f x = g x} x


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)

Function.RightInverse ⇑(piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) ⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯)


⇑(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) = ⇑LinearMap.id


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι

(quotientPiLift p (fun i => (p i).mkQ) ⋯ ∘ₗ piQuotientLift p (pi Set.univ p) single ⋯) (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j = LinearMap.id (Pi.single i (Quotient.mk'' x')) j


(fun i_1 => (p i_1).mkQ ((single i) x' i_1)) j = Pi.single i (Quotient.mk x') j


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
hij : i = j

Quotient.mk (Pi.single i x' j) = Pi.single i (Quotient.mk x') j


Context:
ι : Type u_1
R : Type u_2
inst✝⁸ : CommRing R
Ms : ι → Type u_3
inst✝⁷ : (i : ι) → AddCommGroup (Ms i)
inst✝⁶ : (i : ι) → Module R (Ms i)
N : Type u_4
inst✝⁵ : AddCommGroup N
inst✝⁴ : Module R N
Ns : ι → Type u_5
inst✝³ : (i : ι) → AddCommGroup (Ns i)
inst✝² : (i : ι) → Module R (Ns i)
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : DecidableEq ι
p : (i : ι) → Submodule R (Ms i)
i : ι
x : Ms i ⧸ p i
x' : Ms i
j : ι
hij : ¬i = j


Context:
p : ℕ
hp : Fact (Nat.Prime p)
m n : ℕ
h : m ≤ n

(ZMod.castHom ⋯ (ZMod (p ^ m))).comp ((zmodEquivTrunc p n).symm.toRingHom.comp (truncate n)) = ((zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom.comp (TruncatedWittVector.truncate h)).comp (truncate n)


((zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom.comp (TruncatedWittVector.truncate h)).comp (truncate n) = (zmodEquivTrunc p m).symm.toRingHom.comp (truncate m)


Context: x✝ : ℂ


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z

f ≫ add' W g₁ g₂ = add' W (f ≫ g₁) (f ≫ g₂)


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction₂ Y Z
hβ₁ : g₁ = β.fst.map L ⋯
hβ₂ : g₂ = β.snd.map L ⋯


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C

Context: inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D

Context: inst✝² : Preadditive C

Context: L : C ⥤ D

Context: W : MorphismProperty C

Context: inst✝¹ : L.IsLocalization W

Context: inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions

Context: X Y Z : C

Context: f : L.obj X ⟶ L.obj Y

Context: g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z

Context: α : W.LeftFraction X Y

Context: hα : f = α.map L ⋯

Context: β : W.LeftFraction₂ Y Z

Context: hβ₁ : g₁ = β.fst.map L ⋯

Context: hβ₂ : g₂ = β.snd.map L ⋯

Context: γ : W.LeftFraction₂ α.Y' β.Y'

Context: hγ₁ : (RightFraction₂.mk α.s ⋯ β.f β.f').f ≫ γ.s = (RightFraction₂.mk α.s ⋯ β.f β.f').s ≫ γ.f

Context: hγ₂ : (RightFraction₂.mk α.s ⋯ β.f β.f').f' ≫ γ.s = (RightFraction₂.mk α.s ⋯ β.f β.f').s ≫ γ.f'


Context:
C : Type u_1
D : Type u_2
inst✝⁴ : Category.{u_4, u_1} C
inst✝³ : Category.{u_3, u_2} D
inst✝² : Preadditive C
L : C ⥤ D
W : MorphismProperty C
inst✝¹ : L.IsLocalization W
inst✝ : W.HasLeftCalculusOfFractions
X Y Z : C
f : L.obj X ⟶ L.obj Y
g₁ g₂ : L.obj Y ⟶ L.obj Z
α : W.LeftFraction X Y
hα : f = α.map L ⋯
β : W.LeftFraction₂ Y Z
hβ₁ : g₁ = β.fst.map L ⋯
hβ₂ : g₂ = β.snd.map L ⋯
γ : W.LeftFraction₂ α.Y' β.Y'
hγ₁ : β.f ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f
hγ₂ : β.f' ≫ γ.s = α.s ≫ γ.f'


(α.comp₀ β.add γ.add).map L ⋯ = (LeftFraction₂.mk (α.f ≫ γ.f) (α.f ≫ γ.f') (β.s ≫ γ.s) ⋯).add.map L ⋯


(LeftFraction.mk (α.f ≫ (γ.f + γ.f')) (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯ = (LeftFraction.mk (α.f ≫ γ.f + α.f ≫ γ.f') (β.s ≫ γ.s) ⋯).map L ⋯


Context:
R✝ : Type u
S : Type u_1
A✝ : Type v
inst✝⁹ : CommRing R✝
inst✝⁸ : CommRing S
inst✝⁷ : Ring A✝
inst✝⁶ : Algebra R✝ A✝
inst✝⁵ : Algebra R✝ S
inst✝⁴ : Algebra S A✝
inst✝³ : IsScalarTower R✝ S A✝
R : Type u
A : Type v
inst✝² : DivisionRing A
inst✝¹ : Field R
inst✝ : Algebra R A
n : ℚ


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F


Function.HasTemperateGrowth (fderiv ℝ ⇑f)


Context:
𝕜 : Type u_1
𝕜' : Type u_2
D : Type u_3
E : Type u_4
F : Type u_5
G : Type u_6
V : Type u_7
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace ℝ F
f : E →L[ℝ] F
x : E


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : TopologicalSpace Y
inst✝ : TopologicalSpace Z
p : X → Prop
s : Set X
t : Set ↑s


(∀ (x : X) (h : x ∈ s), ↑⟨x, h⟩ ∈ closure (val '' t)) ↔ s ⊆ closure (val '' t)


Context:
X✝ : Type u_1
X : Type u_2
x : FreeAbelianGroup X


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
M : Type u_3
N : Type u_4
X : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace M
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : ContinuousMul M
k : ℕ


Context:
E : Type u_1
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : InnerProductSpace ℝ E
v✝ v : E

HasFDerivAt (stereoInvFunAux v ∘ Subtype.val) (Submodule.span ℝ {v})ᗮ.subtypeL 0


Context: E : Type u_1

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝ : InnerProductSpace ℝ E

Context: v✝ v : E

Context: this : HasFDerivAt (stereoInvFunAux v) (ContinuousLinearMap.id ℝ E) ((Submodule.span ℝ {v})ᗮ.subtypeL 0)


Context: C : Type u_1

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: C₃ : Type u_4

Context: D₁ : Type u_5

Context: D₂ : Type u_6

Context: D₃ : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.15810, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_10, u_2} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_11, u_3} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.15822, u_4} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.15834, u_7} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: L₃ : C₃ ⥤ D₃

Context: inst✝ : L₃.IsLocalization W₃

Context: X Y Z : C₁

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

Context: G' : D₁ ⥤ D₂ := Φ.localizedFunctor L₁ L₂

Context: e' : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G' := CatCommSq.iso Φ.functor L₁ L₂ G'

