diff --git "a/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/tmp_files/load_file.txt" "b/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/tmp_files/load_file.txt" new file mode 100644--- /dev/null +++ "b/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/tmp_files/load_file.txt" @@ -0,0 +1,554 @@ +filepath=/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf,len=553 +page_content='arXiv:2301.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='00731v1 [math.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='DS] 2 Jan 2023 Feuerbach’s and Poncelet’s theorems meet in space (On the occasion of their bicentennial) E.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' A.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Avksentyev December 29, 2022 Abstract Three-dimensional analogues of the Feuerbach theorem are proposed in this paper.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' One of them concerns some tetrahedron analogue of the Euler circle.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Another one is pretty interesting «up-in-ex- touch» construction.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' And the third one, it turns out, is closely related to Poncelet’s theorem.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' This is very beautiful Grace’s theorem.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' It seems that this theorem is not widely known, and that no elementary proof has been given.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Such an elementary proof of the Grace theorem is obtained in this paper by using properties of imaginary generators on a sphere and of isotropic tangents to a conic.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' An applying of the Grace theorem leads to several corollaries.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' One of them is Laguerre’s theorem, which generalizes the Euler-Chapple formulas.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Further, we consider a spatial analog of Poncelet’s theorem.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' We prove that the Grace spheres touch some fixed sphere under the Poncelet rotation of bicentric tetrahedron.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Finaly, going out from a plane into the third dimension, we obtain a new proof of Feuerbach’s theorem and perhaps the shortest proof of Euler-Chapple formulas.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Введение Данная работа посвящена двум знаменитым геометрическим теоремам, кажется никак не связанным между собой, разве что они были опубликованны в один год двести лет назад [5, 14].' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Приведем их формулировки Теорема (Feuerbach, 1822).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Окружность девяти точек произвольного треугольника касается его вписанной и трех вневписанных окружностей.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема (Poncelet, 1822).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть для двух данных коник существует вписано-описанный в них многоугольник.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда этот многоугольник может динамически «вращаться» около данных коник, оставаясь вписано-описанным в них.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' У обеих теорем есть масса обобщений, но пространственные аналоги, насколько нам известно, имеются только у теоремы Понселе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Их довольно много (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', например, [6,8,9,15]) и среди них есть множество замечательных, но малоизвестных результатов.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Задача трехмерного обобщения теоремы Фейербаха поставлена еще более ста лет назад в моно- графии Кулиджа [2]: «The geometry of the tetrahedron lags far behind that of the triangle.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='..' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Is there an analogue to Feuerbach’s theorem?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Above all what corresponds to the Hart systems?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='..' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='These difficult but important and interesting questions offer ample scope for serious work» (p.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 247).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема Фейербаха содержит в себе два удивительных геометрических факта.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Первый состоит в том, что четыре замечательные окружности треугольника – вписанная и три описанные – имеют об- щую касательную окружность.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Второй же заключается в том, что эта общая касательная окружность является еще и окружностью девяти точек, которая и без того сама по себе замечательна.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Первая попытка найти аналог теоремы Фейербаха в пространстве приводит к вопросу: существу- ет ли сфера, которая касалась бы вписанной и вневписанных сфер?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Но здесь нас ожидает первый «сюрприз»: у произвольного тетраэдра кроме обычных четырех вневписанных сфер, аналогичных трем вневписанным сферам треугольника, существует еще три дважды-вневписанные сферы или чердачные (от англ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' «roof»), как они названы в [20] (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' также [21]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', всего существует целых восемь сфер (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 1), касающихся граней тетраэдра!' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Назовем их касательными сферами.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Было бы слишком оптимистично ожидать, что все восемь касательных 1 Рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 1: Восемь касательных сфер тетраэдра сфер могли бы касаться одной сферы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' И действительно, ответ на поставленный вопрос оказывается отрицательным: в общем случае произвольного тетраэдра такой сферы не существует.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Проверить это очень легко: для этого достаточно рассмотреть лишь один пример подходящего тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' И нет сомнений, что такой знаток геометрии как Кулидж хорошо знал, что такой сферы в общем случае нет.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Однако, он все-таки поставил вопрос поиска трехмерных аналогов теоремы Фейербаха, находя его важным, интересным и открывающим «широкие возможности для серьезной работы».' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В каком же направлении искать тогда аналоги теоремы Фейербаха в пространстве?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Кажется, что осталась лишь задача описания частных случаев тетраэдров, у которых существует сфера, ка- сающаяся внутренним или внешним образом пяти, шести, семи или всех восьми касательных сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В работе [11] есть некоторое продвижение в этой задаче и для существования такой сферы получе- ны аналитические условия в специальных связанных с тетраэдром пентасферических координатах.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' К сожалению, эти условия весьма громоздкие и из них совершенно не ясно, существуют ли такие тетраэдры и как они устроены.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, задача в такой постановке остается незакрытой.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Возникает еще идея поискать пространственный аналог теоремы Фейербаха в таком направле- нии: существует ли окружность, действительная или мнимая, которая касалась бы всех во��ьми касательных сфер?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Кажется маловероятным, что ответ мог бы быть положительным, но задача пред- ставляется интересной.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Оставив пока эти вопросы, мы приведем далее целых три трехмерных аналога теоремы Фейербаха.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Первый аналог, которую мы хотим предложить в § 1 в качестве трехмерного обобщения теоремы Фейербаха, является довольно интересным фактом.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' У него очень простое доказательство, которое, 2 тем не менее, раскрывает связь этой конструкции с неевклидовой геометрией и приводит к трехмер- ному обобщению окружности Эйлера.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поэтому из трех аналогов этот наиболее аутентичен.