Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ colimMap (J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ } (unop X)) = colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P) ≫ colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) (op ⊤)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: inst✝¹ : ∀ (P : Cᵒᵖ ⥤ D) (X : C) (S : J.Cover X), HasMultiequalizer (S.index P)

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: inst✝ : ∀ (X : C), HasColimitsOfShape (J.Cover X)ᵒᵖ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

(J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ } (unop X)).app S ≫ colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) S = ((colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫ (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op) ≫ colimit.ι (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)) (op (unop S))


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

(J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ } (unop X)).app S = (colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫ (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

(J.diagramNatTrans { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ } (unop X)).app S ≫ Multiequalizer.ι ((unop S).index (J.plusObj P)) I = ((colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫ (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op) ≫ Multiequalizer.ι ((unop S).index (J.plusObj P)) I


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ { app := fun X => ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop X)) (op ⊤), naturality := ⋯ }.app (op I.Y) = ((colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ ⊤.toMultiequalizer (J.plusObj P)) ≫ (J.diagram (J.plusObj P) (unop X)).map e.op) ≫ Multiequalizer.ι ((unop S).index (J.plusObj P)) I


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ⊤) = colimit.ι (J.diagram P (unop X)) S ≫ (J.plusObj P).map (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

Context: ee : (J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S) ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫ colimit.ι (J.diagram P I.Y) (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S))) = Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P) ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫ colimit.ι (J.diagram P (unop (op (Cover.Arrow.map I e.op.unop).Y))) ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

(Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op = Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P) ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

Context: II : ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).L

((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II = Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P) ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

Context: e_1✝ : ((J.diagram P (unop X)).obj S ⟶ ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P).left II) = (multiequalizer ((unop S).index P) ⟶ ((unop S).index P).right { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } })

((Multiequalizer.ι ((unop S).index P) I ≫ ⊤.toMultiequalizer P) ≫ (J.diagram P I.Y).map ee.op) ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II = Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (((unop S).index P).fstTo { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }) ≫ ((unop S).index P).fst { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }


Context: C : Type u

Context: inst✝³ : Category.{v, u} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: D : Type w

Context: inst✝² : Category.{max v u, w} D

Context: P : Cᵒᵖ ⥤ D

Context: X : Cᵒᵖ

Context: S : (J.Cover (unop X))ᵒᵖ

Context: e : unop S ⟶ ⊤ := homOfLE ⋯

Context: I : ((unop S).index (J.plusObj P)).L

Multiequalizer.lift ((unop ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e.op.unop).f.op.unop).op.obj S)).index P) ((J.diagram P (unop X)).obj S) (fun I_1 => Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (Cover.Arrow.base I_1)) ⋯ ≫ Multiequalizer.ι ((unop (op ((J.pullback (Cover.Arrow.map I e).f).obj (unop S)))).index P) II = Multiequalizer.ι ((unop S).index P) (((unop S).index P).sndTo { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }) ≫ ((unop S).index P).snd { fst := I, snd := Cover.Arrow.base II, r := { Z := II.Y, g₁ := II.f, g₂ := 𝟙 II.Y, w := ⋯ } }


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
l l₁ l₂ l₃ : List α
a b : α
m n : ℕ
L : List (List (Option α))
hm : m < L.length


take m L = take (min m L.length) (take n L) ↔ m ≤ n


Context:
𝓕 : Type u_1
α : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
inst✝¹ : SeminormedCommGroup E
inst✝ : SeminormedCommGroup F
a✝ a₁ a₂ b✝ b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
a b : E


Context:
x : SimplexCategory
i : x ⟶ x
inst✝ : Epi i


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
E : Type u_4
inst✝¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝ : NormedSpace ℝ E
b : ℝ
f : ℕ → ℝ
z : ℕ → E
hfa : Monotone f
hf0 : Tendsto f atTop (𝓝 0)

CauchySeq fun n => ∑ i ∈ Finset.range n, (-1) ^ i * f i


CauchySeq fun n => ∑ x ∈ Finset.range n, f x * (-1) ^ x


Context: it : Iterator

ValidFor it.s.data.reverse [] { s := it.s, i := it.s.endPos }


Context:
K : Type u_1
inst✝¹ : Field K
inst✝ : NumberField K
i : Free.ChooseBasisIndex ℤ (𝓞 K)

(latticeBasis K) i = (canonicalEmbedding K) ((integralBasis K) i)


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: v w : V

Context: hvw : G.Adj v w

Context: v✝ w✝ : V

Context: h : (fun a b => s(v, w) = s(a, b)) v✝ w✝


Context: ι : Sort u_1

Context: V : Type u

Context: W : Type v

Context: G : SimpleGraph V

Context: v w : V

Context: hvw : G.Adj v w

Context: v✝ w✝ : V


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : (a ∈ s(v, w)) = (a ∈ s(a, b))


Context:
ι : Sort u_1
V : Type u
W : Type v
G : SimpleGraph V
v w : V
hvw : G.Adj v w
a b : V
h : a = v ∨ a = w


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
A : Type u_3
K : Type u_4
inst✝³ : Semiring S
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Semiring A
inst✝ : Field K
p : R[X]
r s : R
n✝ : ℕ

(p.scaleRoots (r * s)).coeff n✝ = ((p.scaleRoots r).scaleRoots s).coeff n✝


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
U : Set Y
hU₁ : U ⊆ K
hU₂ : IsOpen U
hU₃ : f x ∈ U


Context:
X : Type u_1
Y : Type u_2
inst✝³ : TopologicalSpace X
inst✝² : TopologicalSpace Y
f : X → Y
inst✝¹ : T1Space X
inst✝ : WeaklyLocallyCompactSpace Y
hf' : Continuous f
hf : Tendsto f cofinite (cocompact Y)
x : X
K : Set Y
hK : IsCompact K
hK' : K ∈ 𝓝 (f x)
U : Set Y
hU₁ : U ⊆ K
hU₂ : IsOpen U
hU₃ : f x ∈ U
hU₄ : (f ⁻¹' U).Finite


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Set α)
hSf : S.Finite
hSc : ∀ t ∈ S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
S : Set (Set α)
hSf : S.Finite
hSc : ∀ t ∈ S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ S
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
S : Finset (Set α)
hSc : ∀ t ∈ ↑S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ ↑S


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝² : TopologicalSpace α
inst✝¹ : TopologicalSpace β
inst✝ : NoetherianSpace α
s : Set α
hs : s ∈ irreducibleComponents α
S : Finset (Set α)
hSc : ∀ t ∈ ↑S, IsClosed t
hSi : ∀ t ∈ ↑S, IsIrreducible t
hSU : Set.univ = ⋃₀ ↑S
t : Set α
htS : t ∈ S
ht : s ⊆ t


Context:
R : Type u_1
inst✝² : Monoid R
S : Submonoid R
inst✝¹ : OreSet S
X : Type u_2
inst✝ : MulAction R X
r₁ : R
r₂ : X
s₁ s₂ : ↥S
r' : R
s' : ↥S
huv : ↑s' * r₁ = r' * ↑s₂

(r₁ /ₒ s₁) • (r₂ /ₒ s₂) = r' • r₂ /ₒ (s' * s₁)


Context: B : Type u_1

Context: inst✝⁶ : TopologicalSpace B

Context: F₁ : Type u_2

Context: inst✝⁵ : TopologicalSpace F₁

Context: E₁ : B → Type u_3

Context: inst✝⁴ : TopologicalSpace (TotalSpace F₁ E₁)

Context: F₂ : Type u_4

Context: inst✝³ : TopologicalSpace F₂

Context: E₂ : B → Type u_5

Context: inst✝² : TopologicalSpace (TotalSpace F₂ E₂)

Context: e₁ : Trivialization F₁ TotalSpace.proj

Context: e₂ : Trivialization F₂ TotalSpace.proj

Context: inst✝¹ : (x : B) → Zero (E₁ x)