Context: this : Localization.Lifting L₁ W₁ (Φ.functor ⋙ L₂) G := { iso' := e.symm }

Context: α : G' ≅ G := Localization.liftNatIso L₁ W₁ (L₁ ⋙ G') (Φ.functor ⋙ L₂) G' G e'.symm

e'.hom.app X ≫ G'.map f ≫ e'.inv.app Y = e.hom.app X ≫ G.map f ≫ e.inv.app Y


Context: C : Type u_1

Context: C₁ : Type u_2

Context: C₂ : Type u_3

Context: C₃ : Type u_4

Context: D₁ : Type u_5

Context: D₂ : Type u_6

Context: D₃ : Type u_7

Context: inst✝⁹ : Category.{?u.15810, u_1} C

Context: inst✝⁸ : Category.{u_10, u_2} C₁

Context: inst✝⁷ : Category.{u_11, u_3} C₂

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.15822, u_4} C₃

Context: inst✝⁵ : Category.{u_8, u_5} D₁

Context: inst✝⁴ : Category.{u_9, u_6} D₂

Context: inst✝³ : Category.{?u.15834, u_7} D₃

Context: W₁ : MorphismProperty C₁

Context: W₂ : MorphismProperty C₂

Context: W₃ : MorphismProperty C₃

Context: Φ : LocalizerMorphism W₁ W₂

Context: Ψ : LocalizerMorphism W₂ W₃

Context: L₁ : C₁ ⥤ D₁

Context: inst✝² : L₁.IsLocalization W₁

Context: L₂ : C₂ ⥤ D₂

Context: inst✝¹ : L₂.IsLocalization W₂

Context: L₃ : C₃ ⥤ D₃

Context: inst✝ : L₃.IsLocalization W₃

Context: X Y Z : C₁

Context: G : D₁ ⥤ D₂

Context: e : Φ.functor ⋙ L₂ ≅ L₁ ⋙ G

Context: f : L₁.obj X ⟶ L₁.obj Y

Context: this✝ : Localization.Lifting L₁ W₁ (Φ.functor ⋙ L₂) G := { iso' := e.symm }

Context: this : e = e' ≪≫ isoWhiskerLeft L₁ α


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H K : Subgroup G
S T : Set G
hS : S ∈ rightTransversals ↑H
g : G

(g * (↑(toFun hS g))⁻¹)⁻¹ = ↑(toFun hS g) * g⁻¹


Context:
c : ℝ
f g : ℕ → Bool
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s : β → β → Prop
t : γ → γ → Prop
a b c : Ordinal.{u_4}


Context:
Ω : Type u_1
inst✝¹ : MeasurableSpace Ω
inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω
s t✝ u✝ u t : Set Ω
hs : s.Finite

(condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u + (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount s) uᶜ = (condCount s) t


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t✝ u✝ u t : Set Ω

Context: hs : s.Finite

Context: this : (condCount s) t = (condCount (s ∩ u)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ u) + (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ uᶜ)


Context: Ω : Type u_1

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace Ω

Context: inst✝ : MeasurableSingletonClass Ω

Context: s t✝ u✝ u t : Set Ω

Context: hs : s.Finite

(condCount (s ∩ u)) t * (condCount s) u + (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount s) uᶜ = (condCount (s ∩ u)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ u) + (condCount (s ∩ uᶜ)) t * (condCount (s ∩ u ∪ s ∩ uᶜ)) (s ∩ uᶜ)


Context:
J : Type v
inst✝³ : SmallCategory J
inst✝² : IsCofiltered J
F : J ⥤ Profinite
C : Cone F
α : Type u_1
inst✝¹ : Finite α
inst✝ : Nonempty α
hC : IsLimit C
f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α
inhabited_h : Inhabited α

∃ j g, f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) g


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: gg : LocallyConstant (↑(F.obj j).toTop) (α → Fin 2)

Context: h : LocallyConstant.map (fun a b => if a = b then 0 else 1) f = LocallyConstant.comap (C.π.app j) gg


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: ι : α → α → Fin 2 := fun a b => if a = b then 0 else 1

Context: σ : (α → Fin 2) → α := fun f => if h : ∃ a, ι a = f then h.choose else default

Context: x : ↑C.pt.toTop

f x = (LocallyConstant.comap (C.π.app j) (LocallyConstant.map σ gg)) x


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: x : ↑C.pt.toTop


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: x : ↑C.pt.toTop

Context: h1 : ι (f x) = gg ((C.π.app j) x)

Context: h2 : ∃ a, ι a = gg ((C.π.app j) x)

f x = if h : ∃ a, ι a = gg ((C.π.app j) x) then h.choose else default


Context: J : Type v

Context: inst✝³ : SmallCategory J

Context: inst✝² : IsCofiltered J

Context: F : J ⥤ Profinite

Context: C : Cone F

Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Finite α

Context: inst✝ : Nonempty α

Context: hC : IsLimit C

Context: f : LocallyConstant (↑C.pt.toTop) α

Context: inhabited_h : Inhabited α

Context: j : J

Context: x : ↑C.pt.toTop

Context: h1 : ι (f x) = gg ((C.π.app j) x)

Context: h2 : ∃ a, ι a = gg ((C.π.app j) x)


Context: Γ : Type u_1

Context: Γ' : Type u_2

Context: R : Type u_3

Context: V : Type u_4

Context: inst✝⁶ : PartialOrder Γ

Context: inst✝⁵ : PartialOrder Γ'

Context: inst✝⁴ : VAdd Γ Γ'

Context: inst✝³ : IsOrderedCancelVAdd Γ Γ'

Context: inst✝² : AddCommMonoid V

Context: inst✝¹ : MulZeroClass R

Context: inst✝ : SMulWithZero R V

Context: x : HahnSeries Γ R

Context: y : HahnModule Γ' R V

Context: h : x.support +ᵥ ((of R).symm y).support = x.support +ᵥ ((of R).symm y).support

((of R).symm (x • y)).support ⊆ x.support +ᵥ ((of R).symm y).support


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
inst✝⁶ : _root_.RCLike 𝕜
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : InnerProductSpace 𝕜 E
inst✝³ : NormedAddCommGroup F
inst✝² : InnerProductSpace ℝ F
V : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup V
inst✝ : InnerProductSpace ℂ V
T : V →ₗ[ℂ] V
x y : V

⟪T y, x⟫_ℂ = (⟪T (x + y), x + y⟫_ℂ - ⟪T (x - y), x - y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T (x + Complex.I • y), x + Complex.I • y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T (x - Complex.I • y), x - Complex.I • y⟫_ℂ) / 4