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Второй является очень красивой теоремой геометрии тетраэдра, открытой сто двадцать пять лет назад, но, кажется, до сих пор малоизвестной.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Ее единственное оригинальное доказательство столь сложно, что есть целая статья с его реконструкцией.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В § 2 мы получим элементарное доказательство этой теоремы, в котором обнаружится ее связь с теоремой Понселе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Второй аналог выглядит наименее аутентичным, но на наш взгляд, он ближе и роднее к теореме Фейербаха, чем другие два.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Третий аналог представляет из себя довольно интересную конструкцию касающихся сфер, кото- рую мы назвали «up-in-ex-touch»-конструкция.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Мы приведем ее в конце § 3, в котором мы также получим, возможно, самое короткое доказательство формул Эйлера-Чаппла.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' С помощью теоремы Грейса мы в §4 получим короткое и простое доказательство теоремы Лагерра, обобщающей формулы Эйлера-Чаппла.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' §5 посвящен трехмерному аналогу формул Эйлера-Чаппла.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Далее в §6 мы рассмотрим пространственные аналоги теоремы Понселе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Мы покажем, что при вращении Понселе вписано-вневписанного тетраэдра его сферы Грейса касаются некоторой фикси- рованной сферы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В конце, совершая «выход в пространство», мы дадим новое доказательство теоремы Фейербаха.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 1 Первый аналог теоремы Фейербаха для тетраэдра Итак, рассмотрим произвольный тетраэдр общего вида, у которого имеется восемь касательных сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В качестве первого аналога теоремы Фейербаха для тетраэдра предлагаем следующую теорему.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Существует четыре круговых конуса, каждый из которых касается всех восьми его касательных сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Доказательство.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рассмотрим сферу ζD с центром в вершине D тетраэдра ABCD и спроектируем из центра D на сферу ζD все восемь касательных сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Их проекциями будут четыре окружности на сфере ζD, поскольку каждая пара гомотетичных относительно D сфер спроектируются в одну и ту же окружность.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Эти четыре окружности касаются сторон сферического треугольника, стороны которого являются проекциями плоскостей трехгранного угла при вершине D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' По теореме Фейербаха для сферического треугольника существует окружность, касающаяся этих четырех окружностей.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Конус с вершиной D, содержащий эту окружность, очевидно удовлетворяет утверждению теоремы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Такой конус есть у каждой вершины.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Теорема Фейербаха в сферической геометрии, в той облегченной форме, которую мы использо- вали в доказательстве, равносильна теореме Харта (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [2]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, в какой-то степени мы ответили на оба вопроса Кулиджа, которые мы цитировали во введении.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' На самом деле, можно про- двинуться еще дальше в этом направлении, если применить результат Акопяна [19], в котором он нашел такие свойства окружности Харта, которые во многом аналогичны свойствам окружно��ти девяти точек.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Хотя в [19] все утверждения формулируются для плоскости Лобачевского, но мы их естественным образом адаптируем применительно к трехгранным углам нашего тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Избытком трехгранного угла называется величина, равная разнице между суммой его двух- гранных углов и 180◦.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Медиатором трехгранного угла назовем плоскость, содержащую его ребро и делящую его на два трехгранных угла с равными избытками.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' При рассмотренной выше проекции трехгранного угла на сферу медиатор переходит в сферическую чевиану, делящую пополам пло- щадь соответственного треугольника (в [19] эта чевиана называется биссектором или биссекторным отрезком).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Три медиатора пересекаются по прямой, которую можно назвать псевдоцентроидалью, поскольку ей соответствует псевдоцентроид сферического треугольника.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Четыре прямые из одного пучка назовем вписанной четверкой, если все они являются образую- щими одного кругового конуса.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Следующее утверждение является аналогом Леммы 5 из [19].' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 3 Предложение 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть a, b, c – ребра трехгранного угла с вершиной D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда существует един- ственная тройка прямых ha, hb, hc, лежащих в плоскостях ⟨ab⟩, ⟨ac⟩, ⟨bc⟩ соответственно, таких что четверки {a, b, ha, hb};' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' {a, c, ha, hc};' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' {b, c, hb, hc} являются вписанными.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Плоскости aha, bhb, chc являются аналогами так называемых псевдовысот, которым в [19] дается еще и другое определение через углы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Эти три плоскости пересекаются по общей прямой, назовем ее псевдоортоцентралью по аналогии с псевдоортоцентрами гиперболических треугольников.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Круговой конус, содержащий все три ребра трехгранного угла в качестве своих образующих, назовем описанным.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В [19, §§ 4-6] показано, что основания трех псевдовысот и трех биссекторных чевиан лежат на одной окружности.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Центр этой окружности лежит на одной прямой с центром описанной, псевдоцен- троидом и всевдоортоцентром.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Сформулируем аналогичные утверждение для тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='3 (Конус Эйлера трехгранного угла).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' У любого трехгранного угла основания трех его медиаторов и трех его псевдовысот лежат на одном круговом конусе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='4 (Плоскость Эйлера трехгранного угла).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' У произвольного трехгранного угла четыре прямых – псевдоцентроидаль, псевдоортоцентраль, ось описанного конуса и ось конуса Эйлера – лежат в одной плоскости.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Главным же результатом работы [19] является гиперболический аналог теоремы Фейербаха, со- гласно которому окружность Эйлера гиперболического треугольника касается его вписанной и трех вневписанных окружностей.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Применительно к тетраэдру мы получаем следующее усиление Теоре- мы 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 Теорема 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='5 (Аналог теоремы Фейербаха для тетраэдра).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Четыре конуса Эйлера трехгранных углов тетраэдра касаются всех восьми его касательных сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Отметим несколько вопросов, которые возникают в связи с рассмотренными конструкциями.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Вопрос 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='6.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Инцидентны ли какие либо из следующих четверок замечательных прямых тетраэд- ра: псевдоцентроидали, псевдоортоцентрали, оси четырех описанных конусов, оси четырех конусов Эйлера?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Вопрос 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Существуют ли еще какие-либо квадрики, касающиеся всех касательных сфер, отлич- ные от четырех конусов Эйлера и четырех плоскостей граней?