Context: inst✝ : (x : B) → Zero (E₂ x)

Context: x : B

Context: v₁ : E₁ x

Context: v₂ : E₂ x

Context: h₁ : x ∈ e₁.baseSet

Context: h₂ : x ∈ e₂.baseSet

invFun' e₁ e₂ (toFun' e₁ e₂ { proj := x, snd := (v₁, v₂) }) = { proj := x, snd := (v₁, v₂) }


Context:
V : Type u_1
W : Type u_2
X : Type u_3
G : SimpleGraph V
G' : SimpleGraph W
u v✝ : V
f : G ≃g G'
v : V
w : ↑(G'.neighborSet (f v))


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''

∃ S, S * ↑(map H.subtype H'') = ↑H ∧ Nat.card ↑S * Nat.card ↥(map H.subtype H'') = Nat.card ↥H


Context:
G : Type u_1
inst✝ : Group G
H✝ K : Subgroup G
S✝ T : Set G
H' H : Subgroup G
h : H' ≤ H
H'' : Subgroup ↥H := comap H.subtype H'
this : H' = map H.subtype H''
S : Set ↥H
cmem : S ∈ leftTransversals ↑H''


Context:
R : Type u_1
inst✝ : AddMonoidWithOne R


Context:
R : Type u
S : Type v
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : CommRing S
inst✝ : Algebra R S
P : Generators R S
r : S
x : P.Ring
i : P.vars

(P.cotangentSpaceBasis.repr (r ⊗ₜ[P.Ring] (D R P.Ring) x)) i = r * (aeval P.val) ((pderiv i) x)


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
E : Type u_3
F : Type u_4
G : Type u_5
E' : Type u_6
F' : Type u_7
G' : Type u_8
E'' : Type u_9
F'' : Type u_10
G'' : Type u_11
E''' : Type u_12
R : Type u_13
R' : Type u_14
𝕜 : Type u_15
𝕜' : Type u_16
inst✝¹³ : Norm E
inst✝¹² : Norm F
inst✝¹¹ : Norm G
inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'
inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'
inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''
inst✝⁴ : SeminormedRing R
inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''
inst✝² : SeminormedRing R'
inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜
inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'
c c' c₁ c₂ : ℝ
f : α → E
g : α → F
k : α → G
f' : α → E'
g' : α → F'
k' : α → G'
f'' : α → E''
g'' : α → F''
k'' : α → G''
l l' : Filter α
ι : Type u_17
A : ι → α → E'
C : ι → ℝ
s : Finset ι
h : ∀ i ∈ s, A i =O[l] g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: A : ι → α → E'

Context: C : ι → ℝ

Context: s : Finset ι

Context: h : ∀ i ∈ s, ∃ c, IsBigOWith c l (A i) g

∃ c, IsBigOWith c l (fun x => ∑ i ∈ s, A i x) g


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: G : Type u_5

Context: E' : Type u_6

Context: F' : Type u_7

Context: G' : Type u_8

Context: E'' : Type u_9

Context: F'' : Type u_10

Context: G'' : Type u_11

Context: E''' : Type u_12

Context: R : Type u_13

Context: R' : Type u_14

Context: 𝕜 : Type u_15

Context: 𝕜' : Type u_16

Context: inst✝¹³ : Norm E

Context: inst✝¹² : Norm F

Context: inst✝¹¹ : Norm G

Context: inst✝¹⁰ : SeminormedAddCommGroup E'

Context: inst✝⁹ : SeminormedAddCommGroup F'

Context: inst✝⁸ : SeminormedAddCommGroup G'

Context: inst✝⁷ : NormedAddCommGroup E''

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F''

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup G''

Context: inst✝⁴ : SeminormedRing R

Context: inst✝³ : SeminormedAddGroup E'''

Context: inst✝² : SeminormedRing R'

Context: inst✝¹ : NormedDivisionRing 𝕜

Context: inst✝ : NormedDivisionRing 𝕜'

Context: c c' c₁ c₂ : ℝ

Context: f : α → E

Context: g : α → F

Context: k : α → G

Context: f' : α → E'

Context: g' : α → F'

Context: k' : α → G'

Context: f'' : α → E''

Context: g'' : α → F''

Context: k'' : α → G''

Context: l l' : Filter α

Context: ι : Type u_17

Context: A : ι → α → E'

Context: C✝ : ι → ℝ

Context: s : Finset ι

Context: C : ι → ℝ

Context: hC : ∀ i ∈ s, IsBigOWith (C i) l (A i) g


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S


Context:
R : Type u
S : Type v
a b : R
m n : ℕ
ι : Type y
inst✝¹ : Semiring R
p q r : R[X]
inst✝ : Semiring S
f : R →+* S
hp : p.Monic
a✝ : Nontrivial S
this : f p.leadingCoeff ≠ 0


f (p.coeff (Polynomial.map f p).natDegree) = 1


p.coeff (Polynomial.map f p).natDegree = 1


Context:
d : ℕ
a b c : ℤ√↑d
h : c + a ≤ c + b


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α

∃ P, P.IsEquipartition ∧ l ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ bound ε l ∧ P.IsUniform G ε


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : Fintype.card α ≤ bound ε l


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l


Context:
α : Type u_1
inst✝² : DecidableEq α
inst✝¹ : Fintype α
G : SimpleGraph α
inst✝ : DecidableRel G.Adj
ε : ℝ
l : ℕ
hε : 0 < ε
hl : l ≤ Fintype.card α
hα : bound ε l ≤ Fintype.card α
t : ℕ := initialBound ε l
htα : t ≤ univ.card


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hdum₂ : dum.parts.card = initialBound ε l


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : 1 ≤ ε


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: hP₄ : P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

∃ P, P.IsEquipartition ∧ t ≤ P.parts.card ∧ P.parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t ∧ (P.IsUniform G ε ∨ ε ^ 5 / 4 * ↑(i + 1) ≤ ↑(P.energy G))


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

Context: hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

Context: hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)

Context: hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

Context: hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)

Context: hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

Context: hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)

Context: hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

Context: hsize : P.parts.card ≤ stepBound^[⌊4 / ε ^ 5⌋₊] t


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

Context: hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)

Context: hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

Context: hPα : P.parts.card * 16 ^ P.parts.card ≤ Fintype.card α


Context: α : Type u_1

Context: inst✝² : DecidableEq α

Context: inst✝¹ : Fintype α

Context: G : SimpleGraph α

Context: inst✝ : DecidableRel G.Adj

Context: ε : ℝ

Context: l : ℕ

Context: hε : 0 < ε

Context: hl : l ≤ Fintype.card α

Context: hα : bound ε l ≤ Fintype.card α

Context: t : ℕ := initialBound ε l

Context: htα : t ≤ univ.card

Context: dum : Finpartition univ

Context: hdum₁ : dum.IsEquipartition

Context: hε₁ : ε ≤ 1

Context: this : Nonempty α

Context: i : ℕ

Context: P : Finpartition univ

Context: hP₁ : P.IsEquipartition

Context: hP₂ : t ≤ P.parts.card

Context: hP₃ : P.parts.card ≤ stepBound^[i] t

Context: huniform : ¬P.IsUniform G ε

Context: hP₄ : ε ^ 5 / 4 * ↑i ≤ ↑(P.energy G)

Context: hεl' : 100 ≤ 4 ^ P.parts.card * ε ^ 5

Context: hi : ↑i ≤ 4 / ε ^ 5

(increment hP₁ G ε).parts.card ≤ stepBound^[i + 1] t


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α β : A₁ ⟶ A₂

F.map (α.f + β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f + β.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n : ℕ
α : A₁ ⟶ A₂

F.map (n • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (n • α.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
α : A₁ ⟶ A₂


F.map (α.f - β.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (α.f - β.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
r : ℤ
α : A₁ ⟶ A₂

F.map (r • α.f) ≫ A₂.str = A₁.str ≫ (r • α.f)