⟪T y, x⟫_ℂ = (⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ + ⟪T y, y⟫_ℂ) - (⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (⟪T x, y⟫_ℂ - ⟪T y, y⟫_ℂ))) + (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ + ⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ + Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ)) - (Complex.I * ⟪T x, x⟫_ℂ - (⟪T y, x⟫_ℂ + (-⟪T x, y⟫_ℂ - Complex.I * ⟪T y, y⟫_ℂ)))) / 4


Context:
R : Type u_1
inst✝¹⁶ : Semiring R
M : Type u_2
inst✝¹⁵ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁴ : Module R M
N : Type u_3
inst✝¹³ : AddCommMonoid N
inst✝¹² : Module R N
P : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommMonoid P
inst✝¹⁰ : Module R P
M' : Type u_5
inst✝⁹ : AddCommGroup M'
inst✝⁸ : Module R M'
N' : Type u_6
inst✝⁷ : AddCommGroup N'
inst✝⁶ : Module R N'
ι : Type u_7
ι' : Type u_8
ι'' : Type u_9
M₂ : Type u_10
inst✝⁵ : AddCommMonoid M₂
inst✝⁴ : Module R M₂
M₃ : Type u_11
inst✝³ : AddCommMonoid M₃
inst✝² : Module R M₃
f f' : M [⋀^ι]→ₗ[R] N
g g₂ : M [⋀^ι]→ₗ[R] N'
g' : M' [⋀^ι]→ₗ[R] N'
v : ι → M
v' : ι → M'
inst✝¹ : DecidableEq ι
inst✝ : Fintype ι
σ : Equiv.Perm ι


g v = (Equiv.Perm.sign σ * Equiv.Perm.sign σ) • g v


Context:
X✝ : Type u_1
Y : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝² : MeasurableSpace X✝
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
f g : X✝ → E
s✝ t : Set X✝
μ✝ ν : Measure X✝
l l' : Filter X✝
X : Type u_5
m : MeasurableSpace X
μ : Measure X
s : Set X
hs : μ s ≠ ⊤

ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, 1 ∂μ) = ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, ‖1‖ ∂μ)


ENNReal.ofReal (∫ (x : X) in s, ‖1‖ ∂μ) = ∫⁻ (x : X) in s, 1 ∂μ


∫⁻ (x : X) in s, ↑‖1‖₊ ∂μ = ∫⁻ (x : X) in s, 1 ∂μ


Context:
R : Type u_1
α : Type u_2
α' : Type u_3
β : Type u_4
β' : Type u_5
γ : Type u_6
γ' : Type u_7
l : Type u_8
m : Type u_9
n : Type u_10
p : Type u_11
q : Type u_12
r : Type u_13
l' : Type u_14
m' : Type u_15
n' : Type u_16
p' : Type u_17
inst✝¹ : NonAssocSemiring α
inst✝ : DecidableEq l
a : ℕ
B : Matrix m n α
x✝ : l
i✝ : m
j✝ : n


Context:
p : ℕ
R : Type u_1
S : Type u_2
T : Type u_3
hp : Fact (Nat.Prime p)
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : CommRing T
α : Type u_4
β : Type u_5
x y : 𝕎 R


Context: b x y : ℝ

logb b x = 0 ↔ b = 0 ∨ b = 1 ∨ b = -1 ∨ x = 0 ∨ x = 1 ∨ x = -1


Context: b x y : ℝ


Context: ι : Type u_1

Context: X : Type u_2

Context: Y : Type u_3

Context: α : Type u_4

Context: β : Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : UniformSpace α

Context: inst✝ : UniformSpace β

Context: F : ι → X → α

Context: G : ι → β → α

Context: 𝔖 : Set (Set X)

Context: 𝔖_compact : ∀ K ∈ 𝔖, IsCompact K

Context: 𝔖_covers : ⋃₀ 𝔖 = univ

Context: F_eqcont : ∀ K ∈ 𝔖, EquicontinuousOn F K

IsClosed (range (⇑(UniformOnFun.ofFun 𝔖) ∘ F)) ↔ IsClosed (range F)


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: inst✝ : HasOrthogonalProjection s.direction

Context: p₁ p₂ : P

dist p₁ ((reflection s) p₂) = dist ((reflection s) p₁) p₂


Context: V : Type u_1

Context: P : Type u_2

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup V

Context: inst✝⁴ : InnerProductSpace ℝ V

Context: inst✝³ : MetricSpace P

Context: inst✝² : NormedAddTorsor V P

Context: s : AffineSubspace ℝ P

Context: inst✝¹ : Nonempty ↥s

Context: p₁ p₂ : P

dist ((reflection s) ((reflection s) p₁)) ((reflection s) p₂) = dist ((reflection s) p₁) p₂


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G


Context:
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : Abelian C
inst✝¹ : HasLimits C
inst✝ : EnoughInjectives C
G : C
hG : IsSeparator G
this : WellPowered C


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: this : HasProductsOfShape (Subobject (op G)) C


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: T : C := Injective.under (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0

Context: h : G ⟶ X


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: inst✝² : Abelian C

Context: inst✝¹ : HasLimits C

Context: inst✝ : EnoughInjectives C

Context: G : C

Context: hG : IsSeparator G

Context: this✝ : WellPowered C

Context: X Y : C

Context: f : X ⟶ Y

Context: hf : ∀ (h : Y ⟶ T), f ≫ h = 0

Context: h : G ⟶ X

Context: R : Subobject (op G) := Subobject.mk (factorThruImage (h ≫ f)).op

Context: q₁ : image (h ≫ f) ⟶ unop (Subobject.underlying.obj R) := (Subobject.underlyingIso (factorThruImage (h ≫ f)).op).unop.hom

Context: q₂ : unop (Subobject.underlying.obj R) ⟶ ∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P) := section_ (Pi.π (fun P => unop (Subobject.underlying.obj P)) R)

Context: q : image (h ≫ f) ⟶ T := q₁ ≫ q₂ ≫ Injective.ι (∏ᶜ fun P => unop (Subobject.underlying.obj P))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : UniformSpace α
inst✝¹ : Group α
inst✝ : UniformGroup α

𝓤 α = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)


comap ((fun x => x.1⁻¹ * x.2) ∘ Prod.swap) (𝓝 1) = comap (fun x => x.2⁻¹ * x.1) (𝓝 1)


Context: m n✝ n : ℕ

shiftLeft' false m (n + 1) = m <<< (n + 1)


Context: m n✝ n : ℕ

Context: this : 2 * (m * 2 ^ n) = 2 ^ (n + 1) * m


Context:
M✝ : Type u_1
A : Type u_2
B : Type u_3
inst✝⁵ : Monoid M✝
inst✝⁴ : SetLike B M✝
inst✝³ : SubmonoidClass B M✝
S : B
M : Type u_4
inst✝² : CommMonoid M
inst✝¹ : SetLike B M
inst✝ : SubmonoidClass B M
m : Multiset ↥S