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Вопрос 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='8.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Любые три конуса общего положения пересекаются в восьми точках.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Не окажется ли так, что четыре конуса Эйлера тетраэдра имеют восемь общих точек?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Есть ли какие-то примечательные свойства биквадратических кривых, по которым пересекаются конусы Эйлера?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 2 Теорема Грейса как трехмерный аналог теоремы Фейербаха Более ста лет назад, британский математик Джон Хилтон Грейс в своей работе [7] открыл и доказал следующее замечательное свойство касательных сфер тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 (Grace, 1897).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Касательные сферы тетраэдра ABCD могут быть разбиты на че- тыре пары так, что парные сферы гомотетичны с центром D, и для каждой пары существует касающаяся их сфера, проходящая через вершины A, B, C.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Замечание 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Все касательные сферы можно разбить на две группы по четыре сферы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В одну входят вписанная и три дважды-вневписанные сферы, а в другую – четыре вневписанные.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Любые две сферы из разных групп гомотетичны относительно одной из вершин тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для каждой 4 такой пары сфер существует единственная касающаяся их сфера Грейса, которая проходит через вершины грани, противоположной к той вершине, относительно которой данная пара касательных сфер гомотетична.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, всего получается шестнадцать сфер Грейса: для каждой из четырех граней тетраэдра через ее вершины проходит четыре различные сферы Грейса.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема Грейса связывае�� касательные сферы тетраэдра с замечательными точками, его верши- нами, с помощью общих касающихся их сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Это ее сближает с теоремой Фейербаха, с которой она, на наш взгляд, сравнима по красоте и имеет некоторое сходство.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В этом смысле, можно было бы считать теорему Грейса неким трехмерным аналогом теоремы Фейербаха.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 2: Сфера Грейса GD, касающаяся вписанной сферы σ, вневписанной сферы σD и проходящая через A, B, C.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В недавней статье [13] Maehara и Martini замечают, что «по-видимому, эта теорема малоизвестна и до сих пор не имеет элементарного доказательства».' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В качестве результата они приводят такое доказательство, но лишь для частного случая триортогонального тетраэдра, пользуясь при этом аналитической техникой.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Оригинальное же доказательство Грейса очень красивое и геометрическое, но довольно трудное.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поскольку Грейс дал лишь его набросок, Maehara и Tokushige в работе [12] подробно реконструиро- вали это доказательство.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Мы получим элементарное и вполне короткое геометрическое доказательство теоремы Грейса, но сначала напомним некоторые определения и факты проективной геометрии.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть E3 – веще- ственное трехмерное евклидово пространство.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Мы будет рассматривать его проективное пополнение «бесконечно удаленной» плоскостью.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Эта модель проективного пространства получается переходом от декартовых координат (x, y, z) в E3 к однородным координатам (x : y : z : w), в которых бесконеч- но удаленной плоскости соответствуют точки с координатами (x : y : z : 0).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Кроме того рассмотрим комплексификацию пространства, позволяя координатам принимать комплексные значения.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Добав- ленные точки будем называть мнимыми.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Записывая в однородных координатах (x : y : z : w) общее уравнение сферы x2 + y2 + z2 + 2axw + 2byw + 2czw + dw2 = 0, легко видеть, что она пересекает бесконечно-удаленную плоскость w = 0 по кривой x2 + y2 + z2 = 0, w = 0, 5 D GD A C B ODкоторая является общей для всех сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Она называется абсолютной окружностью.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Всякая плоскость пересекает абсолютную окружность в двух сточках – круговых точках этой плоскости.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В однородных координатах (x : y : z) на плоскости ее круговыми точками являются точки I = (1 : i : 0) и J = (1 : −i : 0).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Все окружности плоскости проходят через ее круговые точки и каждая коника плоскости, проходящая через ее круговые точки, является окружностью (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [16, § 4·8]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Прямая, пересекающая абсолютную окружность, называется изотропной.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Каждая такая прямая является, естественно, мнимой.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Предложение 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='3 ( [22, Гл.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 12, § 2]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Касательные к невырожденной конике, проведенные из любого ее фокуса, являются изотропными.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, каждая прямая, проходящая через фокус коники и круговую точку ее плоскости, является изотропной.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для окружности это означает, что касательные из ее центра проходят через круговые точки.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Образующей квадрики называется прямая, которая целиком принадлежит поверхности этой квад- рики.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В комплексном проективном пространстве все невырожденные квадрики эквивалентны.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Предложение 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='4 ( [9, § 2]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (i) Через каждую точку невырожденной квадрики проходят ровно две образующие, действительны или мнимые.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Касательная плоскость пересекает квадрику по двум образующим, проходящим через точку касания.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (ii) Все образующие квадрики распадаются на два семейства таким образом, что любые две обра- зующие из одного семейства не пересекаются, а любые две образующие из разных семейств пересекаются.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Через любую точку образующей одного семейства проходит единственная об- разующая другого семейства.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (iii) Любая плоскость, проходящая через образующую квадрики касается этой квадрики в некото- рой точке этой образующей.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть даны две сферы γ и η.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рассмотрим множество M(γ, η) сфер, которые касаются обеих сфер γ и η.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим что множество M(γ, η) распадается на два класса эквивалентности по типу касаний.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если сфера α касается γ и η одинаковым образом (обеих внутренним, или обеих внешним), то α принадлежит одному классу.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если же α касается γ и η различным образом (одной сферы внутренним, а другой внешним, или наоборот), то α принадлежит другому классу.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Прямые, проходящие через точки касания γ и η со сферами одного класса, проходят через общую точку.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для сфер одного класса эта точка – один из двух центров инверсии, переводящей γ и η друг в друга, а для сфер другого класса – второй такой центр (эти точки – центры подобия сфер γ и η).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Замечание 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='5.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Все это имеет место быть и в случае, если, скажем, сфера η вырождается в плоскость π (сферу бесконечно большого радиуса).