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ c✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ : A₁ ⟶ A₂


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
x✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) 0 x✝).f = Algebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
x✝ : A₁ ⟶ A₂

((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) (n✝ + 1) x✝).f = ((fun n α => { f := n • α.f, h := ⋯ }) n✝ x✝ + x✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
a✝ b✝ : A₁ ⟶ A₂


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) 0 a✝).f = Algebra.Hom.f 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
A₁ A₂ : Algebra F
n✝ : ℕ
a✝ : A₁ ⟶ A₂

↑(n✝ + 1) • a✝.f = ({ f := ↑n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


n✝ • a✝.f + a✝.f = ({ f := n✝ • a✝.f, h := ⋯ } + a✝).f


((fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (Int.negSucc n✝) a✝).f = (-(fun r α => { f := r • α.f, h := ⋯ }) (↑n✝.succ) a✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ f'✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ : Q✝ ⟶ R✝

((f✝ + f'✝) ≫ g✝).f = (f✝ ≫ g✝ + f'✝ ≫ g✝).f


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
inst✝¹ : Preadditive C
F : C ⥤ C
inst✝ : F.Additive
P✝ Q✝ R✝ : Algebra F
f✝ : P✝ ⟶ Q✝
g✝ g'✝ : Q✝ ⟶ R✝

(f✝ ≫ (g✝ + g'✝)).f = (f✝ ≫ g✝ + f✝ ≫ g'✝).f


Context:
F : Type u_1
R : Type u_2
A : Type u_3
B : Type u_4
inst✝⁶ : CommSemiring R
inst✝⁵ : Ring A
inst✝⁴ : Ring B
inst✝³ : Algebra R A
inst✝² : Algebra R B
inst✝¹ : EquivLike F A B
inst✝ : AlgEquivClass F R A B
f : F
a : A


Context:
V : Type u_1
P : Type u_2
inst✝³ : NormedAddCommGroup V
inst✝² : InnerProductSpace ℝ V
inst✝¹ : MetricSpace P
inst✝ : NormedAddTorsor V P
m n : ℕ
s : Simplex ℝ P m
e : Fin (m + 1) ≃ Fin (n + 1)

(s.reindex e).circumradius = s.circumradius


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
ι' : Type u_5
r p q : α → α → Prop
f g : ι → α
s t u : Set α
a b✝ : α
ha : a ∉ s
b : α
hb : b ∈ s


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: inst✝⁶ : SecondCountableTopology (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: hasFun : HasFundamentalDomain (↥Γ.op) G ν

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ

Context: s : Set G

Context: fund_dom_s : IsFundamentalDomain (↥Γ.op) s ν


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: h : covolume (↥Γ.op) G ν = μ univ

Context: s : Set G

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set G

Context: h : ν s = μ univ

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set G

Context: h : ν s = μ univ

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤

Context: meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0


Context: G : Type u_1

Context: inst✝¹⁵ : Group G

Context: inst✝¹⁴ : MeasurableSpace G

Context: inst✝¹³ : TopologicalSpace G

Context: inst✝¹² : TopologicalGroup G

Context: inst✝¹¹ : BorelSpace G

Context: inst✝¹⁰ : PolishSpace G

Context: Γ : Subgroup G

Context: inst✝⁹ : Countable ↥Γ

Context: inst✝⁸ : Γ.Normal

Context: inst✝⁷ : T2Space (G ⧸ Γ)

Context: μ : Measure (G ⧸ Γ)

Context: ν : Measure G

Context: inst✝⁵ : ν.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝⁴ : ν.IsMulRightInvariant

Context: inst✝³ : SigmaFinite ν

Context: inst✝² : μ.IsMulLeftInvariant

Context: inst✝¹ : SigmaFinite μ

Context: inst✝ : IsFiniteMeasure μ

Context: s : Set G

Context: h : ν s = μ univ

Context: finiteCovol : μ univ < ⊤

Context: meas_s_ne_zero : ¬ν s = 0

μ univ = ν (QuotientGroup.mk ⁻¹' univ ∩ s)


Context:
α : Type u
β : Type v
γ : Type w
ι : Type x
inst✝² : PseudoEMetricSpace α
inst✝¹ : PseudoEMetricSpace β
inst✝ : PseudoEMetricSpace γ
K : ℝ≥0
f✝ : α → β
x✝ y : α
r : ℝ≥0∞
f : α → α
hf : LipschitzWith K f
x : α
n : ℕ

edist (f^[n] x) (f^[n + 1] x) ≤ edist x (f x) * ↑K ^ n


edist (f^[n] x) ((f^[n] ∘ f) x) ≤ ↑K ^ n * edist x (f x)


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
h : (f ^ n) x = x


Context:
α : Type u_1
f g h✝ : Perm α
x : α
hffx : f (f x) = x
n : ℕ
h : (f ^ n) x = f x


Context: a b n : ℕ


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b

∀ᵐ (ω : Ω) ∂μ, ‖↑(upcrossingsBefore a b f N ω)‖ ≤ ↑N


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m0 : MeasurableSpace Ω
μ : Measure Ω
a b : ℝ
f : ℕ → Ω → ℝ
N n m : ℕ
ω✝ : Ω
ℱ : Filtration ℕ m0
inst✝ : IsFiniteMeasure μ
hf : Adapted ℱ f
hab : a < b
ω : Ω


Context:
ι : Type u_1
α : Type u_2
inst✝¹ : Preorder α
inst✝ : LocallyFiniteOrder α
a a₁ a₂ b b₁ b₂ c x : α


Context:
F : Type w
R : Type u
S✝ : Type v
T : Type u_1
inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R
inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝
inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T
inst✝¹ : FunLike F R S✝
inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝
g : S✝ →ₙ+* T
f : R →ₙ+* S✝
ι : Sort u_2
hι : Nonempty ι
S : ι → NonUnitalSubring R
hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S
x : R


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: g : S✝ →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S✝

Context: ι : Sort u_2

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → NonUnitalSubring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R

Context: U : NonUnitalSubring R := NonUnitalSubring.mk' (⋃ i, ↑(S i)) (⨆ i, (S i).toSubsemigroup) (⨆ i, (S i).toAddSubgroup) ⋯ ⋯


Context: F : Type w

Context: R : Type u

Context: S✝ : Type v

Context: T : Type u_1

Context: inst✝⁴ : NonUnitalNonAssocRing R

Context: inst✝³ : NonUnitalNonAssocRing S✝

Context: inst✝² : NonUnitalNonAssocRing T

Context: inst✝¹ : FunLike F R S✝

Context: inst✝ : NonUnitalRingHomClass F R S✝

Context: g : S✝ →ₙ+* T

Context: f : R →ₙ+* S✝

Context: ι : Sort u_2

Context: hι : Nonempty ι

Context: S : ι → NonUnitalSubring R

Context: hS : Directed (fun x x_1 => x ≤ x_1) S

Context: x : R


Context:
α : Type u
r : α → α → Prop
a✝ : α
l✝ : List α
inst✝¹ : Inhabited α
inst✝ : Preorder α
a : α
l : List α
h : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) l
ha : a ∈ l


Context: α : Type u

Context: r : α → α → Prop

Context: a✝ : α

Context: l✝ : List α

Context: inst✝¹ : Inhabited α

Context: inst✝ : Preorder α

Context: a : α

Context: l : List α

Context: h : Sorted (fun x x_1 => x > x_1) (l.head! :: l.tail)

Context: ha : a ∈ l.head! :: l.tail


Context:
x : ℝ*
h : x.Infinite


Context:
α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ : List α✝
p : α✝ → Bool
l₁ l₂✝ : List α✝
a : α✝
s : l₁ <+ l₂✝
h : p a = true


Context:
α✝ : Type u_1
l₁✝ l₂ : List α✝
p : α✝ → Bool
l₁ l₂✝ : List α✝
a : α✝
s : l₁ <+ l₂✝
h : ¬p a = true