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
inst✝ : InvolutiveInv α
s t : Set α
a : α

s⁻¹ ⊆ t ↔ s ⊆ t⁻¹


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
h0 : 0 < 2⁻¹
h1234 : 2⁻¹ < 3 / 4
h1 : 3 / 4 < 1


Context:
X : Type u_1
inst✝ : TopologicalSpace X
P : Set X → Prop
c : CU P
h0 : 0 < 2⁻¹
h1234 : 2⁻¹ < 3 / 4
h1 : 3 / 4 < 1
x : X
n : ℕ
x✝ : True

∀ᶠ (x_1 : X) in 𝓝 x, c.lim x_1 ∈ Metric.closedBall (c.lim x) ((3 / 4) ^ n)


∀ᶠ (x_1 : X) in 𝓝 x, dist (c.lim x_1) (c.lim x) ≤ (3 / 4) ^ n


Context:
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Field F
f : K[X]
n : ℕ
hfn : f.natDegree = n + 1


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s : Set α

s ∈ f * ⊤ → s ∈ ⊤


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
ε : Type u_6
inst✝ : Monoid α
f g : Filter α
s✝ : Set α
a : α
m n : ℕ
hf : 1 ≤ f
s t : Set α
ht : t ∈ f
hs : t * univ ⊆ s


Context:
n : ℕ
F : TypeVec.{u} (n + 1) → Type u
q : MvQPF F
α : TypeVec.{u} n
x y : Cofix F α
h : x.dest = y.dest


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
inst✝ : Nontrivial P


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
inst✝ : Nontrivial P
hs : s = ∅


Context:
k : Type u_1
V : Type u_2
P : Type u_3
inst✝³ : Ring k
inst✝² : AddCommGroup V
inst✝¹ : Module k V
S : AffineSpace V P
p₁ p₂ : P
s : Set P
inst✝ : Nontrivial P
hs : s.Nonempty


Context:
C : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} C
inst✝ : HasShift C ℤ
X : Cᵒᵖ

(shiftFunctorZero Cᵒᵖ ℤ).hom.app X = (shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).hom.app X ≫ ((shiftFunctorZero C ℤ).inv.app (Opposite.unop X)).op


(pullbackShiftIso (OppositeShift C ℤ) (AddMonoidHom.mk' (fun n => -n) CategoryTheory.Pretriangulated.Opposite.OppositeShiftAux.proof_1) 0 0 ⋯).hom.app X ≫ ((shiftFunctorZero C ℤ).inv.app (Opposite.unop X)).op = (shiftFunctorOpIso C 0 0 ⋯).hom.app X ≫ ((shiftFunctorZero C ℤ).inv.app (Opposite.unop X)).op


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β

NullMeasurableSet (s ×ˢ t) (μ.prod ν) ↔ NullMeasurableSet s μ ∧ NullMeasurableSet t ν ∨ μ s = 0 ∨ ν t = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
ht : ν t = 0


Context:
α : Type u_1
α' : Type u_2
β : Type u_3
β' : Type u_4
γ : Type u_5
E : Type u_6
inst✝⁷ : MeasurableSpace α
inst✝⁶ : MeasurableSpace α'
inst✝⁵ : MeasurableSpace β
inst✝⁴ : MeasurableSpace β'
inst✝³ : MeasurableSpace γ
μ μ' : Measure α
ν ν' : Measure β
τ : Measure γ
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : SFinite ν
inst✝ : SFinite μ
s : Set α
t : Set β
hs : μ s ≠ 0
ht : ν t ≠ 0


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
G : Type u_4
M : Type u_5
N : Type u_6
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : CommMonoid N
f g : α → M
a b : α
s t : Set α
hs : (s ∩ mulSupport f).Finite
ht : (t ∩ mulSupport f).Finite

(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ t), f i


(∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i = (∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∪ t), f i) * ∏ᶠ (i : α) (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i


(fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ t ∩ mulSupport f), f i) = fun i => ∏ᶠ (_ : i ∈ s ∩ mulSupport f ∩ (t ∩ mulSupport f)), f i


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: inst✝ : (i : α) → NormedAddCommGroup (E i)

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C

Context: h✝ : IsEmpty α


Context: α : Type u_1

Context: E : α → Type u_2

Context: p q : ℝ≥0∞

Context: f : ↥(lp E ⊤)

Context: C : ℝ

Context: hC : 0 ≤ C

Context: hCf : ∀ (i : α), ‖↑f i‖ ≤ C

Context: h✝ : Nonempty α


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)

(∡ p₂ p₃ p₁).cos * dist p₁ p₃ = dist p₃ p₂


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P
h : ∡ p₁ p₂ p₃ = ↑(π / 2)
hs : (∡ p₂ p₃ p₁).sign = 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
F : Type u_3
F' : Type u_4
G : Type u_5
G' : Type u_6
𝕜 : Type u_7
p : ℝ≥0∞
inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'
inst✝⁹ : CompleteSpace F'
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'
inst✝⁵ : CompleteSpace G'
m m0 : MeasurableSpace α
μ : Measure α
hm : m ≤ m0
inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)
f✝ g✝ : α → F'
s : Set α
E : Type u_8
inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E
inst✝² : CompleteSpace E
inst✝¹ : NormedSpace ℝ E
inst✝ : OrderedSMul ℝ E
f g : α → E
hf : Integrable f μ
hg : Integrable g μ
hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

↑↑(condexpL1 hm μ f) ≤ᶠ[ae μ] ↑↑(condexpL1 hm μ g)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: F : Type u_3

Context: F' : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: G' : Type u_6

Context: 𝕜 : Type u_7

Context: p : ℝ≥0∞

Context: inst✝¹⁵ : RCLike 𝕜

Context: inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 F

Context: inst✝¹² : NormedAddCommGroup F'

Context: inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 F'

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ F'

Context: inst✝⁹ : CompleteSpace F'

Context: inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁶ : NormedSpace ℝ G'

Context: inst✝⁵ : CompleteSpace G'

Context: m m0 : MeasurableSpace α

Context: μ : Measure α

Context: hm : m ≤ m0

Context: inst✝⁴ : SigmaFinite (μ.trim hm)

Context: f✝ g✝ : α → F'

Context: s : Set α

Context: E : Type u_8

Context: inst✝³ : NormedLatticeAddCommGroup E

Context: inst✝² : CompleteSpace E

Context: inst✝¹ : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝ : OrderedSMul ℝ E

Context: f g : α → E

Context: hf : Integrable f μ

Context: hg : Integrable g μ

Context: hfg : f ≤ᶠ[ae μ] g

Context: h_nonneg : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → μ s < ⊤ → ∀ (x : E), 0 ≤ x → 0 ≤ (condexpInd E hm μ s) x