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда рассмотренные выше инверсные центры γ и π – это точки сферы γ, касательные плоскости в которых параллельны π.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Следующая теорема является главным результатом этого параграфа.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Она описывает семейство коник σ, которые вместе с данной окружностью Σ образуют 3-пару Понселе (Σ, σ), т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' для них суще- ствует треугольник, вписанный в Σ и описанный около σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Из этой теоремы практически мгновенно следует теорема Грейса, что мы сразу покажем после ее формулировки.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='6 (О 3-парах Понселе).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть даны плоскость π и окружность Σ на ней.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Фиксируем сферу γ, содержащую окружность Σ, и рассмотрим множество M(γ, π) сфер, касающихся сферы γ и плоскости π.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда если сферы α и β пробегают разные классы множества M(γ, π), то описан- ный около них конус K высекает на плоскости π семейство коник σ, образующих 3-пару Понселе с окружностью Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 6 Доказательство Теоремы Грейса.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть α и β – две касательные сферы тетраэдра ABCD, гомо- тетичные относительно вершины D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рассмотрим сферу γ, касающуюся сфер α и β и проходящую через вершины A и B.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таких сфер, вообще говоря, целых четыре.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Но две из них в данном случае вырождены в плоскости ⟨DAB⟩ и ⟨ABC⟩, которые принадлежат разным классам множества M(α, β).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда оставшиеся две сферы тоже принадлежат разным классам и в качестве γ выберем ту, которая принадлежит другому, нежели плоскость ⟨ABC⟩, классу.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть она пересекает плоскость ⟨ABC⟩ по окружности Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Описанный около α и β конус с вершиной D пересекает плоскость ⟨ABC⟩ по конике σ, касающейся сторон треугольника ABC.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' По Теореме о 3-парах Понселе вершина C также должна лежать на окружности Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Доказательство Теоремы 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='6 о 3-парах Понселе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть Fα и Fβ – тоски касания сфер α и β с плоскостью π, которые по теореме Данделена (1822, [3]) я��ляются фокусами коники σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Далее будем считать, что точки Fα и Fβ не совпадают друг с другом и с центром окружности Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Эти частные случаи сводятся к общему малым шевелением сфер α и β и утверждение теоремы для них получается предельным переходом.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если I – одна из круговых точек плоскости π, то I ∈ Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Обозначим через Pα и Pβ точки вторичного пересечения прямых IFα и IFβ с коникой Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда треугольник IPαPβ вписан в окружность Σ, прямые IPα и IPβ касаются коники σ, и нам достаточно доказать, в силу теоремы Понселе, что прямая PαPβ тоже касается коники σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 3: 3-пары Понселе (Σ, σ).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Мнимые касательные представлены дугообразными розовыми отрезками.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть A и B – точки касания сферы γ со сферами α и β.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что прямая IFα является образующей сферы α.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Обозначим через lA одну из двух образующих сферы α в точке A, которая пересекает образующую IFα (т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' lA и IFα принадлежат разным семействам образующих сферы γ).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поскольку lA является также образующей и сферы γ, точка пересечения lA ∩ IFα – это одна из двух точек пересечения прямой IFα со сферой γ, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' это либо точка I, либо точка Pα.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что первый случай не возможен в силу нашей договоренности считать, что точка Fα отлична от центра окружности Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В самом деле, I лежала бы тогда в пересечении касательных плос- костей сферы α в точках A и Fα, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' полярно-сопряженная к AFα относительно α прямая содер��ала бы круговую точку I.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' А так как она вещественная и потому не может быть изотропной, она являлась 7 人 T A P a P Fp D Fa Bбы бесконечно-удаленной, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' касательные плоскости сферы α в точках A и Fα были бы параллельны, а точка Fα совпадала бы с центром окружности Σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, прямая APα является общей образующей lA сфер α и γ в точке A, и аналогично, прямая BPβ совпадает с lB – одной из двух общих образующих сфер β и γ в точке B.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Покажем, что lA и lB компланарны.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для этого рассмотрим гомотетию с центром A, переводящую α в γ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть gA – образующая сферы γ, в которую переходит образующая IFα сферы α.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что 1) I ∈ gA, поскольку gA ∥ IFα, 2) прямая gA инцидентна с прямой lA, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' к.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' прямая lA инвариантна при рассмотренной гомоте- тии и инцидентна с прямой IFα.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' gA и lA – две образующие сферы γ, принадлежащие разным семействам.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Аналогично, если gB – образующая сферы γ, в которую переходит образующая IFβ сферы β при гомотетии с центром B, переводящей β в γ, то 3) I ∈ gB, 4) gB и lB – тоже две образующие сферы γ, принадлежащие разным семействам.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Из замечания 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='5 следует, что прямые gA и gB проходят через различные инверсные центры сферы γ и плоскости π, а потому различны.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда из 1) и 3) следует, что образующие gA и gB сферы α имеют общую точку и, значит, принадлежат разным семействам, откуда в силу 2) и 4) следует, что образующие lA и lB тоже из разных семейств, а потому компланарны.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теперь рассмотрим плоскость ⟨lA;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' lB⟩, которая в силу утвер��дения [iii] Предложения 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='4 касается обеих сфер α и β.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что вершина конуса K содержит прямую AB.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Действительно, поскольку конус K пересекает π по невырожденной конике, его вершина не лежит на π.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Так как α и β из разных классов множества M(γ, π), то γ и π из разных классов множества M(α, β).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Значит, прямая AB проходит через инверсный центр сфер α и β, который не лежит на плоскости π.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='о.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', ⟨lA;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' lB⟩ – касательная плоскость конуса K, а потому пересекает плоскость π по прямой, касающейся коники σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Осталось заметить, что ⟨lA;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' lB⟩ пересекает π по прямой PαPβ, и таким образом, треугольник IPαPβ является вписано-описанным.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ 3 Формулы Эйлера-Чаппла и up-in-ex-touch-аналог теоремы Фейер- баха Теорема 3.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 (Euler, Chapple).