Context:
G : Type w
H : Type x
α : Type u
β : Type v
inst✝³ : TopologicalSpace β
inst✝² : Group α
inst✝¹ : MulAction α β
inst✝ : ContinuousConstSMul α β
s : Set α
t : Set β
ht : IsOpen t


Context:
R : Type u
inst✝¹ : CommRing R
W : WeierstrassCurve R
inst✝ : Nontrivial R
n : ℤ


Context:
R : Type u_1
inst✝² : CommRing R
inst✝¹ : IsDomain R
inst✝ : NormalizedGCDMonoid R
p : R[X]
h : ¬C p.content = 0


Context: a b : Prop


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
m : MeasurableSpace α
μ✝ ν : Measure α
ι : Type u_5
inst✝ : Countable ι
f : α →ₛ ℝ≥0∞
s : ι → Set α
hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s
μ : Measure α

f.lintegral (μ.restrict (⋃ i, s i)) = ⨆ i, f.lintegral (μ.restrict (s i))


∑ x ∈ f.range, ⨆ i, x * (μ.restrict (s i)) (↑f ⁻¹' {x}) = ⨆ i, ∑ x ∈ f.range, x * (μ.restrict (s i)) (↑f ⁻¹' {x})


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: γ : Type u_3

Context: δ : Type u_4

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ ν : Measure α

Context: ι : Type u_5

Context: inst✝ : Countable ι

Context: f : α →ₛ ℝ≥0∞

Context: s : ι → Set α

Context: hd : Directed (fun x x_1 => x ⊆ x_1) s

Context: μ : Measure α

Context: i j k : ι

Context: x✝ : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (s i) (s k) ∧ (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (s j) (s k)

Context: hik : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (s i) (s k)

Context: hjk : (fun x x_1 => x ⊆ x_1) (s j) (s k)

Context: a : ℝ≥0∞

a * (μ.restrict (s i)) (↑f ⁻¹' {a}) ≤ a * (μ.restrict (s k)) (↑f ⁻¹' {a}) ∧ a * (μ.restrict (s j)) (↑f ⁻¹' {a}) ≤ a * (μ.restrict (s k)) (↑f ⁻¹' {a})


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
ι : Type u_3
mα : MeasurableSpace α
mβ : MeasurableSpace β
γ : Type u_4
mγ : MeasurableSpace γ
μ : Measure β
inst✝¹ : SFinite μ
ν : Measure γ
inst✝ : SFinite ν
x : α
s✝ : Set (β × γ)
a✝ : MeasurableSet s✝

((const α μ ×ₖ const α ν) x) s✝ = ((const α (μ.prod ν)) x) s✝


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
inst✝¹ : MeasurableSpace α
inst✝ : SeparatesPoints α
x y : α
h : x ≠ y


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝¹ : MeasurableSpace α

Context: inst✝ : SeparatesPoints α

Context: x y : α

Context: h : ∀ (s : Set α), MeasurableSet s → x ∈ s → y ∈ s


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: a b : α

Context: k : ℕ

Context: hk : a ^ k ∣ b

Context: hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b

Context: this : Finite a b


Context: α : Type u_1

Context: β : Type u_2

Context: inst✝³ : Monoid α

Context: inst✝² : Monoid β

Context: a b : α

Context: k : ℕ

Context: hk : a ^ k ∣ b

Context: hsucc : ¬a ^ (k + 1) ∣ b

Context: this : Finite a b

∃ (h : (multiplicity a b).Dom), (multiplicity a b).get h ≤ k


Context:
M : Type u_1
N : Type u_2
S : Type u_3
M₀ : Type u_4
M₁ : Type u_5
R : Type u_6
G : Type u_7
G₀ : Type u_8
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : Monoid N
inst✝⁵ : Semigroup S
inst✝⁴ : MulZeroClass M₀
inst✝³ : MulOneClass M₁
inst✝² : NonAssocRing R
inst✝¹ : Group G
inst✝ : CancelMonoidWithZero G₀
p : R
h : IsIdempotentElem p


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: y : ↥(localizationLocalizationSubmodule M N)


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: y' : ↥N

Context: z : ↥M

Context: eq : (algebraMap R S) ↑y = ↑y' * (algebraMap R S) ↑z


Context: R : Type u_1

Context: inst✝⁹ : CommSemiring R

Context: M : Submonoid R

Context: S : Type u_2

Context: inst✝⁸ : CommSemiring S

Context: inst✝⁷ : Algebra R S

Context: P : Type u_3

Context: inst✝⁶ : CommSemiring P

Context: N : Submonoid S

Context: T : Type u_4

Context: inst✝⁵ : CommSemiring T

Context: inst✝⁴ : Algebra R T

Context: inst✝³ : Algebra S T

Context: inst✝² : IsScalarTower R S T

Context: inst✝¹ : IsLocalization M S

Context: inst✝ : IsLocalization N T

Context: y' : ↥N

Context: z : ↥M

IsUnit ((algebraMap S T) ↑y') ∧ IsUnit ((algebraMap S T) ((algebraMap R S) ↑z))


Context:
R : Type u
S : Type v
A : Type w
B : Type u_1
inst✝² : CommSemiring R
inst✝¹ : Ring A
inst✝ : Algebra R A
x : A
r : R

x * (x - (algebraMap R A) r) = (x - (algebraMap R A) r) * x


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
a a₁ a₂ : α
b b₁ b₂ : β
inst✝⁴ : OrderedRing α
inst✝³ : OrderedAddCommGroup β
inst✝² : Module α β
inst✝¹ : PosSMulMono α β
inst✝ : PosSMulReflectLE α β
ha : a < 0

a • b₁ ≤ a • b₂ ↔ b₂ ≤ b₁


-a • b₂ ≤ -a • b₁ ↔ b₂ ≤ b₁


Context:
G : Type u_1
inst✝⁶ : TopologicalSpace G
inst✝⁵ : Group G
inst✝⁴ : TopologicalGroup G
inst✝³ : MeasurableSpace G
inst✝² : BorelSpace G
μ' μ : Measure G
inst✝¹ : μ.IsHaarMeasure
inst✝ : μ'.IsHaarMeasure
H : μ'.haarScalarFactor μ = 0


Context:
C : Type u₁
inst✝² : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝¹ : Category.{v₂, u₂} D
E : Type u₃
inst✝ : Category.{v₃, u₃} E
F G H✝ I✝ : C ⥤ D
H I : D ⥤ E
α : F ⟶ G
β : H ⟶ I
X Y : C
f : X ⟶ Y

(F ⋙ H).map f ≫ (fun X => β.app (F.obj X) ≫ I.map (α.app X)) Y = (fun X => β.app (F.obj X) ≫ I.map (α.app X)) X ≫ (G ⋙ I).map f


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)

x ∈ Ideal.span ((fun s => (monomial s) 1) '' s) ↔ ∀ xi ∈ x.support, ∃ si ∈ s, (monomial si) 1 ∣ (monomial xi) (coeff xi x)


Context:
σ : Type u_1
R : Type u_2
inst✝ : CommSemiring R
x : MvPolynomial σ R
s : Set (σ →₀ ℕ)
xi : σ →₀ ℕ
hxi : xi ∈ x.support

(∃ si ∈ s, si ≤ xi) ↔ ∃ si ∈ s, (monomial si) 1 ∣ (monomial xi) (coeff xi x)


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K

{ toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) = { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun y


Context:
R : Type u_1
K : Type u_2
inst✝⁴ : CommRing R
inst✝³ : IsDedekindDomain R
inst✝² : Field K
inst✝¹ : Algebra R K
inst✝ : IsFractionRing R K
v : HeightOneSpectrum R
x y : R_hat R K
p : HeightOneSpectrum R

{ toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun (x * y) p = ({ toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun x * { toFun := fun x v => ↑(x v), map_one' := ⋯ }.toFun y) p