Context:
R : Type u_1
F : Type u
K : Type v
L : Type w
inst✝⁵ : CommRing R
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : Field L
inst✝² : Field F
i : K →+* L
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : Algebra R L
p : R[X]
h : Splits (algebraMap R K) p
f : K →ₐ[R] L

Algebra.adjoin R (p.rootSet L) = f.range ↔ Algebra.adjoin R (p.rootSet K) = ⊤


Subalgebra.map f (Algebra.adjoin R (p.rootSet K)) = Subalgebra.map f ⊤ ↔ Algebra.adjoin R (p.rootSet K) = ⊤


Context:
P : Type u_1
L : Type u_2
inst✝³ : Membership P L
inst✝² : HasLines P L
inst✝¹ : Fintype P
inst✝ : Fintype L
h : Fintype.card P = Fintype.card L

∃ f, Function.Bijective f ∧ ∀ (l : L), pointCount P l = lineCount L (f l)


Context:
a b c d m n k : ℕ
p q : ℕ → Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
r : α → α → Prop
s✝ t : Multiset α
a : α
inst✝ : DecidableEq α
s : Multiset α
_l : List α

Nodup (Quot.mk Setoid.r _l) ↔ ∀ (a : α), count a (Quot.mk Setoid.r _l) ≤ 1


_l.Nodup ↔ ∀ (a : α), List.count a _l ≤ 1


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

Context: x : ({ w // w.IsReal } → ℝ) × ({ w // w.IsComplex } → ℂ)


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

(∀ i ∈ Finset.univ, ↑i.mult * (normAtPlace i) x = 0) ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x = 0


Context: K : Type u_1

Context: inst✝¹ : Field K

Context: inst✝ : NumberField K

Context: B : ℝ

(∀ w ∈ Finset.univ, (normAtPlace w) x = 0) ↔ ∀ (w : InfinitePlace K), (normAtPlace w) x = 0


Context:
M : Type u
N : Type v
inst✝¹ : Monoid M
inst✝ : Monoid N
e : M ≃* N

𝟭 (SingleObj M) = e.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.symm.toMonoidHom.toFunctor


(MonoidHom.id M).toFunctor = (e.symm.toMonoidHom.comp e.toMonoidHom).toFunctor


e.symm.toMonoidHom.toFunctor ⋙ e.toMonoidHom.toFunctor = 𝟭 (SingleObj N)


(e.toMonoidHom.comp e.symm.toMonoidHom).toFunctor = (MonoidHom.id N).toFunctor


Context:
C : Type u
inst✝² : Category.{v, u} C
M : Type u_1
inst✝¹ : Category.{u_2, u_1} M
inst✝ : MonoidalCategory M
F : MonoidalFunctor M (C ⥤ C)
m n n' : M
g : n ⟶ n'
X : C

(F.μIso m n).inv.app X ≫ (F.map g).app ((F.obj m).obj X) = (F.map (m ◁ g)).app X ≫ (F.μIso m n').inv.app X


(F.map g).app ((F.obj m).obj X) ≫ inv ((F.μIso m n').inv.app X) = inv ((F.μIso m n).inv.app X) ≫ (F.map (m ◁ g)).app X


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
inst✝ : DecidableEq α
s✝ t : Multiset α
a✝ b a : α
s : Multiset α
h : a ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ 𝓒 u v s

Context: hva : v ≤ a

Context: hua : Disjoint u a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v a b : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: ha : a ∈ s ∧ (a ⊔ u) \ v ∈ s ∨ a ∉ s ∧ ∃ b ∈ s, compress u v b = a

Context: hva : v ≤ a

Context: hua : Disjoint u a


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hva : v ≤ compress u v b

Context: hua : Disjoint u (compress u v b)

Context: left✝ : compress u v b ∉ s


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hva : v ≤ compress u v b

Context: hua : Disjoint u (compress u v b)

Context: left✝ : compress u v b ∉ s

Context: hu : u = ⊥


Context: α : Type u_1

Context: inst✝³ : GeneralizedBooleanAlgebra α

Context: inst✝² : DecidableRel Disjoint

Context: s : Finset α

Context: u v b✝ : α

Context: inst✝ : DecidableEq α

Context: b : α

Context: hb : b ∈ s

Context: hva : v ≤ compress u v b

Context: hua : Disjoint u (compress u v b)

Context: left✝ : compress u v b ∉ s

Context: hu : u = ⊥

Context: hv : v = ⊥


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
M : Type u_4
N : Type u_5
G : Type u_6
k : Type u_7
R : Type u_8
inst✝¹ : CommMonoid M
inst✝ : OrderedCommMonoid N
f✝ g : ι → N
s✝ t s : Finset ι
f : ι → N
n : N
h : ∀ x ∈ s, f x ≤ n


n ^ Multiset.card (Multiset.map f s.val) ≤ n ^ s.card


Context:
F : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
β : Type u_4
γ : Type u_5
f✝ : α → β → β
op : α → α → α
inst✝¹ : Monoid β
inst✝ : Monoid γ
a : α
f : α → β

{a}.Pairwise fun a b => Commute (f a) (f b)


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivAt c c' x
d : 𝔸

HasDerivAt (fun y => c y * d) (c' * d) x


Context:
𝕜 : Type u
inst✝¹⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
F : Type v
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
E : Type w
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁶ : NormedSpace 𝕜 E
G : Type u_1
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 G
f f₀ f₁ g : 𝕜 → F
f' f₀' f₁' g' : F
x : 𝕜
s t : Set 𝕜
L L₁ L₂ : Filter 𝕜
𝕜' : Type u_2
𝔸 : Type u_3
inst✝³ : NormedField 𝕜'
inst✝² : NormedRing 𝔸
inst✝¹ : NormedAlgebra 𝕜 𝕜'
inst✝ : NormedAlgebra 𝕜 𝔸
c d✝ : 𝕜 → 𝔸
c' d' : 𝔸
u v : 𝕜 → 𝕜'
hc : HasDerivWithinAt c c' univ x
d : 𝔸

HasDerivWithinAt (fun y => c y * d) (c' * d) univ x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
K : Type u_3
inst✝ : DivisionSemiring α
a b c d : α
h : b ≠ 0


Context:
α : Sort u_1
n : Nat
f : α → Fin (n + 1) → α
x : α

foldl (n + 1) f x = f (foldl n (fun x x_1 => f x x_1.castSucc) x) (last n)


foldl n (fun x i => f x i.succ) (f x 0) = f (foldl n (fun x x_1 => f x x_1.castSucc) x) (last n)


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup V
inst✝³ : InnerProductSpace ℝ V
inst✝² : MetricSpace P
inst✝¹ : NormedAddTorsor V P
hd2 : Fact (finrank ℝ V = 2)
inst✝ : Module.Oriented ℝ V (Fin 2)
p₁ p₂ p₃ : P