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть R, r и ra – радиусы описанной, вписанной и вневписанной окружностей произвольного треугольника, d и da – расстояния от центра описанной окружности до центров вписанной и вневписанной.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда выполняются следующие соотношения d2 = R2 − 2Rr (1) d2 a = R2 + 2Rra (2) Мы приведем два, наверное, самых коротких доказательства этой теоремы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для этого рассмотрим сферу ∆, построенную диаметрально на описанной окружности, наовем ее описанной сферой тре- угольника, сферу δ радиуса r, касающуюся плоскости треугольника в центре его вписанной окруж- ности, наовем ее вписано-поднятой, и сферу δa радиуса ra, касающуюся плоскости треугольника в центре соответствующей вневписанной окружности, наовем ее вневписано-поднятой.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что соотношения (1), (2) можно переписать в виде равенств d2 + r2 = (R − r)2, d2 + r2 a = (R + ra)2, которые равносильны касанию сфер ∆ и δ, ∆ и δa.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 8 Рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 4: Сферы ∆ и δ касаются друг друга Доказательство 1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Касания ∆ и δ, ∆ и δa сразу следует из Теоремы Грейса.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Действительно, рассмотрим тетраэдр с основанием ABC и вершиной D на бесконечности в перпен- дикулярном к плоскости (ABC) направлении.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда сфера δ является его вписанной сферой, симметричная ей относи- тельно плоскости (ABC) – его вневписанной сферой, а сле- довательно, сфера ∆ – его сферой Грейса.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для пары ∆ и δa рассуждение аналогично.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Это доказательство примечательно своей лаконичностью и красотой, но использование сложной Теоремы Грейса мо- жет выглядеть как «стрельба из пушки по воробьям».' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поэто- му приводим другое Доказательство 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Сделаем инверсию относительно сфе- ры, построенной диаметрально на вписанной окружности.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что сфера ∆ переходит в сферу ∆′, построенную диаметрально на окружности, проходящей через середины сторон треугольника Жергона (верши- нами которого являются точки касания вписанной окружности △ABC со сторонами).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' А сфера δ переходит в плоскость δ′, удаленную от плоскости (ABC) параллельно на расстояние r 2 .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поскольку, радиус сферы ∆′, очевидно, тоже равен r 2, сферы ∆′ и δ′, а следовательно, и сферы ∆ и δ касаются друг друга.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Заметим, что доказанное свойство касания сферы ∆ с четырьмя сферами δ, δa, δb, δc является своего рода тоже неким аналогом теоремы Фейербаха в пространстве.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 3.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2 (Up-in-ex-touch).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Описанная сфера треугольника касается его вписано-поднятой и че- тырех вневписано-поднятых сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 5: Up-in-ex-touch-аналог теоремы ��ейербаха.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 9 Заметим также, что сфера ∆ касается не только сфер δ, δa, δb, δc, но и еще четырех симметричных им относительно плоскости треугольника, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' целых восьми сфер.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 4 Теорема Лагерра и ее применение к тетраэдру Теорема 4.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 (Laguerre [10], 1879).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Окружность Σ радиуса R с центром в точке O и коника σ с фокусами Fα, Fβ и малой полуосью b образуют 3-пару Понселе тогда и только тогда, когда выпол- няется соотношение (R2 − d2 α)(R2 − d2 β) = 4R2b2, (3) где dα = |OFα|, dβ = |OFβ|.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Замечание 4.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Малая полуось b может быть как действительной (у эллипсов), так и мнимой (у гипербол).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В первом случае из формулы Лагерра видно, что фокусы эллипса должны лежать либо оба внутри окружности, либо оба вне.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Во втором случае, у гиперболы, один фокус должен лежать внутри окружности, другой – снаружи.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Замечание 4.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='3.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если коника σ является параболой, то условие существования вписано-описанных треугольников для пары (Σ, σ) становится совсем простым: d = R, где d = |OF|, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' фокус F параболы должен лежать на окружности.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Это следует из известной теоремы Ламбера.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Доказательство Теоремы Лагерра (⇒) Пусть γ – произвольная сфера, содержащая окружность Σ, а cфера α касается в точке Fα плоскости π, содержащей окружность Σ, а также касается сферы γ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рассмотрим произвольный вписано-описанный треугольник ABC и проведем через его стороны ка- сательные плоскости к сфере α.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Они пересекаются в нек��торой точке D, образуя тетраэдр ABCD, у которого сфера α является одной из касательных сфер, а γ – сферой Грейса, которая касает- ся также другой касатеьной сферы β тетраэдра ABCD, гомотетичной α относительно вершины D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Как известно, сферы α и β касаются плоскости π в точках, изогонально сопряженных относительно △ABC.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Кроме того, поскольку Fα и Fβ – фокусы вписанной в △ABC коники σ, они также изого- нально сопряжены.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Отсюда заключаем, что сфера β касается плоскости π в точке Fβ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Нам понадобится одна очень простая лемма Лемма 4.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='4 (Thebault [17], 1922).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для малой полуоси b коники, высекаемой описанным около сфер α и β конусом на их общей касательной плоскости, выполняется соотношение |b2| = rαrβ (4) Пусть Sα и Sβ – две диаметрально противоположные точки на γ в перпендикулярном к плоскости π направлении, которые являются инверсными центрами сферы γ и плоскости π (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' замечание 2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='5).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Учитывая, что сферы α и β принадлежат разным классам множества M(γ, π) (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' доказательство теоремы Грейса), легко выразить радиусы сфер α и β: rα = ���� Σ(Fα) 2π(Sα) ���� , rβ = ���� Σ(Fβ) 2π(Sβ) ���� , (5) где Σ(Fα) = d2 α − R2 и Σ(Fβ) = d2 β − R2 – степени точек Fα и Fβ относительно окружности Σ, а π(Sα), π(Sβ) – расстояния от точек Sα и Sβ до плоскости π.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Перемножим равенства (5) и учтем, что π(Sα)π(Sβ) = R2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Получим, что в равенстве (3) левая и правая части равны по модулю.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Правая часть отрицательна только в случае, если коника σ является гиперболой.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Такое происходит только тогда, когда сферы α и β касаются описанного около них конуса с вершиной D по разные стороны от D, а плоскости π – по одну сторону.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда сферы γ они должны касаться по разные стороны, а следовательно, точки Fα и Fβ их касания с π относительно 10 окружности Σ лежат тоже по разные стор��ны и левая часть (3) в этом случае также отрицательна.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, модули можно снять и равенство (3) считать доказанным.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (⇐) Пусть выполняется (3).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если коники (Σ, σ) не образуют 3-пару Понселе, то можно изменить малую полуось b коники σ так, чтобы они образовали 3-пару Понселе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда по уже доказанному тоже должно выполняться равенство (3), следовательно величина b не изменилась, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (Σ, σ) как раз и образуют 3-пару Понселе ✷ Теорема Лаггера, примененная к тетраэдру, позволяет получить следующее интересное метриче- ское соотношение для касательных сфер тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 4.