↑((x * y) p) = ((fun v => ↑(x v)) * fun v => ↑(y v)) p


Context:
α : Type u_1
a : α
l : List α
p : α → Option α
h : p a = none


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B

‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ (p.natDegree - i) * ↑(p.natDegree.choose i)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : B < 0


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B


‖(map f p).coeff i‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : (map f p).natDegree < i


Context:
α : Type u_1
R : Type u_2
inst✝³ : NormedRing R
inst✝² : IsAbsoluteValue norm
F : Type u_3
K : Type u_4
inst✝¹ : CommRing F
inst✝ : NormedField K
p : F[X]
f : F →+* K
B : ℝ
i : ℕ
h1 : p.Monic
h2 : Splits f p
h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B
hB : 0 ≤ B
hi : i ≤ (map f p).natDegree


‖(map f p).roots.esymm ((map f p).natDegree - i)‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)


card (Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))) • ?m.46254 ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i) * ↑((map f p).natDegree.choose i)


∀ r ∈ Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots)), r ≤ ?m.46254


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: B : ℝ

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B

Context: hB : 0 ≤ B

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: r : ℝ

Context: hr : r ∈ Multiset.map (fun x => ‖x‖) (Multiset.map prod (powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots))


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: B : ℝ

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B

Context: hB : 0 ≤ B

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: r : ℝ

Context: hr : ∃ a, (∃ a_1 ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots, a_1.prod = a) ∧ ‖a‖ = r


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: B : ℝ

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B

Context: hB : 0 ≤ B

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: hs : s ∈ powersetCard ((map f p).natDegree - i) (map f p).roots

‖s.prod‖ ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: B : ℝ

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ B

Context: hB : 0 ≤ B

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: hs : s ≤ (map f p).roots ∧ card s = (map f p).natDegree - i


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

‖s.prod‖ ≤ ↑B ^ ((map f p).natDegree - i)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

(Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s).prod ≤ B ^ ((map f p).natDegree - i)


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

Context: x : ℝ≥0

Context: hx : x ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s


Context: α : Type u_1

Context: R : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedRing R

Context: inst✝² : IsAbsoluteValue norm

Context: F : Type u_3

Context: K : Type u_4

Context: inst✝¹ : CommRing F

Context: inst✝ : NormedField K

Context: p : F[X]

Context: f : F →+* K

Context: i : ℕ

Context: h1 : p.Monic

Context: h2 : Splits f p

Context: hi : i ≤ (map f p).natDegree

Context: s : Multiset K

Context: B : ℝ≥0

Context: h3 : ∀ z ∈ (map f p).roots, ‖z‖ ≤ ↑B

Context: z : K

Context: hz : z ∈ s

Context: hx : ↑nnnormHom z ∈ Multiset.map (⇑↑nnnormHom) s


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedAddCommGroup α
hα : Archimedean α
p : α
hp : 0 < p
a✝ b✝ c : α
n : ℤ
a b : α
m : ℤ

toIcoMod hp (m • p + a) b = m • p + toIcoMod hp a b


Context:
𝕜 : Type u_1
E : Type u_2
F : Type u_3
G : Type u_4
ι : Type u_5
inst✝⁶ : RCLike 𝕜
inst✝⁵ : AddCommGroup E
inst✝⁴ : TopologicalSpace E
inst✝³ : Module 𝕜 E
inst✝² : Module ℝ E
inst✝¹ : IsScalarTower ℝ 𝕜 E
inst✝ : ContinuousSMul ℝ E
s : AbsConvexOpenSets 𝕜 E


Context:
𝓕 : Type u_1
𝕜 : Type u_2
α : Type u_3
ι : Type u_4
κ : Type u_5
E : Type u_6
F : Type u_7
G : Type u_8
inst✝² : SeminormedGroup E
inst✝¹ : SeminormedGroup F
inst✝ : SeminormedGroup G
s : Set E
a✝ a₁ a₂ b b₁ b₂ : E
r r₁ r₂ : ℝ
y : E
ε : ℝ
a : E


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Finite β


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
G : Type u_5
inst✝³ : TopologicalSpace G
inst✝² : CommGroup G
inst✝¹ : TopologicalGroup G
f : α → G
inst✝ : T2Space G
a : G
hβ : Infinite β


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: inst✝¹ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: inst✝ : DecidableRel fun x x_1 => x ∣ x_1

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: hd : ∀ (l l' : { l // l ∣ m }), ↑(d l) ∣ ↑(d l') ↔ ↑l ∣ ↑l'

multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n = multiplicity p m


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

multiplicity p m = multiplicity (↑(d ⟨p, ⋯⟩)) n


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

multiplicity (Associates.mk p) (Associates.mk m) = multiplicity (Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩)) (Associates.mk n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: this : Associates.mk ↑(d ⟨associatesEquivOfUniqueUnits (associatesEquivOfUniqueUnits.symm p), ⋯⟩) = ↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

multiplicity (Associates.mk p) (Associates.mk m) = multiplicity (↑((mkFactorOrderIsoOfFactorDvdEquiv hd) ⟨associatesEquivOfUniqueUnits.symm p, ⋯⟩)) (Associates.mk n)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Associates.mk p ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)


Context: M : Type u_1

Context: inst✝⁷ : CancelCommMonoidWithZero M

Context: N : Type u_2

Context: inst✝⁶ : CancelCommMonoidWithZero N

Context: inst✝⁵ : Unique Mˣ

Context: inst✝⁴ : Unique Nˣ

Context: inst✝³ : UniqueFactorizationMonoid M

Context: inst✝² : UniqueFactorizationMonoid N

Context: m p : M

Context: n : N

Context: hm : m ≠ 0

Context: hn : n ≠ 0

Context: hp : p ∈ normalizedFactors m

Context: d : { l // l ∣ m } ≃ { l // l ∣ n }

Context: q : Associates M

Context: hq : q ∈ normalizedFactors (Associates.mk m)

Context: hq' : Associated (Associates.mk p) q


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Context: h_mono : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Antitone fun n => f n x

Context: h_tendsto : ∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => f n x) atTop (𝓝 (F x))

Tendsto (fun n => ∫ (x : α), f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

Tendsto (fun n => ∫ (x : α), -f n x ∂μ) atTop (𝓝 (∫ (x : α), -F x ∂μ))


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ


Context: α : Type u_1

Context: E : Type u_2

Context: F✝ : Type u_3

Context: 𝕜 : Type u_4

Context: inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ E

Context: hE : CompleteSpace E

Context: inst✝⁹ : NontriviallyNormedField 𝕜

Context: inst✝⁸ : NormedSpace 𝕜 E

Context: inst✝⁷ : SMulCommClass ℝ 𝕜 E

Context: inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F✝

Context: inst✝⁵ : NormedSpace ℝ F✝

Context: inst✝⁴ : CompleteSpace F✝

Context: G : Type u_5

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup G

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ G

Context: f✝ g : α → E

Context: m : MeasurableSpace α

Context: μ✝ : Measure α

Context: X : Type u_6

Context: inst✝¹ : TopologicalSpace X

Context: inst✝ : FirstCountableTopology X

Context: μ : Measure α

Context: f : ℕ → α → ℝ

Context: F : α → ℝ

Context: hf : ∀ (n : ℕ), Integrable (f n) μ

Context: hF : Integrable F μ

∀ᵐ (x : α) ∂μ, Tendsto (fun n => -f n x) atTop (𝓝 (-F x))


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
inst✝³ : MeasurableSpace α
inst✝² : MeasurableSpace β
inst✝¹ : MeasurableSpace γ
inst✝ : MeasurableSpace δ
μa : Measure α
μb : Measure β
μc : Measure γ
μd : Measure δ
f : α → β
hf : MeasurePreserving f μa μb
h₂ : MeasurableEmbedding f
g : β → γ

AEMeasurable (g ∘ f) μa ↔ AEMeasurable g μb


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: hf : ∀ x ∈ interior s, HasFDerivAt f (f' x) x