(∡ p₁ p₂ p₃).sign = 0 ↔ Collinear ℝ {p₁, p₂, p₃}


Context: β : Type w

Context: α : Type w₂

Context: γ : Type w₃

Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: D : Type u₂

Context: inst✝² : Category.{v₂, u₂} D

Context: G : C ⥤ D

Context: f : β → C

Context: inst✝¹ : HasCoproduct f

Context: inst✝ : HasCoproduct fun b => G.obj (f b)

Context: P : C

Context: g : (j : β) → f j ⟶ P

Context: j : β

Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) j ≫ sigmaComparison G f ≫ G.map (Sigma.desc g) = Sigma.ι (fun b => G.obj (f b)) j ≫ Sigma.desc fun j => G.map (g j)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V

∃ K₁ K₂, IsCompact K₁ ∧ IsCompact K₂ ∧ K₁ ⊆ U ∧ K₂ ⊆ V ∧ K = K₁ ∪ K₂


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace X
inst✝¹ : FirstCountableTopology X
inst✝ : R1Space X
x y : X
K U V : Set X
hK : IsCompact K
hU : IsOpen U
hV : IsOpen V
h2K : K ⊆ U ∪ V
hK' : IsCompact (closure K)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x y : X

Context: K U V : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hV : IsOpen V

Context: h2K : K ⊆ U ∪ V

Context: hK' : IsCompact (closure K)

Context: this : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x y : X

Context: K U V : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hV : IsOpen V

Context: h2K : K ⊆ U ∪ V

Context: hK' : IsCompact (closure K)

Context: this✝ : SeparatedNhds (closure K \ U) (closure K \ V)

Context: this : SeparatedNhds (K \ U) (K \ V)


Context: X : Type u_1

Context: Y : Type u_2

Context: inst✝² : TopologicalSpace X

Context: inst✝¹ : FirstCountableTopology X

Context: inst✝ : R1Space X

Context: x y : X

Context: K U V : Set X

Context: hK : IsCompact K

Context: hU : IsOpen U

Context: hV : IsOpen V

Context: h2K : K ⊆ U ∪ V

Context: hK' : IsCompact (closure K)

Context: O₁ O₂ : Set X

Context: h1O₁ : IsOpen O₁

Context: h1O₂ : IsOpen O₂

Context: h2O₁ : K \ U ⊆ O₁

Context: h2O₂ : K \ V ⊆ O₂

Context: hO : Disjoint O₁ O₂


Context:
R : Type u
I : Type v
inst✝ : CommSemiring R
x y z : R
s : I → R
t : Finset I

(∀ i ∈ t, IsCoprime x (s i)) → IsCoprime x (∏ i ∈ t, s i)


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω

stoppedProcess u τ n ω = ({a | n ≤ τ a}.indicator (u n) + ∑ i ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = i}.indicator (u i)) ω


stoppedProcess u τ n ω = {a | n ≤ τ a}.indicator (u n) ω + ∑ c ∈ Finset.filter (fun x => x < n) s, {ω | τ ω = c}.indicator (u c) ω


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω
h : n ≤ τ ω


Context:
Ω : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
m : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
τ σ : Ω → ι
E : Type u_4
p : ℝ≥0∞
u : ι → Ω → E
inst✝¹ : LinearOrder ι
inst✝ : AddCommMonoid E
s : Finset ι
n : ι
hbdd : ∀ (ω : Ω), τ ω < n → τ ω ∈ s
ω : Ω
h : τ ω < n


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝² : Preorder α
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : Topology.IsUpperSet α
s✝ s : Set α


closure s ⊆ ↑(lowerClosure s) ∧ ↑(lowerClosure s) ⊆ closure s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

IsClosed s ↔ ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

(∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s) → IsClosed s


Context:
s : Set Ordinal.{u}
a : Ordinal.{u}

(∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s) → closure s ⊆ s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: h : ∀ {ι : Type u}, Nonempty ι → ∀ (f : ι → Ordinal.{u}), (∀ (i : ι), f i ∈ s) → sup f ∈ s

Context: x : Ordinal.{u}

Context: hx : x ∈ closure s


Context: s : Set Ordinal.{u}

Context: a : Ordinal.{u}

Context: ι : Type u

Context: hι : Nonempty ι

Context: f : ι → Ordinal.{u}

Context: hf : ∀ (i : ι), f i ∈ s

Context: hx : sup f ∈ closure s


Context:
α : Type u_1
M : Type u_2
N : Type u_3
P : Type u_4
R : Type u_5
S : Type u_6
inst✝⁷ : Semiring R
inst✝⁶ : Semiring S
inst✝⁵ : AddCommMonoid M
inst✝⁴ : Module R M
inst✝³ : AddCommMonoid N
inst✝² : Module R N
inst✝¹ : AddCommMonoid P
inst✝ : Module R P
ι : Type u_7
κ : Type u_8
e₁ : ι ≃ κ
e₂ : M ≃ₗ[R] N
k : κ
n : N

(lcongr e₁ e₂).symm (single k n) = single (e₁.symm k) (e₂.symm n)


(lcongr e₁ e₂) ((lcongr e₁ e₂).symm (single k n)) = (lcongr e₁ e₂) (single (e₁.symm k) (e₂.symm n))


Context:
R' : Type u'
R : Type u
A : Type v
B : Type w
C : Type w'
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Semiring A
inst✝⁴ : Algebra R A
inst✝³ : Semiring B
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : Semiring C
inst✝ : Algebra R C
φ✝ φ : A →ₐ[R] B
x✝ : B


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: inst✝¹ : IsDirected ι fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: inst✝ : DirectedSystem G fun i j h => ⇑(f i j h)

Context: i fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : G fst✝¹

Context: hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : G fst✝

Context: hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i

Context: j : ι

Context: w✝¹ : fst✝¹ ≤ j

Context: w✝ : fst✝ ≤ j

Context: h✝ : (f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹ = (f fst✝ j w✝) snd✝

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

Context: h : (f j k jk) ((f fst✝¹ j w✝¹) snd✝¹) = (f j k jk) ((f fst✝ j w✝) snd✝)

(f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst i hx) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd = (f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst i hy) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: i fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : G fst✝¹

Context: hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : G fst✝

Context: hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i

Context: j : ι

Context: w✝¹ : fst✝¹ ≤ j

Context: w✝ : fst✝ ≤ j

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

(f i k ik) ((f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst i hx) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd) = (f i k ik) ((f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst i hy) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd)


Context: L : Language

Context: ι : Type v

Context: inst✝³ : Preorder ι

Context: G : ι → Type w

Context: inst✝² : (i : ι) → L.Structure (G i)