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='5.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть ∆D – сфера, описанная около грани ABC тетраэдра ABCD, α и β – две касательные сферы, гомотетичные относительно D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда произведение косинусов углов, которые сфера ∆D образует с α и β (среди них один угол мнимый), равно 1, если α и β касаются ⟨ABC⟩ с одной стороны, или −1, если с разных.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' cos(� ∆D, α) cos(� ∆D, β) = sign k, (6) где k – коэффициент упомянутой гомотетии с центром D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Доказательство Пусть OD и R – центр и радиус сферы ∆D;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' rα, rβ – радиусы сфер α и β;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Dα, Dβ – расстояния между центрами ∆D и α, ∆D и α;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' dα, dβ – расстояния от OD до точек Fα и Fβ касания плоскости ⟨ABC⟩ со сферами α и β.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть Σ = ⊙(ABC), а конус K с вершиной D, описанный около α и β, пересекает плоскость ⟨ABC⟩ по конике σ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Воспользуемся леммой 4.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='4 и заметим, что в нашей конструкции с тетраэдром равенство (4) можно уточнить b2 = rαrβ sign k, (7) поскольку b2 может быть отрицательным, только если коника σ является гиперболой, что возможно лишь в том случае, если в��ршина конуса K является центром отрицательной гомотетии сфер α и β, т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' они вписаны в K по разные стороны от его вершины.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' По теореме Лагерра для пары (Σ, σ) имеем (R2 − d2 α)(R2 − d2 β) = 4R2b2, (8) По теореме Пифагора d2 α = D2 α − r2 α, d2 β = D2 β − r2 β Подставляя эти равенства и (7) в соотношение (8), получаем требуемое соотношение R2 + r2 α − D2 α 2R rα R2 + r2 β − D2 β 2R rβ = sign k ✷ 5 Трехмерный аналог формулы Эйлера-Чаппла В связи с теоремой Эйлера-Чаппла возникает естественный вопрос о возможности ее трехмерного обобщения на случай тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Этот вопрос был поставлен впервые Ж.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Д.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Жергонном в 1816 году в издаваемом им журнале1 в виде краткой сноски, относящейся к тетраэдру с радиусами описанной сферы R, вписанной – r и расстоянием d между их центрами: 1Annales de math´ematiques pures et appliqu´ees, 6 (1815-1816), p.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 228.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 11 «Il serait sur-tout int´eressant de savoir si d peut ˆetre exprim´e uniquement en fonction de R et r.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' G.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='» Спустя восемь лет в том же журнале было опубликовано положительное решение этой задачи в работе Дюрранда [4], где он доказал следующее соотношение: d2 = (R + r)(R − 3r).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (9) Этот результат получил широкое признание и в течение многих лет на него ссылались в литерату- ре, например, в таких почтенных изданиях как Математическая энциклопедия Клейна «Encyklop¨adie der mathematischen Wissenschaften» [18] (первая в мире математическая энциклопедия) и «Enciclopedia delle matematiche elementari» [1] (крупнейшая энциклопедия по математике, изданная в Италии).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Од- нако, формула Дюрранда (9) оказалась неверной, а ответ на вопрос Жергонна – отрицательным: не существует общей для всех тетраэдров функциональной зависимости между R, r и d.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Доказатель- ство Дюрранда было практически безупречным, но незаметная ошибка заключалась в его убежден- ности, что описанная и вписанная сфера непременно должны имет�� некоторую зависимость.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Вопрос Жергонна можно было бы сформулировать так: каковы условия существования вписано-описанного тетраэдра для двух данных сфер?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Оказывается никаких необходимых условий для этого не требуется.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 5.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для любых двух невырожденных квадрик общего положения существует бесконечное семейство вписано-описанных тетраэдров.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Любая касательная плоскость ко вписанной квадрике может содержать грань такого тетраэдра, а его вершиной может быть произвольная точка описанной квадрики.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В работе Фонтене [6] 1899 года эта теорема считается уже известной (см.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' также [8]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Итак, в отличие от плоского случая в пространстве для любых двух произвольных сфер всегда существует вписано-описанный в них тетраэдр, причем он может динамически вращаться около этих сфер, все время оставаясь вписано-описанным.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' При этом, любая точка описанной сферы может быть вершиной такого тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Но оказывается, что не для любых двух вещественных сфер такой тетраэдр может быть веще- ственным.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Критерием существования вещественного вписано-описанного тетраэдра является следу- ющее условие Грейса, исправляющее соотношение Дюрранда (9): Теорема 5.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2 (Grace [8], 1917).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для данных двух сфер S и T необходимым и достаточным условием существования вписано-описанного вещественного тетраэдра, у которого вершины лежат на S, а плоскости граней касаются T, является следующее условие в зависимости от взаимного располо- жения S и T: (a) T вложена в S и d2 ⩽ (R + r)(R − 3r);' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (b) T и S расположены одна вне другой;' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' (c) T и S пересекаются по действительной окружности и d2 ⩽ (R − r)(R + 3r).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 6 Вращение Понселе вписано-описанного тетраэдра Теорема 5.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 позволяет рассмотреть динамику «вращения» вписано-описанного тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Эта дина- мика не столь однозначна, как в плоской теореме Понселе.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Это показывает следующая теорема.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 12 Теорема 6.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 ( [8]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть вершины тетраэдра лежат на квадрике S, а грани касаются квадрики T.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда при фиксации плоскости π одной из его граней противоположная вершина P может при этом варьироваться, пробегая плоское сечение π′ квадрики S.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, тетраэдр вращается с намного большей свободой, чем вписано-описанный мно- гоугольник.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Когда выбрана плоскость π, существует целая коника для выбора произвольной точки на ней в качестве вершины P, а для каждой такой пары P и π существует однопараметрическое семейство вписано-описанных треугольников, каждый из которых может быть противоположной к вершине P гранью вписано-описанного тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, в общем случае существует 4- параметрическое семейство тетраэдров.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' У плоской теоремы Понселе есть такой «эффект замыкания»: если начиная с некоторой начальной точки A1 строится последовательно вписано-описанная ломаная A1A2 .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' An и оказывается, что звено A1An тоже касается вписанной коники, замыкая ее, то такое замыкание будет происходить всегда.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если же, по аналогии, строить вписано-описанный тетраэдр для двух данных квадрик S и T, последовательно выбирая касательные плоскости его граней, то возникает следующий вопрос.