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: hx : HasFDerivWithinAt f' f'' (interior s) x

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2vww : x + (2 • v + w) + w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

Context: TA1 : (fun h => f (x + h • (2 • v + w) + h • w) - f (x + h • (2 • v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (2 • v + w)) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

Context: TA2 : (fun h => f (x + h • (v + w) + h • w) - f (x + h • (v + w)) - h • (f' x) w - h ^ 2 • (f'' (v + w)) w - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w) =o[𝓝[>] 0] fun h => h ^ 2


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

Context: h : ℝ


Context: E : Type u_1

Context: F : Type u_2

Context: inst✝³ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝² : NormedSpace ℝ E

Context: inst✝¹ : NormedAddCommGroup F

Context: inst✝ : NormedSpace ℝ F

Context: s : Set E

Context: s_conv : Convex ℝ s

Context: f : E → F

Context: f' : E → E →L[ℝ] F

Context: f'' : E →L[ℝ] E →L[ℝ] F

Context: x : E

Context: xs : x ∈ s

Context: v w : E

Context: h4v : x + 4 • v ∈ interior s

Context: h4w : x + 4 • w ∈ interior s

Context: A : 1 / 2 ∈ Ioc 0 1

Context: B : 1 / 2 ∈ Icc 0 1

Context: C : ∀ (w : E), 2 • w = 2 • w

Context: h2v2w : x + 2 • v + 2 • w ∈ interior s

Context: h2v : x + 2 • v ∈ interior s

Context: h2w : x + 2 • w ∈ interior s

Context: hvw : x + (v + w) ∈ interior s

Context: h2vw : x + (2 • v + w) ∈ interior s

Context: hvww : x + (v + w) + w ∈ interior s

Context: h : ℝ

f (x + h • v + h • v + h • w + h • w) + f (x + h • v + h • w) - f (x + h • v + h • v + h • w) - f (x + h • v + h • w + h • w) - h ^ 2 • (f'' v) w = f (x + h • v + h • v + h • w + h • w) - f (x + h • v + h • v + h • w) - h • (f' x) w - (h ^ 2 • (f'' v) w + h ^ 2 • (f'' v) w + h ^ 2 • (f'' w) w) - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w - (f (x + h • v + h • w + h • w) - f (x + h • v + h • w) - h • (f' x) w - (h ^ 2 • (f'' v) w + h ^ 2 • (f'' w) w) - (h ^ 2 / 2) • (f'' w) w)


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o


Context:
o : Ordinal.{u_1}
ho : 0 < o
ho₁ : 1 < o


Context: ho : 0 < 1


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
δ : Type u_4
ε : Type u_5
ι : Type u_6
f✝ : α →. β
f : β →. γ
g : α →. β
a : Part α
c : γ

c ∈ a.bind (f.comp g) ↔ c ∈ (a.bind g).bind f


(∃ a_1 x, a_1 ∈ a ∧ x ∈ g a_1 ∧ c ∈ f x) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1


(∃ b, ∃ a_1 ∈ a, b ∈ g a_1 ∧ c ∈ f b) ↔ ∃ a_1 x, (x ∈ a ∧ a_1 ∈ g x) ∧ c ∈ f a_1


Context:
Ω : Type u_1
ι : Type u_2
m : MeasurableSpace Ω
X : Ω → ℝ
p : ℕ
μ : Measure Ω
t : ℝ


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜

ContinuousWithinAt (toIocMod hp a) (Iic x) x


ContinuousWithinAt ((fun x => p - x) ∘ toIcoMod hp (-a) ∘ Neg.neg) (Iic x) x


Context:
𝕜 : Type u_1
B : Type u_2
inst✝³ : LinearOrderedAddCommGroup 𝕜
inst✝² : Archimedean 𝕜
inst✝¹ : TopologicalSpace 𝕜
inst✝ : OrderTopology 𝕜
p : 𝕜
hp : 0 < p
a x : 𝕜
this : ContinuousNeg 𝕜


Context:
J : Type w
K : Type u_1
C : Type u
inst✝³ : Category.{v, u} C
inst✝² : HasZeroMorphisms C
f g : J → C
inst✝¹ : HasBiproduct f
inst✝ : HasBiproduct g
p : (b : J) → f b ⟶ g b
j✝¹ j✝ : J

ι f j✝ ≫ map p ≫ π g j✝¹ = ι f j✝ ≫ map' p ≫ π g j✝¹


(bicone f).toCocone.ι.app { as := j✝ } ≫ (bicone f).toCone.π.app { as := j✝¹ } ≫ p j✝¹ = p j✝ ≫ (bicone g).toCocone.ι.app { as := j✝ } ≫ (bicone g).toCone.π.app { as := j✝¹ }


ι f j✝ ≫ π f j✝¹ ≫ p j✝¹ = p j✝ ≫ ι g j✝ ≫ π g j✝¹


(if h : j✝ = j✝¹ then eqToHom ⋯ else 0) ≫ p j✝¹ = p j✝ ≫ if h : j✝ = j✝¹ then eqToHom ⋯ else 0


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: p : α

Context: s : Set α

Context: hps : (of p).IsSupported s

Context: this✝ : DecidablePred s

Context: this : ∃ n, (lift fun a => if a ∈ s then 0 else X) (of p) = ↑n


Context: α : Type u

Context: β : Type v

Context: f : α → β

Context: p : α

Context: s : Set α

Context: hps : (of p).IsSupported s

Context: this✝ : DecidablePred s

Context: this : ∃ n, (if p ∈ s then 0 else X) = ↑n


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
h : p ∉ s
this : ∃ n, X = ↑n


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = ↑w


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = C ↑w


Context:
α : Type u
β : Type v
f : α → β
p : α
s : Set α
hps : (of p).IsSupported s
this✝ : DecidablePred s
h : p ∉ s
w : ℤ
H : X = C ↑w
this : X.coeff 1 = (C w).coeff 1


Context: ι : Type u_1

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Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

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Context: u v ua va ub vb : ι → ℝ

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Context: hmeas_b : StronglyMeasurableAtFilter f lb' μ

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Context: hua : Tendsto ua lt la

Context: hva : Tendsto va lt la

Context: hub : Tendsto ub lt lb

Context: hvb : Tendsto vb lt lb

(fun t => ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ - (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)) =o[lt] fun t => ‖∫ (x : ℝ) in ua t..va t, 1 ∂μ‖ + ‖∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, 1 ∂μ‖


Context: ι : Type u_1

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated


Context: ι : Type u_1

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Context: hva : Tendsto va lt la

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Context: hvb : Tendsto vb lt lb

Context: this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated

Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

(fun x => -(∫ (x : ℝ) in ua x..va x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua x..va x, ca ∂μ) + (∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub x..vb x, cb ∂μ)) =ᶠ[lt] fun t => ∫ (x : ℝ) in va t..vb t, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..ub t, f x ∂μ - (∫ (x : ℝ) in ub t..vb t, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua t..va t, ca ∂μ)


Context: ι : Type u_1

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Context: inst✝³ : CompleteSpace E

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Context: hva : Tendsto va lt la

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Context: hvb : Tendsto vb lt lb

Context: this✝ : la'.IsMeasurablyGenerated

Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: A : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ua t) (va t)


Context: ι : Type u_1

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Context: hva : Tendsto va lt la

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: A' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ a (ua t)


Context: ι : Type u_1

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: B : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ (ub t) (vb t)


Context: ι : Type u_1

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: B' : ∀ᶠ (t : ι) in lt, IntervalIntegrable f μ b (ub t)


Context: ι : Type u_1

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: a✝ : ι

Context: ua_va : IntervalIntegrable f μ (ua a✝) (va a✝)

Context: a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)

Context: ub_vb : IntervalIntegrable f μ (ub a✝) (vb a✝)

Context: b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)