Context: f : (i j : ι) → i ≤ j → G i ↪[L] G j

Context: i fst✝¹ : ι

Context: snd✝¹ : G fst✝¹

Context: hx : ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst ≤ i

Context: fst✝ : ι

Context: snd✝ : G fst✝

Context: hy : ⟨fst✝, snd✝⟩.fst ≤ i

Context: j : ι

Context: w✝¹ : fst✝¹ ≤ j

Context: w✝ : fst✝ ≤ j

Context: k : ι

Context: ik : i ≤ k

Context: jk : j ≤ k

Context: h : (f fst✝¹ k ⋯) snd✝¹ = (f fst✝ k ⋯) snd✝

(f ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.fst k ⋯) ⟨fst✝¹, snd✝¹⟩.snd = (f ⟨fst✝, snd✝⟩.fst k ⋯) ⟨fst✝, snd✝⟩.snd


Context:
α : Type u_1
s t : Finset α
a : α


Context:
R M : Type u
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : AddCommGroup M
inst✝ : Module R M
I : Ideal R
F F' : I.Filtration M
h : F.Stable

Submodule.span (↥(reesAlgebra I)) (⋃ i, ⇑(single R i) '' ↑(F.N i)) = F.submodule


Submodule.span ↥(reesAlgebra I) ↑F.submodule = F.submodule


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
s : Set β
ι : Type u_3
U : ι → Opens β
hU : iSup U = ⊤
h : Continuous f

ClosedEmbedding f ↔ ∀ (i : ι), ClosedEmbedding ((U i).carrier.restrictPreimage f)


Embedding f ∧ IsClosed (range f) ↔ ∀ (i : ι), Embedding ((U i).carrier.restrictPreimage f) ∧ IsClosed (range ((U i).carrier.restrictPreimage f))


Embedding f ∧ IsClosed (range f) ↔ (∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)) ∧ ∀ (x : ι), IsClosed (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))


Embedding f ↔ ∀ (x : ι), Embedding ((U x).carrier.restrictPreimage f)


IsClosed (range f) ↔ ∀ (x : ι), IsClosed (range ((U x).carrier.restrictPreimage f))


Context:
x : ℝ
hx : 0 < x


Context: x : ℝ

Context: hx : 0 < x

Context: this : HasStrictDerivAt log (rexp (log x))⁻¹ x


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰 : X.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰.J), HasPullback (𝒰.map i ≫ f) g

Context: i j k : 𝒰.J

t' 𝒰 f g i j k ≫ t' 𝒰 f g j k i ≫ t' 𝒰 f g k i j ≫ pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j) = pullback.fst (fV 𝒰 f g i j) (fV 𝒰 f g i k) ≫ pullback.snd (pullback.fst (𝒰.map i ≫ f) g ≫ 𝒰.map i) (𝒰.map j)


Context:
x : ℝ
hx this : |x| ≤ 1


Context: x : ℝ

Context: hx this✝ : |x| ≤ 1

Context: this : Complex.abs (cexp ↑x - 1) ≤ 2 * Complex.abs ↑x


Context:
x : ℝ
hx this✝ : |x| ≤ 1
this : |rexp x - 1| ≤ 2 * |x|


Context: n : ℤ


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
p : Type u_3
R : Type u_4
inst✝⁷ : Fintype m
inst✝⁶ : Fintype n
inst✝⁵ : Fintype p
inst✝⁴ : PartialOrder R
inst✝³ : NonUnitalRing R
inst✝² : StarRing R
inst✝¹ : StarOrderedRing R
inst✝ : NoZeroDivisors R
A : Matrix m n R
v : m → R


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ≤ x_1

Context: x : α

Context: t : Ordset α

Context: h_mem : x ∈ t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝¹ : Preorder α

Context: x : α

Context: t : Ordset α

Context: h_mem : Ordnode.mem x ↑t = true


Context:
C : Type u_2
D : Type ?u.23461
inst✝¹ : Category.{u_1, u_2} C
inst✝ : Category.{?u.23469, ?u.23461} D
X : C
S : Presieve X
T : Sieve X
h : S.FactorsThru T.arrows
Y W : C
i : Y ⟶ W
e : W ⟶ X
h1 : T.arrows e
hf : i ≫ e ∈ S


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: inst✝ : HasHomotopyCofiber ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

(H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) ≫ ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) = 𝟙 (((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).obj (mappingCone φ)).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = 𝟙 (H.obj ((mappingCone φ).X n))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n) = H.map (𝟙 ((mappingCone φ).X n))


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

(↑(fst φ)).v n m ⋯ ≫ (inl φ).v m n ⋯ + (snd φ).v n n ⋯ ≫ (inr φ).f n = 𝟙 ((mappingCone φ).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map ((inl φ).v m n ⋯) + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map ((inr φ).f n)) ≫ (H.map ((↑(fst φ)).v n m ⋯) ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + H.map ((snd φ).v n n ⋯) ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)


Context: C : Type u_1

Context: D : Type u_2

Context: inst✝⁶ : Category.{?u.266427, u_1} C

Context: inst✝⁵ : Category.{?u.266431, u_2} D

Context: inst✝⁴ : Preadditive C

Context: inst✝³ : Preadditive D

Context: F G : CochainComplex C ℤ

Context: φ : F ⟶ G

Context: inst✝² : HasHomotopyCofiber φ

Context: H : C ⥤ D

Context: inst✝¹ : H.Additive

Context: n m : ℤ

Context: hnm : n + 1 = m

(↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inl ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v m n ⋯ + ((↑(fst ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ))).v n m ⋯ ≫ H.map 0 ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n + (snd ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).v n n ⋯ ≫ (inr ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).f n) = 𝟙 ((mappingCone ((H.mapHomologicalComplex (ComplexShape.up ℤ)).map φ)).X n)


Context:
n : ℕ
c : Composition n


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
R : Type u_4
inst✝¹ : Semiring α
inst✝ : Semiring β
m n : ℕ
a b : α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
ρ : Measure (α × ℝ)

Measurable fun a r => (preCDF ρ r a).toReal


∀ (a : ℚ), Measurable fun x => (preCDF ρ a x).toReal


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F : C ⥤ D
X Y Z : C
f : Y ⟶ X
S R : Sieve X
Y✝ : C
f✝ : Y✝ ⟶ X

(sieveOfSubfunctor S.functorInclusion).arrows f✝ ↔ S.arrows f✝


Context: m n✝ n : ℕ


Context:
α : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
m m0 : MeasurableSpace α
p : ℝ≥0∞
q : ℝ
μ ν : Measure α
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedAddCommGroup G
β : Type u_5
mβ : MeasurableSpace β
f : α → β
g✝ : β → E
g : β → F
hf : MeasurableEmbedding f

Memℒp g p (Measure.map f μ) ↔ Memℒp (g ∘ f) p μ


Context:
ι : Type u_1
inst✝ : Fintype ι
a b : ℝ


Context:
n₁ n₂ d₁ d₂ : Int
z₁ : d₁ ≠ 0
z₂ : d₂ ≠ 0

n₁ /. d₁ * (n₂ /. d₂) = n₁ * n₂ /. (d₁ * d₂)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α