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Когда мы провели уже три плоскости, которые образовали вписано-описанный трехгранный угол, всегда ли можно его замкнуть четвертой плоскостью, чтобы образовался вписано-описанный тетраэдр?' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Ответ дает следующая теорема Фонтене.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 6.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2 (Fonten´e [6]).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Последовательный процесс построения вписано-описанного тетраэдра всегда замыкается тогда и только тогда, когда квадрики S и T имеют четыре общих образующих.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В этом случае, плоскость π и вершина P могут быть выбраны совсем произвольно и, таким образом, существует 5-параметрическое семейство вписано-описанных тетраэдров.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 6.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='3.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть фиксированы описанная сфера S тетраэдра и одна из восьми его касательных сфер T, а тетраэдр динамически «вращается» около них, оставаясь вписано-описанным.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда все четыре касающиеся T сферы Грейса все время касаются некоторой фиксированной сферы, концен- тричной с описанной сферой S.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Доказательство.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть сфера Грейса G проходит через вершины грани a и пусть вписанная сфера S касается сферы G в точке P, а плоскости ⟨a⟩ – в точке Q.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Обозначим центры сфер S и T через OS и OT .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Прямая PQ при вращении тетраэдра проходит через фиксированную точку – предельную точку K пучка сфер ⟨S, T⟩.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Кроме того, на прямой PQ лежит инверсный центр E сферы G и плоскости ⟨a⟩, касательная в котором к G параллельна плоскости ⟨a⟩.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Следовательно, OSE∥OT Q и △OSEK ∼ △OT QK, откуда получаем такое выражение OSE = OSK OT K · rT , правая часть которого является величиной постоянной при вращении тетраэдра.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда, сфера с ради- усом, равным этой величине, и центром в точке OS касается сферы Грейса в любой момент вращения.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ 7 Доказательство теоремы Фейербаха через выход в пространство Пусть δ – вписанная окружность треугольника ABC с центром в точке I и радиусом r, H – ор- тоцентр треугольника ABC, точки A1, B1, C1, I1 – середины отрезков AH, BH, CH, IH (I1 – инцентр △A1B1C1).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Описанная около △A1B1C1 окружность ϑ – это окружность девяти точек △ABC.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть также ⊙a, ⊙b, ⊙c – окружности с диаметрами BC, CA, AB, ∆ и Θ – сферы, построенные диаметраль- но на окружностях δ и θ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 13 Доказательство Теоремы Фейербаха.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что касание окружностей δ и θ равносильно касанию сфер ∆ и Θ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' По Теореме 3.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2 для △A1B1C1 его описанная сфера Θ касается его вписано-поднятой сферы Υ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поэтому касание Θ и ∆ равносильно тому, что сфера Θ инвариантна при инверсии, переводящей сферы ∆ и Υ друг в друга.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что центр S этой инверсии расположен над точкой H на высоте r (т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' SH⊥(ABC), |SH| = r), а коэффициент инверсии (квадрат радиуса сферы инверсии) равен |IH| · |I1H| = |IH|2 2 .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Таким образом, достаточно доказать равенство Θ(S) = |IH|2 2 , которое в силу того, что Θ(S) = θ(H) + r2, равносильно соотношению |IH|2 − 2r2 = 2θ(H) (10) Заметим, что левая часть равенства (10) равна степени точки H относительно окружности ξ радиуса r √ 2 с центром I (ξ высекает на сторонах △ABC равные отрезки длины 2r).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Осталось вос- пользоваться следующим замечательным свойством окружности ξ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Теорема 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Окружности ξ, ⊙a, ⊙b, ⊙c имеют общий радикальный центр в точке H.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда заметим, что степень точки H относительно окружности θ в два раза меньше ее степени относительно окружностей ⊙a, ⊙b, ⊙c и равенство (10) равносильно утверждению ξ(H) = ⊙a(H) = ⊙b(H) = ⊙c(H) Теоремы 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Для доказательства Теоремы 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1 рассмотрим окружность χa, диаметром которой является жер- гониана вершины A (т.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='е.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' отрезок, соединяющий A с точкой касания вписанной окружности δ со стороной BC) и воспользуемся следующим свойством окружности χa, возможно, имеющим и само- стоятельный интерес.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Лемма 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='2 (χa-лемма).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Окружности χa, ξ, ⊙a принадлежат одному пучку.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Доказательство Теоремы 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='1.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Достаточно проверить, что H ∈ rad(ξ, ⊙a).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что rad(χa, ⊙b) – это высота AH, rad(⊙a, ⊙b) – это высота CH, следовательно, H = rad(χa, ⊙a, ⊙b) ∈ rad(χa, ⊙a) = rad(ξ, ⊙a), где последнее равенство верно в силу χa-леммы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Доказательство χa-леммы.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Воспользуемся следующим известным метрическим соотношением для пучков окружностей.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Лемма 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='3 (О пучке).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Если окружности α, β, γ лежат в одном пучке, то для любой точки P ∈ γ отношение ее степеней относительно α и β постоянно, причем α(P) β(P) = dαγ dβγ , (11) где dαγ и dβγ – расстояния между центрами α, γ и β, γ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Верно и обратное утверждение.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Лемма 7.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content='4 (Обратная лемма о пучке).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Пусть центры окружностей α, β, γ коллинеарны, и на окружности γ имеется такая точка P, для которой выполняется соотношение (11).' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда окруж- ности α, β, γ принадлежат одному пучку.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 14 Рис.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 6: Окружности ξ, χa, ⊙a принадлежат одному пучку В качестве окружностей α, β, γ из Обратной леммы о пучке возьмем окружности ⊙a, ξ, χa, центры M, I, L которых лежат на средней линии ML треугольника APQ.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' При этом, LM LI = AQ AN = ra r .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Для точки P ∈ χa имеем α(P) = −(p − b)(p − c), β(P) = −r2.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда (11) запишется в виде соотношения (p − b)(p − c) r2 = ra r , которое равносильно легко проверяемому равенству (p − b)(p − c) = r ra.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ Доказательство χa-леммы выходом в пространство.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Заметим, что окружности χa, δ и окруж- ность ⊙P Q с диаметром на отрезке PQ лежат в одном пучке.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Поднимем их центры перпендикулярно плоскости ⟨ABC⟩, сохраняя коллинеарность: L → L, I → I, M → M, и пусть LL = r 2, II = r.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Тогда легко найти, что MM = r + ra 2 .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' При этом сферы S(L), S(J), S(M) с центрами L, I, M, содержащие окружности χa, δ, ⊙P Q соответственно, также принадлежат одному пучку.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Рассмотрим плоскость π∥⟨ABC⟩, проходящую через I, и ортогональную проекцию △ABC → △A′B′C′ на плоскость π.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Оста- лось заметить, что сечениями сфер S(L), S(J), S(M) плоскостью π являются окружности ξ′, χ′ a, ⊙′ a.