-(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) + (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in va a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..ub a✝, f x ∂μ - (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)


Context: ι : Type u_1

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Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

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Context: lt : Filter ι

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Context: inst✝³ : CompleteSpace E

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Context: hb_lim : Tendsto f (lb' ⊓ ae μ) (𝓝 cb)

Context: hua : Tendsto ua lt la

Context: hva : Tendsto va lt la

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: a✝ : ι

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Context: b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)

-(∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ) + (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ) = ∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, f x ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, f x ∂μ - (∫ (x : ℝ) in ub a✝..vb a✝, cb ∂μ - ∫ (x : ℝ) in ua a✝..va a✝, ca ∂μ)


Context: ι : Type u_1

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Context: E : Type u_3

Context: F : Type u_4

Context: A✝ : Type u_5

Context: inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E

Context: inst✝⁴ : NormedSpace ℝ E

Context: f : ℝ → E

Context: a b : ℝ

Context: c ca cb : E

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Context: μ : Measure ℝ

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Context: inst✝³ : CompleteSpace E

Context: inst✝² : FTCFilter a la la'

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Context: inst✝ : IsLocallyFiniteMeasure μ

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Context: hua : Tendsto ua lt la

Context: hva : Tendsto va lt la

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Context: hvb : Tendsto vb lt lb

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Context: this : lb'.IsMeasurablyGenerated

Context: a✝ : ι

Context: a_ua : IntervalIntegrable f μ a (ua a✝)

Context: b_ub : IntervalIntegrable f μ b (ub a✝)


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
R : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : S


Context:
R✝ : Type u_1
inst✝¹⁰ : CommRing R✝
M✝ : Submonoid R✝
S✝ : Type u_2
inst✝⁹ : CommRing S✝
inst✝⁸ : Algebra R✝ S✝
P : Type u_3
inst✝⁷ : CommRing P
A : Type u_4
K : Type u_5
inst✝⁶ : CommRing A
inst✝⁵ : IsDomain A
R : Type u_6
inst✝⁴ : CommRing R
M : Submonoid R
S : Type u_7
inst✝³ : CommRing S
inst✝² : Nontrivial R
inst✝¹ : Algebra R S
inst✝ : IsLocalization M S
x : R
s : ↥M


Context:
M✝ : Type u_1
N : Type u_2
P : Type u_3
α : Type u_4
M : Type u_5
inst✝² : MulOneClass M
inst✝¹ : SMul α M
inst✝ : IsScalarTower α M M
c : Con M
a : α
w x : M
h : c w x


Context: α : Type u_1

Context: c : Set (Set α)

Context: hc : IsPartition c

Context: x : α

Context: t : Set α

Context: ht : (fun b => b ∈ c ∧ x ∈ b) t ∧ ∀ (y : Set α), (fun b => b ∈ c ∧ x ∈ b) y → y = t


Context: α : Type u_1

Context: c : Set (Set α)

Context: hc : IsPartition c

Context: x : α

Context: t : Set α

Context: ht : (t ∈ c ∧ x ∈ t) ∧ ∀ (y : Set α), y ∈ c ∧ x ∈ y → y = t


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
ι : Type u_4
inst✝² : DecidableEq ι
inst✝¹ : Fintype ι
inst✝ : CommMonoid α
s : Finset ι
f : ι → α

(∏ i : ι, if i ∈ s then f i else 1) = ∏ i ∈ s, f i


Context:
R : Type u
a b : R
m n✝ : ℕ
inst✝ : Semiring R
p q : R[X]
n : ℕ


Context:
α : Type u_1
β : Type v
γ : Type u_2
p✝ : α → Prop
inst✝¹ : DecidablePred p✝
f : α → β
s : Multiset α
p : β → Prop
inst✝ : DecidablePred p

countP p (map f s) = card (filter (fun a => p (f a)) s)


countP p (map f 0) = card (filter (fun a => p (f a)) 0)


Context: α : Type u_1

Context: β : Type v

Context: γ : Type u_2

Context: p✝ : α → Prop

Context: inst✝¹ : DecidablePred p✝

Context: f : α → β

Context: s : Multiset α

Context: p : β → Prop

Context: inst✝ : DecidablePred p

Context: a : α

Context: t : Multiset α

Context: IH : countP p (map f t) = card (filter (fun a => p (f a)) t)

countP p (map f (a ::ₘ t)) = card (filter (fun a => p (f a)) (a ::ₘ t))


Context:
x y z : ℝ
n : ℕ
hx : 0 < x


∃ c, ∀ (n : ℕ), c ≤ Real.log (stirlingSeq (n + 1))


Context: d : ℝ

Context: h : ∀ (n : ℕ), Real.log (stirlingSeq 1) - Real.log (stirlingSeq (n + 1)) ≤ d


Context:
α : Type u
β : Type v
ι : Sort w
γ : Type x
f : α → β
s : Set β
h : s.Finite
hf : ∀ b ∈ s, (f ⁻¹' {b}).Finite


Context:
C : Type u₁
inst✝¹ : Category.{v₁, u₁} C
D : Type u₂
inst✝ : Category.{v₂, u₂} D
F G : (C ⥤ D)ᵒᵖ
f : F ⟶ G

f ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom.op = (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom.op ≫ Quiver.Hom.op { app := fun X => f.unop.app X, naturality := ⋯ }


((NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop G).obj X)) ⋯).hom ≫ f.unop).op = ({ app := fun X => f.unop.op.unop.app X, naturality := ⋯ } ≫ (NatIso.ofComponents (fun X => Iso.refl ((unop F).obj X)) ⋯).hom).op


Context:
F : Type u_1
α : Type u_2
β : Type u_3
γ : Type u_4
δ : Type u_5
inst✝³ : SemilatticeInf α
inst✝² : OrderBot α
inst✝¹ : SemilatticeInf β
inst✝ : OrderBot β
a b : α
f : α ≃o β
ha : Disjoint a b


Context:
R : Type u_1
S : Type u_2
F : Type u_3
K : Type u_4
P Q : Cubic R
a b c d a' b' c' d' : R
inst✝ : Semiring R
ha : P.a = 0
hb : P.b ≠ 0


Context:
f : ℝ → ℂ
hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, ↑(cos x) ^ n * f x) / ↑(∫ (x : ℝ) in 0 ..π / 2, cos x ^ n)) atTop (𝓝 (f 0))


Tendsto (fun n => (∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n ∂volume)⁻¹ • ∫ (x : ℝ) in Icc 0 (π / 2), cos x ^ n • f x ∂volume) atTop (𝓝 (f 0))


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Context: c_lt : ∀ y ∈ Icc 0 (π / 2), y ≠ 0 → cos y < cos 0


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Context: c_nonneg : ∀ x ∈ Icc 0 (π / 2), 0 ≤ cos x


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Context: c_zero_pos : 0 < cos 0


Context: f : ℝ → ℂ

Context: hf : ContinuousOn f (Icc 0 (π / 2))

Context: c_zero_pos : 0 < cos 0

Context: zero_mem : 0 ∈ closure (interior (Icc 0 (π / 2)))


Context:
R : Type u
L : Type v
L' : Type w₂
M : Type w
M' : Type w₁
inst✝¹² : CommRing R
inst✝¹¹ : LieRing L
inst✝¹⁰ : LieAlgebra R L
inst✝⁹ : LieRing L'
inst✝⁸ : LieAlgebra R L'
inst✝⁷ : AddCommGroup M
inst✝⁶ : Module R M
inst✝⁵ : LieRingModule L M
inst✝⁴ : LieModule R L M
inst✝³ : AddCommGroup M'
inst✝² : Module R M'
inst✝¹ : LieRingModule L M'
inst✝ : LieModule R L M'
f : L →ₗ⁅R⁆ L'
I : LieIdeal R L
J : LieIdeal R L'
h : Function.Surjective ⇑f