IsTotallyDisconnected (f '' s) ↔ IsTotallyDisconnected s


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u✝ v : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
hs : IsTotallyDisconnected s
u : Set β
hus : u ⊆ f '' s
hu : IsPreconnected u


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
hs : IsTotallyDisconnected s
v : Set α
hvs : v ⊆ s
hus : f '' v ⊆ f '' s
hu : IsPreconnected (f '' v)


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Type u_1
π : ι → Type u_2
inst✝¹ : TopologicalSpace α
s✝ t u v✝ : Set α
inst✝ : TopologicalSpace β
f : α → β
hf : _root_.Embedding f
s : Set α
hs : IsTotallyDisconnected s
v : Set α
hvs : v ⊆ s
hus : f '' v ⊆ f '' s
hu : IsPreconnected v


Context:
𝕜 : Type u𝕜
G : Type uG
E : Type uE
E' : Type uE'
E'' : Type uE''
F : Type uF
F' : Type uF'
F'' : Type uF''
P : Type uP
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁶ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E''
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup F
f f' : G → E
g g' : G → E'
x x' : G
y y' : E
inst✝¹³ : RCLike 𝕜
inst✝¹² : NormedSpace 𝕜 E
inst✝¹¹ : NormedSpace 𝕜 E'
inst✝¹⁰ : NormedSpace 𝕜 E''
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 F
n : ℕ∞
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : MeasurableSpace G
μ ν : Measure G
L : E →L[𝕜] E' →L[𝕜] F
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁴ : BorelSpace G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝² : SFinite μ
inst✝¹ : μ.IsAddLeftInvariant
inst✝ : μ.IsNegInvariant
hcf : HasCompactSupport f
hf : ContDiff 𝕜 1 f
hg : LocallyIntegrable g μ
x₀ : G

HasFDerivAt (f ⋆[L, μ] g) ((fderiv 𝕜 f ⋆[precompL G L, μ] g) x₀) x₀


HasFDerivAt (g ⋆[L.flip, μ] f) ((g ⋆[(precompL G L).flip, μ] fderiv 𝕜 f) x₀) x₀


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
κ✝ κ : Kernel α β
y' y : α
hy' : y' ∈ measurableAtom y
s : Set β
hs : MeasurableSet s


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: inst✝ : ∀ (i : 𝒰✝.J), HasPullback (𝒰✝.map i ≫ f✝) g✝

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

∀ (i : 𝒰.J), pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ ((openCoverOfLeft 𝒰 g f).pushforwardIso (pullbackSymmetry g f).hom).map ((Equiv.refl 𝒰.J) i)


Context: C : Type u

Context: inst✝¹ : Category.{v, u} C

Context: X Y Z : Scheme

Context: 𝒰✝ : X.OpenCover

Context: f✝ : X ⟶ Z

Context: g✝ : Y ⟶ Z

Context: s : PullbackCone f✝ g✝

Context: 𝒰 : Y.OpenCover

Context: f : X ⟶ Z

Context: g : Y ⟶ Z

Context: i : 𝒰.J

pullback.map f (𝒰.map i ≫ g) f g (𝟙 X) (𝒰.map i) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ = (pullbackSymmetry f (𝒰.map i ≫ g)).hom ≫ pullback.map (𝒰.map i ≫ g) f g f (𝒰.map i) (𝟙 X) (𝟙 Z) ⋯ ⋯ ≫ (pullbackSymmetry g f).hom


Context:
R : Type u_1
l : Type u_2
m : Type u_3
n : Type u_4
α : Type u_5
β : Type u_6
ι : Type u_7
inst✝⁵ : Fintype l
inst✝⁴ : Fintype m
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : Unique ι
inst✝¹ : SeminormedAddCommGroup α
inst✝ : SeminormedAddCommGroup β
r : ℝ≥0
hr : 0 < r
A : Matrix m n α

‖A‖₊ < r ↔ ∀ (i : m) (j : n), ‖A i j‖₊ < r


Context:
f : ℕ → ℂ
s : ℂ
hf : LSeriesSummable f s


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α

{x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty}.WellFoundedOn DevosMulRel


Context:
α : Type u_1
inst✝¹ : Group α
inst✝ : DecidableEq α
x y : Finset α × Finset α
s t : Finset α
n : ℕ

({x | x.1.Nonempty ∧ x.2.Nonempty} ∩ (fun x => (x.1 * x.2).card) ⁻¹' {n}).WellFoundedOn ((fun x x_1 => x > x_1) on fun x => x.1.card + x.2.card)


Context:
K : Type u_1
V : Type u_2
inst✝⁴ : DivisionRing K
inst✝³ : AddCommGroup V
inst✝² : Module K V
inst✝¹ : Fintype K
inst✝ : Fintype V
k : ℕ
hk : k ≤ n

Nat.card { s // LinearIndependent K s } = ∏ i : Fin k, (q ^ n - q ^ ↑i)


card { s // LinearIndependent K s } = ∏ i : Fin k, (q ^ n - q ^ ↑i)


Context:
B : Type u_1
W : Type u_2
inst✝ : Group W
M : CoxeterMatrix B
cs : CoxeterSystem M W
ω : List B
rω : cs.IsReduced ω


∀ (i j : ℕ), i < j → j < (cs.rightInvSeq ω).length → (cs.rightInvSeq ω).get? i ≠ (cs.rightInvSeq ω).get? j


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: dup : (cs.rightInvSeq ω).get? j = (cs.rightInvSeq ω).get? j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: dup : some ((cs.rightInvSeq ω).get ⟨j, ⋯⟩) = some ((cs.rightInvSeq ω).get ⟨j', ⋯⟩)


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: dup : (cs.rightInvSeq ω).get ⟨j, ⋯⟩ = (cs.rightInvSeq ω).get ⟨j', ⋯⟩


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: dup : (cs.rightInvSeq ω).getD j 1 = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: t' : W := (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1

Context: h₂ : t' = (cs.rightInvSeq (ω.eraseIdx j)).getD (j' - 1) 1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1

Context: h₅ : cs.wordProd ω = cs.wordProd ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1))


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1

Context: h₆ : ω.length ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1

Context: h₇ : ω.length + 1 + 1 ≤ ((ω.eraseIdx j).eraseIdx (j' - 1)).length + 1 + 1


Context: B : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: inst✝ : Group W

Context: M : CoxeterMatrix B

Context: cs : CoxeterSystem M W

Context: ω : List B

Context: rω : cs.IsReduced ω

Context: j j' : ℕ

Context: j_lt_j' : j < j'

Context: j'_lt_length : j' < ω.length

Context: t : W := (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₁ : t = (cs.rightInvSeq ω).getD j 1

Context: h₃ : t' = (cs.rightInvSeq ω).getD j' 1

Context: h₄ : t * t' = 1

Context: h₈ : j' - 1 < (ω.eraseIdx j).length