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Действительно, для сечений S(L), S(I) это очевидно, а для S(M) это легко проверить, поскольку квадрат радиуса окружности ее сечения плоскостью π равен |MP|2 + �ra + r 2 �2 − �ra − r 2 �2 = |MP|2 +rar = |MP|2 +(p−b)(p−c) = |MP|2 +|BP|·|CP| = � a 2 �2 .' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Так как при пересечении сфер пучка плоскостью получается пучок окружностей, то ξ′, χ′ a, ⊙′ a принадлежат одному пучку.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ✷ 15 3 N L H B M P CСписок литературы [1] Biggiogero G.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', La geometria del tetraedro.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' In: Enciclopedia delle Matematiche Elementari.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' A cura di L.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Berzotari, G.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Vivanti e D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Gigli.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Volume II, parte I.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Milano 1937.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Ristampa anastatica, Maggio 1943, p.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 237.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [2] Coolidge J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' L.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', A treatise on the circle and the sphere, Oxford: Clarendon Press, 1916.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [3] Dandelin G.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', M´emoire sur quelques propri´et´es remarquables de la focale parabolique, Nouveaux m´emoires de l’Acad´emie rouale des sciences et belles-lettres de Bruxelles, T.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 2 (1822) 171-200.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [4] Durrande J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' B.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', D´emonstrations ´el´ementaires des principales propriet´es des hexagones inscrits et circonscrits au cercle, suivies de la solution de divers probl`emes de la g´eometrie.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Dissertation de la g´eometrie pure.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Annales de math´ematiques pures et appliqu´ees, 14 (1823- 1824) 29-63.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [5] Feuerbach K.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' W.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Eigenschaften einiger merkw¨urdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks, N¨urnberg, 1822.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [6] Fonten´e G.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Sur des poly`edres mobiles comparables aux polygones de Poncelet, Nouvelles annales de math´ematiques 3e s´erie, tome 18 (1899) 67-74.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [7] Grace J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' H.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Circles, spheres, and linear complexes, Trans.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Cambridge Philosophical Soc.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 14 (1898) 153–190.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [8] Grace J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' H.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Tetrahedra in relation to spheres and quadrics, Proc.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' London Math.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Soc.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 17 (1918) 259-271.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [9] Griffiths Ph.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Harris J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', A Poncelet theorem in space, Comm Math.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Helv.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', 52 (1977) 145-160.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [10] Laguerre E.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' N.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Sur la relation qui existe entre un cercle circonscrit `а un triangle et les ´el´ements d’une conique inscrite dans ce triangle, Nouvelles annales de math´ematiques 2e s´erie, tome 18 (1879) 241-246.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [11] Lewis T.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' C.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Is there an analogue in solid geometry to Feuerbach’s theorem, Messenger of Mathematics, volume 49 (1919) 187-192.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [12] Hiroshi Maehara, Norihide Tokushige, Schl¨afli’s double six, Lie’s line-sphere transformation, and Grace’s theorem, European Journal of Combinatorics, 30 (2009) 1337–1351.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [13] Hiroshi Maehara, Horst Martini, Tangent Spheres of Tetrahedra and a Theorem of Grace, The American Mathematical Monthly, 127:10 (2020) 897-910 [14] Poncelet J.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' - V.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Trait´e des propri´et´es projectives des figures, Gauthier-Villars, Paris, 1822.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [15] Protasov V.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Yu.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Generalized closing theorems, Elem.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Math.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', 66 (2011) 98-117.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [16] Sommerville, D.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' M.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Y.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Analytical geometry of three dimensions, Cambridge University Press, 1943.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [17] Thebault V.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Sur un theoreme classique de Dandelin, Nouvelles annales de mathematiques 5e serie, t.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 1 (1922) 200-205.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [18] Zacharias M.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Elementargeometrie und elementare nicht-euklidische Geometrie in synthetischer Behandlung.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' In: Encyklop¨adie der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Drifter Band.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Geometric.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Redigiert yon W.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Fr.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Meyer und H.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Mohrmann.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' B.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' G.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' ˙Teubner, Leipzig, 1914-1931, S.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 1059.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [19] Акопян А.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' В.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', О некоторых классических конструкциях в геометрии Лобачевского, Матем.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' просв.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', выпуск 13 (2009) 155–170.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [20] Берже М.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Геометрия, М.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' Мир, 1984.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' [21] Заславский А.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' А.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Сравнительная геометрия треугольника и тетраэдра, Матем.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' просв.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', вып.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 8 (2004) 78–92 [22] Фиников С.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' П.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=', Аналитическая геометрия, Москва, 1952.' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'} +page_content=' 16' metadata={'source': '/home/zjlab/wf/langchain-ChatGLM/knowledge_base/0tAyT4oBgHgl3EQf1PlJ/content/2301.00731v1.pdf'}