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
a✝ a : α
h : 0 < a
b c : α

(fun x => a * x) '' Ioo b c = Ioo (a * b) (a * c)


Context:
R : Type u_1
inst✝ : CommRing R
p q : R[X]
hq : q.Monic

p %ₘ q = 0 ↔ (Ideal.Quotient.mk (Ideal.span {q})) p = 0


Context:
R : Type u_1
M : Type u_2
inst✝¹⁸ : CommSemiring R
inst✝¹⁷ : AddCommMonoid M
inst✝¹⁶ : Module R M
R₁ : Type u_3
M₁ : Type u_4
inst✝¹⁵ : CommRing R₁
inst✝¹⁴ : AddCommGroup M₁
inst✝¹³ : Module R₁ M₁
V : Type u_5
K : Type u_6
inst✝¹² : Field K
inst✝¹¹ : AddCommGroup V
inst✝¹⁰ : Module K V
M'✝ : Type u_7
M''✝ : Type u_8
inst✝⁹ : AddCommMonoid M'✝
inst✝⁸ : AddCommMonoid M''✝
inst✝⁷ : Module R M'✝
inst✝⁶ : Module R M''✝
B : BilinForm R M
B₁ : BilinForm R₁ M₁
F : BilinForm R M
M' : Type u_9
inst✝⁵ : AddCommMonoid M'
inst✝⁴ : Module R M'
B' : BilinForm R M'
f✝ f'✝ : M →ₗ[R] M'
g✝ g'✝ : M' →ₗ[R] M
M₁' : Type u_10
inst✝³ : AddCommGroup M₁'
inst✝² : Module R₁ M₁'
B₁' : BilinForm R₁ M₁'
f₁ f₁' : M₁ →ₗ[R₁] M₁'
g₁ g₁' : M₁' →ₗ[R₁] M₁
B₂' : BilinForm R M'
f₂ f₂' : M →ₗ[R] M'
g₂ g₂' : M' →ₗ[R] M
M'' : Type u_11
inst✝¹ : AddCommMonoid M''
inst✝ : Module R M''
B'' : BilinForm R M''
f g f' g' : Module.End R M
h : B.IsAdjointPair B f g
h' : B.IsAdjointPair B f' g'
x y : M


Context:
m : Type u_1
n : Type u_2
α : Type u_3
inst✝³ : Fintype n
inst✝² : DecidableEq n
inst✝¹ : Semiring α
A : Matrix m n α
B : Matrix n n α
inst✝ : Invertible B


Context:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
inst✝¹ : DecidableEq α
inst✝ : Fintype α
s : Finset α


Context:
N✝ : ℕ
g : ConjAct SL(2, ℤ)
Γ : Subgroup SL(2, ℤ)
N : ℕ+
HN : Gamma ↑N ≤ Γ


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal

inertiaDeg (algebraMap R S) p P = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p


finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P) = finrank (R ⧸ p) (S ⧸ P)


(Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯).toAlgebra = inst✝¹


Context:
R : Type u
inst✝⁴ : CommRing R
S : Type v
inst✝³ : CommRing S
f : R →+* S
p : Ideal R
P : Ideal S
inst✝² : Algebra R S
inst✝¹ : Algebra (R ⧸ p) (S ⧸ P)
inst✝ : IsScalarTower R (R ⧸ p) (S ⧸ P)
hp : p.IsMaximal
a✝ : Nontrivial (S ⧸ P)
this : comap (algebraMap R S) P = p
x' : R ⧸ p
x : R

(algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) (Quotient.mk'' x) = (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) (Quotient.mk'' x)


(Quotient.lift p ((Quotient.mk P).comp (algebraMap R S)) ⋯) ((Quotient.mk p) x) = (algebraMap (R ⧸ p) (S ⧸ P)) ((Quotient.mk p) x)


Context:
α : Type u_1
inst✝ : LinearOrderedField α
k n : ℕ
hk : k ≠ 0
h : k ≤ n

∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹


∑ i ∈ Ioc k k, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑k)⁻¹


∀ (n : ℕ), k ≤ n → ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹ → ∑ i ∈ Ioc k (n + 1), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

Context: IH : ∑ i ∈ Ioc k n, (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑n)⁻¹

∑ i ∈ Ioc k (n + 1), (↑i ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

∑ k ∈ Ioc k n, (↑k ^ 2)⁻¹ + (↑(n + 1) ^ 2)⁻¹ ≤ (↑k)⁻¹ - (↑(n + 1))⁻¹


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

Context: A : 0 < ↑n


Context: α : Type u_1

Context: inst✝ : LinearOrderedField α

Context: k n✝ : ℕ

Context: hk : k ≠ 0

Context: h : k ≤ n✝

Context: n : ℕ

Context: hn : k ≤ n

Context: A : 0 < ↑n

Context: B : 0 < ↑n + 1


Context:
X : Type u
Y : Type v
Z : Type u_1
W : Type u_2
ε : Type u_3
ζ : Type u_4
ι : Type u_5
π : ι → Type u_6
κ : Type u_7
inst✝ : TopologicalSpace X
T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)
f : X → (i : ι) → π i
I : Set ι
s : (i : ι) → Set (π i)
a : (i : ι) → π i
hs : I.pi s ∈ 𝓝 a
i : ι
hi : i ∈ I


Context: X : Type u

Context: Y : Type v

Context: Z : Type u_1

Context: W : Type u_2

Context: ε : Type u_3

Context: ζ : Type u_4

Context: ι : Type u_5

Context: π : ι → Type u_6

Context: κ : Type u_7

Context: inst✝ : TopologicalSpace X

Context: T : (i : ι) → TopologicalSpace (π i)

Context: f : X → (i : ι) → π i

Context: I : Set ι

Context: s : (i : ι) → Set (π i)

Context: a : (i : ι) → π i

Context: hs : I.pi s ∈ Filter.pi fun i => 𝓝 (a i)

Context: i : ι

Context: hi : i ∈ I


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)

Context: h : (MonoidHom.toAdditive' ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom)) a₁✝ = (MonoidHom.toAdditive' ((QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))).comp (QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯).toMonoidHom)) a₂✝


Context: K : Type u_1

Context: inst✝² : Field K

Context: inst✝¹ inst✝ : NumberField K

Context: a₁✝ a₂✝ : Additive ((𝓞 K)ˣ ⧸ torsion K)

Context: h : (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))) ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₁✝)) = (QuotientGroup.kerLift (AddMonoidHom.toMultiplicative' (logEmbedding K))) ((QuotientGroup.quotientMulEquivOfEq ⋯) (Additive.toMul a₂✝))


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝³ : Presheaf.IsLocallyInjective J α

Context: inst✝² : Presheaf.IsLocallySurjective J α

Context: inst✝¹ : J.WEqualsLocallyBijective AddCommGrp

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

Context: g : Q₀ ⟶ (SheafOfModules.forget R ⋙ restrictScalars α).obj N

((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g) = (sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

(SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) = (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f ≫ ((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

(SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) P₀ N).symm (f ≫ g)) = (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫ (SheafOfModules.toSheaf R).map (((fun x x_1 => sheafificationHomEquiv α) Q₀ N).symm g)


Context: C : Type u'

Context: inst✝⁴ : Category.{v', u'} C

Context: J : GrothendieckTopology C

Context: R₀ : Cᵒᵖ ⥤ RingCat

Context: R : Sheaf J RingCat

Context: α : R₀ ⟶ R.val

Context: inst✝ : HasWeakSheafify J AddCommGrp

Context: P₀ Q₀ : PresheafOfModules R₀

Context: N : SheafOfModules R

Context: f : P₀ ⟶ Q₀

((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv P₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm (f ≫ g).hom = (SheafOfModules.toSheaf R).map ((sheafification α).map f) ≫ ((CategoryTheory.sheafificationAdjunction J AddCommGrp).homEquiv Q₀.presheaf ((SheafOfModules.toSheaf R).obj N)).symm g.hom